0 引言

在地震或爆破动荷载作用下岩石等脆性材料具有复杂的动力响应特征，其动态强度增长速率在不同应变率范围内存在明显差异^[1]。合理描述岩石强度的应变率依存性并建立动态损伤模型，有助于揭示岩石在动态荷载作用下的损伤破坏机理，对于地下防护工程建设和隧道爆破开挖等工程实践具有重要理论指导意义。

岩石动三轴试验设备通常采用气体驱动、炸药驱动和气-液混合驱动等方式对试样施加中高应变率动态加载。李海波^[2]关于红砂岩的三轴压缩试验结果表明增加应变率会导致加载持时呈指数规律递减，试样的动态峰值强度则以幂函数规律上升，对应的破坏模式由单破裂面转变为双破裂面。吴绵拔^[3]发现当应变率由10^-4/s增加至10^-1/s时，花岗岩的单轴抗压强度和弹性模量会分别提高54%和19%。李东^[4]针对二水石膏等脆性岩石材料的试验结果也观察到类似的现象。王常彬^[5]采用声发射CT成像技术揭示了单轴受载下岩体的破裂演化特征，结果表明岩石内部微裂纹萌生和拓展会导致波速范围和异常面积区域逐渐增大，其变化规律受加载速率影响。

为了描述岩石强度的应变率依存性，需要提出新的动态强度准则。赵坚^[6]较早采用Mohr-Coulomb强度准则和Hoke-Brown强度准则来评估岩石的动态强度。戚承志^[7]认为热活化和黏性机制之间的竞争关系是导致岩石动态强度随应变率变化的主要原因。胡晶^[8]发现在双对数坐标系中岩石的子午面强度包络线在不同应变率下近似平行，提出了动态统一强度准则。此外，路德春^[9]、杜修力^[10]、尤明庆^[11]也先后提出了广义非线性强度准则、非线性统一强度准则和位于Mohr应力空间的指数强度准则。这些强度准则被广泛用于建立岩石的本构模型以便于描述其动力响应特征^[12-14]。但是，这些方法通常假定岩石的动态强度在中高应变率范围会持续快速增长，这与实际情况不符。高应变率加载条件下，岩石部分区域破碎产生的碎片在加速运动过程中具有惯性作用，导致岩石的动态强度增大，但材料自身的破坏将使强度增长速率逐渐减小。因此，王国盛^[15]和杜修力^[16]建议采用非线性动态S准则来描述脆性材料的动态强度随应变率变化规律。另一方面，岩石的渐进性失效与微裂纹生长规律有关^[17-19]，若岩石微元强度在动态加载条件下随应变率单调递增，那么在极高应变率情形下将不发生损伤，该推论与统计损伤力学和断裂力学等经典理论的基本假定不符。

为更为合理地描述应变率对岩石动态强度的影响，本研究首先提出了强度增效因子的概念来反映岩石的动态强度随应变率的变化规律，并且将该强度增效因子引入岩石微元强度和损伤因子的演变规律中；随后，基于修正Lemaitre应变等价性假设^[19]建立了岩石的动态损伤模型，该模型能够考虑岩石的残余强度，由此得到不同围压和应变率下岩石试样的应力-应变曲线；最后，采用红砂岩^[2]和盐岩^[20]的三轴压缩试验结果验证了本研究模型的有效性，并讨论了岩石强度的应变率依存性和损伤机制。

1 岩石强度增效因子

本研究定义强度增效因子R来描述脆性岩石强度的应变率依存性：

$ R=\frac{\sigma_{\mathrm{d}}-\sigma_{\mathrm{s}}}{\sigma_{\mathrm{s}}}, $

(1)

式中σ_d和σ_s分别为岩石动态强度和准静态强度。

由于岩石在中等应变率加载条件下σ_d＞σ_s，但随着应变率$\hat{\varepsilon}$逐渐增大，试样内部微裂纹的充分发育将导致其强度增长速率明显下降。参考杜修力^[16]提出的脆性材料单轴动态强度S准则，岩石等脆性材料在极高应变率情况下存在极限动态强度σ_max，在此基础上，假定R关于$\hat{\varepsilon}$的表达式为：

$ \frac{\hat{\varepsilon}}{R} \frac{\partial R}{\partial \hat{\varepsilon}}=n\left(1-\frac{R}{R_{\max }}\right), $

(2)

式中，R_max为极限强度增效因子；n为效应系数，用于控制R的增长速率。

根据式(2)，当R=R_max时，有$\frac{\partial R}{\partial \hat{\varepsilon}}=0$。此时增大应变率并不会导致岩石的动态强度进一步增大，对其进行积分可以得到：

$ R=\frac{R_{\max }}{1+\left(\hat{\varepsilon}_{0} / \hat{\varepsilon}\right)^{n}}, $

(3)

式中$\hat{\varepsilon}_0$为积分常数，可以被视作特征应变率。

将式(3)代入式(1)中，可以得到岩石动态强度σ_d关于准静态强度σ_s和应变率$\hat{\varepsilon}$的表达式为：

$ \sigma_{\mathrm{d}}=\sigma_{\mathrm{s}}\left[1+\frac{R_{\max }}{1+\left(\hat{\varepsilon}_{0} / \hat{\varepsilon}\right)^{n}}\right] 。$

(4)

材料参数R_max，$\hat{\varepsilon}_0$和n对强度增效因子R随应变率$\hat{\varepsilon}$变化的影响如图 1所示。由图可见，极限强度增效因子R_max能够有效调整R在高应变率下的最终值，其整体随$\hat{\varepsilon}$呈“S”形曲线规律变化。增大特征应变率$\hat{\varepsilon}_0$会导致强度增效曲线整体向左平移，岩石动态强度的应变率依存性将变得更为明显。此外，效应系数n能够改变强度增效因子R在中等应变率区间的增长速率，但并不会改变岩石的极限动态强度。

本研究提出的强度增效因子概念及其表达式能够较为灵活地反映岩石动态强度随应变率的变化规律，尤其是考虑了岩石在极高应变率下的极限动态强度。然而，现有的试验手段尚难以获取岩石在极高应变率下的真实动态强度，因此强度增效因子概念的合理性仍有待进一步验证。但是，根据岩石^[21-25]、堆石料^[18]、混凝土^[26-33]的试验结果，仍可以看出本研究提出的方法适用于不同类型的脆性材料(见图 2)，类似于杜修力^[16]提出的S准则，能够为准确刻画岩石在极高应变率下的动态强度提供潜在的技术手段。将强度增效因子引入常用的岩石强度准则中，可以得到新的动态强度准则用于描述应力水平和加载速率等因素对岩石强度特性的影响，并建立新的岩石动态损伤模型描述试样的应力-应变曲线。

2 统计损伤模型 2.1 损伤因子和微元强度

岩石在外部荷载作用下发生损伤，内部产生大量随机分布的微裂纹，高应变率引起的惯性力叠加效应会影响微裂纹的生长规律，进而改变岩石的宏观力学特性和破坏模式。Li^[34]认为岩石的损伤因子D是关于微元强度F的函数，满足Weibull统计分布规律。本研究在此基础上考虑应变率对损伤因子演化规律的影响，引入强度增效因子R，将D重新定义为：

$ D=1-\exp \left\{-\left[\frac{F}{F_{0}}(1+R)\right]^{m}\right\}, $

(5)

式中m和F₀分别为Weibull分布参数，用于控制岩石微元强度演化规律。

当R＝0且F≥0时，式(5)将退化为D=1-$\exp \left[-\left(\frac{F}{F_0}\right)\right]^m$，与常规方法保持一致。将式(3)代入式(5)中，则可以建立损伤因子D与微元强度F和应变率$\hat{\varepsilon}$之间的联系。

另一方面，采用Hoek-Brown强度准则来描述其在准静态加载条件下的岩石微元强度为：

$ \sigma_{1}=\sigma_{3}+\sigma_{\mathrm{c}}\left(k \frac{\sigma_{3}}{\sigma_{\mathrm{c}}}+s\right)^{\alpha}, $

(6)

式中，σ₁和σ₃分别为破坏时的大主应力和小主应力；σ_c为岩石单轴抗压强度；k，s，α为材料参数，对于完整的岩体，s＝1。

岩体在未损伤状态时将处于弹性变形阶段，微元强度满足广义胡克定律，不考虑中间主应力影响时，具有应变率依存性的主应力σ₁可以表示为：

$ \sigma_{1}=(1+R)\left(E \varepsilon_{1}+2 \mu \sigma_{3}\right), $

(7)

式中，E为弹性模量；μ为泊松比；ε₁为轴向应变。

结合式(6)和式(7)，可以将完整岩石试样的微元强度F表示为：

$ F=(1+R)\left(E \varepsilon_{1}+2 \mu \sigma_{3}\right)-\sigma_{3}-\sigma_{\mathrm{c}}\left(k \frac{\sigma_{3}}{\sigma_{\mathrm{c}}}+1\right)^{\alpha} 。$

(8)

将式(3)，(4)，(8)代入式(5)中，可以得到不同围压和应变率条件下岩石试样的损伤演变规律。该方法主要优势在于能够区别反映应变率对岩石微元强度和动态损伤规律的影响，即首先假定损伤因子是关于微元强度和强度增效因子的函数，然后考虑岩石动态强度的应变率依存性，同时假定强度增效因子会对其微元强度产生直接影响。

2.2 修正Lemaitre应变等价假设

传统的岩石统计损伤模型^{[12-14, 17, 34]}主要基于Lemaitre应变等价假设，认为材料损伤部分会形成空洞并丧失承载能力，该假定与实际情况不符。考虑残余强度的修正Lemaitre等价应变假设如图 3所示。岩石试样在三轴压缩条件下其轴向应力在达到峰值强度后会快速减小并保留部分残余强度。

李海潮^[19]研究结果表明，发生损伤的岩石内部会形成局部贯通的断裂带，岩块沿着该断裂带发生相对滑动产生的摩擦力是导致岩石试样具有残余强度的主要原因之一。据此可以将Lemaitre应变等价假设简单修正为：

$ \boldsymbol{\sigma}_{i j}=(1-D) \boldsymbol{C}: \boldsymbol{\varepsilon}_{i j}+D \sigma_{\mathrm{r}} \boldsymbol{\delta}_{i j}, $

(9)

式中，σ_ij和ε_ij分别为应力张量和应变张量；C为初始弹性应力-应变张量；σ_r为残余强度。

根据式(9)，当D＝1时，岩石试样在完全损伤后依然具有残余强度；当σ_r＝0时，可以得到Lemaitre应变等价假设σ_ij= (1-D) C ∶ ε_ij。

为进一步揭示上述方法的物理内涵，参考王辉^[35]基于连续介质损伤力学假定岩石的Helmholtz自由能Ψ在损伤过程中会发生变化，且取决于当前的应变张量ε_ij和损伤因子D对Ψ的全微分，可以得到：

$ \mathrm{d} \psi=\frac{\partial \psi}{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_{i j}}: \mathrm{d} \boldsymbol{\varepsilon}_{i j}+\frac{\partial \psi}{\partial D} \mathrm{~d} D_{\circ} $

(10)

根据热力学第二定律，在损伤过程中系统的能量始终处于耗散状态，对应的Clausius-Duhem不等式可以表示为$\boldsymbol{\sigma}_{i j}: \mathrm{d} \boldsymbol{\varepsilon}_{i j}-\mathrm{d} \psi \geqslant 0$，代入式(10)中可以得到：

$ \left(\boldsymbol{\sigma}_{i j}-\frac{\partial \psi}{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_{i j}}\right): \mathrm{d} \boldsymbol{\varepsilon}_{i j}+\frac{\partial \psi}{\partial D} \mathrm{~d} D \geqslant 0 。$

(11)

为保证式(11)对于任意应变率均始终成立，需满足如下条件：

$ \boldsymbol{\sigma}_{i j}-\frac{\partial \psi}{\partial \boldsymbol{\varepsilon}_{i j}}=0_{\circ} $

(12)

Helmoltz自由能的初始状态和最终状态如图 4所示。岩石在未损伤和完全损伤状态下的Helmoltz自由能可分别定义为$\mathit{\Psi}_{0}$ 和$\mathit{\Psi}_{\mathrm{u}}$。当岩石的微元强度$F < $ 0时（$D=0$），根据广义胡克定律可以将$\mathit{\Psi}_{0}$ 表示为$2 \psi_{0}=\boldsymbol{\varepsilon}_{i j}: \boldsymbol{C}: \boldsymbol{\varepsilon}_{i j}$。当岩石处于完全损伤状态时（$D=$ 1），假定残余强度$\sigma_{\mathrm{r}}$ 保持不变，由几何关系可以得到$\mathit{\Psi}_{\mathrm{u}}$ 的表达式，即$\psi_{\mathrm{u}}=\boldsymbol{\varepsilon}_{i j} \boldsymbol{\sigma}_{i j}$。据此，可以建立Helmholtz自由能$\boldsymbol{\mathit{\Psi}}$ 与损伤因子$D$ 之间的联系为：

$ \psi=(1-D) \psi_{0}+D \psi_{\mathrm{u}} \circ $

(13)

将式(13)代入式(12)，可以得到如式(9)所示的修正Lemaitre应变等价假设。

2.3 应力-应变关系和参数确定

在常规三轴压缩条件下，考虑加载速率影响的岩石动态损伤模型可以整体表示为：

$ \left\{\begin{array}{l} \sigma_{1}=(1-D) E \varepsilon_{1}+D \sigma_{\mathrm{r}}+2 \mu \sigma_{3} \\ D=1-\exp \left\{-\left[\frac{F}{F_{0}}(1+R)\right]^{m}\right\} \\ F=(1+R)\left(E \varepsilon_{1}+2 \mu \sigma_{3}\right)-\sigma_{3}-\sigma_{\mathrm{c}}\left(k \frac{\sigma_{3}}{\sigma_{\mathrm{c}}}+1\right)^{\alpha} 。\\ R=\frac{R_{\max }}{1+\left(\hat{\varepsilon}_{0} / \hat{\varepsilon}\right)^{n}} \end{array}\right. $

(14)

本研究模型主要包含3组材料参数：(1)用于描述岩石准静态微元强度F的参数σ_c，k，α，对应Hoek-Brown强度准则。(2)强度增效因子R包含的材料参数，即最大强度增效因子R_max、特征应变率$\hat{\varepsilon}_0$和效应系数n。(3)损伤因子D包含的材料参数m和F₀。另外，由岩石单轴压缩变形试验可以确定弹性模量E和泊松比μ，而残余强度σ_r仅与围压有关，可以根据岩石三轴压缩试验结果进行标定。

不同残余强度下模型计算得到的应力-应变曲线和损伤因子演化规律分别如图 5和图 6所示。由图可见，在计算过程中假定损伤因子包含的材料参数m和F₀与特定围压下岩石试样特征值有关，改变残余强度σ_r仅影响试样的峰后变形阶段，借助修正Lemaitre应变等价性假设，本研究模型为描述复杂外部加载条件下岩石的力学特性提供了有效的方法。

结合李海波^[2]开展的不同围压和加载速率条件下的均值红砂岩试样的常规三轴压缩试验结果，说明部分材料参数的确定方法。围压对残余强度的影响大于加载速率，岩石属于脆性材料，破坏应力在达到峰值后跌落，难以准确测量残余强度，因此本研究不考虑应变率对残余强度σ_r的影响。

不同围压和应变率条件下红砂岩^[2]的峰值强度和强度增效因子如图 7和图 8所示。将加载速率一定时红砂岩试样在不同围压下的峰值强度采用式(6)进行拟合(见图 7)得到对应的准静态峰值强度σ_c=86.4 MPa，k=9.9，α=0.5。围压一定时红砂岩试样的强度增效因子R随应变率$\hat{\varepsilon}$的变化规律如图 8所示。根据式(3)，可以拟合得到R_max=0.36，$\hat{\varepsilon}_0$=0.19，n=1.25，σ_c为249.58 MPa。作为对比，给出李海波的拟合结果^[2]，即R= ($\hat{\varepsilon}$/70.74)^0.44，二者主要区别在于，在高应变率下本研究方法计算得到的R的增大速率逐渐减小，即红砂岩的动态峰值强度σ_d不会无限增长，存在极限强度。最后，根据红砂岩的单轴压缩试验结果，可以大致确定弹性模量为12.34 GPa，泊松比为0.18。

对于损伤因子D对应的材料参数m和F₀，需要采用极值法进行确定。首先，假定当岩石试样达到峰值强度时的动态应力σ_f时，对应的动态轴向应变为ε_f。根据式(14)，σ_f可以表示为：

$ \sigma_{\mathrm{f}}=\exp \left(-\mathit{\Omega}^{m}\right) E \varepsilon_{\mathrm{f}}+2 \mu \sigma_{3}+\left[1-\exp \left(-\mathit{\Omega}^{m}\right)\right] \sigma_{\mathrm{r}}, $

(15)

式中，$\mathit{\Omega}=(1+R) F_{\mathrm{f}} / F_0; F_{\mathrm{f}}=(1+R)\left(E \varepsilon_{\mathrm{f}}+2 \mu \sigma_3\right)- \sigma_3-\sigma_{\mathrm{c}}\left(k \frac{\sigma_3}{\sigma_{\mathrm{c}}}+1\right)^\alpha $。

整理式(15)可以得到：

$ \mathit{\Omega}^{m}=-\ln \left(\frac{\sigma_{\mathrm{f}}-2 \mu \sigma_{3}-\sigma_{\mathrm{r}}}{E \varepsilon_{\mathrm{f}}-\sigma_{\mathrm{r}}}\right) \circ $

(16)

式(15)和式(16)联立，可以确定参数F₀为：

$ F_{0}=\frac{(1+R) F_{\mathrm{f}}}{\left[-\ln \left(\frac{\sigma_{\mathrm{f}}-2 \mu \sigma_{3}-\sigma_{\mathrm{r}}}{E \varepsilon_{\mathrm{f}}-\sigma_{\mathrm{r}}}\right)\right]^{1 / m} \circ} $

(17)

当岩石试样达到峰值强度时，应力-应变曲线将由应变硬化转变为应变软化，应力增量等于0，需满足如下条件：

$ \frac{{\partial {\sigma _1}\left( {D, {\varepsilon _1}} \right)}}{{\partial {\varepsilon _1}}}{\rm{ }}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{\sigma _1} = {\sigma _{\rm{c}}}}\\ {{\varepsilon _1} = {\varepsilon _{\rm{r}}}} \end{array}} \right. = 0。$

(18)

结合式(15)和式(18)，可以得到：

$ E \times \exp (-\mathit{\Omega})\left[1-\left(E \varepsilon_{1}-\sigma_{\mathrm{r}}\right) \frac{m(1+R)}{F_{\mathrm{f}}} \mathit{\Omega}^{m}\right]=0 \text { 。} $

(19)

式(19)对于任意轴向应变ε₁始终成立的充分必要条件为：

$ 1-\left(E \varepsilon_{1}-\sigma_{\mathrm{r}}\right) \frac{m(1+R)}{F_{\mathrm{f}}} \mathit{\Omega}^{m}=0 。$

(20)

将式(16)代入式(20)中，可以得到参数m的表达式为：

$ m=-\frac{F_{\mathrm{f}} /(1+R)}{\left(E \varepsilon_{\mathrm{f}}-\sigma_{\mathrm{r}}\right) \ln \left(\frac{\sigma_{\mathrm{f}}-2 \mu \sigma_{3}-\sigma_{\mathrm{r}}}{E \varepsilon_{\mathrm{f}}-\sigma_{\mathrm{r}}}\right)} 。$

(21)

至此，可以建立材料参数m和F₀与岩石的峰值强度σ_f和对应轴向应变ε_f之间的联系。根据曹文贵^[17]研究，常规岩石动三轴试验获得的应力-应变关系通常表示为偏应力随偏应变的变化曲线，对应的峰值偏应力及其偏应变分别为$\bar{\sigma}_{\mathrm{f}}$ 和$\bar{\varepsilon}_{\mathrm{f}}$。在这种情况下，可以采用以下方法来确定岩石的动态峰值应力σ_f和轴向应变ε_f：

$ \left\{\begin{array}{l} \sigma_{\mathrm{f}}=\bar{\sigma}_{\mathrm{f}}+\sigma_{3} \\ \varepsilon_{\mathrm{f}}=\bar{\varepsilon}_{\mathrm{f}}+(1-2 \mu) \sigma_{3} / E \end{array}\right. 。$

(22)

准静态加载条件下红砂岩试样的峰值强度对应的轴向应变ε_f和残余强度σ_r随围压σ₃的变化规律分别如图 9和图 10所示。其中阴影区域为95%置信区间。可以看出，ε_f和σ_r与σ₃之间均有着良好的正相关线性关系，该规律同样适用于其他类型的岩石材料^[19]。

3 模型验证与分析 3.1 红砂岩

李海波^[2]利用自主研制的试验系统RMT401对红砂岩开展了中等应变率动三轴试验，研究了应变率和围压对岩石材料力学特性的影响，试验结果可被用于本研究模型的验证。试验由2部分组成：(1)在100 mm/s轴向加载速率下，改变围压探究其对中等应变率岩石强度特性影响；(2)在50 MPa围压下，改变加载速率探究岩石力学特性的应变率效应特征。红砂岩试样的密度为2 312 kg/m³，主要由石英、长石、方解石等矿物组成，模型需要的试样基本材料参数如表 1所示。

不同围压条件下红砂岩试样的三轴压缩试验结果和模型计算结果如图 11所示。由图可见，试验结果和模型计算结果十分接近。在低围压条件下(σ₃= 10 MPa和σ₃=20 MPa)，红砂岩试样的应力-应变曲线在达到峰值强度后存在明显的应力跌落现象，具有脆性破坏特点，并且在残余变形阶段依然保留部分承载力，本研究建立的岩石损伤模型能够较好地描述该特点。另外，试样的峰值强度σ_f，轴向应变ε_f，残余强度σ_r随着围压增大呈不同程度增长，由脆性破坏转变为延性破坏。

不同围压对应的损伤因子D随轴向应变ε₁的变化规律如图 12所示，由图可见，增大围压能在一定程度上抑制红砂岩试样的损伤破坏速率。在加载初始阶段红砂岩试样几乎不发生损伤，仅发生弹性变形，初始微裂纹可能被压密；进一步加载会导致D显著增大，试样内部将萌生大量随机分布的微裂纹，这些微裂纹的持续生长会导致岩石损伤并发生劈裂破坏。

不同应变率下红砂岩试样的应力-应变曲线试验结果和模型计算结果如图 13所示。在三轴压缩过程中，试样首先发生线弹性变形，随后进入损伤硬化阶段，在达到峰值强度后最终发生剪切破坏。试样的峰值强度会随应变率增大而增大，但应力跌落现象会随之减弱，这表明加载速率也会影响岩石的延性变形特征。可以看出，不同加载速率对应的模型计算结果与试验得到的红砂岩试验的应力-应变曲线十分接近，同时能够反映应变率对岩石微元强度和损伤因子的影响。通过不同加载条件下损伤因子的演变规律可以看出，应变率对红砂岩试样的损伤阈值有显著影响，损伤阈值可以反映岩石的宏观破坏模式，如由单破裂面逐渐转变为双破裂面^[8]。

3.2 盐岩

为进一步验证本研究建立的动态损伤模型对于不同类型岩石的适用性，采用方秦^[20]开展的均质盐岩三轴压缩试验结果进行验证，基本材料参数如表 1所示。不同围压和应变率下盐岩试验的动态峰值强度及其对应轴向应变和残余强度如表 2所示。由于试验结果无法确定残余强度，计算中残余强度选取经验值。

盐岩试样在不同围压和加载速率条件下的动态强度如图 14所示。当围压σ₃分别为5，15，25 MPa时，盐岩试样的准静态屈服应力σ_s分别为19.52，29.62，41.89 MPa。基于本研究提出的强度增效因子的概念，可以得到不同围压下试样的动态强度σ_d随应变率的变化规律，即在低应变率下σ_d近似等于σ_s，但在高应变率下会显著增大。在相同应变率下增大σ₃导致σ_d呈非线性增长，而在特定应力水平下，盐岩试样的σ_d会随着应变增大最终达到极限动态强度。

盐岩的三轴压缩试验结果和模型计算结果对比如图 15所示。由图可见，本研究模型与试验结果较为接近，这表明本研究模型能够较好地描述围压和应变率对盐岩试样的应力-应变曲线的影响。由图同时可见损伤因子随轴向应变的变化规律。作为对比，曹文贵^[17]提出的非线性动态强度准则岩石损伤模型是基于传统的Lemaitre等价应变性假设，仅考虑应变率对岩石微元强度的影响，无法描述试样的残余强度。而本研究建立的岩石动态损伤模型能在一定程度上克服该不足，即采用修正Lemaitre等价应变性假设^[19]来得到考虑残余强度的应力-应变关系，并且假定与应变率有关的强度增效因子和微元强度会共同影响岩石损伤因子的演变规律。根据计算结果，增大应变率能够在一定程度上抑制岩石试样的损伤破坏速率，其动态强度也有所增强。

3.3 复合岩体

为进一步说明本研究模型对于高应变率加载条件下岩石的动力学特征描述效果，利用赵洪宝^[36]开展的复合岩体的分离式霍普金森压杆试验结果进行对比分析(见图 16)，试验的最大应变率接近157 s^―1，属于高应变率加载，对应的材料参数如表 1所示。复合岩体的动态峰值强度随应变率的变化规律如图 16(a)所示，可以看出整体呈增长趋势，但增长速率逐渐减小，本研究提出的强度增效因子对此能够进行合理描述。另一方面，复合岩体的试验结果和模型计算结果对比如图 16(b)所示。可以看出在不同应变率条件下模型计算得到的动态峰值强度与试验结果接近，但在应变硬化阶段的模量明显偏大，主要原因或许与分离式霍普金森压杆试验和常规三轴试验的加载类型存在明显差异有关。但该计算结果表明即使在高应变率情形下本研究建立的动态损伤模型依然能够反映岩石的动力学特征。

4 结论

本研究提出了强度增效因子的力学概念用来描述岩石强度的应变率依存性，并在修正Lemaitre应变等价基础上建立了考虑残余强度的岩石动态损伤模型，将模型计算结果与红砂岩、盐岩和复合岩体试验结果进行对比分析，验证了模型的有效性。

(1) 岩石等脆性材料具有极限动态强度，在低应变率下强度增长缓慢，但在中-高应变率下会快速增长，整体呈“S”形变化规律。本研究提出的强度增效因子能够合理描述该变化特点，且适用于岩石、混凝土和堆石料等不同类型材料。

(2) 通过将强度增效因子引入岩石的微元强度和损伤因子的表达式中，能够整体反映加载速率对二者演变规律的影响。增大应变率会提高岩石的微元强度并减小其损伤速率，导致岩石的动态峰值强度明显上升，由脆性破坏转变为延性破坏。

(3) 岩石在完全损伤后依然会保留部分Helmholtz自由能，据此得到修正Lemaitre应变等价假设，建立了考虑残余强度的岩石动态损伤模型。该模型能够准确描述均质红砂岩等脆性岩石在不同围压和加载速率条件下的应力-应变关系及其内在损伤机制。