0 引言

土压力问题一直是岩土工程的经典问题之一^[1]。现有的土压力理论计算公式，大多不考虑中主应力对土压力的影响，得到的土压力并不符合实际情况；或者在土压力理论计算公式的公式中考虑了中主应力的影响，而对其抗剪强度指标往往是按Mohr-Coulomb(M-C)屈服准则求得，但由M-C屈服准则求得的抗剪强度指标没有考虑中主应力的影响，或者仅在抗剪强度指标中考虑中主应力，没有全面考虑中主应力对土压力的影响，这也与实际不符。

岩土材料的破坏和屈服是岩土工程中极为重要的问题，目前岩土材料常采用M-C屈服准则和Drucker-Prage(D-P)屈服准则^[2]。M-C屈服准则屈服面的形状在π平面上有棱角, 故此处塑性应变的方向是不确定的，且M-C屈服准则没有考虑中间主应力的影响^[3-4]，故计算较为保守。D-P屈服准则在π平面为圆，且表述简单，故作为M-C屈服准则的修正模型在岩土工程中得到广泛的应用^[5]。但D-P屈服准则不能反映极限面的拉伸子午线和压缩子午线的不同，故与实际不符^[6]，并且M-C屈服准则和D-P屈服准则均没有考虑中主应力的作用。俞茂宏^[7]在1991年提出的双剪统一强度理论，考虑了中间主应力的影响，用一个统一且简单的数学表达式表达了材料的强度性质，并在金属、岩土等各种材料上得到了广泛的应用^[8-11]。

廖红建^[12]、纪伟杰^[13]应用统一强度理论和等效附加围压理论，考虑中间主应力和筋材对土体强度的作用，建立了加筋土挡墙三维应力状态下的土压力计算式；谢群丹^[14]、张健^[15]利用双剪统一强度主应力表达式和经典的朗肯土压力分析原理提出了新的土压力计算方法，并且把朗肯土压力理论视为在中主应力影响系数b=0的特例，解决了在朗肯土压力中没有考虑到中主应力的问题。

关晓迪^[16]基于双剪统一强度理论，认为围岩的环向正向力为中主应力，推导得到统一内摩擦角和黏聚力，解决了竖井围岩土压力没有中主应力的问题；杨继强^[17]将地基土达到极限平衡状态时的屈服准则由原来的M-C屈服准则替换为考虑中主应力作用的双剪统一强度理论，解决了传统地基承载力公式中没有考虑中主应力影响的问题；陈秋南^[18]基于双剪统一强度理论理论，考虑在平面应变情况下的，导出了考虑中主应力的双剪内摩擦角和双剪黏聚力，并用于加筋土挡墙的土压力计算中。上述都是基于双剪统一强度理论导出内摩擦角和黏聚力，用来替换M-C屈服准则下的内摩擦角和黏聚力，实现了中主应力对土压力的作用，该方法较为简单，具有一定的普遍性。

本研究基于考虑中主应力的D-P系列屈服准则研究^[19]，通过考虑b的D-P屈服准则与M-C屈服准则特殊位置的关系(相关联法则下为M-C内切圆；非相关联法则下为M-C匹配D-P圆)，提出了在6种考虑中主应力影响系数b的D-P屈服准则下抗剪强度指标；同时，在土压力公式的推求中，通过双剪统一强度理论主应力表示形式推导得到考虑中主应力的主动和被动土压力的计算公式。在计算土压力时，综合考虑中主应力对抗剪强度指标与土压力的影响，抗剪强度指标采用中主应力抗剪强度指标，最终得到微观和宏观都考虑中间主应力的土压力的计算公式，能够更好地发挥土的强度潜力。

1 双剪统一强度理论

俞茂宏^[7]于1991年提出了统一强度理论，其数学表达式为：

$ \begin{gathered} F^{\prime}=\tau_{13}+b \tau_{23}+\beta\left(\sigma_{13}+b \sigma_{23}\right)=f_1+b f_2^{\prime}+b f_3^{\prime}= \\ f\left(\tau_{12}+\beta \sigma_{12} \leqslant \tau_{23}+\beta \sigma_{23}\right), \end{gathered} $

(1)

$ \begin{gathered} F=\tau_{13}+b \tau_{12}+\beta\left(\sigma_{13}+b \sigma_{12}\right)=f_1+b f_2+\beta f_3= \\ f\left(\tau_{12}+\beta \sigma_{12} \geqslant \tau_{23}+\beta \sigma_{23}\right), \end{gathered} $

(2)

式中，τ₁₂，τ₁₃，τ₂₃为3个主剪应力；σ₁₂，σ₁₃，σ₂₃依次为3个主剪应力面上的正应力；β为反映正应力对材料破坏的影响系数；f为材料的强度参数；f₁，f₂，f′₂，f₃，f′₃分别为τ₁₃，τ₁₂，τ₂₃，σ₁₃与σ₁₂，σ₁₃与σ₁₃作用的强度判据; b为中主应力影响系数。b实际上是不同强度准则的参数，b=0则为M-C屈服准则，为双剪应力统一强度理论的下限；b=1则为双剪应力强度理论，为双剪应力统一强度理论的上限。当β=0时，可得出双剪应力统一屈服准则，若β=0和b=0，则为Tresca单剪应力屈服准则，为双剪应力统一屈服准则下限；若β=0和b=1，则为双剪应力屈服准则，为双剪应力统一屈服准则的上限。

2 考虑双剪中主应力的抗剪强度指标 2.1 考虑参数b的D-P系列屈服准则

高江平^[19]提出考虑中主应力影响系数b的D-P系列屈服准则，其屈服面在π平面上的极限线均为圆，得到6个与双剪统一强度理论的π平面极限线有特殊位置关系的D-P系列屈服准则，分别为双剪外角点外接圆(DDP1)、双剪内角点外接圆(DDP2)、双剪内切圆(DDP3)、双剪等面积圆(DDP4)、双剪非关联匹配圆(DDP5)、双剪中间角点外接圆(DDP6)。

通过联立D-P屈服函数关系式和双剪统一强度理论的应力的不变量形式，参考文献[19]得到考虑中主应力影响系数b的D-P系列准则的材料强度参数，DDP1，DDP2，DDP3，DDP4，DDP5，DDP6的材料强度参数如表 1所示。

2.2 考虑b的D-P屈服准则与M-C屈服准则的关系 2.2.1 考虑b的D-P屈服准则与扩展D-P屈服准则的关系

扩展D-P模型根据屈服面在子午面和平面形状的不同分为有3种形式，分别为线性模型、双曲线模型和指数模型，其中线性模型的屈服函数p－t在坐标系下的表达式为^[20]:

$ \left\{\begin{array}{l} F=t-p \tan \eta-d=0 \\ t=\frac{q}{2}\left[1+\frac{1}{\kappa}-\left(1-\frac{1}{\kappa}\right)\left(\frac{r}{q}\right)\right] \end{array}\right., $

(3)

式中，t是另一种形式的偏应力，反映中主应力的影响；η是屈服面在p－t应力空间的倾角，与内摩擦角有关；p为平均中主应力；q为广义剪应力；κ是三轴拉伸强度和三轴压缩强度之比，反映中主应力对材料屈服的影响; d是屈服面在p－t应力空间t轴的截距，可以看做是另一种形式的黏聚力；r为影响线性D-P模型形状的参数。

对于平面应变问题，可以假定κ=1，此时t=q可得：

$ F=q-p \tan \eta-d=0 \text { 。} $

(4)

考虑b的D-P系列屈服准则在应力空间的表达式为^[19]：

$ F=q-p\left(3 \sqrt{3} a_i\right)-\sqrt{3} k_i=0 \text { 。} $

(5)

联立式(4)和式(5)可以得到考虑b的D-P模型的材料强度参数a_i和k_i的关系与扩展D-P模型的强度参数η和d。

$ \left\{\begin{array}{l} \eta=\arctan \left(3 \sqrt{3} a_i\right) \\ d=\sqrt{3} k_i \end{array}\right.。$

(6)

2.2.2 扩展D-P屈服准则与M-C屈服准则的关系

扩展D-P模型与M-C模型的参数并不相等。但2个模型之间的参数可以相互转换。对于平面应变问题，可以假定k=1，D-P模型与M-C模型的参数有如下关系^[20]：

对于非关联的流动法则，

$ \left\{\begin{array}{l} \eta=\arctan \left(\sqrt{3} \sin \varphi_i\right) \\ d=\sqrt{3} c_i \cos \varphi_i \end{array}, \right. $

(7)

式中，φ_i和c_i为非关联的流动法则下，考虑b的D-P系列屈服相对应的土的抗剪强度指标。

联立式(6)与式(7)，可得在非关联的流动法则下考虑b的D-P系列屈服与M-C屈服准则的关系：

$ \left\{\begin{array}{l} a_i=\frac{\sin \varphi_i}{3} \\ k_i=c_i \cos \varphi_i \end{array}\right.。$

(8)

对于关联的流动法则，

$ \left\{\begin{array}{l} \eta=\arctan \frac{\sqrt{3} \sin \varphi_i^{\prime}}{\sqrt{1+\frac{1}{3} \sin ^2 \varphi_i^{\prime}}} \\ d=\frac{\sqrt{3} c_i^{\prime} \cos \varphi^{\prime}}{\sqrt{1+\frac{1}{3} \sin ^2 \varphi_i^{\prime}}} \end{array}, \right. $

(9)

式中，φ′_i和c′_i为关联的流动法则下，考虑b的D-P系列屈服相对应的土的抗剪强度指标。

联立式(6)与式(9)，可得在关联的流动法则下考虑b的D-P系列屈服与M-C屈服准则的关系：

$ \left\{\begin{array}{l} a_i=\frac{\sin \varphi_i^{\prime}}{\sqrt{3} \sqrt{3+\sin ^2 \varphi_i^{\prime}}} \\ k_i=\frac{3 c_i^{\prime} \cos \varphi_i^{\prime}}{\sqrt{3} \sqrt{3+\sin ^2 \varphi_i^{\prime}}} \end{array}\right.。$

(10)

2.3 土的抗剪强度指标

在土压力计算中，常常用到是基于M-C强度的土体内摩擦角φ和黏聚力c，通过考虑b的D-P准则与M-C准则的关系，在非关联的流动法则和关联的流动法则下，可以得到与考虑中主应力影响系数b的D-P系列屈服准则的土抗剪强度指标，相应的屈服准则依次命名为DMC1，DMC2，DMC3，DMC4，DMC5，DMC6。

2.3.1 DMC1抗剪强度指标确定

对于非关联、关联的流动法则，由表 1的DDP1材料强度参数和式(8)、(10)可得：

$ \left\{\begin{array}{l} \varphi_1=\arcsin \frac{2 \sqrt{3} \sin \varphi}{3-\sin \varphi} \\ c_1=c \frac{\tan \varphi_1}{\tan \varphi} \end{array}\right., $

(11)

$ \left\{\begin{array}{l} \varphi_1^{\prime}=\arcsin \frac{2 \sqrt{3} \sin \varphi}{(3-\sin \varphi) \sqrt{1-\frac{4 \sin ^2 \varphi}{(3-\sin \varphi)^2}}} \\ c_1^{\prime}=c \frac{\tan \varphi_1^{\prime}}{\tan \varphi} \end{array}\right., $

(12)

式中，φ₁，c₁，φ′₁，c′₁为DMC1在非、关联流动法则下的抗剪强度指标。

2.3.2 DMC2抗剪强度指标确定

对于非关联、关联的流动法则，由表 1的DDP2材料强度参数和式(8)、(10)可得：

$ \left\{\begin{array}{l} \varphi_2=\arcsin \frac{2 \sqrt{3} \sin \varphi}{3+\sin \varphi} \\ c_2=c \frac{\tan \varphi_2}{\tan \varphi} \end{array}\right., $

(13)

$ \left\{\begin{array}{l} \varphi_2^{\prime}=\arcsin \frac{2 \sqrt{3} \sin \varphi}{(3+\sin \varphi) \sqrt{1-\frac{4 \sin ^2 \varphi}{(3+\sin \varphi)^2}}} \\ c_2^{\prime}=c \frac{\tan \varphi_2^{\prime}}{\tan \varphi} \end{array}\right., $

(14)

式中，φ₂，c₂，φ′₂，c′₂为DMC2在非、关联流动法则下的抗剪强度指标。

2.3.3 DMC3抗剪强度指标确定

对于非关联、关联的流动法则，由表 1的DDP3材料强度参数和式(8)、(9)可得：

$ \left\{\begin{array}{l} \varphi_3=\arcsin \frac{\sqrt{3}(1+b) \sin \varphi}{\sqrt{\left(b^2-b+1\right) \sin ^2 \varphi+6 b \sin \varphi+3\left(b^2+b+1\right)}}, \\ c_3=c \frac{\tan \varphi_3}{\tan \varphi} \end{array}\right. $

(15)

$ \left\{\begin{array}{l} \varphi_3^{\prime}=\arcsin \frac{\sqrt{3}(1+b) \sin \varphi}{\sqrt{\left[\left(b^2-b+1\right) \sin ^2 \varphi+6 b \sin \varphi+3\left(b^2+b+1\right)\right]}}. \\ \sqrt{1-\frac{1}{\left(b^2-b+1\right) \sin ^2 \varphi+6 b \sin \varphi+3\left(b^2+b+1\right)}}, \\ c_3^{\prime}=c \frac{\tan \varphi_3^{\prime}}{\tan \varphi} \end{array}\right. $

(16)

式中，φ₃，c₃，φ′₃，c′₃为DMC3在非、关联流动法则下的抗剪强度指标。当b=0，φ′₃=φ，c′₃=c即为M-C屈服准则的抗剪强度指标。

2.3.4 DMC4抗剪强度指标确定

对于非关联、关联的流动法则，由表 1的DDP4材料强度参数和式(8)、(10)可得：

$ \left\{\begin{array}{l} \varphi_4=\arcsin 6 \sqrt{\frac{3 \sqrt{3}(1+b) \sin ^2 \varphi\left(3-\sin ^2 \varphi\right)}{{\rm{\mathsf{π}}}\left(9-\sin ^2 \varphi\right)\left[18+9 b+(3 b-6) \sin ^2 \varphi\right]}}, \\ c_4=c \frac{\tan \varphi_4}{\tan \varphi} \end{array}\right. $

(17)

$ \left\{\begin{array}{l} \varphi_4^{\prime}=\arcsin 6 \sqrt{\frac{3 \sqrt{3}(1+b) \sin ^2 \varphi\left(3-\sin ^2 \varphi\right)}{{\rm{\mathsf{π}}}\left(9-\sin ^2 \varphi\right)\left[18+9 b+(3 b-6) \sin ^2 \varphi\right]}} .\\ \sqrt{\left(1-36 \frac{\sqrt{3}(1+b) \sin ^2 \varphi\left(3-\sin ^2 \varphi\right)}{{\rm{\mathsf{π}}}\left(9-\sin ^2 \varphi\right)\left[18+9 b+(3 b-6) \sin ^2 \varphi\right]}\right)} , \\ c_4^{\prime}=c \frac{\tan \varphi_4^{\prime}}{\tan \varphi} \end{array}\right. $

(18)

式中，φ₄，c₄，φ′₄，c′₄为DMC4在非、关联流动法则下的抗剪强度指标。

2.3.5 DMC5抗剪强度指标确定

对于非关联、关联的流动法则，由表 1的DDP5材料强度参数、式(8)、式(10)可得：

$ \left\{\begin{array}{l} \varphi_5=\arcsin \frac{2(1+b) \sin \varphi}{2+b+b \sin \varphi} \\ c_5=c \frac{\tan \varphi_5}{\tan \varphi} \end{array}\right., $

(19)

$ \left\{\begin{array}{l} \varphi_5^{\prime}=\arcsin \frac{2(1+b) \sin \varphi}{(2+b+b \sin \varphi) \sqrt{\left(1-\frac{4(1+b)^2 \sin ^2 \varphi}{3(2+b+b \sin \varphi)^2}\right)}}, \\ c_5^{\prime}=c \frac{\tan \varphi_5^{\prime}}{\tan \varphi} \end{array}\right. $

(20)

式中，φ₅、c₅、φ′₅、c′₅为DMC5在非、关联流动法则下的抗剪强度指标。当b=0，φ₅=φ，c₅=c即为M-C屈服准则的抗剪强度指标。

2.3.6 DMC6抗剪强度指标确定

对于非关联、关联的流动法则，由表 1的DDP6材料强度参数和式(8)、(10)可得：

$ \left\{\begin{array}{l} \varphi_6=\arcsin \frac{2 \sqrt{3}(1+b) \sin \varphi \sqrt{\sin ^2 \varphi+3}}{6+3 b+(b-2) \sin ^2 \varphi} \\ c_6=c \frac{\tan \varphi_6}{\tan \varphi} \end{array}\right., $

(21)

$ \left\{\begin{array}{l} \varphi_6^{\prime}=\arcsin \cdot \\ \frac{\sqrt{3}(1+b) \sin \varphi \sqrt{\left(\sin ^2 \varphi+3\right)}}{\left(6+3 b+(b-2) \sin ^2 \varphi\right) \sqrt{1-\frac{(1+b)^2 \sin ^2 \varphi\left(\sin ^2 \varphi+3\right)}{\left(6+3 b+(b-2) \sin ^2 \varphi\right)^2}}} \\ c_6^{\prime}=c \frac{\tan \varphi_6^{\prime}}{\tan \varphi} \end{array}\right., $

(22)

式中，φ₆，c₆，φ′₆，c′₆为DMC6在非、关联流动法则下的抗剪强度指标。

2.3.7 抗剪强度指标确定

中主应力影响系数b反映了中间主剪应力以及相应面上的正应力对材料破坏影响程度的权系数。随着b值增大，其所对应的极限线向外扩张，中主应力对材料屈服破坏的影响越大^[6]。

文献[7]根据平面应变统一滑移线场理论推导得到b值的计算公式：

$ \left\{\begin{array}{l} b=\frac{2\left(\sin \varphi_{s j}-\sin \varphi\right)}{2 \sin \varphi-(1+\sin \varphi) \sin \varphi_{s j}} \\ b=\frac{2\left(c \cos \varphi-c_{s j} \cos \varphi_{s j}\right)}{c_{s j} \cos \varphi_{s j}+\sin \varphi c_{s j} \cos \varphi_{s j}-2 c \cos \varphi} \end{array}\right., $

(23)

式中，φ_sj，c_sj为双剪统一强度理论的抗剪强度指标。

化简式(23), 式(19)与式(23)相同，因为DMC5的双剪非关联圆的位置与俞茂宏^[7]在平面应变条件下所推求的圆的位置相同。

由式(19)可知，双剪统一强度理论的抗剪强度指标φ_sj和c_sj均随着b值的增大而增大，分析考虑b的D-P系列屈服准则的抗剪强度指标和双剪统一强度理论的抗剪强度指标，本质上是几何位置的相对变化(见2.1节)，对其抗剪强度指标的影响规律具有一致性。故考虑b的D-P系列屈服准则的抗剪强度指标随着b的增大而增大，但DMC1和DMC2的抗剪强度指标不随着b的变化而变化，因为其求解公式中不含b，但更深层次的原因是DDP1与DMC1所对应的D-P重合，DDP2与DMC2所对应的D-P重合，具体实例可见本文算例。

3 基于双剪统一强度理论的土压力计算公式 3.1 双剪统一强度理论主应力形式

双剪统一强度理论具有多种数学表达式，其主应力表达式为：

$ F=\sigma_1-\frac{\alpha}{1+b}\left(b \sigma_2+\sigma_3\right)=\sigma_t\left(\sigma_2 \leqslant \frac{\sigma_1+a \sigma_3}{1+\alpha}\right), $

(24)

$ F^{\prime}=\frac{1}{1+b}\left(\sigma_1+b \sigma_2\right)-\alpha \sigma_3=\sigma_t\left(\sigma_2 \geqslant \frac{\sigma_1+\alpha \sigma_3}{1+\alpha}\right) 。$

(25)

采用岩土工程中常用的黏聚力c和内摩擦角φ，则有：

$ \left\{\begin{array}{l} \alpha=\frac{\sigma_t}{\sigma_c}=\frac{1-\sin \varphi}{1+\sin \varphi} \\ \sigma_{\mathrm{t}}=\frac{2 c \cos \varphi}{1+\sin \varphi} \end{array}, \right. $

(26)

式中，σ₁，σ₂和σ₃依次为第一，第二和第三主应力，σ₁≥σ₂≥σ₃，σ₂即为中间主应力；σ_t为拉伸强度极限；σ_c为抗压强度极限。

双剪统一强度理论既适用于金属材料，也适用于岩土材料，对于岩土材料，一般假设受压为正，故本文计算土压力时，以压应力为正。

联立式(24)、(25)和(26)，可得出用c和φ表示的双剪统一强度理论为：

$ \begin{aligned} & \sigma_1=\sigma_3(1+b) \tan ^2\left(45^{\circ}+\frac{\varphi}{2}\right)+\tan \left(45^{\circ}+\frac{\varphi}{2}\right) . \\ & 2 c(1+b)-b \sigma_2\left(\sigma_2 \leqslant \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}+\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} \sin \varphi\right), \end{aligned} $

(27)

$ \begin{gathered} \sigma_1=\sigma_3 \tan ^2\left(45^{\circ}+\frac{\varphi}{2}\right) \frac{1}{(1+b)}+\tan \left(45^{\circ}+\frac{\varphi}{2}\right) 2 c+ \\ \tan ^2\left(45^{\circ}+\frac{\varphi}{2}\right) \frac{b \sigma_2}{(1+b)}\left(\sigma_2 \geqslant \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}+\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} \sin \varphi\right) 。\end{gathered} $

(28)

3.2 双剪统一强度理论关系式的选用

把挡土墙视为半无限体，可把挡土墙视为平面应变问题进行研究，挡土墙在弹性限度内进行强度分析时，可由广义胡克定律来确定中间主应力。

由平面应变的弹性解答^[15]，可得到：

$ \sigma_2=v\left(\sigma_1+\sigma_3\right), $

(29)

式中v为材料的泊松比。

本研究分析情况下v的取值范围为0~0.5，故可得：$\sigma_2=v\left(\sigma_1+\sigma_3\right) \leqslant \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2} \leqslant \frac{\sigma_1+\sigma_3}{2}+\frac{\sigma_1-\sigma_3}{2} \sin \varphi$，满足式(27)条件，故下文土压力公式推导时选用式(27)。

3.3 土压力理论公式 3.3.1 主动土压力

分析土中一点应力关系可得：

$ \left\{\begin{array}{l} \sigma_1=\gamma z \\ \sigma_2=v\left(\sigma_1+\sigma_3\right) \end{array}\right., $

(30)

式中，γ为土的重度；z为计算点深度。

将式(30)代入(27)，可得主动土压力强度p_a：

$ \begin{gathered} p_{\mathrm{a}}=\sigma_3= \\ {\left[\gamma z \tan ^2\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{2}\right)(1+b v)-2 c \tan \left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{2}\right)(1+b)\right] \cdot} \\ {\left[1+b-\tan ^2\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{2}\right) b v\right]^{-1}}。\end{gathered} $

(31)

当b=0时,

$ p_{\mathrm{a}}=\gamma z \tan ^2\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{2}\right)-2 c \tan \left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{2}\right) 。$

(32)

式(32)为朗肯主动土压力强度公式，故朗肯主动土压力强度为式(31)的一个特例，在b，c，φ，v一定的条件下，p_a沿墙高呈线性分布。

黏性土的主动土压力由2部分组成：第1部分为土重γz产生的土压力，为正值，随深度呈线性分布；第2部分为黏聚力c产生的抗力, 为负值，沿深度大小为c相关的定值。二者综合为真正的土压力。实际工程中忽略填土之间抗拉强度，故计算主动土压力时应略去这部分受拉的土压力。故受拉区高度h可由p_a=0得出，即：

$ \left\{\begin{array}{l} h=k_1 \frac{2 c}{\tan \left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{2}\right) \gamma} \\ k_1=\frac{1+b}{1+b v} \end{array}\right.。$

(33)

可见，受拉区高度h受b影响，在v为0~0.5时，h随着b值的增大而增高。

若挡土墙的高度为H，则主动土压力E_a为：

$ \left\{\begin{array}{l} E_{\mathrm{a}}=\frac{1}{2} k_2 \tan ^2\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{2}\right) \gamma(H-h) 2 \\ k_2=\frac{1+b v}{1+b-\tan ^2\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{2}\right) b v} \end{array}\right.。$

(34)

E_a作用点与墙底距离为$y_a=\frac{1}{3}(H-h)$。

3.3.2 被动土压力

分析土中一点应力关系可得：

$ \left\{\begin{array}{l} \sigma_3=\gamma z \\ \sigma_2=v\left(\sigma_1+\sigma_3\right) \end{array}\right.。$

(35)

将式(35)代入(27)，可得被动土压力强度p_p：

$ \begin{gathered} p_{\mathrm{p}}=\sigma_1=\left[\gamma h\left(1+b-\tan ^2\left(45^{\circ}-\frac{\varphi}{2}\right) b v\right) \tan ^2\left(45^{\circ}+\frac{\varphi}{2}\right)+\right. \\ \left.2 c \tan \left(45^{\circ}+\frac{\varphi}{2}\right)(1+b)\right] /(1+b v) 。\end{gathered} $

(36)

当b=0时，

$ p_{\mathrm{p}}=\gamma h \tan ^2\left(45^{\circ}+\frac{\varphi}{2}\right)+2 c \tan \left(45^{\circ}+\frac{\varphi}{2}\right) 。$

(37)

式(37)为朗肯被动土压力强度公式，故朗肯被动土压力为式(36)的一个特例，在b，c，φ，v一定的条件下，p_p沿墙高呈线性分布，且p_p随b值的增大而增大。

被动土压力E_p为：

$ E_{\mathrm{p}}=\frac{1}{2 k_2} \tan ^2\left(45^{\circ}+\frac{\varphi}{2}\right) \gamma H^2+2 c \tan \left(45^{\circ}+\frac{\varphi}{2}\right) k_1 H_{\circ} $

(38)

E_p作用点与墙底距离为$y_{\mathrm{p}}=\frac{\gamma H^3+6 c k_1 k_2 H^2}{3 \gamma H^2+12 c k_1 k_2 H}$。

3.3.3 中主应力对土压力的影响机制

朗肯土压力计算公式是在不考虑中主应力所推求得到的。

对于主动土压力，分析式(34)和朗肯主动土压力计算公式可得：受拉区高度h相差系数k₁以及整体相差系数k₂。可得，随着b值增大，k₁增大，受拉区高度h也随着增大；v的取值范围为0~0.5，故随着b值的增大，k₂减小。故主动土压力E_a随着b值的增大而减小。

对于被动土压力，分析式(38)和朗肯被动土压力计算公式可得：分别在2个分项上相差2个系数$\frac{1}{k_2}$和k₁，故被动土压力E_p随着b值的增大而增大。

3.3.4 中主应力对土压力的综合影响

在计算土压力时，综合考虑中主应力对抗剪强度指标与土压力的影响。将主、被动土压力计算公式(式(34)、(38))中的抗剪强度指标φ和c替换为考虑中主应力的抗剪强度指标，对于非关联的流动法则的抗剪强度指标替换为φ_i和c_i，对于关联的流动法则的抗剪强度指标替换为φ′_i和c′_i, 即土的抗剪强度指标考虑了中主应力的影响，在土压力公式中也考虑了中主应力的影响，最终得到微观和宏观都考虑中间主应力的土压力的计算公式，能够更好地发挥土的强度潜力。

4 算例与分析

已知某挡土墙高10 m, 填土的物理力学指标为土重度γ=20kN/m3，内摩擦角φ=20°，黏聚力c=12 kPa，泊松比v=0.4。

4.1 考虑b值的DMC的抗剪强度指标 4.1.1 内摩擦角和黏聚力求解

利用式(11)、(13)、(15)、(17)、(19)和(21)计算非关联法则下的内摩擦角和黏聚力，不同b值下的内摩擦角和黏聚力如表 2所示；利用式(12)、(14)、(16)、(18)、(20)和(22)计算关联法则下的内摩擦角和黏聚力，不同b值下的内摩擦角和黏聚力如表 3所示。

4.1.2 参数分析

由表 2、3可以看出，对于相同的DMC模型，关联流动法则与非关联流动法则相比，前者得到土的抗剪强度指标更大；当b=0时，非关联的DMC5和关联的DMC3所得的抗剪强度指标与M-C所得的抗剪强度指标相同，从式(19)和式(16)也可看出，其更深层次的原因就是前文考虑b的D-P屈服准则与M-C屈服准则转换时，非关联流动法则和关联流动法则下分别对应b=0时的DDP5和DDP3屈服准则与M-C屈服准则的位置关系；DMC1和DMC2的内摩擦角和黏聚力均不随着b值而改变，因为他们的求解公式(见式(11)~ (14)里不含b值，对于DMC3, DMC4, DMC5, DMC6，b值对内摩擦角和黏聚力都有显著的影响，均随着b值的增大而增大。

4.2 土压力计算分析 4.2.1 主动土压力和被动土压力求解

利用式(34)和表 2、3的数据计算非关联、关联流动法则则下的主动土压力，不同b值下的主动土压力如图 1所示。利用式(38)和表 2、3的数据计算非关联法则下的被动土压力，不同b值下的被动土压力如图 2所示。

4.2.2 土压力分析

由图 1、图 2可知，在关联流动法则和非关联流动法则下，b对主、被动土压力的影响具有相似的规律，主动土压力随着b值的增大呈非线性减小，被动土压力随着b值的增大呈非线性增大；DMC1和DMC2曲线趋势较为稳定，因为填土材料的抗剪强度指标不随着b而变化(见式(11)~ (14))，只有主、被动土压力计算公式中考虑了土体的中主应力对主、被动土压力的影响。可以看出，当b=0时，在非关联条件下DMC5求得的主、被动土压力与朗肯主、被动土压力相等；在关联条件下，DMC3求得的主、被动土压力与朗肯主、被动土压力相等。这是因为此时关联条件下的DMC5和非关联条件下的DMC3的抗剪强度指标与M-C屈服准则的抗剪强度指标等同，缘由上文已经给出。当0 < b≤1时，朗肯主动土压力总大于DMC系列模型求得的主动土压力，朗肯被动土压力总小于DMC系列模型求得的被土压力。在非关联条件下，当0≤b≤0.6时，DMC1为主动土压力的下限，或被动土压力的上限，DMC3为主动土压力的上限，或被动土压力的下限；当b逐渐接近1时，DMC6替代了DMC1，成为了主动土压力的下限或被动土压力的上限。在关联条件下，当0≤b≤0.8时，DMC1为主动土压力的下限，或被动土压力的上限，DMC3为主动土压力的上限，或被动土压力的下限；当b逐渐接近1时，DMC6替代了DMC1，成为了主动土压力的下限或被动土压力的上限。

综上分析，DMC1和DMC2里中主应力对土压力的影响只表现在土压力计算公式上，采用DMC3，DMC4，DMC5，DMC6计算土压力时，填土抗剪强度指标和土压力计算公式均考虑了中主应力的影响。经典朗肯主、被动土压力公式是本研究考虑中主应力影响的主、被动土压力的一个特例，朗肯主动土压力较本研究土压力模型计算结果偏大，说明综合考虑中间主应力影响的主动土压力计算结果能够更好地发挥土的强度潜能；朗肯被动土压力较本文土压力模型计算结果偏小，此时若采用不考虑中间主应力影响的朗肯被动土压力进行支挡结构设计，误差较大，且偏于不安全设计。

5 结论

本研究通过理论推导，考虑中主应力对内摩擦角和黏聚力的影响，对主、被动土压力展开详细的研究，得出以下结论。

(1) 除了DMC1和DMC2的内摩擦角和黏聚力不随着b值的变化外，在DMC3，DMC4，DMC5和DMC6中，b值对内摩擦角和黏聚力均有显著的影响，即两者均随b值的增大呈非线性增大；与传统的M-C屈服准则相比，考虑了中间主应力对土屈服破坏的影响，可以更充分发挥土的强度潜力。

(2) 综合考虑中主应力对土抗剪强度指标与土压力的影响时，在6个土压力计算模型中，主动土压力均随着b值的增大呈非线性减小，被动土压力力均随着b值的增大呈非线性增大。在非关联条件下，当0≤b≤0.6时，DMC1为主动土压力的下限，或被动土压力的上限，DMC3为主动土压力的上限，或被动土压力的下限；当b逐渐接近1时，DMC6替代了DMC1，成为了主动土压力的下限或被动土压力的上限。在关联条件下，当0≤b≤0.8时，DMC1为主动土压力的下限，或被动土压力的上限，DMC3为主动土压力的上限，或被动土压力的下限；当b逐渐接近1时，DMC6替代了DMC1，成为了主动土压力的下限或被动土压力的上限。

(3) 朗肯主动土压力较本研究土压力模型偏大，说明综合考虑中间主应力影响的主动土压力计算结果能够更好的发挥土的强度潜能；朗肯被动土压力较本研究土压力模型计算结果偏小，此时若采用不考虑中间主应力影响的朗肯被动土压力进行支挡结构设计，误差较大，且偏于不安全设计。