2025, Vol. 42扩展功能
文章信息
- 许准, 王祺顺, 何维.
- XU Zhun, WANG Qishun, HE Wei
- 基于Copula函数的钢管混凝土拱桥系统地震易损性分析
- Copula function based seismic fragility analysis on concrete-filled steel tube arch bridge system
- 公路交通科技, 2025, 42(7): 152-162
- Journal of Highway and Transportation Research and Denelopment, 2025, 42(7): 152-162
- 10.3969/j.issn.1002-0268.2025.07.016
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文章历史
- 收稿日期: 2024-08-27
2. 湖南省交通科学研究院有限公司, 湖南 长沙 410014;
3. 交通建设工程湖南省重点实验室, 湖南 长沙 410014;
4. 湖南大学 土木工程学院, 湖南 长沙 410015;
5. 广西大学 土木工程学院, 广西 南宁 530000
2. Hunan Provincial Academy of Transportation Sciences Co., Ltd., Changsha, Hunan 410014, China;
3. Hunan Provincial Key Laboratory of Transportation Construction Engineering, Changsha, Hunan 410014, China;
4. College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha, Hunan 410015, China;
5. School of Civil Engineering, Guangxi University, Nanning, Guangxi 530000, China
由于拱桥具有跨越能力强、强度大及施工便捷等特点，在中国西部山区得到了广泛应用[1-2]。中国西部地区是地震多发地带，作为交通网络关键位置的钢管混凝土拱桥，在地震作用下一旦发生损坏，将很难维修，因此研究拱桥抗震性对确保交通网络的安全运营至关重要。研究钢管混凝土拱桥的抗震性能对抗震设计、加固、应急救援及灾后重建具有重要的指导意义。
当前主要采用地震易损性来衡量桥梁的抗震性能，以往对于钢管混凝土拱桥地震易损性的研究大多基于构件层面或简单的相关性处理[3-4]。黄飞鸿[5]基于增量动力分析法对下承式钢管混凝土拱桥的地震易损性进行了分析，其通过采用赋予构件不同权重的方式对系统地震易损性进行了分析；卓卫东[6]基于增量动力分析法，根据线弹性时程分析结果确定易损部位，分析了拱桥拱肋、吊杆及系杆等构件的地震易损性；刘震[7]通过概率分析方法对中承式钢管混凝土拱桥的地震易损性进行了研究，并分析了地震震级及震源距离对地震易损性的影响。上述学者对构件易损性进行了充分研究，鲜有考虑构件之间相关性的系统地震易损性研究。地震影响下，钢管混凝土拱桥拱肋、主梁、立柱及吊杆等构件是相互影响的，如何准确地描述构件之间的相关性是钢管混凝土拱桥系统地震易损性评估过程中亟需解决的难点之一。
对于构件地震影响的相关性问题，通常假定构件之间完全相关或不相关，以此确定桥梁系统易损性的上界限和下界限。然而，随着构件数量的增加，结构体系上、下界限逐步变宽，进而高估或低估桥梁的系统易损性[8-9]。另外，蒙特卡洛抽样法也被广泛应用于求解系统地震易损性，但是该方法需要进行大量的抽样以确保结果的准确性，大量计算导致分析效率偏低[10]。
随着概率统计相关理论的发展，Copula函数理论已被逐步应用于机械、电气、土木和水利等领域变量之间的相关性分析[11]。Copula理论可准确描述随机变量之间的线性关系和非线性关系，且可得到多维、复杂的联合分布函数，为拱桥系统地震易损性的探究提供了一种新思路。现阶段，Copula理论在桥梁系统地震易损性方面鲜有研究[12]。何浩祥[13]基于Copula理论，将由多个构件组成的连续梁桥视为三元串联系统，建立了考虑构件相关性的连续梁桥系统地震易损性求解模型；宋帅[14]基于Pair-Copula理论，利用AIC准则与BIC准则进行优化，建立了斜拉桥系统地震易损性分析模型。然而，目前未见将Copula理论应用于钢管混凝土拱桥系统地震易损性的研究。
由于钢管混凝土拱桥结构复杂，构件数量众多，导致计算过程中联合分布函数维数较高，采用传统方法计算量极大且难以考虑构件之间的相关性，而D藤Copula函数在处理高维问题时，计算效率及精度较高[15]，并且可以利用D藤Copula函数描述各构件之间的相依关系，从而实现考虑构件相关性的桥梁系统地震易损性评估。首先，根据桥梁所处的场地条件及构件特性，合理地选择地震动及结构不确定性参数，采用拉丁超立方法构建桥梁-地震动样本对，根据地震易损性理论，得到各构件的地震易损性曲线；采用试算法确定备选Pair-Copula函数组合，采用最大似然估计法得到备选函数的参数，基于AIC准则与BIC准则筛选得到最优Copula函数；最后通过分层迭代可得到D藤每棵树下的最优Pair-Copula函数，以此建立钢管混凝土拱桥系统地震易损评估模型。
1 桥梁系统地震易损性分析 1.1 构件易损性通常采用概率地震需求分析方法分析桥梁构件易损性，其数学表达式为：
| $ P_{\mathrm{f}}\left(X_i, I\right)=P\left(S_{\mathrm{d}}-S_{\mathrm{c}} \geqslant 0 \mid I\right), $ | (1) |
式中，Pf为易损性超越概率；Xi为第i个构件；I为地震动强度；Sd和Sc分别为地震需求和抗震性能指标。
在一定的I下，Sd和Sc均服从对数正态分布[16-17]，因此Sd和Sc的关系可表示为：
| $ \ln S_{\mathrm{d}}-\ln S_{\mathrm{c}} \sim N\left(\mu_{\mathrm{d}}-\mu_{\mathrm{c}}, \beta_{\mathrm{d}}^2+\beta_{\mathrm{c}}^2\right), $ | (2) |
式中，μd和βd分别为Sd的均值及对数标准差；μc和βc分别为Sc的均值及对数标准差；N为正态分布。
由相关理论可知，地震需求均值μd与I之间服从对数关系[18]：
| $ \ln \mu_{\mathrm{d}}=m \ln I+n, $ | (3) |
式中m和n均为拟合系数，可通过线性回归分析得到。
根据中心极限定理，结构构件的失效概率可表示为：
| $ P_{\mathrm{f}}=\varPhi\left[-\frac{\ln \left(\mu_{\mathrm{c}} / \mu_{\mathrm{d}}\right)}{\sqrt{\beta_{\mathrm{c}}^2+\beta_{\mathrm{d}}^2}}\right], $ | (4) |
式中Φ(·)为标准正态分布函数。
将式(3)代入式(4)可得到桥梁构件的地震易损性函数为：
| $ P_{\mathrm{f}}=\varPhi\left[\frac{m \ln I-\ln \mu_{\mathrm{c}}+n}{\sqrt{\beta_{\mathrm{c}}^2+\beta_{\mathrm{d}}^2}}\right] 。$ | (5) |
地震动强度主要包括地震峰值加速度和谱加速度，由于地震峰值加速度与中国抗震规范的相关性较大，故本研究采用地震峰值加速度作为地震动强度的自变量，此时，
拱桥的抗震系统主要由拱肋、主梁、吊杆及立柱等多个构件组成，任意构件的损坏都将影响桥梁系统的抗震性能。因此，可将拱桥系统易损性视为由拱肋、主梁、吊杆及立柱等多个构件组成的串并联系统，进而可得到系统易损性的数学表达式为[20]：
| $ \begin{gathered} P_{\mathrm{f}}=\sum\limits_{i=1}^m P_{\mathrm{f}}\left(X_i, I\right)-\sum\limits_{1 \leqslant i \leqslant j \leqslant m} P_{\mathrm{f}}\left(X_i, X_j, I\right)+\cdots+ \\ \quad(-1)^{m-1} P_{\mathrm{f}}\left(X_1, X_2, \cdots, X_m, I\right), \end{gathered} $ | (6) |
式中，Pf(X1, X2, …, Xm, I)为个构件同时发生破坏的概率。直接求解式(6)的计算十分繁琐，为简化计算，将Pf(X1, X2, …, Xm, I)视为任意构件达到某一损伤等级的概率，其补集为所有构件均未达到改损伤等级的概率，因此，式(6)可进一步表示为式(7)，构件无损概率计算如式(8)所示。
| $ P_{\mathrm{f}}=1-P_{\mathrm{r}}\left(X_1, X_2, \cdots, X_m, I\right), $ | (7) |
| $ P_{\mathrm{r}}=1-P_{\mathrm{f}}=\varPhi\left[-\frac{m \ln (I)-\ln \left(\mu_{\mathrm{c}}\right)+n}{\sqrt{\beta_{\mathrm{c}}^2+\beta_{\mathrm{d}}^2}}\right], $ | (8) |
式中Pr为构件无损的概率。
2 D藤Copula法的系统易损性分析 2.1 藤-Copula函数藤-Copula是主要基于Pair-Copula理论推导得到，采用藤结构可以将多维变量通过降维的方式降低建模难度，即将多个随机变量间的相关性分解为多个二维随机变量间的相关性[21]。假设二维随机变量X= (X1, X2)的联合分布函数为F (X1, X2)，u1和u2分别为随机变量X的边缘分布函数，即u1=F (X1)，u2=F (X2)。由Sklar理论可知，对于任意的随机变量x= (x1, x2)，均存在Pair-Copula函数，满足式(9)：
| $ \left\{\begin{array}{l} F\left(x_1, x_2\right)=C\left[F_1\left(x_1\right), F_1\left(x_2\right) ; \theta\right]=C\left(u_1, u_2 ; \theta\right) \\ f\left(x_1, x_2\right)=c\left(u_1, u_2\right) \cdot f\left(x_1\right) \cdot f\left(x_2\right) \end{array}, \right. $ | (9) |
式中，f (·)为概率密度函数；F (·)为概率分布函数；C为Copula函数；θ为Copula参数，不同Copula函数的参数取值范围不同，具体如表 1所示。c= (u1, u2)为Pair-copula密度函数，常用Pair-Copula函数的分布函数表达式、生成元及参数取值范围见表 1[22]。将二维扩展到高维可得式(10)，对Copula函数进行求偏导可得式(11)。
| $ \left\{\begin{array}{l} F\left(x_1, x_2, \cdots, x_d\right)=C\left[F_1\left(x_1\right), F_1\left(x_2\right), \cdots, F_d\left(x_d\right)\right] \\ f\left(x_1, x_2, \cdots, x_d\right)=c\left[F_1\left(x_1\right), F_1\left(x_2\right), \cdots, F_d\left(x_d\right)\right] \cdot\\ \prod\limits_{i=1}^d f_i\left(x_i\right) \end{array}\right., $ | (10) |
| $ c\left(u_1, u_2, \cdots, u_d\right)=\frac{\partial C\left(u_1, u_2, \cdots, u_d\right)}{\partial u_1 \partial u_2, \cdots, \partial u_d} 。$ | (11) |
| Copula函数 | 函数表达式c=(u1, u2; θ) | 生成元函数φ(t) | 参数θ取值范围 |
| Gaussian | — | (-1, 1) | |
| Clayton | (0, +∞) | ||
| Gumbel | [1, +∞) | ||
| Frank | (-∞, +∞) |
藤结构有多种分解方式，其中C藤与D藤应用较为广泛[23]。D藤的结构逻辑如图 1所示，图中Cn为第n个Copula函数。由图 1可见，D藤所描述的相关性为平行结构，而桥梁构件之间的易损性为并列关系，与D藤的特点相符，故本研究采用D藤描述构件地震易损性之间的相依性。
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| 图 1 D藤结构逻辑图 Fig. 1 D-vine structure logic diagram |
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对于三维变量x= (x1, x2, x3)，其联合函数可分解为：
| $ f\left(x_1, x_2, x_3\right)=f\left(x_3 \mid x_2, x_1\right) \cdot f\left(x_2 \mid x_1\right) \cdot f\left(x_1\right) 。$ | (12) |
式(12)可由多个二维Pair-Copula函数表示为：
| $ \begin{gathered} f\left(x_1, x_2, x_3\right)=c\left(u_1, u_2\right) \cdot c\left(u_3, u_2\right) \cdot \\ c\left[F\left(x_3 \mid x_2\right), F\left(x_1 \mid x_2\right)\right] \cdot f\left(x_3\right) \cdot f\left(x_2\right) \cdot f\left(x_1\right) 。\end{gathered} $ | (13) |
将式(13)扩展到高维：
| $ \begin{gathered} f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\prod\limits_{k=1}^n f_k\left(x_k\right) \cdot \prod\limits_{i=1}^{n-1} \prod\limits_{j=1}^{n-i} c_{i, i+j \mid j+1, \cdots, i+j-1} \cdot \\ {\left[F\left(x_i \mid x_1, \cdots, x_{i-1}\right), F\left(x_{i+j} \mid x_1, \cdots, x_{i-1}\right)\right]}。\end{gathered} $ | (14) |
式(14)中，每个Pair-Copula概率密度函
| $ F(x \mid \boldsymbol{u})=\frac{\partial C_{x, \boldsymbol{u}_i \mid \boldsymbol{u}_{-i}}\left[F\left(x \mid \boldsymbol{u}_{-i}\right), F\left(\boldsymbol{u}_i \mid \boldsymbol{u}_{-i}\right)\right]}{\partial F\left(\boldsymbol{u}_i \mid \boldsymbol{u}_{-i}\right)}, $ | (15) |
式中ui为d维向量u的一个分量。
2.2 Pair-Copula参数估计Pair-Copula函数的参数估计方法主要包括非参数法与极大似然估计法2大类[24-25]，本研究采用极大似然估计法进行参数估计。随机变量样本的似然函数可表示为：
| $ \begin{gathered} L(\theta)=\prod\limits_{i=1}^n c\left[F_1\left(x_{1, i}\right), F_2\left(x_{2, i}\right) ; \theta\right] \cdot \\ f_1\left(x_{1, i}\right) \cdot f_2\left(x_{2, i}\right)。\end{gathered} $ | (16) |
对式(16)取对数可得式(17)，通过式(18)求得Pair-Copula参数：
| $ \begin{gathered} \ln L(\theta)=\sum\limits_{i=1}^n \ln c\left[F_1\left(x_{1, i}\right), F_2\left(x_{2, i}\right) ; \theta\right]+ \\ \sum\limits_{i=1}^n \ln f_1\left(x_{1, i}\right)+\sum\limits_{i=1}^n \ln f_2\left(x_{2, i}\right), \end{gathered} $ | (17) |
| $ \theta=\operatorname{argmax} \ln L(\theta) \text { 。} $ | (18) |
由于Pair-Copula函数种类多样，为提高Pair-Copula分层迭代模型的精度，需确定最优Pair-Copula函数。本研究主要采用AIC信息准则与BIC信息准则来识别最优Copula函数。AIC信息准则通过熵的概念来衡量模型数据拟合的优越性，如式(19)所示。BIC是根据贝叶斯理论提出的一种评价模型数据拟合优越性的准则，其表达式见式(20)。
| $ A=-2 \sum\limits_{i=1}^N \ln C\left(u_{1 i}, u_{2 i}, \theta\right)+2 m, $ | (19) |
| $ B=-2 \sum\limits_{i=1}^N \ln C\left(u_{1 i}, u_{2 i}, \theta\right)+m \ln N, $ | (20) |
式中m为Copula函数的参数数量。
3 方法验证 3.1 算例1以一平面桁架结构为算例对本研究所提方法进行验证，算例平面桁架结构示意图如图 2所示。图中1#~6#为杆件编号，结构的相关参数及统计特征如表 2所示。
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| 图 2 平面桁架结构示意图 Fig. 2 Schematic diagram of plane truss structure |
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| 结构参数 | 均值/(×103) | 变异系数 | 概率分布类型 |
| 杆件弹性模量/MPa | 200.0 | 0.08 | 正态分布 |
| 1#，2#，4#，6#杆长度/mm | 1.0 | 0.05 | 正态分布 |
| 3#，5#杆长度/mm | 1.4 | 0.05 | 正态分布 |
| 2#，4#，6#杆截面积/mm2 | 10.0 | 0.05 | 正态分布 |
| 1#，3#，5#杆截面积/mm2 | 20.0 | 0.05 | 正态分布 |
| 集中荷载/N | 80.0 | 0.10 | 正态分布 |
以应变表征结构受力状态，当应变≥0.05时，则将杆件视为失效。采用OpenSees建立该桁架结构的有限元模型，分别采用本研究方法及蒙特卡洛模拟法进行计算，计算结果对比如图 3所示。其中本研究方法运算80次，蒙特卡洛法运算1×106次。由图可见，由本研究方法计算得到的结构系统破坏概率为83.37%，由蒙特卡洛法计算得到的结构系统破坏概率为81.95%，误差仅为1.42%，验证了本研究方法的正确性。
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| 图 3 算例计算结果对比 Fig. 3 Comparison of example calculation results |
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3.2 算例2
以无铰拱结构为算例对本研究所提方法进行进一步验证，算例无铰拱平面示意图如图 4所示，结构的相关参数及统计特征如表 3所示。无铰拱结构为3次超静定，其失效模式通常是由于结构塑性铰达到4个及以上，结构变成机构体系导致的。采用OpenSees建立该桁架结构的有限元模型，分别采用本研究方法及蒙特卡洛模拟法进行计算，计算得到的失效概率分别为3.25×10―4和3.21×10―4，误差仅为1.25%，进一步验证了本研究方法的正确性。
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| 图 4 无铰拱平面示意图 Fig. 4 Schematic diagram of hingeless arch plane |
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| 结构参数 | 均值 | 变异系数 | 概率分布类型 |
| 拱圈弹性模量/GPa | 36.0 | 0.10 | 正态分布 |
| 拱圈截面面积/(×104 mm2) | 5.0 | 0.05 | 对数正态分布 |
| 拱圈容重/(kN·m―3) | 26.5 | 0.10 | 正态分布 |
4 工程实例分析 4.1 工程概况
以某跨径为(80 +368 +80)m的钢管混凝土拱桥为工程实例，拱矢高为71.2 m，矢跨比为0.2，拱轴线性为悬链线，桥宽为16 m，立面图如图 5所示。主梁为箱型截面梁，桥面上部的钢管型号为Q345，钢管内灌注C50混凝土，桥面上部拱设置37对吊杆；桥面下部拱肋为钢筋混凝土箱型截面，采用C40混凝土，共设置18对立柱；该桥基础采用群桩基础加承台的形式，其中承台采用C30混凝土，高为5 m，宽为14 m；该桥抗震设防类别为A类，抗震设防烈度为7度，Ⅰ类环境。运用ANSYS建立该桥的有限元模型，采用空间梁单元以模拟拱肋、主梁、立柱、横梁及横撑等，采用空间杆单元模拟吊杆，空间壳单元模拟桥面板，自由度耦合模拟横梁与纵梁之间的连接。
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| 图 5 中承式钢管混凝土拱桥立面图(单位：m) Fig. 5 Elevation of concrete-filled steel tube half-through arch bridge(unit: m) |
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在地震作用下，钢管混凝土拱桥拱肋、主梁、立柱及吊杆等构件易发生破坏，本研究选取拱肋、主梁、立柱与吊杆等构件组成串并联系统，由于立柱与吊杆数量较多，故仅选取典型位置的立柱与吊杆进行分析。参考已有研究[3, 6]，拱脚附近处的立柱在地震作用下损伤最为严重故立柱以左侧拱脚处及左右两侧立柱为例，记为L1，L2，L3；1/4处的吊杆损伤最为严重，并以1/2处吊杆作为对比，故吊杆以拱肋1/4与1/2处为例，记为D1和D2；拱肋与主梁分别记为Q和B。首先对各构件的地震易损性进行分析，再根据D藤Copula方法对拱桥系统地震易损性进行分析。
考虑混凝土弹性模量、钢管强度及结构尺寸等参数存在不确定性，并且这些参数对结构的地震需求影响不容忽视，因此在对结构地震易损性分析过程中，需要考虑上述参数不确定性对构件及系统失效概率的影响。对钢管混凝土拱桥结构地震需求影响较大的参数及其分布特征如表 4所示[13, 26]。
| 随机变量 | 均值 | 变异系数 | 分布类型 |
| 钢管弹性模量/(×105 MPa) | 2.060 | 0.01 | 正态分布 |
| C55混凝土弹性模量/(×105 MPa) | 0.355 | 0.08 | 正态分布 |
| C40混凝土弹性模量/(×105 MPa) | 0.330 | 0.08 | 正态分布 |
| 吊杆弹性模量/(×105 MPa) | 1.90 | 0.10 | 正态分布 |
| 拱肋截面面积/m2 | 0.632 2 | 0.05 | 对数正态分布 |
| 吊杆截面面积/m2 | 0.342 4 | 0.01 | 对数正态分布 |
| 立柱截面面积/m2 | 1.762 4 | 0.05 | 对数正态分布 |
| 主梁截面面积/m2 | 4.286 1 | 0.05 | 对数正态分布 |
| 拱肋抗弯惯性矩/m4 | 0.021 9 | 0.05 | 对数正态分布 |
| 主梁截面惯性矩/m4 | 3.134 7 | 0.05 | 对数正态分布 |
| C55混凝土重度/(k·m―3) | 26.0 | 0.05 | 正态分布 |
| C40混凝土重度/(k·m―3) | 24.5 | 0.05 | 正态分布 |
为全面考虑对地震需求影响较大的结构参数不确定性，对各参数进行分组，共计120组。为提高计算效率，采用拉丁超立方抽样法建立120组桥梁样本数据。与此同时，为完整考虑地震动的不确定性，从NGA-West2数据库[27]中选取120条符合算例拱桥场地条件的地震波，以地震峰值加速度作为地震动强度指标，其范围为0~1.5g。通过对120组桥梁样本数据和选取的120条地震波进行随机配对，可形成120组拱桥-地震动样本数据，此时既全面考虑了结构参数的不确定性，又完整考虑了地震动的随机性。
4.2 地震需求分析根据地震需求分析方法，利用已构建的120组拱桥-地震动样本数据，对算例拱桥进行非线性时程分析，并从有限元软件中提取地震峰值加速度与地震响应数据，再根据得到的数据进行线性回归分析，可得到式(3)中的拟合系数m和n，如表 5所示。不同构件的拟合系数相差较大，同类不同位置的构件拟合系数虽比其他构件相差更小，但仍存在不同。这表明损伤桥梁同类不同位置构件的地震需求不同。
| 构件 | 拟合系数m | 拟合系数n |
| 拱肋 | 1.259 8 | ―1.502 4 |
| 主梁 | 0.446 8 | 1.892 8 |
| 吊杆D1 | 0.923 5 | ―0.666 9 |
| 吊杆D2 | 0.894 8 | ―0.624 4 |
| 立杆L1 | 1.344 7 | ―0.448 2 |
| 立柱L2 | 1.462 8 | ―0.508 9 |
| 立柱L3 | 1.398 6 | ―0.469 9 |
4.3 构件地震易损性
确定不同损伤等级的临界指标是进行构件地震易损性分析的关键，通常可将损伤等级划分为轻微损伤、中等损伤、严重损伤、完全破坏[28]。本研究以弯矩-曲率定义拱肋与主梁的损伤指标，采用软件X-Tract计算得到弯矩-曲率关系。首先通过定义构件材料的本构关系以建立截面模型；然后对其进行计算以得到截面弯矩-曲率分析数据；再根据等面积原则得到关系曲线的双折线图；最后对构件损伤指标进行量化以确定临界损伤指标，拱肋与主梁损伤等级如表 6所示。吊杆与立柱是主要承受轴力的构件，在地震动作用下，可能会超过应力极限，故可采用应变比定义其损伤状态[29]，其中φ=ε/εg，φ为临界应变比，εg为自重下的轴向应变，ε为地震作用下的轴向应变，吊杆与立柱损伤等级如 表 7所示。
| 损伤状态 | 曲率状态 | 临界曲率值 | 曲率范围 | |||
| 拱肋 | 主梁 | 拱肋 | 主梁 | |||
| 轻微 | 主筋开始屈服时的曲率 | 0.002 9 | 0.002 4 | 0.002 9＜γ1＜0.008 0 | 0.002 4＜γ2＜0.014 5 | |
| 中等 | 等效屈服强度曲率 | 0.008 0 | 0.014 5 | 0.008 0＜γ1＜0.012 8 | 0.014 5＜γ2＜0.043 7 | |
| 严重 | 混凝土压应变为0.004时的曲率 | 0.012 8 | 0.043 7 | 0.012 8＜γ1＜0.185 0 | 0.043 7＜γ2＜0.102 0 | |
| 完全破坏 | 极限曲率 | 0.185 0 | 0.102 0 | γ1≥0.185 | γ2≥0.102 | |
| 损伤状态 | φ范围 |
| 轻微 | 2.0＜φ＜2.25 |
| 中等 | 2.25＜φ＜2.50 |
| 严重 | 2.50＜φ＜3.0 |
| 完全破坏 | φ≥3.0 |
将各构件不同损伤等级的临界指标及地震需求模型代入式(5)，可得构件地震易损性曲线，如图 6所示。由图可见，随着地震峰值加速度的增加，各构件损伤概率均不断增大，并且在轻微损伤、中等损伤及严重损伤状态下的变化趋势整体表现为先快后慢的趋势，而在完全破坏状态下损伤概率的变化趋势呈现为不断加快；相同损伤状态下，最易发生损伤的构件均为立柱，其次为拱肋，吊杆整体的失效概率最低，并且吊杆几乎不发生完全破坏；对比同类不同位置的构件地震易损性可知，对于吊杆而言，1/4处吊杆较1/2处吊杆更易发生损伤；对于立柱而言，同等条件下立柱L1的失效概率更高。
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| 图 6 拱桥构件地震易损性曲线 Fig. 6 Seismic vulnerability curves of arch bridge components |
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4.4 桥梁系统地震易损性
为确定藤与Pair-Copula函数，本研究采用试算的方法列举出备选Pair-Copula函数组合，再根据式(16)~ (18)计算得到Pair-Copula参数，最后根据AIC准则与BIC准则筛选得到最优藤，如图 7所示。以中等损坏为例确定各Pair-Copula函数，首先根据各构件地震易损性函数及式(8)可得到各构件的Pr，进而可得到Pair-Copula函数，即L3D1，D1L1，L1Q，QB，BD2，D2L2(见图 7第2行的自变量)；根据最大似然估计法(见2.2节)可得到表 1中各备选Pair-Copula函数的参数θ，再通过式(17)计算得到各备选Pair-Copula函数的AIC值，基于最小AIC法则，可筛选得到最优Pair-Copula函数；最后可得到中等损伤状态下L3，D1，L1，Q，B，D2，L2的最优Pair-Copula函数，通过该方法可依次得到图 7中其他行的最优Pair-Copula函数。确定了D藤结构的各Pair-Copula函数后，通过式(14)可得到系统地震易损性的联合概率密度函数，再根据式(8)可得到构件地震易损性的补集，最后根据式(6)和式(7)可求得考虑构件相关性的桥梁系统地震易损性，如图 8所示。
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| 图 7 D藤桥梁结构变量排列 Fig. 7 D-vine bridge structure variable arrangement |
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| 图 8 拱桥系统地震易损性曲线 Fig. 8 Seismic vulnerability curves of arch bridge system |
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对比图 8与图 6可知，与拱肋、主梁、立柱和吊杆等单一构件的地震易损性相比，其系统地震易损性明显更大；拱肋与主梁的易损性曲线更加接近系统易损性曲线，这表明拱肋与主梁是影响系统易损性的关键构件，立柱与吊杆对系统地震易损性的影响相对较小。
由于基于D藤Copula法的拱桥地震易损性充分考虑了构件的相关性，为说明相关性对地震易损性的影响，将其与不考虑构件之间相关性的系统地震易损性进行了对比，其中不考虑相关性的系统地震易损性Pfs可通过式(21)计算得到。
| $ P_{\mathrm{fs}}=\max\limits_{i=1}^k P_{f i}, $ | (21) |
式中，k为构件数目；Pfi为构件i的失效概率。
将图 8中基于D藤Copula函数法得到的拱桥系统地震易损性曲线与不考虑构件相关性的系统地震易损性曲线对比可知，考虑构件之间相关性的钢管混凝土拱桥系统易损性在轻微、中等、严重损伤及完全破坏下的失效概率分别增加了10.89%，9.94%，11.48%，12.11%。这表明构件之间的相关性对拱桥的系统地震易损性影响显著，不考虑构件之间的相关性会高估拱桥系统地震易损性。
为证明D藤Copula函数法的准确性，将本研究方法得到的系统地震易损性计算结果与蒙特卡罗法计算结果进行对比。当抽样的数量足够大时，蒙特卡罗法得到的结果可近似为精确值。为方便对比，同样将结果列于图 8，其中蒙特卡罗模拟法运算次数达到了3×106次，D藤Copula函数法的运算次数则为500次。
对比图 8中D藤Copula法与蒙特卡罗法得到的系统地震易损性曲线可知，由2种方法得到的系统地震易损性曲线相差较小。具体而言，轻微损伤与中等损伤状态下得到的系统地震易损性差距随地震峰值加速度的增大，先增大后减小，最大差距不超过2.85%；严重损伤与完全破坏状态得到的系统地震易损性偏差随地震峰值加速度的增大而增大，最大差距不超过5.26%，验证了D藤Copula法的准确性。此外，与蒙特卡罗法相比，D藤Copula法不仅可以充分考虑构件之间的非线性相关性，同时可避免大量抽样，显著提升了计算效率。
5 结论本研究基于D藤Copula法，提出了考虑拱肋、主梁、立柱及吊杆等构件地震响应之间相关性的钢管混凝土拱桥系统地震易损性评估方法，将其与蒙特卡洛法得到的系统地震曲线进行对比以验证该方法的准确性，同时与不考虑构件相关性的地震易损性曲线进行了对比。
(1) 在地震作用下，最易发生损伤的构件为立柱，其次为拱肋，吊杆整体的失效概率最低，并且吊杆几乎不发生完全破坏。
(2) 与拱肋、主梁、立柱和吊杆等单一构件的地震易损性相比，钢管混凝土拱桥的系统地震易损性明显更大，其中拱肋与主梁是影响系统地震易损性的关键构件，立柱与吊杆对系统地震易损性的影响相对较小。
(3) 与不考虑构件相关性的系统地震易损性相比，考虑构件之间相关性的钢管混凝土拱桥系统易损性在4种损伤状态下的失效概率均有所增加，增幅约为10%。这表明构件地震响应之间的相关性对拱桥的系统地震易损性影响显著，不考虑构件之间的相关性会高估拱桥系统地震易损性。
(4) D藤Copula法与蒙特卡罗法得到的系统地震易损性曲线吻合度较好，最大偏差仅为5.26%，验证了D藤Copula法准确性；与蒙特卡罗法相比，D藤Copula法不仅可以充分考虑构件之间的非线性相关性，同时可避免大量抽样，显著提升了计算效率。
(5) 由于拱肋、吊杆与立柱等不同类别构件之间的重要程度不同，其损伤对钢管混凝土拱桥系统易损性的影响差异较大，在后续研究中可引入重要度概念以进一步研究不同类别构件之间的相关性对钢管混凝土拱桥系统易损性的影响。此外，对于其他类型的钢管混凝土拱桥，同样可运用D藤Copula法构建相应的系统地震易损性模型进行分析。
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