0 引言

裂缝开裂状况是确定RC构件安全性能的重要指标^[1-3]，国内外相关规范均给出了基于开裂截面钢筋应力的RC构件裂缝宽度计算方法^[4-5]。RC构件的失效通常伴随着多条主裂缝的形成，而裂缝的产生与扩展都是随机的，故应从随机性角度对RC构件加载过程中的裂缝特征进行分析。然而现有规范关于裂缝宽度的半理论半经验公式未能考虑这一点，计算公式关键参数的确定更多地取决于试验样本^[6]，且将钢筋受拉区应力等效为水平进而忽略了受拉区钢筋应力分布特征及其与裂缝间距的联系。

对于RC构件受弯作用下开裂后钢筋应力分布的探讨研究相对较少。Beeby^[7]将裂缝间混凝土的应力分布视为线性，以此反推钢筋应力分布，但以此计算的黏结力分布是恒定的；蒋大骅^[8]假设裂缝间黏结应力呈抛物线分布，并进一步推导出钢筋应力分布函数，但将黏结力峰值应力变化视为只与开裂截面钢筋应力有关；宋玉普^[9]通过钢筋内部开槽张贴应变片的方法测得了钢筋应力沿钢筋长度方向的分布，并根据试验结果假设钢筋应力分布函数为三角函数，但未明确说明其中经验系数的取值；徐振华^[10]假设钢筋应力分布函数表达式为三次多项式，但需要依照理论方法对开裂截面与未开裂区中间截面的钢筋应力进行计算，计算过程过于复杂。虽然学者们已经对钢筋应力函数分布形式进行了各种假定和推导，但多为曲线形式上的逼近，未能体现RC受弯构件开裂后钢筋应力分布的统计特性。

为了进一步探究RC受弯构件开裂机理，根据RC受弯构件开裂后的钢筋应力分布特性，类比概率密度函数构造RC受弯构件开裂后的钢筋应力分布函数，并在此基础上推导出受拉区混凝土应力函数，最终结合黏结滑移理论求得裂缝宽度。

1 裂缝分布函数 1.1 裂缝间应力分布函数

(1) 钢筋应力分布函数

各级荷载作用下的裂缝宽度与平均裂缝宽度比值的概率分布直方图如图 1所示。由图可知，二者的比值基本呈正态分布^[11]。现有研究表明裂缝宽度与开裂位置钢筋应力的大小直接相关，因此，开裂截面钢筋应力具有与裂缝宽度相同的分布规律，即开裂截面钢筋应力大小也满足正态分布。RC受弯构件开裂后会形成多条裂缝，各开裂位置处的钢筋应力均可类比为正态分布，如图 2所示。

RC受弯构件新裂缝产生时裂缝间应力分布如图 3所示。裂缝产生后，开裂截面混凝土向两侧回缩，开裂截面钢筋应力增大。在新裂缝产生前后的应力分布对比如图 4所示。由图可知各应力函数需满足边界条件为：

$ \left\{\begin{array}{l} \sigma_{\mathrm{s}}(0)=\sigma_{\mathrm{s} 0}, \sigma_{\mathrm{s}}\left(l_{\mathrm{c}}\right)=\sigma_{\mathrm{s} 0} \\ \tau(0)=0, \tau\left(\frac{l_{\mathrm{c}}}{2}\right)=0, \tau\left(l_{\mathrm{c}}\right)=0, \\ \sigma_{\mathrm{c}}(0)=0, \sigma_{\mathrm{c}}\left(l_{\mathrm{c}}\right)=0, \end{array}\right. $

(1)

式中，l_c为裂缝间距；σ_s(0)和σ_s(l_c)分别为0和l_c位置的钢筋应力；τ(0)和τ(l_c)为0和l_c位置的黏结应力；σ_c(0)和σ_c(l_c)为0和l_c截面位置的混凝土应力；σ_s0为开裂截面钢筋应力。

正态分布概率密度函数中，期望值决定函数对称轴的位置，标准差决定函数分布的幅度。在类比正态分布概率密度函数构造的钢筋应力函数中，裂缝间距决定钢筋应力函数的位置，黏结强度系数决定分布的幅度。另外，由于钢筋与混凝土在裂缝间距较大时存在协同作用，钢筋应力分布随着距离函数中心越远而无限趋近于钢筋与混凝土协同作用时的钢筋应力数值，这与正态分布无限趋近于0存在区别，因此引入钢筋应力系数。类比概率密度函数并考虑式(1)中各应力函数的边界条件最终构造得到的裂缝间钢筋应力分布函数为：

$ \sigma_{\mathrm{s}}(x)=\Delta \sigma_{\mathrm{s} 0}\left[\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{A}}+\mathrm{e}^{-\frac{\left(x-l_{\mathrm{c}}\right)^2}{A}}\right]+B, $

(2)

式中，Δσ_s0为开裂截面钢筋应力增量；A为黏结强度系数；B为钢筋应力系数；x为截面位置。新裂缝未产生时，钢筋应力处处相等，钢筋长度方向应力均为钢筋应力系数。新裂缝产生时，开裂截面钢筋应力增加Δσ_s0。

(2) 黏结应力分布函数

裂缝产生后，钢筋与混凝土间产生滑移，钢筋表面将分布不均匀的黏结力。取钢筋微段并进行受力分析，如图 5所示。

可建立黏结应力分布函数τ(x)与钢筋应力函数σ_s(x)的关系式为：

$ \frac{\pi d^2}{4} \mathrm{~d} \sigma_{\mathrm{s}}(x)-\pi d \tau(x) \mathrm{d} x=0, $

(3)

式中d为钢筋直径。将式(2)代入式(3)并化简后求得黏结应力分布函数为：

$ \tau(x)=-\frac{\mathrm{d} \Delta \sigma_{\mathrm{s} 0}\left[x \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{A}}+\left(x-l_{\mathrm{c}}\right) \mathrm{e}^{-\frac{\left(x-l_{\mathrm{c}}\right)^2}{A}}\right]}{2 A} 。$

(4)

(3) 混凝土应力分布函数

因混凝土与钢筋间存在黏结作用，部分钢筋应力通过黏结力传递至混凝土。假设受钢筋影响的混凝土大小为钢筋周围宽2c_s+d的方形区域(c_s为保护层厚度)，此处称有效开裂区域^[12]，如图 6所示。

分析有效开裂区域内混凝土应力与黏结应力的作用关系得出式(5)。由于受钢筋握裹力影响，靠近受拉钢筋处的混凝土应力更大，此处引入折算系数k，取0.67^[13]。

$ k\left[\left(2 c_{\mathrm{s}}+d\right)^2-\frac{\pi d^2}{4}\right] \frac{\mathrm{d} \sigma_{\mathrm{c}}(x)}{\mathrm{d} x}-\pi d \tau(x)=0 \text { 。} $

(5)

综合式(4)和式(5)并化简即可获得有效开裂区域内的混凝土应力分布函数为：

$ \sigma_c(x)=\frac{\pi d^2 \Delta \sigma_{\mathrm{s} 0}\left[\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{A}}+\mathrm{e}^{-\frac{\left(x-l_{\mathrm{c}}\right)^2}{A}}-\mathrm{e}^{-\frac{l_{\mathrm{c}}^2}{A}}-1\right]}{4 k\left(2 c_{\mathrm{s}}+d\right)^2-k \pi d^2} 。$

(6)

1.2 破坏理论

荷载作用下，RC受弯构件受拉区混凝土应力不断增加至极限抗拉强度，构件最薄弱部位混凝土因失效而退出工作，裂缝形成。RC受弯构件新裂缝产生前后混凝土应力分布发生变化(见图 4(c))，随着荷载增加，x=0.5l_c处的混凝土应力将首先到达极限。因此由式(6)可建立式(7)为：

$ -\frac{d^2 \Delta \sigma_{\mathrm{s} 0}\left(2 \mathrm{e}^{-\frac{l_{\mathrm{c}}^2}{4 A}}-1-\mathrm{e}^{-\frac{l_{\mathrm{c}}^2}{A}}\right)}{4 k\left(2 c_{\mathrm{s}}+d\right)^2-k \rm{\pi} d^2}=f_{\mathrm{t}}, $

(7)

式中f_t为混凝土的极限抗拉强度。

1.3 参数确定

需分别确定钢筋应力分布函数中4个关键参数：黏结强度系数可以通过试验结果拟合求得；钢筋应力系数可以按混凝土应力达到极限时的钢筋应力取值；开裂位置钢筋应力增量Δσ_s0可由钢筋应力系数结合《混凝土结构设计规范》 (GB 50010—2010)提供的开裂截面钢筋应力简化计算公式得到；裂缝间距l_c可以结合混凝土强度破坏理论计算得出。

1.3.1 黏结强度系数的取值

黏结强度系数控制钢筋应力函数的幅度，反映了钢筋应力在钢筋长度方向上的变化剧烈程度。不同荷载作用下，钢筋与混凝土间的黏结状况也有所不同，因此黏结强度系数的取值也不断发生改变。不同荷载作用下黏结强度系数的取值可以通过试验确定。统计Clark^[14]在钢筋混凝土构件受弯作用下裂缝间距及裂缝宽度的试验结果，考虑8组试件的截面、材料等参数，将各级荷载作用下受拉钢筋应力及测得的平均裂缝间距代入式(7)，反推得到黏结强度系数的取值。开裂弯矩与各级弯矩比值与黏结强度系数的关系如图 7所示。由图可见，开裂弯矩与各级弯矩比值与黏结强度系数呈一定的相关关系，当作用弯矩越大时，黏结强度系数取值越小，钢筋应力变化越剧烈。

采用式(8)对基于Clark^[14]的8组试验数据计算得到的黏结强度系数结果进行拟合，结果如图 7所示。R²≈0.87，拟合效果较好。

$ A=a \mathrm{e}^{b x}+c $

(8)

式中，x=M_cr/M；M_cr为开裂弯矩；M为作用弯矩；根据拟合结果a，b，c分别取值为19.41，5.75，1 471.22。

1.3.2 钢筋应力系数

钢筋应力系数是钢筋应力函数的取值下限，当荷载较小时，虽然裂缝尚未出现，但受拉区钢筋仍然存在应力。为简化计算，此处取受拉区混凝土达到抗拉强度时被包裹钢筋的应力作为钢筋应力系数的取值，即：

$ B=\frac{f_{\mathrm{t}} E_{\mathrm{s}}}{E_{\mathrm{c}}}, $

(9)

式中E_s和E_c分别为钢筋弹性模量和混凝土弹性模量。

1.3.3 钢筋应力增量

开裂截面处钢筋应力增量的计算公式为：

$ \Delta \sigma_{\mathrm{s} 0}=\sigma_{\mathrm{s} 0}-B, $

(10)

式中σ_s0按GB 50010—2010开裂截面钢筋应力简化计算公式为：

$ \sigma_{\mathrm{s} 0}=\frac{M}{\eta A_{\mathrm{s}} h_0}, $

(11)

式中，M为作用弯矩；A_s为受拉钢筋截面积；h₀为截面有效高度；η为内力臂系数，取0.87。

2 裂缝间距与裂缝宽度计算 2.1 平均裂缝间距计算

根据混凝土破坏理论，只有当构件受拉区混凝土拉应力达到极限抗拉强度时，新裂缝才会产生，裂缝间距减小。因此，可以通过判断受拉区混凝土应力的大小间接计算裂缝间距。采用MATLAB程序计算裂缝间距，计算流程如图 8所示。首先输入材料特性、截面参数、荷载大小等基本参数，并给定裂缝间距计算的上、下限以进行程序启动。接着利用式(7)计算裂缝间混凝土峰值应力并将其与混凝土极限抗拉强度进行比较。当前者小于后者时，则增大裂缝间距计算值；当前者大于后者时，则反之。如此调整裂缝间距的计算取值, 反复迭代，直至计算结果达到收敛要求。

2.2 裂缝宽度计算

根据黏结滑移理论，平均裂缝宽度等于平均裂缝间距范围内混凝土与被包裹钢筋的变形差值，即：

$W_{\mathrm{avg}}=\bar{\varepsilon}_{\mathrm{s}} l_{\mathrm{c}}-\bar{\varepsilon}_{\mathrm{c}} l_{\mathrm{c}}, $

(12)

式中，ε_s为混凝土平均伸长量；ε_c为钢筋平均伸长量。

引入钢筋及混凝土本构方程，最终平均裂缝宽度计算公式为：

$ W_{\text {avg }}=2 \int_0^{\frac{l_{\mathrm{c}}}{2}}\left[\frac{\sigma_{\mathrm{s}}(x)}{E_{\mathrm{s}}}-\frac{\sigma_{\mathrm{c}}(x)}{E_{\mathrm{c}}}\right] \mathrm{d} x_{\mathrm{o}}。$

(13)

由于混凝土并非均质材料，裂缝产生位置具有一定的随机性，因此裂缝间距并非处处相等。Wang^[15]提出实际裂缝间距为平均裂缝间距2/3至4/3倍，故最大裂缝宽度可取为：

$ W_{\max }=\frac{4}{3} W_{\mathrm{avg}} 。$

(14)

3 试验验证 3.1 现有钢筋应力分布函数形式比较

采用Fantilli^[16]提供的试件纯弯段试验数据，初始裂缝分布如图 9所示。在后续的加载过程中，相继产生4条裂缝。为方便比较，分别采用线性函数分布方法^[7]、三角函数分布方法^[9]、三次多项式函数分布方法^[10]对开裂荷载作用下，初始裂缝间的钢筋应力分布进行计算，并与试验测量结果进行比较，结果如图 10所示。由图可见，本研究方法所得结果与试验值的钢筋应力分布相近，相较其他应力函数，更能反映钢筋应力的实际分布情况。三角函数分布方法的计算结果与试验值相差最大，相关参数取值需进一步探讨。线性函数分布方法与三次多项式函数分布方法结果存在明显偏差的原因是函数表达式仅是从钢筋应力峰值到最低值过渡的不同形式，无法有效模拟构件裂缝间存在的钢筋与混凝土协同作用区域。

3.2 裂缝间距试验验证

收集文献[17-18]中共3组RC受弯试件的裂缝间距试验数据，各试件的相关参数如表 1所示。计算结果与试验结果对比如图 11所示。从整体趋势上看，3个试件试验结果与本研究方法计算结果基本吻合。混凝土具有非均质性与各向异性特征，因此在开裂初期，裂缝的产生具有较大随机性，这也是裂缝间距计算值与试验值产生差异的原因。

3.3 裂缝宽度比较

(1)平均裂缝宽度

试件ZT平均裂缝间距试验值与计算值对比如图 12所示。当裂缝宽度小于0.15 mm时，本研究计算方法偏保守，这主要是由于开裂初期裂缝发展不充分，部分微小裂缝无法通过肉眼观察，从而造成试验结果存在误差。随着荷载逐渐增加，裂缝逐渐充分扩展，本研究方法计算结果与试验结果能很好地吻合。整体上看，计算结果与试验结果比较吻合。

(2) 最大裂缝宽度

采用不同规范计算结果与试件ZT试验结果对比如图 13所示。由图可见，本研究方法计算的结果与试验值吻合良好。整体上来看，除GB 50010—2010外，《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》(JTG 3362—2018)、日本规范(JGC15)、欧洲规范^[4-5]的计算结果都相对保守。

4 结论

为进一步探究RC受弯构件的开裂机理，构造了具有统计特性的RC受弯构件开裂后的钢筋应力分布函数，提出了裂缝间距与裂缝宽度的计算方法，并将试验结果与计算结果进行对比验证。

(1) 从概率统计分析角度构造出具有统计特性的钢筋应力函数，能够有效模拟RC构件受弯作用下开裂后钢筋应力的分布情况，并进一步得到受拉区开裂区域内混凝土的应力分布。

(2) 通过混凝土应力函数与混凝土破坏理论，建立了RC受弯构件开裂后应力与裂缝间距的联系，提出了RC受弯构件的平均裂缝间距计算方法，并通过与试验结果对比验证了本研究计算方法的精度。

(3) 基于平均裂缝间距内RC受弯构件开裂后受拉区的应力函数，根据黏结滑移理论，考虑裂缝产生的随机性，提出了RC受弯构件最大裂缝宽度的计算方法，并通过试验结果验证了本研究计算方法的有效性。