0 引言

合理确定岩石强度参数是进行边坡、巷道、隧道及矿井等岩土工程中岩体结构稳定性计算与支护设计的首要基础与前提^[1-4]。在现有的岩体强度准则中，Mohr-Coulomb强度准则(以下简称“M-C强度准则”)由于其简洁的线性表达式及参数易获取等特点，在岩土工程领域中得到广泛应用与不断完善。

通过大量岩石三轴试验研究表明^[5-6]：当岩石强度达到一定值后，围压继续增大，岩石强度表现出非线性特征，摩尔强度包络线呈现曲线趋势，岩石存在由低围压脆性破坏过渡至高围压延性破坏的临界破坏状态^[7]。内摩擦角在此过程中逐渐减小为零^[8]，M-C强度准则假定内摩擦角为恒定值，这直接导致在高围压阶段岩石强度的理论计算值相对于实际值偏高^[9]，这是M-C强度准则的局限之一。此外，在实际岩土工程中，岩体通常处于真三轴应力状态，早在20世纪末，Mogi^[10-11]首次研制出真三轴试验机并开展大量岩石真三轴压缩试验，证明了中间主应力对岩石真三轴峰值强度影响效应的存在，许东俊^[12]、梁正召^[13]通过真三轴试验以及数值模拟研究指出：中间主应力的作用效应不容忽视，在中间主应力作用下，岩体峰值强度明显大于常规三轴条件下的峰值强度。实际岩土工程中岩体通常处于三轴应力状态，而M-C强度准则建立在岩石强度值与中间主应力无关的假设条件之上，因此存在一定误差。综上所述，考虑中间主应力的作用，进行优化M-C经验模型的研究工作对岩土工程具有实际意义。

为克服上述M-C强度准则的2种局限性：(1)假定岩体内摩擦角为恒定值；(2)忽略中间主应力的作用。本研究基于岩石临界破坏状态理论，采用函数拟合方法，深入分析大量不同类型岩石三轴压缩试验数据，构建出常规三轴与真三轴条件下，第一主应力理论值与试验值的偏差随围压与中间主应力的变化规律函数，在此基础之上采用第一主应力偏差函数对M-C强度准则进行优化修正。最后，基于月直山隧道地应力水压致裂法测试结果进行验证，改进后M-C强度准则的工程适用性弥补了“假设内摩擦角为恒定值”与“忽视中间主应力”的缺陷。

1 岩石破坏临界状态

根据M-C线性强度准则，对于连续均匀质岩体，理论上当围压无限增大时，岩体抗剪强度值也将线性增大，岩体始终表现为脆性破坏特征，然而，通过大量试验表明：岩体在三向受力条件下破坏形式表现为由脆性向延性的过渡，即岩石存在临界破坏状态，在低围压阶段，岩体内部微裂隙因受力而破裂扩张，体积增大，岩体主要产生剪胀与脆性破坏^[15]，随着围压的增大，侧向约束效应突出，岩体内部裂隙的扩张受到约束进而呈现出延性特征。当围压持续上升到某一极值时，岩石抗剪强度达到峰值，岩体进入临界状态，如图 1所示，这种临界破坏状态由摩尔强度包络曲线表示为随着围压的增大，强度包络曲线趋于水平，切线斜率逐渐减小至0时的瞬时状态^[16]。Brady^[17]根据裂纹扩展试验中岩体起裂时最大主应力与最小主应力的关系，将岩石破坏临界状态定义为在$\left[\left(\sigma_{1}-\sigma_{3}\right), \sigma_{3}\right]$ 坐标中，随着$\sigma_{3}$ 的增大，$\sigma_{1}-\sigma_{3}$ 趋于恒定值时的瞬时状态（其中，$\delta_{1}-\delta_{2}$ 为偏应力；$\delta_{3}$为围压)。

2 假三轴条件下M-C强度准则修正 2.1 第一主应力偏差函数

岩体在屈服过程中存在由脆性破坏转化为延性破坏的临界破坏状态，而M-C线性强度准则假设岩石内摩擦角φ及黏聚力c在三轴加载过程中为恒定值，因此不能从破坏机理方面解释岩石的这种临界破坏特征。随着围压的增大，岩体强度达到临界破坏强度时，内摩擦角降低至0，在(σ₁-σ₃)-σ₃坐标系中强度包络曲线切线斜率减小至0而非恒定值，因此第一主应力的M-C强度计算值与实际值存在偏差, 即第一主应力偏差Δσ₁。在σ₁-σ₃坐标系中，岩石M-C强度准则表示为：

$ \sigma_{1}=\xi \sigma_{3}+\sigma_{\mathrm{c}}, $

(1)

式中，$\xi=\frac{1+\sin \varphi}{1-\sin \varphi}; ~ \sigma_{\mathrm{c}}$ 为岩石单轴抗压强度值；$\varphi$ 为岩石内摩擦角。

杨圣奇^[15]、Barton^[16]通过研究发现岩石达到临界状态时存在：$\frac{\partial\left(\sigma_{1}-\sigma_{3}\right)}{\partial \sigma_{3}}=0$，即$\frac{\partial \sigma_{1}}{\partial \sigma_{3}}=K$，则在$\sigma_{1}- \sigma_{3}$ 坐标系中M-C强度准则与考虑破坏临界状态的岩石实际强度包络曲线如图 2所示。

图 2中，σ_1-MC为岩体达到临界破坏状态时采用M-C强度准则计算所得的第一主应力的理论值，$\sigma_{1-\mathrm{MC}}^{\prime}$ 为岩体达到临界破坏状态时的第一主应力实际值δ_cr为临界围压。对于Δσ₁，目前尚无系统的理论算式。本研究采用已公开发表的红砂岩^[18]、大冶大理岩^[19]与印第安纳石灰岩^[20]等经典三轴试验数据为基础，采用函数拟合方法确定第一主应力偏差Δσ₁随围压变化的函数形式，上述3类岩石三轴试验数据见表 1。

根据M-C强度准则求得的第一主应力的理论值，结合实际三轴试验值，拟合得到三类岩石Δσ₁随σ₃变化的函数式，拟合结果如图 3所示。

2.2 基于偏差函数修正的M-C强度准则经验模型

由图 3可知，根据红砂岩、大冶大理岩与印第安纳石灰岩等多种不同岩石实际三轴试验数据，将M-C强度准则下第一主应力理论值与实验值的偏差函数形式拟合为：

$ \Delta \sigma_{1}=f\left(\sigma_{3}\right)=A \cdot \sigma_{3}^{1.7}, $

(2)

式中，A为与岩体类型有关的参数。

岩石第一主应力偏差取得拟合效果理想，3种不同岩石的强度值拟合优度R²分别达到0.963，0.984与0.995。因此，基于临界破坏状态理论，本研究将改进M-C强度准则表示为：

$ \sigma_{1}=\left\{\begin{array}{ll} \xi \sigma_{3}+\sigma_{\mathrm{c}}-A \sigma_{3}^{1.7} & 0 \leqslant \sigma_{3} \leqslant \sigma_{\mathrm{cr}} \\ K \sigma_{3}+B & \sigma_{\mathrm{cr}}<\sigma_{3} \end{array}, \right. $

(3)

式中，B与K为与岩体类型有关的参数。岩体在三轴加载状态时，当σ₃达到σ_cr，岩石处于临界破坏状态，σ₁-σ₃变为常量，由M-C强度准则表示的σ₁-σ₃为：

$ \sigma_{1}-\sigma_{3}=(\xi-1) \sigma_{3}+\sigma_{\mathrm{c}}-A \sigma_{3}^{1.7} 。$

(4)

由上式对σ₃求偏导：

$ \frac{\partial\left(\sigma_{1}-\sigma_{3}\right)}{\partial \sigma_{3}}=(\xi-1)-1.7 A \sigma_{3}^{0.7} 。$

(5)

当岩石加载达到临界破坏状态时，存在：$\sigma_{3}= \sigma_{\mathrm{cr}}, \partial\left(\sigma_{1}-\sigma_{3}\right) / \partial \sigma_{3}=0$，解得：$A=\frac{\xi-1}{1.7 \sigma_{\mathrm{cr}}{ }^{0.7}}$，则当$0 \leqslant \sigma_{3} \leqslant \sigma_{\mathrm{c}}$ 时，改进M－C强度准则为：

$ \sigma_{1}=\xi \sigma_{3}+\sigma_{\mathrm{c}}-\frac{\xi-1}{1.7 \sigma_{\mathrm{cr}}^{0.7}} \sigma_{3}^{1.7} $

(6)

Hoek-Brown强度准则(以下简称H-B强度准则)作为一种岩石经典强度准则，在岩土工程领域中得到广泛推广与应用，对于完整岩体，其表达式为：

$ \sigma_{1}=\sigma_{3}+\sigma_{\mathrm{c}}\left(\frac{m \sigma_{3}}{\sigma_{\mathrm{c}}}+1\right)^{0.5}, $

(7)

式中，m为岩体材料参数，由上式两边对σ₃求导得：

$ \frac{\partial \sigma_{1}}{\partial \sigma_{3}}=1+\frac{m}{2 \sqrt{\frac{m \sigma_{3}}{\sigma_{\mathrm{c}}+1}}}, $

(8)

由上式可知：对于同一种岩石，当$\sigma_{3}$ 趋于无穷大时，$\frac{\partial \sigma_{1}}{\partial \sigma_{3}}=1, \sigma_{1}$ 与$\sigma_{3}$ 呈线性关系，同理，对于改进的M－C强度准则，$\sigma_{\mathrm{cr}} < \sigma_{3}$ 时，存在极限$\lim\limits _{\sigma_{3} \rightarrow+\infty} \frac{\partial \sigma_{1}}{\partial \sigma_{3}}=1$，由式（2）得$\frac{\partial \sigma_{1}}{\partial \sigma_{3}}=K$，则$K=1$，又根据强度包络函数曲线的连续性，对于岩体临界状态$\sigma_{3}=\sigma_{\mathrm{cr}}$，则有：

$ \xi \sigma_{\mathrm{cr}}+\sigma_{\mathrm{c}}-\frac{\xi-1}{1.7 \sigma_{\mathrm{cr}}^{0.7}} \sigma_{\mathrm{cr}}^{1.7}=\sigma_{\mathrm{cr}}+B。$

(9)

解得常数$B=0.412(\xi-1) \sigma_{\mathrm{cr}}+\sigma_{\mathrm{c}}$，则改进M-C强度准则表达式：

$ \sigma_{1}=\left\{\begin{array}{l} \xi \sigma_{3}+\sigma_{\mathrm{c}}-\frac{\xi-1}{1.7 \sigma_{\mathrm{cr}}^{0.7}} \sigma_{3}^{1.7} \quad 0 \leqslant \sigma_{3} \leqslant \sigma_{\mathrm{cr}} \\ \sigma_{3}+0.412(\xi-1) \sigma_{\mathrm{cr}}+\sigma_{\mathrm{c}} \quad \sigma_{\mathrm{cr}}<\sigma_{3} \end{array}\right.。$

(10)

改进M-C强度准则仅含3个参数ε，σ_c与σ_cr，其中ξ与σ_c仅需通过联合单轴压缩数据与一组低围压三轴试验数据求出即可，因此要明确改进M-C强度准则的具体函数式，仅有σ_cr参数待确定。Hoek^[21]与Barton^[22]通过大量高压三轴试验得出岩体达到临界破坏状态时临界围压与岩体单轴抗压强度成1倍数量关系的结论，并得到广泛推广与应用，采用此临界围压判别条件进行M-C强度准则的改进与适用性探索，即取σ_cr=σ_c，则改进M-C强度准则表达式为：

$ \sigma_{1}= \begin{cases}\xi \sigma_{3}+\sigma_{\mathrm{c}}-\frac{\xi-1}{1.7 \sigma_{\mathrm{c}}^{0.7}} \sigma_{3}^{1.7} & 0 \leqslant \sigma_{3} \leqslant \sigma_{\mathrm{c}} \\ \sigma_{3}+(0.412 \xi+0.588) \sigma_{\mathrm{c}} & \sigma_{\mathrm{c}}<\sigma_{3}\end{cases}。$

(11)

根据改进M-C强度准则表达式，对于不同类型岩体，当σ₃≥σ_c时，σ₁-σ₃为常值：

$ \left(\sigma_{1}-\sigma_{3}\right)_{\max }=(0.412 \xi+0.588) \sigma_{\mathrm{c}}, $

(12)

式中ξ仅需通过1组单轴压缩与1组低围压三轴压缩试验求解出。

2.3 M-C强度准则经验模型的适用性验证

M-C强度准则与H-B强度准则为岩土工程中最为广泛应用的2种强度准则，为验证改进M-C强度准则的适用性，采用M-C强度准则、H-B强度准则与本研究上述常规三轴条件下基于第一主应力偏差函数修正的M-C强度准则(10)，对典型的印第安纳石灰岩^[20]、大冶大理岩^[19]、锦屏二级电站T₁组绿片岩与T₃组砂岩^[3]、红砂岩^[18]以及Tennessee大理岩^[23]等6种岩石共计55组试验值进行预测，上述6种岩石的三轴试验数据已公开发表，这里假设仅已知每种岩石的前2组试验数据，即按照围压由低到高的顺序(σ₃ ≥ 0)，仅联合每种岩石的单轴压缩数据与继单轴压缩之后的第1组低围压三轴试验数据确定各强度准则参数，对于完整岩体，H-B屈服准则中参数s=1，a=0.5，m_b=m_i，则上述6种岩石强度准则参数如表 2所示。

根据单轴压缩及一组低围压三轴压缩试验结果确定出各强度准则参数，求得3种强度准则强度包络线函数式，根据试验实测岩石强度值与各强度准则函数式预测结果的离散程度，对M-C强度准则的适用性进行分析，6组岩石三轴试验数据及各强度准则下岩体强度预测函数曲线如图 4所示。

由图 4可知，对于不同类型岩石，从强度预测偏差大小方面，M-C强度准则偏差最大，H-B强度准则偏差其次，本研究改进M-C强度准则偏差最小。在继σ₃=0的前4组低围压阶段，3种强度准则预测结果基本一致，且与实际试验结果相符，岩体表现为脆性破坏特征，随着围压增大至岩石单轴抗压强度的过程中，岩体逐渐呈现出延性特征，本研究的改进M-C强度准则与H-B强度准则对此具有较好的描述。在此围压增大过程中，第一主应力增长梯度逐渐减小，强度包络曲线斜率降低，而M-C强度准则为线性强度准则，其假设围压增大过程中内摩擦角φ为定值，因此不能解释岩体脆性-延性过渡特征，与三轴试验数据点趋势不相适应，预测值偏高。值得注意的是，除红砂岩外，其余岩石当围压持续增大超过其单轴抗压强度σ_c时，H-B强度准则包络曲线与岩石三轴试验实测数据点逐渐呈现出偏离趋势，且预测值高于实际试验值，而本研究改进M-C强度准则对于高围压阶段岩石强度仍有较好的预测，对6种岩石三轴试验数据点拟合优度R²均大于0.97，其中红砂岩、印第安纳石灰岩与锦屏T3组砂岩拟合优度R²分别达到0.978，0.981与0.986，3种强度准则与实际实验数据点拟合优度R²如图 5所示。

由图 4及图 5可知，本研究在考虑了第一主应力偏差Δσ₁的基础之上所提出的改进M-C强度准则经验模型，无论是在低围压阶段还是在高围压阶段，对岩石的强度预测结果均与实际试验值接近，经验模型理论曲线与三轴试验数据点拟合优度R²均在0.97以上，且改进的M-C强度准则经验模型中所需参数c与φ仅需通过单轴压缩及低围压三轴试验数据求得，即仅通过低围压试验便可很好地预测出高围压条件下的岩石强度值。

3 真三轴条件下M-C强度准则修正

除了假设岩体内摩擦角为恒定值以外，M-C强度理论另一局限为忽略第二主应力σ₂的作用效应^[24]。通过大量三轴试验研究^[25-28]发现：岩体第二主应力对岩石强度存在着一定的影响，而实际岩土工程中岩体通常处于真三轴应力状态，因此明确第二主应力σ₂的对岩石强度的影响程度具有重要意义。

3.1 第二主应力影响效应函数

对于第二主应力对岩体强度的影响效应，本研究基于Mizuho粗面岩^[10]、Westerly花岗岩^[29-30]与KTB角闪岩^[31]3种不同岩体的共计128组真三轴试验数据，采用拟合函数方法探究第二主应力对岩体强度峰值的影响效应，根据常规三轴条件下改进的M-C强度准则算式(10)求出岩体峰值强度σ_1-GMC，通过与实际真三轴条件下岩体峰值的试验值σ′ _1-MC作差，拟合求得岩体峰值强度偏差随第二主应力的变化规律函数。这里仍假设仅已知每种岩石的前2组三轴试验数据，即单轴压缩与第一组低围压常规三轴试验数据，根据此两组数据对3种岩石强度参数进行求解，如表 3所示。3种岩体峰值强度偏差随第二主应力的变化规律如图 6所示。

根据图 6结果显示：岩体峰值强度偏差与中间主应力呈对数函数关系：λln (σ₂+1)时，拟合函数对岩体强度偏差变化规律具有较好描述，对数拟合函数对第一主应力偏差数据点拟合优度R²介于0.93~0.99之间。因此，为表征第二主应力对岩石强度的影响效应，本研究在常规三轴条件下改进M-C强度准则函数式(11)的基础之上，引入中间主应力的对数修正项：λln (σ₂+1)，则真三轴条件下考虑中间主应力的改进M-C强度准则经验模型可表示为：

$ \begin{gather*} \sigma_{1}=\xi \sigma_{3}+\sigma_{\mathrm{c}}-\frac{\xi-1}{1.7 \sigma_{\mathrm{c}}^{0.7}} \sigma_{3}^{1.7}+ \\ \lambda\left(\sigma_{2}-\sigma_{3}\right) \ln \left(\sigma_{2}+1\right), \end{gather*} $

(13)

式中，λ为与岩体类型有关的常系数，表征中间主应力σ₂对岩体峰值强度的影响程度，其数值上取为σ_c×10^-3，当σ₂=σ₃或σ₂=0时，式(13)为真三轴条件的一种特殊情形，即变化为常规三轴实验条件下岩体强度算式(11)。

3.2 真三轴条件下修正经验模型的适用性验证

为验证考虑中间主应力的改进M-C强度准则的适用性，采用式(13)对上述Mizuho粗面岩、Westerly花岗岩与KTB角闪岩等3种不同岩体的共计128组实际真三轴试验数据进行预测验证，改进强度准则预测结果与试验数据在三维空间上的拟合效果如图 7所示。

由图 7可知，对3种不同类型岩体，本研究基于常规三轴条件与真三轴条件下第一主应力偏差函数修正项而提出的改进M-C强度准则，对岩体强度具有较为准确的预测，通过Mizuho粗面岩、Westerly花岗岩与KTB角闪岩等128组经典真三轴试验数据进行验证，改进M-C强度准则的强度包络曲面与岩体实验数据点拟合优度R²分别为达到0.946，0.951和0.928，拟合效果良好。

4 工程应用验证

为进一步验证改进M-C强度准则的适用性，本研究以成昆铁路峨眉至米易段月直山隧道现场水压致裂法地应力实测数据为基础，根据室内试验测定出岩体强度参数，通过改进的M-C经验模型对水压致裂试验所获取的岩石第一主应力值进行反演，验证本文所改进M-C强度准则的工程适用性。

4.1 工程概况

月直山隧道位于成昆铁路峨眉至米易段，为单洞双线隧道，进口里程DK239+915，出口里程DK254+000，最大埋深约1 810 m，地面高程为880~2 700 m，洞身主要通过千枚岩夹片岩、凝灰岩、流纹岩等地层，全隧发育4条断层、2处向斜、1处背斜。在隧道施工过程中DK246+100~695段围岩大变形状况突出，支护结构破坏严重，根据勘察资料显示：DK246+100~DK246+695段洞身围岩主要为凝灰岩，围岩级别为Ⅴ级，该区段上覆土层深度范围为672.6 m，平均重度23.8 kN/m³，岩体平均重度为25.6 kN/m³，为确保后期安全施工，隧道开挖暂停，对该区段围岩力学性质及地应力进行测试。

4.2 岩体力学性质测定试验

单轴压缩试验仪器采用TAW2000电液伺服试验机，试验加载方式采用位移加载方式，三轴试验采用GDS岩石三轴压缩试验机，试验围压分别取0，1，3，7 MPa。岩体试件为圆柱形，尺寸为半径r=25 mm，高H=100 mm，试验结果如图 8所示，岩体强度参数试验结果如表 4所示。

4.3 现场水压致裂法地应力测试实验

采用水压致裂法进行地应力测试试验，对应正洞里程DK246+150处设置地应力铅直测孔与水平测孔各1个，在铅直孔与水平孔深范围内分别成功获得8、11段实测岩体水压致裂地应力试验曲线，水压致裂法地应力测量结果如表 5和表 6所示。

4.4 第一主应力实测值与模型计算结果对比

根据岩体单轴压缩与常规低围压三轴压缩试验获得岩体内摩擦角、黏聚力与单轴抗压强度参数，根据月直山隧道水压致裂法实测获取的岩石最小主应力值与中间主应力值(表 5、6)，代入式(13)求解出月直山隧道地应力测试段最大主应力理论值，通过分析比较理论计算结果与现场实测数据的误差率：(σ_1-实测值－σ_1-理论值)/σ_1-实测值，验证考虑中间主应力的改进M-C强度准则的工程适用性，第一主应力理论计算值及误差结果如表 7所示。

根据真三轴条件下改进M-C强度准则，对月直山隧道地应力水压致裂法的第一主应力实测数据进行反演，隧道地应力测试钻孔共两个，获取水压致裂测试曲线共计19段。由于隧道围岩开挖后岩体应力重分布，围岩由原始三向稳定应力状态转变为二向应力状态，围岩产生塑性区，因此，当水平钻孔孔深较浅时，塑性区范围内岩体内部可能由于塑性屈服而产生裂隙，岩体结构破坏，强度相比较于原岩强度有所降低，因此导致理论计算值与实际值之间产生较大的误差，但随着测孔进深的增加，这种误差率也逐渐减小，同时由于地层的不均匀性，这种误差率可能会产生一些波动，但整体上呈现降低的趋势。由表 7计算结果：改进的M-C强度准则对月直山隧道岩体第一主应力强度值预测值与实测值平均误差仅分别为4.34%与0.95%，工程适用性良好。

5 结论

(1) 岩体在三轴屈服过程中存在由脆性破坏转变为延性破坏的临界状态，假设内摩擦角为常数的M-C强度准则不能从岩石破坏机理上解释这种临界状态特征，在高围压阶段岩体峰值强度的M-C强度准则计算值高于实际值。

(2) 研究表明：岩石第一主应力的M-C强度准则理论值与试验值的偏差为围压的幂次函数，引入围压的1.7次方对M-C强度准则修正后对印第安纳石灰岩等55组强度试验值拟合效果较好，拟合优度R²平均值均大于0.97，且通过低围压试验数据可准确对高围压条件下岩石强度值进行预测。

(3) 真三轴条件下，将岩石第一主应力偏差随中间主应力变化规律拟合成对数函数式而改进的M-C强度准则对岩石强度值具有良好的预测，引入中间主应力对数函数项修正后的M-C强度准则对Westerly花岗岩等128组真三轴试验数据的拟合优度R²达到0.951，修正效果良好。

(4) 以月直山隧道地应力水压致裂法17组实测数据为基础，对真三轴条件下改进M-C强度准则的工程适用性进行验证，计算结果显示真三轴条件下改进M-C强度准则对月直山水平测孔第一主应力10组数据计算误差仅为4.34%，对铅直测孔的第一主应力7组数据计算误差低至0.95%，计算结果表明改进M-C强度准则的经验模型是适用的。