0 引言

随着国家对西南部交通建设的持续投入，高速公路得到快速发展。云贵川大部分地区地势险要，坡陡谷深，起伏较大，大跨度高墩连续刚构桥是设计人员的首选桥型之一。该桥型相比其他桥型具有受力合理、施工质量易于控制、造价低等优点^[1]。但随着跨径、墩柱高度的增大，高墩的稳定性往往成为了设计、施工的制约因素，且最大悬臂状态下的稳定性对整座桥梁的设计起控制作用^[2-3]。不少学者对双肢薄壁墩间设置纵向系梁后的稳定性问题开展了侧重点不同的研究，认为纵向系梁能较好地改善连续刚构桥双肢薄壁墩的稳定性^[4-6]。李健刚^[7]用SAP2000对双肢薄壁高墩刚构桥进行了空间稳定性研究，结果表明，设置系梁后对桥梁施工以及成桥阶段的顺桥向稳定性均有较大提升，但对横桥向稳定性基本无影响。晁铁彦^[2]采用Abaqus有限元软件同时进行了结构线性屈曲和非线性屈曲分析，结果表明大跨径连续刚构桥高墩的稳定性设计时，单纯考虑线性稳定无法满足工程需求。Song^[8]对曲线连续刚构桥处于最大悬臂阶段的高墩进行了几何非线性稳定分析，研究表明，初始缺陷对高墩的稳定性影响较大，施工阶段应严格控制施工质量。吴雁杰^[9]结合实际工程研究了不同设置参数的系梁对曲线连续刚构桥抗震性能的影响，给出了系梁数量的设置建议。周勇军^[10]进一步研究了系梁刚度对高墩大跨曲线连续刚构桥纵、横向地震响应的影响。腾杰^[11]采用时程分析法研究发现，从兼顾地震内力和结构变形控制而言，系梁的设置均不宜过强。然而，对于左右幅共用桥墩的大跨径连续刚构桥超高空心墩间设置横桥向系梁的研究较少^[12]，主要侧重纵向系梁对墩柱稳定性的影响分析。其中杨兴华^[13]对双薄壁墩与整体空心墩组合的桥墩进行抗震性能分析，表明上半段桥墩(横桥向为双肢薄壁空心墩)设置横桥向系梁可以提高结构的横向刚度和整体稳定性，但均未研究横桥向系梁对左右幅共用超高空心墩的稳定性影响。

鉴于此，本研究以云南省境内正在建设的某双幅大跨度超高空心墩连续刚构桥实际工程为例，选取横向系梁的设置位置、数量及相对刚度为基本参数，对施工过程中复杂工况下的线性稳定进行分析，并考虑几何非线性的影响，同时建立多尺度模型^[14-15]对系梁进行局部受力分析，综合桥墩整体稳定性及系梁局部内力分析结果，给出左右幅空心墩间横系梁的最佳设置参数，为后续类似工程项目提供合理参考。

1 工程概况

云南省境内某在建高速项目中的双幅连续刚构桥主桥孔跨布置为(96+3×180+96)m，单幅桥宽12.55 m，左右幅主梁净间距0.4 m。上部结构采用预应力钢筋混凝土变截面单箱室箱梁，中支点梁高11 m，边支点及跨中梁高4 m，梁高按1.8次抛物线渐变，混凝土强度等级为C55，桥梁立面图如图 1所示。下部结构采用变截面空心墩，左右幅桥墩共用一个承台和桩基础，空心墩壁厚80 cm，最大墩高166 m(9号墩)，其桥墩立面和典型断面分别如图 2和图 3所示。横系梁截面尺寸为：截面高度×腹板厚×顶底板厚=500 cm×60 cm×60 cm。墩身混凝土强度等级为C50，承台C40。承台基础采用群桩基础，桩基直径2.2 m。

2 有限元模型的建立

桩土效应对桥梁结构整体刚度、自振周期、振型等有较大影响^[16]，在建立有限空间模型时，采用土弹簧模拟桩土作用，根据《公路桥涵地基与基础设计规范》(JTG 3363—2019)中的“m法”进行弹簧刚度计算取值，墩柱与承台、主梁与墩柱间采用弹性刚性连接，桩基与承台采用刚性连接中的主从约束连接；对于多尺度模型，杆系单元与实体单元接触面的节点采用刚性连接。本研究采用有限元分析软件，建立全桥计算模型，如图 4所示。限于篇幅，以9号桥墩(最大墩高)为研究对象，分别建立各工况下不同系梁参数的墩柱模型，并建立多尺度模型对系梁进行局部受力分析，文中所建的典型多尺度模型之一如图 5所示。

3 稳定性分析方法

失稳是指结构承受的外部荷载增加到某一量值时，稳定状态开始丧失，稍有扰动，结构就会产生较大变形，失去正常工作能力。结构失稳问题可分为两类^[17]：第1类稳定为分支点失稳，也称为欧拉式的稳定问题，随着荷载的增加，结构从初始稳定状态变化到临近的某个稳定状态；第2类稳定为极值点失稳，结构保持一个平衡状态，随着荷载的增加，在应力较大的区域进入塑性，使结构的变形很快增大，当荷载达到一定数值时，即使不再增加，结构变形也会迅速增大而使结构失去承载能力，甚至倒塌。

3.1 线性屈曲分析

线性稳定分析方法的基本假定是结构和材料均为线性的，结构的内力与外荷载成比例关系，力学概念明确。随着外荷载的增加，结构的变形和应力状态都发生变化，达到临界荷载时，结构的失稳可用有限元平衡方程表示，由最小势能原理推导的平衡方程^[18]为：

$ \left(\boldsymbol{K}_{\mathrm{D}}+\lambda \boldsymbol{K}_{\mathrm{G}}\right) \boldsymbol{X}=\lambda \boldsymbol{F}, $

(1)

式中，K_D和K_G分别为结构的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵；λ为各阶段特征值；X为结构上各节点的位移向量；F为节点荷载作用向量。

当结构达到临界平衡状态时，扰动位移X +ΔX使得结构在外力不改变的情况下处于平衡，此时结构的平衡方程为：

$ \left(\boldsymbol{K}_{\mathrm{D}}+\lambda \boldsymbol{K}_{\mathrm{G}}\right)(\boldsymbol{X}+\Delta \boldsymbol{X})=\lambda \boldsymbol{F} 。$

(2)

由方程(1)与方程(2)可得：

$ \left(\boldsymbol{K}_{\mathrm{D}}+\lambda \boldsymbol{K}_{\mathrm{G}}\right) \Delta \boldsymbol{X}=0 \text { 。} $

(3)

对任何一个位移增量ΔX都需满足方程(3)，则可令矩阵行列式的值为0，即：

$ \left|\boldsymbol{K}_{\mathrm{D}}+\lambda \boldsymbol{K}_{\mathrm{G}}\right|=0 \text { 。} $

(4)

此时，第一类稳定问题可转化为求解广义特征值的问题。当方程有n阶时，该方程有n个解，即有n个稳定特征值λ₁，λ₂，λ₃，λ₄，将最小特征值记为λ_cr，即为稳定安全系数，其对应的临界荷载值为λ_crF。

3.2 考虑几何非线性的屈曲分析

当结构发生极值点失稳时，平衡路径不再发生分支，也不会有新的平衡状态，结构彻底失去承载能力，外荷载的微小变化都会导致变形持续增加。在结构考虑几何非线性效应时，其基本方程^[19-21]表示如下：

$ \left(\boldsymbol{K}_{0}+\boldsymbol{K}_{\mathrm{L}}+\boldsymbol{K}_{\delta}\right) \boldsymbol{\delta}=\boldsymbol{X}, $

(5)

式中，$\boldsymbol{K}_{0}$ 为小位移弹性刚度矩阵；$\boldsymbol{K}_{\mathrm{L}}$ 为大位移刚度矩阵；$\boldsymbol{K}_{\delta}$ 为初始应力矩阵；$\boldsymbol{\delta}$ 为等效节点荷载向量；$\boldsymbol{X}$ 为结构上各节点的位移向量。$\boldsymbol{K}_{\mathrm{L}}$ 和$\boldsymbol{K}_{\delta}$ 是$\delta$ 的函数，所以式（5）为非线性方程组。

针对非线性方程组，需采用增量法求解。常用的方法有弧长增量法、位移增量法、Newton-Raphson法等。采用位移增量法求解时，荷载从零开始，逐步增大到$\boldsymbol{\lambda}_{i} \boldsymbol{X}$，当$\boldsymbol{\delta}$ 开始发散时，$\boldsymbol{\lambda}_{i} \boldsymbol{X}$即为墩柱的极限承载力。通常可将非线性方程组写为如下形式：

$ K(\delta) \boldsymbol{\delta}-\lambda_{i} \boldsymbol{X}=0, $

(6)

式中$\lambda_{i}$ 为荷载因子，假定：

$ \lambda_{i}>\lambda_{i-1}>\cdots>\lambda_{2}>\lambda_{1}>\lambda_{0}=0。$

在每一个荷载步内对非线性方程(6)进行线性化，可得增量形式的平衡方程：

$ \begin{align*} & K(\delta) \boldsymbol{\varDelta} \boldsymbol{\delta}-\lambda_{i} \boldsymbol{\varDelta} \boldsymbol{X}=0, \\ & \boldsymbol{\varDelta} \boldsymbol{X}=\left(\lambda_{i}-\lambda_{i-1}\right) \boldsymbol{X}, \end{align*} $

(7)

式中，$\boldsymbol{\varDelta} \boldsymbol{\delta}$ 为节点位移增量；$\boldsymbol{\varDelta} \boldsymbol{X}$ 为等效节点荷载增量。

4 弹性稳定分析结果 4.1 最高裸墩状态

裸墩在施工过程中可能出现的荷载主要有：①结构自重；②0号块湿重：8 916 kN；③每侧托架重1 100 kN；④横桥向风荷载；⑤顺桥向风荷载。风荷载根据《公路桥梁抗风设计规范》(JTG/T 3360-01—2018)取值。

对上述荷载根据《公路桥涵设计通用规范》(JTG D60—2015)进行如下组合，共2种典型工况。

工况1：①+②+③+④；

工况2：①+②+③+⑤。

为讨论系梁设置的数量、位置及系梁相对刚度对裸墩状态下桥墩稳定性的影响，分别在各工况下建立对应的分析模型。

4.1.1 系梁数量的影响

分别考虑不设系梁以及设置1~5道系梁等6种情况，系梁的设置参考文献[22]的方式沿墩柱高度方向均分。其稳定分析结果如图 6所示，第一阶失稳模态情况如表 1所示。

由图 6及表 1可知，在裸墩状态下，当左右幅桥墩间未设置系梁时，墩柱为横桥向失稳，最小稳定系数达39.8。当设置1道系梁时，其稳定系数接近未设系梁时的2.2倍。当系梁数量大于1道时，裸墩的失稳模态均变为纵桥向，工况1作用下的稳定系数基本维持不变，工况2作用下的稳定性较1道系梁时增加3.4%~3.6%。在此施工阶段，设置更多的系梁无明显益处。

4.1.2 系梁位置的影响

根据上述对系梁数量的影响分析，设置1道系梁较为合理，故以设置1道系梁的情况进行分析。以墩底为坐标原点，以系梁相对墩柱高度的百分比为横坐标、稳定系数为纵坐标建立坐标轴，研究系梁的设置位置对墩柱稳定性的影响。分析结果如图 7所示。

图 7的分析结果显示，系梁设置于墩柱中下部时，随着系梁位置的升高，稳定系数也随之增加，在0.5倍墩高附近达到最佳稳定状态。当系梁位于墩柱中上部时，随着设置位置的增高，在工况1作用下，稳定系数逐渐降低，最大降幅为6%，在工况2作用下，其稳定状态保持不变。在裸墩状态下，系梁设置于0.45~0.85倍墩高时即可使得超高空心墩的稳定性维持在最佳状态附近5%的变化范围内。

4.1.3 系梁刚度的影响

在系梁设置位置较为合理的情况下，通过改变系梁的截面高度以及壁厚来调整系梁相对刚度，研究系梁刚度变化对墩柱稳定性的影响，此处的相对刚度为系梁与单幅墩柱在横桥向的抗弯刚度比。根据前面的分析结果，取系梁设置于高度85 m处的墩柱进行相对刚度在2种典型工况下的稳定性影响分析，分析结果如图 8所示。

由图 8可知，系梁壁厚对墩柱稳定性无直接影响，随着系梁相对刚度的增加，稳定性得到快速提高，但当相对刚度大于0.4时，稳定系数基本维持不变，且工况2作用下系梁刚度对稳定性的影响较工况1敏感，工况1作用下的相对刚度达到0.3时即可趋于稳定。

4.2 最大悬臂状态

从悬臂段开始施工到桥跨合龙期间，可能出现的荷载主要有：①自重荷载；②挂篮重，每侧悬臂端1 100 kN；③一侧挂篮跌落，动力放大系数取2.0^[23]；④横桥向风荷载，根据规范考虑上部结构非对称风荷载，荷载施加时，取非对称荷载为另一悬臂端的0.5倍；⑤顺桥向风荷载；⑥墩顶合龙时的顶推反力，取500 kN。

对上述荷载根据《公路斜拉桥设计规范》(JTG/T 3365-01—2020)进行如下组合，共3种典型工况。

工况1：①+②+③+④；

工况2：①+②+③+⑤；

工况3：①+②+③+⑥。

同理，以系梁设置的数量、位置及系梁相对刚度为变量进行最大悬臂状态下桥墩的稳定性研究，分别在各工况下建立对应的分析模型。

4.2.1 系梁数量的影响

同裸墩状态下系梁的设置方法，其分析结果如图 9所示，第一阶失稳模态情况如表 2所示。

根据图 9及表 2可知，在最大悬臂状态下：

(1) 设置1道系梁与未设系梁时墩柱在3个典型工况下的稳定系数比值分别为2.07，2.18，2.19，相比裸墩状态下的墩柱稳定性，设置1道系梁时的稳定性均比未设系梁时提高1倍以上。

(2) 当设置系梁时，工况1与工况3作用下的荷载情况对墩柱的稳定性较工况2不利，在设计中起控制作用。

(3) 当系梁数量大于1道时，3种工况作用下的稳定系数较1道系梁时的最大增幅分别为1.6%，3.6%，1.7%，可见系梁数量的增加对稳定性影响甚微。

(4) 随着系梁数量的增加，超高墩的失稳模态从横桥向变为纵桥向，横桥向的稳定性得到提高，但对纵桥向的稳定影响较小。

可以得出，在最大悬臂状态下，系梁的设置数量对墩柱的稳定性与裸墩状态下的变化规律相似，即当系梁数量大于1道时，系梁的增加对墩柱的整体稳定性影响不大。

4.2.2 系梁位置的影响

当左右幅墩柱施工至最大悬臂状态的过程中受到非对称荷载时，对两幅桥墩间设置的系梁受力极为不利，如一侧挂篮跌落或横桥向非对称风荷载，系梁都将受到较大的扭矩。同时参考文献[24-25]中双肢薄壁墩纵向系梁的设置建议，结合上述分析结果，分别以设置1道、2道系梁的情况进行系梁位置的影响分析。当设置2道系梁时，系梁的布置方式有多种，其中系梁偏低设置时考虑(10+65)，(20+75)，(10+90)，(20+95)，(30+85)，(30+100) m共6种情况；系梁靠近中部设置时考虑(40+95)，(40+105)，(50+105)，(55+110)，(60+115)，(70+120)m共6种情况；系梁偏高设置时，考虑(80+125)，(80+135)，(90+130)，(90+145)，(100+135)，(100+155)，(110+140)，(110+165)m共8种情况。各工况作用下设置1道、2道系梁的稳定性影响分析结果如图 10~11所示。

由图 10~11可知：

(1) 在工况1作用下，设置1道与2道系梁时的墩柱稳定性随着系梁位置的抬高均具有先增大后又降低的规律，最大稳定系数分别为17.36和17.51，最大降幅分别为2.7%和9.5%。

(2) 在工况2与工况3作用下，设置1道系梁且位于0.5倍柱高，和以上和设置2道系梁且其中任意1道系梁位于0.55倍柱高及以上时，其稳定性基本保持不变，且1道系梁与2道系梁的稳定系数基本一致。

(3) 当设置1道系梁时，系梁位置越靠近墩柱底部，稳定性越低，接近柱底时，稳定性最差，与未设系梁时的稳定效果一致。

在3种工况下，设置1道系梁时，系梁位于0.45~0.75倍墩高范围内，墩柱稳定系数可控制在5%的变化范围内。设置2道系梁时，系梁间距控制在0.2~0.5倍墩高范围内，仅需任意一道系梁位于0.55倍柱高及以上，其稳定性方可控制在5%的浮动范围内。同时，设置2道系梁时墩柱维持自身稳定性的能力较一道系梁时强。

4.2.3 系梁刚度的影响

采取与裸墩状态下系梁刚度对稳定性影响的分析方法，结合前面分析结果，对较不利工况1与工况3进行研究，以设置高度为85 m的1道系梁和50 m+105 m的2道系梁进行系梁刚度对稳定性的影响分析，分析结果如图 12和图 13所示。

由图 12和图 13可知：

(1) 墩柱稳定性与系梁相对刚度正相关，当相对刚度大于0.4时，2种工况作用下设置1道或2道系梁的稳定系数增幅均较小。

(2) 当系梁相对刚度小于0.3时，设置2道系梁时的稳定性均明显优于1道系梁，当相对刚度大于等于0.3时，稳定系数变化均较小，维持在17.3~17.7之间，此时系梁刚度的增加对稳定性的改善无明显效果。

(3) 文中所讨论的4种壁厚对墩柱的稳定性无直接影响，但随着系梁相对刚度的增加，设置2道系梁较1道系梁时墩柱维持自身稳定性的能力强，1道系梁与2道系梁时的稳定系数变化幅度分别为19%和0.6%。

5 非线性稳定分析结果

根据上述分析可知，系梁的设置对左右幅超高墩的稳定性影响较大，尤其对处于最大悬臂状态下的墩柱较为敏感。左右幅桥墩在挂篮悬臂施工过程中，当受到横桥向非对称风荷载以及挂篮一侧跌落的偶然荷载时会形成较大扭矩，桥跨合龙时纵桥向的预加推力对墩柱造成的附加弯矩也较大，需充分考虑几何非线性对桥墩稳定性的影响。结合上文对系梁的线性稳定分析结果，以系梁相对刚度为0.4、设置高度为85 m的1道系梁和50 m+105 m的2道系梁进行最高裸墩及最大悬臂状态下的研究分析。通过线性稳定分析中的一阶模态方向考虑施工缺陷对结构稳定性的影响，参考《公路工程质量检验评定标准第一册(土建工程)》(JTG F80/1—2017)分别沿各工况下第一阶模态屈曲失稳的方向给定最大初始缺陷值30 mm。荷载系数与墩顶位移关系如图 14~16所示。

由图 14~16可知：

(1) 设置一道系梁或两道系梁时，考虑几何非线性的稳定系数在各工况下均比第一类稳定系数低，最高裸墩状态下降幅均大于15%，最大悬臂状态下降幅大于60%，表明双幅大跨度连续刚构桥超高墩的稳定性对施工过程中造成的几何缺陷极为敏感。

(2) 主梁处于最大悬臂状态时，墩柱在工况2作用下设置1道系梁时的非线性稳定系数为设置2道系梁时的90%，其余工况下，1道系梁或2道系梁对应的荷载系数无较大差异。

(3) 无论系梁数量的多少，考虑几何非线时，工况1作用下的稳定系数均较其余工况大，表明左右幅超高空心墩间设置横桥向系梁时，纵桥向荷载对非线性稳定的影响更应引起重视。

6 局部受力分析结果

双幅连续刚构桥左右幅超高空心墩间设置横向系梁可有效提高结构的稳定性，在一定程度上可减小墩身尺寸，但系梁的设置会造成墩身受力更加复杂，若设置不合理反而带来不良效果。居于上文的弹性稳定分析结果，对最大悬臂状态下设置高度为85 m的1道系梁和(50+105) m下2道系梁时的墩柱进行3种工况下的应力计算，采用多尺度模型进行局部受力分析。多尺度模型能够有效解决常规局部实体分析模型中等效边界难以精确模拟、计算精度低或工作量大的难题^[26-27]。限于篇幅，考虑到研究成果的完整性和文章的精简性，仅以系梁受力较为典型的一侧腹板绘制腹板外表面的应力等值线图，对设置2道系梁的墩柱，以上系梁的分析结果进行绘制，结果如图 17~20所示。

根据应力等值线图可知：

(1) 在工况1与工况2作用下，系梁腹板的局部最大拉应力与压应力均较工况3大，表明非对称风荷载以及挂篮偶然跌落对系梁的受力影响较大，施工中应尽可能避免非对称荷载的出现。

(2) 3种工况作用下，设置2道系梁时的腹板应力均较1道系梁时有较大改善，最大主拉应力比1道系梁时分别降低31.0%，37.0%，12.5%，最大主压应力分别降低54.3%，1.3%，1.6%。

(3) 最大主拉应力或主压应力主要出现在系梁与墩柱连接的一定范围内，在设计过程中可通过构造措施降低局部应力峰值，如连接处进行倒角或加腋等。

(4) 系梁腹板的最大主拉应力与《混凝土结构设计规范(2015年版)》(GB 50010—2010)中混凝土的抗拉强度标准值相当，而最大主压应力较混凝土抗压强度标准值有一定富余度，主拉应力的控制为横向系梁设计的核心。

7 结论

通过对双幅共用桥墩的大跨度连续刚构桥超高空心墩在施工阶段典型工况下的稳定性分析，研究了左右幅高墩间设置不同设计参数的横向系梁对桥墩的影响，得到以下结论。

(1) 当左右幅超高空心墩间设置横向系梁时，墩柱横桥向的稳定性得到较大改善。当施工阶段出现较大外部荷载时，设置2道系梁的墩柱维持自身稳定性的能力较1道系梁时强，且系梁腹板最大主拉应力比1道系梁时降低37%，但设置2道以上的系梁对墩柱稳定性无明显提高。

(2) 根据规范控制的最大初始缺陷考虑几何非线性稳定时，最不利工况时墩柱的屈曲荷载仅为线性状态下的40%。对大跨度刚构桥的超高空心墩设计时须考虑几何非线性的影响，同时，严格控制施工精度。

(3) 左右幅大跨径连续刚构桥共用的超高空心墩在施工阶段受非对称荷载的影响较大，横桥向系梁的设置参数需结合墩柱弹性稳定、几何非线性稳定和系梁局部应力指标综合确定。