0 引言

桥梁结构中由构件失效破坏引起的结构损伤甚至破坏一直以来都是研究者们关注的重点，其关键在于某一构件的破坏通常是在极短时间内发生的脆性破坏。不同于普通的静力作用，在降低结构安全性的同时，破坏的构件还会对结构造成一种动力性质的冲击作用，这种冲击作用很有可能会引起结构其他构件的损伤，甚至导致整体结构的倒塌。

国内学者的研究主要集中在对构件失效的模拟及结构鲁棒性分析^[1-6]。沈锐利^[1]分析了单根吊索断裂时自锚式悬索桥的强健性；邱文亮^[4]对悬索桥断索进行了有限元模拟，并分析了影响桥梁动力响应的有限元模型参数。此外，有学者将构件突然失效与结构连续倒塌相联系并分析其机理^[6-11]。Malla^[10]分析了瞬间局部损伤引起的结构响应，认为空间结构发生倒塌的危险性较大；蔡建国^[11]研究了撑杆失效对张弦结构抗连续倒塌性能的影响，并提出可通过荷载动力放大系数将静力荷载进行放大，从而间接模拟结构的动力响应。还有部分学者关注到了采用动力学方法分析构件瞬时失效问题的复杂性，并尝试对其进行改进优化^[12-19]。Goto^[12]研究了钢桁架桥拉杆突然失效引起的动态应力放大现象，并提出了一种计算动力放大系数的简化方法。然而，以结构在构件失效前后的2个平衡状态之间的应力关系来考虑构件瞬时失效所产生的应力重分布现象的研究鲜有报道。

综上，本研究提出了平衡迁移法，即构件瞬时失效影响下计算桥梁结构最大动应力的简便方法。该方法基于构件瞬时失效前后静力平衡状态的迁移，建立了结构最不利状态下的应力计算式，在求解时只需获取构件失效前后2个静力平衡状态的应力即可计算出结构在受到构件瞬时失效的冲击作用后的最不利状态下的应力，省去了复杂的动力学分析过程，极大提高了计算效率。

1 平衡迁移法基本思想及理论计算公式 1.1 基本思想

根据能量守恒的基本原理可知，在不考虑外界因素影响的条件下，当结构内部某个构件失效破坏时，构件原有的应变能会释放给剩余结构，该能量会被剩余结构的其他构件吸收，从而引起其他构件应力的重分布。而根据结构动力学理论可知，结构在受到某一冲击作用后会进行一种有规律的振动，这种振动一般是有阻尼的自由振动^[20]。结构在振动前后都会处在一种平衡状态，振动前的状态定义为第1平衡状态，振动后的状态定义为第2平衡状态，这2种状态实际上都是一种静力平衡状态。伴随着能量的转移，结构在很短时间内完成了从第1平衡状态向第2平衡状态的迁移。直接获取振动至最不利状态的位移或内力较为困难，但获取前后2个平衡状态的位移或内力却较容易。平衡迁移过程如图 1所示。

低阻尼(阻尼比＜1)结构体系自由振动位移存在衰减规律^[20]。根据振动位移规律进行反推，结构在构件瞬时失效前后2个平衡状态的应力及最大动位移处的应力三者之间也必然存在某种函数关系，若确定了2个平衡状态之间的应力函数关系即可获得结构振动至最大位移状态时的应力。

1.2 理论计算公式

结构体系在某一构件瞬时失效时，将由第1平衡状态向第2平衡状态迁移，可视为体系在失效构件所承受力的反作用下由第2平衡状态达到第1平衡状态，反作用力瞬时消失后结构体系作自由振动。第1平衡状态与振动状态临界点位移满足运动微分方程，如式(1)所示。第2平衡状态与振动状态临界点位移满足运动微分方程，如式(2)所示。

$ \boldsymbol{M}_{1} \ddot{\boldsymbol{u}}_{1}+\boldsymbol{C}_{1} \dot{\boldsymbol{u}}_{1}+\boldsymbol{K}_{1} \boldsymbol{u}_{1}=0, $

(1)

$ \boldsymbol{M}_{2} \ddot{\boldsymbol{u}}_{2}+\boldsymbol{C}_{2} \dot{\boldsymbol{u}}_{2}+\boldsymbol{K}_{2} \boldsymbol{u}_{2}=0, $

(2)

式中，$\boldsymbol{M}$ 为质量矩阵；$\boldsymbol{C}$ 为阻尼矩阵；$\boldsymbol{K}$ 为刚度矩阵；$\boldsymbol{u}_{1}$ 为第1平衡状态的位移列阵；$\boldsymbol{u}_{2}$ 为第2平衡状态的位移列阵。

结构体系相对于初始位置可能出现2种振动模式，如图 2所示。图中初始位置位移为0，前后2个平衡位置的静位移差值如式(3)所示，而体系最大动位移^[20]满足式(4)。

$ \Delta \boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{1}-\boldsymbol{u}_{2}, $

(3)

$ \boldsymbol{u}_{\max }=\boldsymbol{u}_{1} \pm \Delta \boldsymbol{u}\left[1+\exp \left(\frac{-\xi \mathsf{π}}{\sqrt{1-\xi^{2}}}\right)\right] , $

(4)

式中，$\boldsymbol{u}_{\text {max }}$ 为体系最大动位移列阵；$\xi$ 为体系阻尼比，$\xi < 1$。

根据弹性力学理论，结构体系的几何方程如式(5)所示，物理方程如式(6)所示。

$ \boldsymbol{\varepsilon}=\boldsymbol{L} \boldsymbol{u}, $

(5)

$ \boldsymbol{\sigma}=\boldsymbol{D} \boldsymbol{\varepsilon}, $

(6)

式中，$\boldsymbol{\varepsilon}$ 为应变列阵；$\boldsymbol{L}$ 为微分算子矩阵；$\boldsymbol{\sigma}$ 为应力列阵；$\boldsymbol{D}$ 为弹性矩阵。

将$\boldsymbol{u}_{1}, ~ \boldsymbol{u}_{2}, ~ \boldsymbol{u}_{\text {max }}$ 代入式（5）和式（6），计算出结构体系在2个平衡状态的应力$\boldsymbol{\sigma}_{\text {I }}$ 和$\boldsymbol{\sigma}_{\text {II }}$，以及在某一构件失效后振动过程中的最大动应力$\boldsymbol{\sigma}_{\text {max }}$。将式（3），（4），（7）联立，可得式（8）。

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{I}}=\boldsymbol{D} \boldsymbol{L} \boldsymbol{u}_{1} \\ \boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{II}}=\boldsymbol{D} \boldsymbol{L} \boldsymbol{u}_{2} \\ \boldsymbol{\sigma}_{\max }=\boldsymbol{D} \boldsymbol{L} \boldsymbol{u}_{\max } \end{array}\right. , $

(7)

$ \boldsymbol{\sigma}_{\max }=\boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{I}} \pm\left(\boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{II}}-\boldsymbol{\sigma}_{\mathrm{I}}\right)\left[1+\exp \left(\frac{-\xi \mathsf{π}}{\sqrt{1-\xi^{2}}}\right)\right] 。$

(8)

2 构件瞬时失效模拟

为验证平衡迁移法的可行性，采用有限元方法获取结构最不利状态下各构件的应力。参考文献[12]中的方法，以2个随时间变化的等效节点力来模拟构件失效过程，将失效构件从失效点处一分为二; 通过对节点i和节点j处施加一对外力F_i和F_j来等效代替构件失效前的完整结构，且这2个力应与构件失效前完整结构计算出的该失效构件的轴力大小相等，方向相同，如图 3所示。

由于失效构件本身重力及应变对剩余结构的影响很小^[12]，因此仅考虑其失效后对剩余结构的冲击作用而忽略构件本身的影响，F_i和F_j定义为：

$ F_{i} =F_{i 0}\left(t_{\mathrm{f}}-t\right) / t_{\mathrm{f}}, $

(9)

$ -F_{j} =-F_{j 0}\left(t_{\mathrm{f}}-t\right) / t_{\mathrm{f}}, $

(10)

式中，F_i0为完整结构中失效构件i端的轴力；F_j0为完整结构中失效构件j端的轴力；t_f为构件失效时间；t为构件失效过程中某一时刻。

构件失效时间t_f越短，构件失效就越趋于瞬时的脆性断裂，其对剩余结构的影响也越大。根据以往研究经验，构件失效时间为0.01~4.0 s，当t_f < 0.05 T(T为结构的自振周期)时，所造成的冲击效应最为明显，且可以有效避免达到峰值位移的时滞^[21]。

运用Midas Civil有限元软件中的时程分析进行动力学模拟，F_i和F_j的力-时间图像如图 4所示。以时变静力荷载的形式在很短时间内将恒载施加在结构上，并以非线性静力法定义恒载荷载工况，以非线性直接积分法定义构件失效的工况，并接续恒载荷载工况进行分析。

3 算例分析 3.1 算例1

采用平衡迁移法及有限元动力模拟方法，以广东省广州市明珠湾大桥的一段简支体系引桥为研究对象，检验平衡迁移法的可行性及计算精确性。建立有限元模型，如图 5所示；沿顺桥向对每个桁架杆进行编号，如图 6所示。

引桥模型上部结构为三榀钢桁架，纵桥向尺寸为11.15 m+7×12.0 m，横桥向尺寸为2.0 m×18.1 m，竖腹杆长为10.36 m。主桁材料采用Q420钢，平纵连接杆采用Q390钢，桥墩采用C50混凝土。上、下弦杆均采用箱形截面，腹杆部分采用工字形截面，部分采用箱形截面。考虑各项恒载作用，结构自重系数取― 1.02；桥面铺装、桥面护栏、人行道、管线及支架均采用梁单元分布荷载施加于结构上，其中桥面铺装、桥面护栏、人行道/护栏、管线/支架的荷载集度分别为― 16.50，― 1.77，― 54.92，― 10.0 kN/m。上部结构各桁架杆及桥墩均采用梁单元模拟，与桥墩采用弹性连接，一端为固定铰接，另一端为可动铰接，忽略了桩土之间的弹性作用，而直接将承台底部视为固结。结构阻尼比取0.05，结构的自振周期为0.381 s。时程分析中，分析时长取10.0 s，构件在第4.0 s时瞬时失效，构件失效时间取0.02 s (0.05T)。同时为保证结果准确性及曲线的光滑度，分析时间步长取0.01 s。

桁架杆的断裂对同一榀内的其他杆有显著影响，且对与断杆临近的杆影响最大^[12]。此处仅列举与断裂杆件在同一榀内的其他杆件的应力变化规律进行分析。静力分析(原结构)应力值为σ_Ⅰ，静力分析(杆件断后)应力值为σ_Ⅱ及阻尼比ξ代入式(8)即可求得最大动应力σ_max，并将上弦杆的时程分析结果与采用平衡迁移法计算的结果进行对比，如表 1所示。其中，误差=(平衡迁移法结果—时程分析结果)/时程分析结果×100%，可见，平衡迁移法的计算结果均较准确，且越靠近断杆的杆件结果越准确。

下弦杆和竖腹杆的计算结果与时程分析结果对比如图 7所示，可以直观地看到平衡迁移法计算下弦杆和竖腹杆的结果也较为精确。

3.2 算例2

以一座80 m跨径钢管混凝土系杆拱桥为研究对象，进一步验证平衡迁移法的可行性和适用性。在Midas Civil软件中建立有限元模型，如图 8所示。与算例1采用相同的方法进行时程分析，获取结构在吊杆断裂后的动力学计算结果。拱桥模型跨径为80.0 m，横梁长为14.3 m。系梁及横梁材料采用C50混凝土，钢管混凝土拱肋材料采用Q345钢及C50混凝土，风撑材料采用Q345钢，吊杆材料采用Wire1670钢。系梁采用工字型截面，横梁采用T型截面，拱肋采用钢管-混凝土截面，吊杆采用实腹圆形截面，风撑采用管型截面。主梁采用一般支承，一端固定、一端铰接，吊杆与拱肋采用刚性连接。考虑了拱桥的自重及二期荷载作用，自重系数取― 1，二期荷载采用梁单元分布荷载，荷载集度为―8.2 kN/m。结构阻尼比取0.05，结构自振周期为0.548 9 s。时程分析中，分析时长取10.0 s，吊杆在第5.0 s时瞬时断裂，吊杆断裂时间仍取0.02 s (0.04 T)，分析时间步长仍取0.01 s。

拱桥吊杆断裂前后平衡状态的应力云图如图 9所示。图中显示了拱桥的变形，可见吊杆断裂处左右紧邻的拱肋应力有明显增大。

本研究重点考察吊杆断裂处左右紧邻的拱肋单元，将其时程分析结果与平衡迁移法的计算结果进行对比，如表 2所示。平衡迁移法的计算结果与时程分析的结果仅有较小的误差，再次验证了平衡迁移法的可行性及精确性。同时也说明了平衡迁移法不仅适用于钢桁架结构，还适用于系杆拱桥结构。

结合算例1和算例2的分析结果能够发现，单一构件的失效破坏事实上很难对整个结构造成很大影响，通常只对与其临近的构件有较大的影响，而对其他空间位置的构件影响很小，即结构某个位置受到的动力作用可能并不会引起结构所有构件的大幅振动或构件振动规律不明显。在拟动力分析中，所有截面和构件采用相同的动力放大系数并不合理^[5]，这也导致采用一个统一的公式计算所有构件的动力响应是较为复杂的，保证所有构件的计算精度是较为困难的，这一点还需要更深入的研究寻求解决。

在分析过程中还关注到，同一问题若采用平衡迁移法快速求解只需进行2次静力分析，分析时间以算例1为例，约为2×0.99 s；而采用传统动力学分析则需要17.27 s，且时程分析时间步长越短所需时间越长，占用系统内存越多。可见采用平衡迁移法将节省大量的计算时间(约为88.5%)，计算效率将大幅提高(约为8.7倍)，尤其是对于一些复杂结构，这种差异会更明显，平衡迁移法的优势也会更明显。

4 结构参数对计算精度的影响

考虑到不同的结构参数可能会对平衡迁移法的计算精度造成影响，选取阻尼比和构件失效时间这2个参数考察其对平衡迁移法的计算结果是否有显著影响。

4.1 阻尼比

改变算例1中模型的阻尼比，选取ξ=0.01，0.03，0.07，0.10作为对照组，并绘制105^#节点的位移时程曲线，如图 10所示。由图可见，阻尼比对结构的自振频率没有影响，仅对振幅及振动衰减速率有影响。当ξ取0.01和0.10时，平衡迁移法计算精度均较好(见图 11)。阻尼比仅影响节点最大动位移的值及振动衰减的速率，而对平衡迁移法的计算精度影响较小。

4.2 构件失效时间

保持算例1中模型的其他参数不变，阻尼比取0.05，改变构件失效时间，考察构件失效时间的不同对平衡迁移法计算结果的影响，构件失效时间t_f分别取0.05T，0.10T，0.30T，0.40T，0.50T。仍取105^#节点的位移时程曲线分析，如图 12所示。构件失效时间越长，节点振动至最大位移的时滞越大，节点最大振幅越小，构件瞬时失效对剩余结构的冲击作用越不明显。

分别获取不同构件失效时间条件下各上弦杆的时程分析结果，并与平衡迁移法计算结果进行对比，如图 13所示。对比发现，t_f=0.5T的时程分析结果与平衡迁移法计算结果相差较大，而t_f=0.1T的时程分析结果与平衡迁移法计算结果较接近。构件失效时间越短(即越趋于脆性断裂)，平衡迁移法的计算结果越精确，而构件失效时间越长(即越趋于延性断裂)，平衡迁移法的计算精度越差。

5 结论

为简化计算构件瞬时失效后结构的最大动应力，提高计算效率，本研究基于结构在构件瞬时失效前后静力平衡状态的迁移过程，提出以前后2个静力平衡状态应力来计算结构最大动应力的平衡迁移法，并建立平衡迁移法计算公式。使用平衡迁移法对明珠湾大桥的一段简支体系引桥及一座钢管混凝土系杆拱桥进行算例分析及结果对比，验证了方法的可行性及精确性，并研究了不同结构参数对计算精度的影响。

(1) 算例中采用平衡迁移法计算的各桁架杆和拱肋在构件瞬时失效影响下的最大动应力与动力时程分析结果误差较小，平衡迁移法在计算钢桁架结构及系杆拱桥结构时具有较好的可行性和计算精确性。

(2) 同一问题若采用平衡迁移法快速求解相较于传统动力学分析将节省大量的计算时间，且结构越复杂，分析时间越长，平衡迁移法的优势越明显，同时平衡迁移法也因其操作简单而更便于工程人员上手使用，其工程实用性较高。

(3) 阻尼比的变化会引起振幅及振动衰减速率的变化，但对平衡迁移法计算精度的影响较小；构件失效时间越长，节点振动至最大位移处的时滞越长，平衡迁移法计算结果误差越大，而构件失效时间越短，构件越趋于瞬时的脆性断裂，平衡迁移法计算结果越精确。