0 引言

地锚式悬索桥建设处于快速发展阶段，受山区地形条件限制，山区悬索桥一般采用非对称整体布局设计，以适应在有限空间内进行施工^[1]。不等高索塔地锚式悬索桥是一种特殊的桥梁结构，其主要特点在于悬索桥索塔的高度不相等，这种设计通常是为了适应特定的地形条件或满足特定的工程需求。应用较为广泛的不等高索塔地锚式悬索桥的受力情况比传统悬索桥更为复杂^[2]。由于桥塔高度不同，导致主缆和吊索的受力分布不均，从而增加了桥梁的受力复杂性和设计难度，为此国内外学者针对不等高索塔悬索桥成桥力学模型的构建及力学特征展开深入研究。

缆索结构是不等高索塔悬索桥主要研究要点^[3]，成桥状态主缆找形计算为重要研究内容^[4]。现有缆索理论主要有悬链线方程理论^[5]、弹性悬链线理论^[6]及缆索有限元理论^[7]。前2种缆索计算理论是基于缆索微元推导得到的^[8]，由于基本假定条件与实际情况存在一定差异性，计算存在一定误差^[9]。有限元软件中缆索结构单元是由经典缆索理论推导得到的，计算误差显然存在。悬索桥成桥状态主缆计算方法有迭代算法^[10-12]、解析算法^[13-15]及有限元法^[16]。迭代算法是根据抛物线理论推导的初始值，从几何相容控制方程出发，不断修正初始值以使得几何相容差值不断接近收敛差值。解析算法是由基本未知量与非线性方程组成，通过求解非线性方程组来实现力学模型的求解。有限元模型借助大型矩阵进行迭代计算，使当前构形与目标构形无限接近^[17]。

在不等高索塔悬索桥结构设计方面，需要考虑桥塔的高度差异对桥梁整体力学特征的影响，桥梁设计师需通过精确的计算和模拟，以确定合理的桥塔高度和桥梁跨度，确保桥梁设计的合理性。传统迭代算法可描述为：首先，根据吊索布置情况，以成桥加劲梁吊点位移为0为目标，借助有限元软件确定吊索索力；然后，确定不等高索塔高差与矮塔IP点至斜率最低点的矢高，假定斜率最低点位置，以IP点及斜率最低点间计算高度为矢高的控制目标，借助主缆迭代方法求解IP点处水平缆力与竖向缆力，再根据力学平衡条件与缆索单元几何非线性方程确定本轮斜率最低点，判断计算点与假定点是否满足收敛精度要求，否则继续假定斜率最低点，直至满足收敛要求。

主缆几何非线性计算与吊索力的确定是分步展开的，需反复迭代计算确定与设计参数矢高相关的斜率最低点。学者们针对不等高索塔悬索桥中特有的计算问题，提出了具有创新性的计算方法。Jiang^[18]提出了一种改进的寻形方法，该方法可以充分考虑每个施工步骤中吊杆力的分量。在迭代过程中，根据平衡方程确定缆索的形状，并通过非线性有限元分析计算吊架力。确定桥梁的初始状态后，通过静态和地震条件下的有限元分析，仔细研究了不对称参数的影响。结果表明，主缆边跨比和塔架刚度会影响水平约束刚度，从而导致不同的桥梁行为。Xiong^[19]根据主梁吊装顺序与桥塔顶推方案的关系，给出了非对称大跨悬索桥主梁吊装顺序优化的计算方法。Deng^[20]针对不等高索塔悬索桥寻形迭代繁琐、收敛速度慢甚至在某些情况下不收敛的问题，提出了一种新的算法，对主缆进行受力分析，找出坡度变化与坐标变化的关系，研究了如何寻找对称或非对称主缆的最小坡度点，建立并求解变形协调方程，得到成桥主缆的形状。邓小康^[21]提出不等高索塔悬索桥主缆找形斜率爬升法，分析主缆构件的力学特征，核心要点为搜寻主缆最低点的位置及其斜率，进而构建缆索变形相容条件方程，通过主缆水平缆力的变化规律求解非线性方程。

国内外关于不等高索塔悬索桥成桥状态计算方法的研究促进了其应用，传统算法主要针对主缆构形的探索，现有文献关于成桥状态确定方法的问题依然存在。成桥吊索索力需要借助有限元模型来构建，传统迭代算法需假定最低点位置并反复迭代确定主缆斜率最低点，无法进行参数化建模，计算过程繁琐。考虑主缆、吊索及加劲梁耦合效应的闭合性不等高索塔悬索桥成桥参数化力学模型，进一步开展关于不等高索塔悬索桥的高差对最低点迁移变化规律影响、主缆与吊索等结构力学特性的研究。本研究以不等高索塔悬索桥成桥状态下缆索斜率最低点为分割对象，构建主缆找形方程组；将分割的加劲梁建立对应计算方程组，以吊索作为联系主缆与加劲梁的纽带，进而联立不等高索塔悬索桥力学计算方程组，构建了不等高索塔悬索桥力学模型，采用数值方法求解参数方程，分析不等高高度对于主缆缆力及主缆线形影响。

1 不等高索塔悬索桥成桥状态解析算法 1.1 中跨结构等效计算原理

不等高索塔悬索桥中跨主缆力学模型等效图如图 1所示。在成桥状态下，主缆承受自重及吊索力作用，本研究对象为应用广泛的不等高索塔单跨地锚式悬索桥。主缆为通长结构形式，两侧IP点对应的矢高分别为f₁和f₂，IP点间的高度差值Δh=f₂-f₁；同时，悬索桥成桥状态的吊索力为P_i，其计算方法采用加劲梁位形解析算法确定，加劲梁构造形式与主缆一致；主缆上点M即为斜率最低点，即分界点。将悬索桥中跨结构以分界点为中心，划分为2个隔离体。当吊索不位于M点处时，其计算模型如图 1(a)所示，此时的M点至左侧加劲梁梁端的距离为未知数x，M点至右侧加劲梁梁端的距离为L-x，隔离体分界点处的吊索力为0；当吊索位于M点处时，M点至左侧加劲梁梁端的距离为L₁(由悬索桥构造特征可知为已知量)，M点至右侧加劲梁梁端的距离为L-L₁，左侧和右侧隔离体分界点处的吊索力分别为V₁和V₂，其计算模型如图 1(b)所示。将不等高索塔悬索桥整体结构划分为主缆、吊索及加劲梁等构建组成。在各自的隔离体内，第i号主缆承受的吊索力为P_i，第i号加劲梁承受的吊索力为F_i。值得注意的是，当吊索位于M点处时，左侧和右侧隔离体端点处的吊索力分别为V₁和V₂，M点处满足力学平衡条件。依次构建其计算方程组，可实现不等高索塔悬索桥力学模型的构建。

因此，亟需提出由于矢跨比为悬索桥设计计算的重要参数，反映了悬索桥结构在索鞍处抗滑性能及结构的刚度。由于不等高索塔悬索桥其最低点M至IP₁与IP₂处的竖向高度分别为f₁与f₂，根据规范要求的矢跨比设置为E。矢跨比、高度差值及跨度满足以下计算关系：

$ E=\frac{f_2}{L-x}=\frac{f_1}{x}, $

(1)

$ \Delta h=f_2-f_{1 }。$

(2)

传统缆索找形算法是从计算空间节点依次开展迭代计算，与等高悬索桥中跨中点即为缆索最低点位置不同，不等高索塔悬索桥的最低点与跨径布置形式、荷载及不等高距离相关，传统迭代算法在计算不等高索塔悬索桥进行设计计算时，存在一定迭代计算困难。将斜率最低点分为作用吊索力和不作用吊索2种情况进行讨论，可有效降低非线性方程组的个数。

1.2 成桥中跨主缆计算方程组的推导 1.2.1 主缆斜率最低点无吊索

当斜率最低点M不作用吊索时，以M点至IP点为计算始末点，爬升法计算力学简图如图 2所示。此时，M点处竖向缆力为0，水平缆力为H₁。最低点M至IP₁点水平距离设置为x，则点M至IP₂点水平距离设置为L-x。

根据精细化缆索非线性方程组及力学条件，推导第i号索段几何位形计算公式为：

$ \begin{gathered} h_i=-\frac{q S_{0 i}^2+2 V_i S_{0 i}}{2 E_{\mathrm{c}} A_{\mathrm{c}}}+\frac{1}{q}\left[\sqrt{H_1^2+V_i^2}-\right. \\ \left.\sqrt{H_1^2+\left(V_i+q S_{0 i}\right)^2}\right], \end{gathered} $

(3)

$ \begin{gathered} l_i=-\frac{H_1 S_{0 i}}{E_{\mathrm{c}} \mathrm{~A}_{\mathrm{c}}}+\frac{H_1}{q}\left\{\ln \left(V_i+\sqrt{H_1^2+V_i^2}\right)-\right. \\ \left.\ln \left[\left(V_i+q S_{0 i}\right)+\sqrt{H_1^2+\left(V_i+q S_{0 i}\right)^2}\right]\right\}, \end{gathered} $

(4)

式中，h_i，l_i，S_0i分别为第i号索段的高度、跨度、无应力长度；q为主缆荷载集度；V_i为第i号索段的竖向缆力；E_c为主缆弹性模量；A_c为主缆截面面积。

对于左侧隔离体，第(m+2)^#缆索跨度计算公式为$l_{m+2}=x-\sum\limits_{i=1}^{m+1} l_i $。左侧隔离体主缆高度计算公式为：

$ f_1=E \cdot x 。$

(5)

以斜率最低点M作为初始计算点，对于左侧隔离体主缆，分别由计算始点计算至IP₁点，计算各索段的高度与无应力长度。根据索段无应力长度及吊索力，左侧隔离体上升段索端竖向缆力递推公式为：

$ V_i=V_{i+1}+P_i+q S_{0, i+1}, $

(6)

式中第i号主缆竖向缆力及无应力长度分别为V_i和S_{0, i+1}。

由缆索始末点几何相容条件而构建的计算公式为：

$ f_1=\sum\limits_{i=1}^{m+2} h_i 。$

(7)

对于主缆吊点力P_i与加劲梁吊点力F_i的计算公式为：

$ P_i=F_i+q_{\mathrm{s}} S_{\mathrm{s}, i}, $

(8)

$ S_{\mathrm{s}, i}=\left(h_i-z_i\right) \cdot\left(1+\frac{P_i}{E_{\mathrm{s}} A_{\mathrm{s}}}\right)^{-1}, $

(9)

式中，q_s为吊索单位长度下吊索质量；S_{s, i}为第i号吊索无应力长度；h_i和z_i分别为主缆、加劲梁第i号吊点坐标值；E_s为吊索弹性模量；A_s为吊索截面面积。

1.2.2 主缆斜率最低点作用吊索力

以斜率最低点M作用吊索为例进行说明，以M点至IP点为计算始末点，力学简图如图 3所示。图中M₁和M₂分别为左、右侧隔离体的计算起点。此时，M点处竖向缆力不为0，水平缆力为H₁，即可求取由对称中心M至IP₁点的高度。主缆位形计算公式见悬索桥主缆计算理论，计算思路基本一致，只是索段距离为已知条件，同时起点处缆力V₁，右半边主缆竖向缆力V₂=P_m+2-V₁。对于左侧隔离体，第n/2+1段缆索跨度计算公式为$ L_1=\sum\limits_{i=1}^{m+2} l_i$。左侧隔离体主缆计算高度为：

$ f_1=E \cdot L_1 。$

(10)

以斜率最低点M作为初始计算点，对于左右侧隔离体主缆，由起点计算至IP₁点和IP₂点，计算各索段的高度与无应力长度。根据索段无应力长度及吊索力，左侧隔离体上升段索端竖向缆力递推公式为：

$ V_{i-1}=V_i+P_{i-1}+q S_{0 i }。$

(11)

在缆索矢高闭合条件下建立的迭代计算方程为：

$ f_1=\sum\limits_{i=1}^{m+2} h_i 。$

(12)

对于斜率最低点处主缆吊点力P_m+2计算公式为：

$ \begin{gathered} S_{\mathrm{s}, m+2}=\left(h_{m+2}-z_{m+2}\right)\left(1+\frac{V_1+V_2}{E_{\mathrm{s}} A_{\mathrm{s}}}\right)^{-1} ; \\ P_{m+2}=F^{\prime}+F^{\prime \prime}+q_{\mathrm{s}} S_{\mathrm{s}, m+2}, \end{gathered} $

(13)

式中S_{s, m+2}为第(m+2)^#吊索无应力长度。

对于斜率最低点处吊索力与加劲梁受载的竖向力关系满足计算关系为：

$ P_{m+2}=V_1+V_2 。$

(14)

2 加劲梁位形计算方程组的推导 2.1 斜率最低点不作用吊索力的加劲梁模型

不作用吊索力时加劲梁受力简图如图 4所示。左侧隔离体对应的加劲梁模型为定向支座与竖向支座组成的简支梁力学体系。m+2个吊索将梁段划分为m+3个梁段，x_i为加劲梁第i号吊点至左端距离。支座o处的竖向位移为0，支座m+2处存在竖向位置，但是其转角为0。将x_m+2设置为未知量x，以斜率最低点左侧隔离体的加劲梁为例进行说明。

根据竖向力平衡条件及弯矩平衡条件分别得出力学平衡和弯矩平衡的计算公式为^[23]：

$ \sum\limits_{i=0}^{m+1} F_i-q x_{m+2}=0, $

(15)

$ M=\frac{1}{2} q x_{m+2}^2-\sum\limits_{i=0}^{m+1} F_i\left(x_{m+2}-x_i\right) 。$

(16)

任意位移处弯矩计算公式为：

$ M(x)=\sum\limits_{k=0}^{i-1} F_k\left(x-x_k\right)-\frac{1}{2} q x^2, x_{i-1} \leqslant x \leqslant x_{i } 。$

(17)

加劲梁任意位置的位移ω(x)计算公式为：

$ -E_{\mathrm{b}} I_{\mathrm{b}} \omega(x)=\iint M(x), $

(18)

式中，E_b为加劲梁弹性模型；I_b为加劲梁抗弯惯性矩。

第i号加劲梁的转角与位移计算公式为：

$ \begin{gathered} \omega^{\prime}(x)=-\frac{1}{E_{\mathrm{b}} I_{\mathrm{b}}}\left[\sum\limits_{k=0}^{i-1} F_k\left(\frac{1}{2} x^2-x_k x\right)-\right. \\ \left.\frac{q}{6} x^3+D_{i, 1}\right], x_{i-1} \leqslant x \leqslant x_i , \end{gathered} $

(19)

$ \begin{gathered} \omega(x)=-\frac{1}{E_{\mathrm{b}} I_{\mathrm{b}}}\left[\sum\limits_{k=0}^{i-1} F_k\left(\frac{1}{6} x^3-\frac{x_k}{2} x^2\right)-\frac{q}{24} x^4+D_{i, 1} x+D_{i, 2}\right] , \\ x_{i-1} \leqslant x \leqslant x_i, \end{gathered} $

(20)

式中D_{i, 1}和D_{i, 2}为计算常数。

由边界条件可得转角和位移表达式为：

$ \begin{gathered} \sum\limits_{k=0}^{i-1} F_k\left(\frac{1}{2} x_i^2-x_k x_i\right)-\frac{q}{6} x_i^3+D_{i, 1}= \\ \sum\limits_{k=0}^i F_k\left(\frac{1}{2} x_i^2-x_k x_i\right)-\frac{q}{6} x_i^3+D_{i+1, 1}, \end{gathered} $

(21)

$ \begin{gathered} \sum\limits_{k=0}^{i-1} F_k\left(\frac{1}{6} x_i^3-\frac{x_k}{2} x_i^2\right)-\frac{q}{24} x_i^4+D_{i, 1} x_i+D_{i, 2}= \\ \sum\limits_{k=0}^i F_k\left(\frac{1}{6} x_i^3-\frac{x_k}{2} x_i^2\right)-\frac{q}{24} x_i^4+D_{i+1, 1} x_i+D_{i+1, 2} 。\end{gathered} $

(22)

由式(21)可得计算常数D_{i+1, 1}递推公式为：

$ D_{i+1, 1}=D_{i, 1}+\frac{1}{2} F_i x_i^2 。$

(23)

根据式(22)和式(23)，进一步得到积分常数D_{i+1, 2}为：

$ D_{i+1, 2}=D_{i, 2}-\frac{1}{6} F_i x_i^3 。$

(24)

根据加劲梁在支座o处竖向位移为0的边界条件，D_1，2计算为：

$ D_{1, 2}=0 \text { 。} $

(25)

由于支座m+2处转角为0，由式(21)可得支座m+2处转角为0的满足支座边界条件的计算公式为：

$ \sum\limits_{k=0}^{m+1} F_k\left(\frac{1}{2} x_{m+2}^2-x_k x_{m+2}\right)-\frac{q}{6} x_{m+2}^3+D_{m+2, 1}=0 。$

(26)

根据积分常数递推公式，进而可得D_{1, 1}表达式为：

$ D_{1, 1}=\frac{q}{6} x_{m+2}^3-\sum\limits_{k=0}^{m+1} F_k\left(\frac{1}{2} x_{m+2}^2-x_k x_{m+2}\right)-\frac{1}{2} \sum\limits_{k=1}^{m+1} F_k x_k^2 。$

(27)

在已知吊索力与加劲梁自重的条件下，可求解该结构体系任意位置的竖向位移及转角。

2.2 斜率最低点作用吊索力的加劲梁模型

当斜率最低点作用吊索力时，加劲梁受力简图如图 5所示。以左侧隔离体为例进行说明。将x_m+2设置为已知参数L₁，支座o与支座n+2处的竖向位移为0。

根据加劲梁竖向力平衡条件、弯矩平衡条件分别依次构建竖向力计算式和弯矩计算式，如式(28)和式(29)所示。

$ \sum\limits_{i=0}^{m+2} F_i-q x_{m+2}=0, $

(28)

$ \frac{1}{2} q x_{m+2}^2-\sum\limits_{i=0}^{m+1} F_i\left(x_{m+2}-x_i\right)=0。$

(29)

任意位移处弯矩计算公式^[23]为：

$ M(x)=\sum\limits_{k=0}^{i-1} F_k\left(x-x_k\right)-\frac{1}{2} q x^2, x_{i-1} \leqslant x \leqslant x_{i }。$

(30)

加劲梁任意位置的位移ω(x)计算公式为：

$ -E_{\mathrm{b}} I_{\mathrm{b}} \omega(x)=\iint M(x) 。$

(31)

第i号加劲梁的转角与位移计算表达式为：

$ \begin{gathered} \omega^{\prime}(x)=-\frac{1}{E_{\mathrm{b}} I_{\mathrm{b}}}\left[\sum\limits_{k=0}^{i-1} F_k\left(\frac{1}{2} x^2-x_k x\right)-\right. \\ \left.\frac{q}{6} x^3+D_{i, 3}\right], x_{i-1} \leqslant x \leqslant x_i , \end{gathered} $

(32)

$ \begin{gathered} \omega(x)=-\frac{1}{E_{\mathrm{b}} I_{\mathrm{b}}}\left[\sum\limits_{k=0}^{i-1} F_k\left(\frac{1}{6} x^3-\frac{x_k}{2} x^2\right)-\right. \\ \left.\frac{q}{24} x^4+D_{i, 3} x+D_{i, 4}\right], x_{i-1} \leqslant x \leqslant x_i , \end{gathered} $

(33)

式中D_{i, 3}和D_{i, 4}为计算常数。

由边界条件可得转角和位移表达式为：

$ \begin{gathered} \sum\limits_{k=0}^{i-1} F_k\left(\frac{1}{2} x_i^2-x_k x_i\right)-\frac{q}{6} x_i^3+D_{i, 3}= \\ \sum\limits_{k=0}^i F_k\left(\frac{1}{2} x_i^2-x_k x_i\right)-\frac{q}{6} x_i^3+D_{i+1, 4}, \end{gathered} $

(34)

$ \begin{gathered} \sum\limits_{k=0}^{i-1} F_k\left(\frac{1}{6} x_i^3-\frac{x_k}{2} x_i^2\right)-\frac{q}{24} x_i^4+D_{i, 3} x_i+D_{i, 4}= \\ \sum\limits_{k=0}^i F_k\left(\frac{1}{6} x_i^3-\frac{x_k}{2} x_i^2\right)-\frac{q}{24} x_i^4+D_{i, 3} x_i+D_{i, 4} 。\end{gathered} $

(35)

由式(34)可得计算常数D_{i+1, 3}递推公式为：

$ D_{i+1, 3}=D_{i, 3}+\frac{1}{2} F_i x_i^2 。$

(36)

根据式(35)和式(36)，进一步得到积分常数D_{i+1, 4}为：

$ D_{i+1, 4}=D_{i, 4}-\frac{1}{6} F_i x_i^3 。$

(37)

根据加劲梁在支座o处竖向位移为0的边界条件，根据计算式(33)可得：

$ D_{1, 4}=0 。$

(38)

根据结构力学中基本力学原则，支座m+2处支座反力不为0，支座m+2处竖向位移为0，由位移边界条件与位移计算公式(33)可得满足支座边界条件的计算公式为：

$ \sum\limits_{k=0}^{i-1} F_k\left(\frac{1}{6} x_{m+2}^3-\frac{x_k}{2} x_{m+2}^2\right)-\frac{q}{24} x_{m+2}^4+D_{i, 3} x_{m+2}+D_{i, 4} 。$

(39)

根据积分常数递推公式，进而可得D_{1, 3}计算公式为：

$ \begin{gathered} D_{1, 3}= \frac{q}{24} x_{m+2}^3-\sum\limits_{k=0}^{m+1} F_k\left(\frac{1}{6} x_{m+2}^2-\frac{x_k}{2} x_{m+2}\right)+ \\ \sum\limits_{k=1}^{m+1} \frac{F_k x_k^3}{6 x_{m+2}}-\sum\limits_{k=1}^{m+1} \frac{1}{2} F_k x_k^2 。\end{gathered} $

(40)

在已知吊索力与加劲梁自重的条件下，可求解任意位置的竖向位移及转角。

3 不等高索塔悬索桥成桥解析方程组 3.1 斜率最低点不作用吊索力的解析方程组

对于左侧隔离体的计算内容而言，主缆斜率为0的点对应加劲梁位置上的位移不为0，但是其对于加劲梁处的弯矩斜率为0，因此该处位置剪力及转角为0。根据本研究计算内容及主缆找形相关计算思路^[22]，可构建不等高索塔悬索桥中跨成桥力学模型方程组。根据加劲梁各吊点位移为0的闭合条件，可建立加劲梁位形控制方程为：

$ \min f^2\left[\omega\left(x_i\right)\right]=0, i=1, \cdots, m+1 。$

(41)

针对主跨主缆与加劲梁位形条件，构建求解其变形的非线性方程组，其中含有m+1个吊索力、水平距离x及水平缆力H₁，共计m+3个未知数。主缆左侧隔离体最低点至IP₁点处的竖向高度共计1个方程；跨度方向闭合条件可构建1个方程；由于成桥状态下，加劲梁位移为0，左部隔离的加劲梁各吊点位移为0，因此存在m+1个方程组。方程组的个数与未知量的个数一致，因而方程组存在有解情况，采用GRG算法可求解成桥力学模型^[23]。同理可构建右侧隔离体计算方程组，对于单跨地锚式悬索桥，边跨主缆计算内容可参照中跨主缆找形计算方法。

3.2 斜率最低点作用吊索力的解析方程组

对于左侧隔离体的计算内容而言，由本研究计算内容及主缆找形相关计算思路^[22]，可构建不等高索塔悬索桥中跨成桥力学模型方程组。根据刚性支承连续梁理论，主缆斜率最低点(m+2)^#节点对应加劲梁位置上的位移为0，此时加劲梁处剪力数值在该梁段达到峰值。根据各吊点位移为0的闭合条件，可建立加劲梁位形控制方程：

$ \min f^2\left[\omega\left(x_i\right)\right]=0, i=1, \cdots, m+2 。$

(42)

针对主跨主缆与加劲梁位形条件，构建求解其变形的非线性方程组，其中含有m+2个吊索力、左侧隔离体主缆竖向缆力V₁及水平缆力H₁，共计m+4个未知数。主缆左侧隔离体最低点至IP₁点处的竖向高度共计1个方程；斜率最低点处吊索力平衡条件共计1个方程。由于成桥状态下，加劲梁位移为0，左侧隔离体的加劲梁各吊点位移为0，因此存在m+2个方程组。方程组的个数与未知量的个数一致，因而方程组存在有解情况，采用GRG算法可求解成桥力学模型^[23]。同理可构建右侧隔离体计算方程组，对于单跨地锚式悬索桥，边跨主缆计算内容可参照中跨主缆找形计算方法。

4 计算案例对比与分析 4.1 案例背景简介

拟定不等高索塔悬索桥工程研究背景，主桥采用双塔单跨钢箱梁悬索桥方案，如图 6所示。矢高与跨度比值为1/9，主缆弹性模量为1.98×10⁵ MPa，主缆与加劲梁恒载集度分别为22.21 kN/m和240.0 kN/m。为了定性研究索塔高度差值对于不等高索塔悬索桥静力力学影响，不断调整左右两侧索塔处IP点高程差值Δh，最低点处位置信息为待定未知量。

4.2 斜率最低点处不作用吊索力

IP点间高度差Δh与M点和32^#吊点距离的相关关系如图 7所示。传统算法计算数值与本研究推导的解析算法数值一致。当中跨吊索形式及加劲梁自重恒载满足对称形式，同时在索塔左侧与右侧IP点高程值一致时，即中跨主缆为对称结构，此时的斜率最低点位于跨中点(31^#吊点与32^#吊点间中点位置处)，此时斜率最低点处斜率为0。随着IP₂点的高度增加，斜率最低点逐渐往左侧迁移，迁移距离与IP₂点升高的距离呈线性关系。当两侧高度差值达到1 150 mm时，斜率最低点位于31^#吊杆。此时若继续增加IP₂点的高度，继续采用最低斜率点位于主缆处的计算模型，则方程组存在无解情况。

如图 8所示，IP₁点处的缆力数值，随着Δh逐渐增加，水平缆力值与竖向缆力值逐渐降低，变化幅度呈线性趋势，水平缆力值降低幅度明显大于竖向缆力值，这表明水平缆力数值是控制缆索线形的主要计算参数。IP₂点处的缆力数值，随着IP点高差逐渐增加，水平缆力值逐渐降低，变化幅度呈线性变化趋势，竖向缆力值逐渐增加，水平缆力值降低幅度明显大于竖向缆力值。传统算法计算数值与本研究推导的解析算法数值一致。

两侧IP点间高度差-总体缆力相关关系如图 9所示。IP₁点和IP₂点处的缆力值水平高度增加索力数值逐渐降低，并且IP₁点处总体缆力值降低幅度大于IP₁点处总体缆力值降低幅度，IP₁点处总体缆力对于高差差值的敏感度高于IP₂点处总体缆力数值。IP₂点处总体缆力数值大于IP₁点处总体缆力数值，设计阶段缆索面积设计控制截面为IP₂点处缆力数值。

4.3 斜率最低点处作用吊索力

IP点间高度差-缆力相关关系如图 10所示。图 10(a)表示为IP₁点处的缆力数值，随着IP点高差逐渐增加，水平缆力值与竖向缆力值逐渐降低，变化幅度呈现线性趋势，水平缆力值降低幅度明显大于竖向缆力值，这表明水平缆力数值是控制缆索线形的主要计算参数。图 10(b)表示为IP₂点处的缆力数值，随着IP₂点高差逐渐增加，水平缆力值逐渐降低，变化幅度呈现线性趋势，竖向缆力值逐渐增加，水平缆力值降低幅度明显大于竖向缆力值。传统算法计算数值与本研究推导的解析算法数值一致。斜率最低点处作用吊索力下的IP₁点处的水平与竖向缆力值低于斜率最低点不作用吊索力情况，同时IP₂点水平缆力值降低，竖向缆力值增加。

如图 11所示，IP₁点和IP₂点处的缆力数值随着高度差值增加而逐渐降低，并且IP₁点处总体缆力值降低幅度大于IP₁点处总体缆力值降低幅度，IP₁点处总体缆力对于高差差值的敏感度高于IP₂点处总体缆力数值。IP₂点处总体缆力数值大于IP₁点处总体缆力数值，设计阶段缆索面积设计控制截面为IP₂点处缆力数值。斜率最低点处作用吊索力下的IP₁点处的缆力值变化幅度大于斜率最低点不作用吊索力情况。

两侧IP点间高度差-吊点缆力传递相关关系如图 12所示。对于不等高索塔悬索桥主缆斜率最低点位于31^#吊索计算工况，呈现的力学模型规律为：当两侧IP点高度差值达到1 150 mm时，缆索斜率最低点位于31^#吊点。斜率最低点左侧主缆竖向缆力V₂为0，其右侧主缆竖向缆力值V₁为成桥31^#吊索索力值, 数值为1 884.8 kN；当两侧IP点高度差值达到1 950 mm时，V₁数值与V₂数值分别为1 762.3 kN和122.5 kN；随着高度差值的继续增加，V₁逐渐降低，V₂逐渐增加，V₁降低的数值与V₂增加的数值大小相等，并且V₁数值变化随着高度差值变化呈现线性关系。当高度值达到7 620 mm时，V₁数值与V₂数值相等，此时各自缆力数值均为942.4 kN；当高度值达到14 090 mm时，V₂数值为成桥吊索索力值，V₁数值为0，斜率最低点处左、右两端缆力变化历程表示V₂数值往V₁数值进行迁移传递的过程。

斜率最低点处作用吊索力时，IP点处的缆力变化情况与斜率最低点处不作用吊索力时的缆力变化规律与分布情况基本一致。传统算法采用主缆迭代算法，吊索力与主缆计算是分步展开的，由于成桥主缆，吊索及加劲梁等构件的计算相互耦合，因此采用传统算法不能分析高差对于吊索索力分布影响。

4.4 不等高高差对于中跨主缆线形差值影响分析 4.4.1 斜率最低点位于主缆上

当斜率最低点位于缆索上时，不同高度差引起的中跨主缆吊点线形差值如图 13所示。中跨主缆吊点线形对于IP点高度差值较为敏感，随着高度差值逐渐增大，左侧隔离体的线形比等高索塔悬索桥成桥状态线形要低，左侧隔离体的线形逐渐降低；而右侧隔离体中跨主缆线形随着差值变大逐渐变高，左侧隔离体的线形比等高索塔悬索桥成桥状态线形要高，并且差值曲线呈现非线性状态。

4.4.2 斜率最低点位于吊索上

当斜率最低点位于吊索上时，不同高度差引起的中跨主缆吊点线形差值如图 14所示。中跨主缆吊点线形对于IP点高度差值较为敏感，随着高度差值逐渐增大，左侧隔离体的线形比等高索塔悬索桥成桥状态线形要低，左侧隔离体的线形逐渐降低，变化范围比斜率最低点位于中跨主缆上要大；而右侧隔离体中跨主缆线形随着差值变大逐渐变高，变化范围比斜率最低点位于中跨主缆上要大，左侧隔离体的线形比对称状态线形要高，并且差值曲线呈现非线性状态。以斜率最低为界点，左侧隔离体线形低于索塔等高时状态，右侧隔离体线形低于索塔等高时状态。

5 结论

以不等高索塔悬索桥主缆斜率最低点为分割点，通过构建主缆、加劲梁及吊索力学方程组，实现不等高索塔悬索桥成桥状态数值解析算法。得出如下结论。

(1) 解析算法实现不等高索塔悬索桥成桥状态确定的统一计算方法，解决传统算法需分步计算及主缆斜率最低点位置繁琐的迭代求解等问题。具备统一计算格式的解析算法有利于不等高高差对于主缆最低点位置迁移规律及隔离体吊索索力分布情况等分析计算，为不等高索塔悬索桥成桥状态确定的可靠、适用的计算方法。

(2) 与等高索塔悬索桥相比较，随着悬索桥索塔不等高高差的增加，斜率最低点往较低索塔侧发生迁移，且索塔IP点处缆力数值及迁移距离呈现线性变化规律；当不等高高差达到一定数值时，斜率最低点迁移至吊索位置上，随着高差增加，较高侧力学模型承担该吊点的吊索力逐渐增加，直至承担全部吊索力，吊索力增量与高差增量呈线性关系；若继续增加不等高高差，斜率最低点从吊索位置往较低索塔侧继续迁移。搜寻主缆斜率最低位置为设计不等高索塔悬索桥桥型重要理念。

(3) 随着不等高高差逐渐增加，矮塔侧隔离体IP₁点处水平缆力及竖向缆力值逐渐线性降低，高塔侧隔离体IP₂点处水平缆力与竖向缆力分别线性降低、线性升高。矮塔侧隔离体的主缆线形低于对应跨度的等高悬索桥主缆线形，高塔侧隔离体主缆线形高于对应跨度的悬索桥主缆线形，且二者线形差值随着IP点高度差值的增加而逐渐增加，变化幅度呈现非线性关系。随着高度差线性增加，IP点处缆力线性变化，而主缆线形为非线性变化，体现悬索桥主缆强大几何非线性效应。