0 引言

从物流、信息流角度来看，大多数现实的库存系统可以处理为多级库存系统。库存控制热门的算法有遗传算法、模拟退火、基于系统动力学Ven sim仿真、多目标优化、搜索算法等，确保多级库存系统的协调、连贯性，实现一体化协同库存控制^[1-8]。2015年王明葆^[9]将系统动力学方法应用到多级库存中。2010年Olsson^[10]建立了两级连续库存模型。2015年乔佩利^[11]将时间成本引入到多级库存成本模型，利用免疫遗传算法进行求解。2016年闫军^[12]建立多级协同的库存控制模型，运用改进的免疫遗传算法对所建立的模型进行优化求解。2017年周剑桥^[13]建立由分销、供应网络和核心企业组成的供应链多级库存系统，采用遗传算法求解。2022年谭慧敏^[14]基于系统动力学对连锁超市多级库存进行了仿真。蒙特卡罗模拟法是一种统计试验方法，用来解决决策制定、排队及服务水平、订货等问题。2006年刘昌贵^[15]应用蒙特卡罗模拟技术对单级随机库存进行了仿真，验证了算法的有效性。2011年王殿超^[16]应用蒙特卡罗模拟技术对定量订货法过程进行了仿真。2012年梁智宏^[17]应用蒙特卡罗模拟技术针对需求不确定性进行仿真来判断库存计划是否合理。

目前大部分研究，主要针对供应商、生产商、批发商、零售商整条供应链，采用多级协同的策略、开放供应链上所有成员的相关信息，建立成本函数模型优化求解，使库存成本得到优化。采用蒙特卡罗模拟法主要是针对单级随机需求进行仿真模拟来判断库存决策是否合理。多级分支型库存系统由于随机因素广，基本上无有效的方法建立优化模型求解，利用蒙特卡罗多次模拟消除随机因素对库存系统的影响，再基于(s，S)的多级协同策略制订库存控制决策是一种有效的方法。

本研究针对多级分支型库存系统，利用Visual fox pro 9.0软件，建立变量数据库、采用蒙特卡罗模拟法进行多次模拟，采用数据处理技术确定补货点，并与集中决策及(s，S)的多级协同策略进行比较，验证蒙特卡罗模拟法在多级分支型库存系统中应用的可行性及有效性。通过建立数据库的形式实现仿真模拟、当需求、补货提前期等随机数据变化时只需修改数据库就可实现库存控制。将0-1的一类服务水平与订货点以报表形式导出，一次可以解决所有不同1类服务水平下订货点的制订。

1 多级分支型库存系统

产品离开工厂后先进入批发商，然后由批发商供应到销售店，顾客从销售店获得货物。也可以是货物先从工厂到批发商，再由批发商供应到连锁企业的仓储中心，然后从仓储中心配送到各个经销店。因此货物的流向形成分支的形式^[18]。以2级3个节点的分支型库存系统为例，节点0向节点1和节点2供货，节点1、节点2为市场终端具体如图 1所示。

1.1 集中决策下确定型多级分支型库存系统的公共周期解法

集中决策是零售商将库存管理权交给供应商，通过合同约定进行利润分配，通常采用缺货回补的策略。所以集中决策下多级库存控制模型只考虑补货启动费用、补货费用和持货成本费用。单位时间总成本等于单位时间补货启动费用、补货费用和持货成本费用之和。

记T₀为节点0的补货周期，T₁为节点1的补货周期，T₂为节点2的补货周期。进一步，在节点0的一个补货周期内，节点1正好有n₁次补货，节点2正好有n₂次补货，这样系统的公共周期就为T₀，即每间隔T₀时间，节点0有1次补货，节点1有n₁次补货，节点2有n₂次补货。集中决策下节点0，1，2的单位时间总成本如式(1)所示。

$ \begin{gathered} C\left(Q_0, Q_1, Q_2\right)=\frac{1}{T_0}\left(K_0+C_0 Q_0+\frac{\left(n_1-1\right) n_1}{2}\right. \\ \left.Q_1 T_1 h_0+\frac{\left(n_2-1\right) n_2}{2} Q_2 T_2 h_0\right)+\left(\frac{\lambda_1}{Q_1} K_1+\lambda_1 c+\frac{Q_1}{2} h_1\right)+ \\ \left(\frac{\lambda_2}{Q_2} K_2+\lambda_2 c+\frac{Q_2}{2} h_2\right), \end{gathered} $

(1)

式中，Q₀为节点0处补货批量；Q₁为节点1处补货批量；Q₂为节点2处最优补货批量；T₀为节点0的补货周期；T₁为节点1的补货周期；T₂为节点2的补货周期；n₁为节点1补货次数；n₂为节点2补货次数；λ₁为节点1处需求；λ₂为节点2处需求；h₀为节点0处持货成本系数；h₁为节点1处持货成本系数；h₂为节点2处持货成本系数；K₀为节点0处补货启动费用；K₁为节点1处补货启动费用；K₂为节点2处补货启动费用，C₀为节点0处补货成本，C为节点1, 2处补货成本。

将式(1)整理成EOQ模型形式可得到单位时间成本式(2)。

$ \begin{gathered} C\left(n_1, n_2, Q_0\right)=\frac{\lambda_1+\lambda_2}{Q_0}\left(K_0+n_1 K_1+\right. \\ \left.n_2 K_2\right)+\left(\lambda_1+\lambda_2\right)\left(C_0+C\right)+ \\ \frac{Q_0}{2}\left(h_0^{\prime}+\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2} \frac{h_1^{\prime}}{n_1}+\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2} \frac{h_2^{\prime}}{n_2}\right) 。\end{gathered} $

(2)

根据式(2)可得节点0处最优补货批量Q₀^*，将Q₀^*代入式(2)并去掉补货成本得到单位时间的运作成本式(3)。单位时间的运作成本等于单位时间补货启动费用与单位时间持货成本费用之和。

$ \begin{gathered} {C^{\prime}\left(n_1, n_2\right)=}\\{\sqrt{2\left(K_0+n_1 K_1+n_2 K_2\right)\left(\left(\lambda_1+\lambda_2\right) h_0^{\prime}+\frac{\lambda_1}{n_1} h_1^{\prime}+\frac{\lambda_2}{n_2} h_2^{\prime}\right)}}。\end{gathered} $

(3)

满足式(3)根号部分达到最小的整数n₁和n₂，记作n₁^*和n₂^*；在节点0，1，2处的最优补货批量记作Q₀^*，Q₁^*，Q₂^*；节点0, 1, 2处增值持货成本系数记作h′₀, h′₁和h′₂。各节点的最优补货批量如式(4)~(6)所示。

$ Q_0^*=\sqrt{\frac{2\left(\lambda_1+\lambda_2\right)\left(K_0+n_1^* K_1+n_2^* K_2\right)}{\left(h_0^{\prime}+\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2} \frac{h_1^{\prime}}{n_1^*}+\frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2} \frac{h_2^{\prime}}{n_2^*}\right)}}, $

(4)

$ Q_1^*=Q_0^* \frac{1}{n_1^*} \frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}, $

(5)

$ Q_2^*=Q_0^* \frac{1}{n_2^*} \frac{\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2} 。$

(6)

1.2 (s，S)策略下多级随机库存系统

(1) 服务水平

简单说，服务水平就是能及时满足顾客需求的能力。服务水平分为一类服务水平和二类服务水平。一类服务水平是指在补货提前期内不产生缺货的概率；二类服务水平是在补货提前期内被即时满足的量占总需求的比率。以一类服务水平为例，假设补货提前期为常数L，在补货提前期内市场需求D_L为随机变量。对于离散类型的货物，用P{D_L=n}表示需求为n的概率，用F_L(x)表示D_L的概率分布函数，用r表示现有库存量，按照一类服务水平的定义，不缺货的概率如式(7)所示。

$ \alpha=P\left\{D_L \leqslant r\right\}=F_L(r)=\sum\limits_{n=0}^r P\left\{D_L=n\right\} \text { 。} $

(7)

在计算服务水平时，要针对单个补货提前期内不缺货的概率，大多数实际库存系统的运行过程与上述服务水平的计算原理基本吻合。若同时出现多批次的在途库存，需用排队理论来分析库存管理策略。

(2) 周期性盘点(s，S)策略

对于普通货物，多采用周期性盘点的方式，(s，S)策略是周期性盘点管理策略中具有代表性的策略。在这里s为补货点，S为补货目标。

采用周期性盘点时，满足市场需求的是一个盘点周期A再加上一个补货提前期L范围内的需求，假设需求为离散随机变量，P{D_A+L=n}是需求为n的概率，按一类服务水平补货点是满足下式最小的s，如式(8)所示。

$ F_{A+L}(s)=\sum\limits_{n=0}^s P\left\{D_{A+L}=n\right\} \geqslant \alpha。$

(8)

最优的S确定比较复杂，大多采用近似计算的方法，采用期望值将随机需求处理为确定性的需求，参照经济补货批量来确定如式(9)所示。

$ S=s+\sqrt{\frac{2 \lambda k}{h^{\prime}}}, $

(9)

式中，λ为需求期望值；k为补货启动费用；h′为多级库存系统增值持货成本系数。

(3) 基于(s，S)多级协同策略的随机分支型库存系统的解法

以3个节点分支型库存系统为例，3个节点分别采用周期性盘点(s，S)策略来管理库存，对于节点0，当前的决策对节点1终端市场影响一直持续到L₀+L₁+1期后的结束时刻，对节点2终端市场的影响一直持续到L₀+L₂+1期后的结束时刻。因此，服务水平是指对应于节点1在L₀+L₁+1期内与节点2在L₀+L₂+1期内的总需求所要达到的服务水平，依此制定节点0处的(s，S)策略。L₀为节点0的补货提前期；L₁为节点1处的补货提前期；L₂为节点2处的补货提前期。

2 蒙特卡罗模拟法的算法设计

蒙特卡罗模拟法即用计算机处理模仿实际的物资销售过程。已知销售量和补货提前期长度的随机分布概率，将实际销售过程中的销售量和补货提前期用计算机随机数的大小进行模拟，通过对模拟结果的统计获得补货提前期内的需求及需求概率分布。

2.1 蒙特卡罗模拟法

在多级分支型库存系统中，利用蒙特卡罗模拟法对市场终端多个节点进行联合模拟仿真，根据模拟仿真结果得到上游节点的需求及需求概率分布，依次类推得到整个多级库存系统中各个节点的需求及需求分布，从而制定各个节点的补货策略，达到多级协同、供应商控制库存。

2.2 蒙特卡罗模拟法步骤

本研究利用Visual fox pro 9.0软件针对多个节点反复生成补货提前期随机数及需求序列，进而计算出上游节点的需求，研究其分布特征，制订其库存控制决策。

(1) 统计市场终端各个节点需求量及补货提前期的概率分布，并将其写入需求量概率分布表及补货提前期的概率分布表中。

(2) 制定市场终端各个节点的模拟主表单。

Step 1：主表单根据市场终端各个节点补货提前期随机数RND及补货提前期的概率分布，制定补货提前期。

Step 2：根据补货提前期取值生成单位时间需求随机数序列。

Step 3：设定盘点周期。

Step 4：将需求随机数序列与需求量概率分布表对应生成需求序列。

Step 5：合并市场终端各个节点需求量生成总需求量序列，累加得到总需求量。

Step 6：统计总需求量的频次、计算概率、累计概率。

Step 7：将需求量及其概率分布导入报表。

(3) 根据(2)的结果制定上游节点需求量概率分布表，统计上游节点补货提前期及盘点周期的概率分布，重复(2)的操作。

(4) 根据式(9)计算补货目标S。

3 算例分析 3.1 参数初始值

有1个上游供应商节点0和2个下游零售商节点1和节点2，对某种商品在节点1和节点2统计补货货提前期概率及每天的需求量概率，具体如表 1~表 4所示。

节点1向节点0发出补货请求时的启动费用为K₁=30元/次，节点2向节点0发出补货请求时的启动费用为K₂=42元/次，节点0向厂家发出补货请求时的启动费用为K₀=290元/次。节点1，2处持货成本系数为h₁=h₂=5.5元/(件·d)，节点0处持货成本系数为h₀=4元/(件·d)。

3.2 集中决策下公共周期计算结果

E(T_K¹)=1.6 d，E(D_L¹)=6.75件，E(T_K²)=1.8 d，E(D_L²)=4.85件；根据式(3)，对式(3)根号内函数n₁和n₂分别求偏导所得值为参照，考察与它们相邻的整数。根据式(2)分别计算C (1，1，Q₀^* (1，1))，C (1，2，Q₀^*(1，2))，C (2，1，Q₀^*(2，1))，C (2，2，Q₀^*(2，2))其中最小的为n₁^*=2，n₂^*=1。此时，各节点最优补货批量为Q₀^*近似为55件，Q₁^*近似16件，Q₂^*近似23件。系统单位时间运作成本根据式(2)去掉补货成本近似为222元。

3.3 (s，S)策略下多级协同计算结果

假定节点0处无补货提前期，3个节点可以采用(s，S)策略。节点1处补货提前期的数学期望值为1.6 d，为了满足90%的服务水平日需求量为8件，故多级补货点近似为13件；节点2处补货提前期的数学期望值为1.8 d，为了满足90%的服务水平日需求量为6件，故多级补货点近似为11件；对于节点0，为了满足90%的服务水平，多级补货点近似为18件。根据式(9)可得在节点1处的补货目标近似为30件，在节点2处的补货目标近似为28件，节点0处补货目标近似为59件，系统单位时间运作成本根据式(2)去掉补货成本近似为234元。

节点1处补货提前期的数学期望值为1.6 d，为了满足50%的服务水平日需求量为7件，故多级补货点近似为11件；节点2处补货提前期的数学期望值为1.8 d，为了满足50%的服务水平日需求量为5件，故多级补货点为9件；对于节点0，为了满足50%的服务水平，多级补货点近似为16件。根据式(9)可得在节点1处的补货目标近似为28件，在节点2处的补货目标近似为26件，节点0处补货目标近似为57件，系统单位时间运作成本根据式(2)去掉补货成本近似为231元。

3.4 蒙特卡罗模拟结果

模拟市场终端2个节点的补货提前期及需求量1 000次，根据模拟结果得到2个节点处的需求及概率分布，具体如表 5，表 6所示。

并对其进行统计得到上游节点0处的需求量及概率分布，仿真结果如表 7所示。

由表 5~7可知，为了满足50%的服务水平下节点1补货点近似为7件，节点2补货点近似为9件，节点0补货点近似9件。补货目标为节点1近似为24件，节点2近似为26件，节点0为49件。系统单位时间运作成本根据式(2)去掉补货成本近似为222元。

为了满足90%的服务水平下节点1补货点近似为14件，节点2补货点近似为13件，节点0补货点近似24件。补货目标为节点1近似为31件，节点2近似为30件，节点0为54件。系统单位时间运作成本根据式(2)去掉补货成本近似为227元。

3.5 蒙特卡罗模拟结果分析

(1) RND随机数不变，改变模拟次数

通过增加模拟次数，模拟次数从100开始依次增加到1 000，如图 2所示，做出模拟次数与每次模拟得出的D_L¹ (节点1处需求)折线图，并将其数学期望做出的曲线进行观察比较，可以得出：随着模拟次数的不断增加，模拟得出的D_L¹均值与数学期望越来越接近，当模拟次数达到一定的数量时，基本相同。

(2) RND随机数不变，多次模拟求平均值，增加模拟次数

在模拟次数从100开始，增加到1 000时每次进行5次取D_L¹的均值，与D_L¹的数学期望进行比较，得出：多次模拟取平均值，可以减少误差，更接近数学期望，模拟结果更加准确。

(3) RND随机数改变，模拟次数不变

在模拟次数不变的条件下，改变RND随机数，RNG随机数范围从100开始依次增加到1 000，D_L¹的均值与数学期望值进行对比，得出结论：均值与数学期望值附近上下波动，但是波动不大。

(4) 更改D_L¹变化幅度

D_L¹的随机取值变化幅度加大，比较D_L¹的均值与数学期望值，得到：当模拟次数较少时会有一定误差，但随着模拟次数增加和多次模拟取平均值，均值与数学期望值附近上下波动，但是波动不大。

3.6 算例结果分析

利用蒙特卡罗模拟法与集中决策下公共周期解法、基于(s，S)的多级协同策略在不同一类服务水平下计算结果如表 8所示。在服务水平为50%时，集中决策下公共周期解法按数学期望值固定需求进行计算，算例表明此时蒙特卡罗模拟法(1 000次)与集中决策下公共周期解法单位时间运作成本一致，低于基于(s，S)的多级协同策略的单位时间运作成本，节约成本9.61%。在服务水平为90%时蒙特卡罗模拟法(1 000次)的单位时间运作成本低于基于(s，S)的多级协同策略的单位时间运作成本，节约成本10.18%。

综上所述，蒙特卡罗模拟法优于基于(s，S)的多级协同策略，2级3点分支型系统可节约成本10%左右。

4 结论

(1) 以2级3点分支型库存系统为例，集中决策下公共周期解法按数学期望值计算与蒙特卡罗模拟法(1 000次)在服务水平为50%时，系统单位时间运作成本一致。

(2) 在不同服务水平下，蒙特卡罗模拟法均优于基于(s，S)的多级协同策略，系统单位时间运作成本可节约10%左右。

(3) 蒙特卡罗模拟法通过增加模拟次数、多次模拟取平均值的方法，适应各种随机情况。

(4) 蒙特卡罗模拟法通过导出各节点需求量累计概率分布表，可以制定不同服务水平下的库存控制决策。