0 引言

为避免索鞍两侧产生严重的不平衡力，在悬索桥施工过程中，需在空缆状态下对悬索桥的索鞍进行预偏^[1]，索鞍预偏量的计算精度需满足施工安全要求^[2]。当前悬索桥复合圆曲线索鞍预偏量的计算主要采用数值解析法和有限元法^[3]。Wang^[4]通过索鞍两侧的力学平衡条件及主缆几何线形控制方程构建了可求解单索鞍预偏量的十一元非线形方程组。李传习^[5]通过迭代调整各鞍座处的不平衡力系数满足精度要求，继而求得索鞍的预偏量。上述2种方法存在一定局限性：前者适用于单个索鞍预偏量的独立计算，若考虑主、散索鞍耦合效应并计算多个索鞍预偏量时，则需增添许多非线性方程，求解过程繁琐；而后者虽考虑了主、散索鞍耦合效应，但需多次计算和调整各个索鞍的不平衡力系数，计算量很大，不易于求解。综上，本研究改进了复合圆曲线索鞍预偏量的计算方法，基于复合圆曲线索鞍上切点与不动点的几何关系和主索鞍与散索鞍之间的耦合效应推导了一个十元非线性方程组。

1 主缆线形分析

以主缆斜率最低点为平面直角坐标系原点，其水平向左或向右均为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向，如图 1所示^[6]。图中，q为悬索桥主缆在长度方向上的单位长度自重荷载；P为主缆所受吊索的竖向拉力；主缆被n个吊点分隔为n+1段主缆；i为主缆段数编号；f₁和f₂分别为第1段和第n+1段主缆最高点到坐标原点的竖向投影长度；L为第1段主缆和第n+1段主缆最高点之间的水平投影长度。

本研究考虑主缆弹性变形对其单位长度自重荷载的影响，推导出利用主缆斜率求解主缆线形的方程和主缆无应力长度计算公式为^[7]：

$ \begin{gather*} x=\frac{H^{2} z}{E A q}+\frac{H}{q} \ln \left(z+\sqrt{1+z^{2}}\right) \end{gather*}, $

(1)

$ \begin{gather*} y=\frac{H^{2} z^{2}}{2 E A q}+\frac{H}{q} \sqrt{1+z^{2}} \end{gather*}, $

(2)

$ \begin{gather*} s(i)=\frac{H}{q}\left[z_{\mathrm{H}}(i)-z_{\mathrm{L}}(i)\right] \end{gather*}, $

(3)

式中，H为主缆索段上任意一点所受的索力在水平方向上的投影；z为主缆索段上任意一点的斜率；E为主缆的弹性模量；A为主缆的横截面面积；q为主缆在长度方向上的单位长度自重荷载；s (i)为第i段主缆的无应力长度；z_H (i)和z_L (i)分别为第i段主缆在最高点和最低点的切线斜率。

2 索鞍处平衡条件的选取

唐茂林^[8]提出了3种悬索桥索鞍理想平衡条件：(1)两侧缆力的模值相等；(2)两侧缆力在水平方向上的投影模值相等；(3)两侧缆力在鞍座滑移面的投影模值相等。本研究在对索鞍力学分析过程中，主索鞍选择平衡条件(2)作为其力学平衡条件。由于主索鞍所在塔顶处于水平状态，该选择可同时满足平衡条件(3)。对于中国现有的滑动式和滚轴式散索鞍^[9]，本研究对滑动式散索鞍进行研究，并选择平衡条件(3)作为其力学平衡条件进行分析计算^[10]。

3 索鞍预偏方程组的建立

主缆与索鞍鞍槽之间的摩擦力对索鞍预偏量的计算结果影响极小^[11]。因此，本研究在对索鞍预偏分析过程中假设索鞍鞍槽面绝对光滑^[12]，即忽略主缆与索鞍之间摩擦力对预偏量计算结果的影响^[13]。截取等高悬索桥右半侧进行预偏分析，如图 2所示。成桥状态下，O为中跨主缆斜率最低点；S_M为主缆锚固点到散索鞍不动点的主缆无应力长度，L_M为该段主缆水平投影长度，h_M为竖直投影长度；S_S为散索鞍不动点到主索鞍不动点的主缆无应力长度，L_S为该段主缆水平投影长度，h_S为竖直投影长度；S_Z为主索鞍不动点到中跨斜率最低点的主缆无应力长度，L_Z为该段主缆水平投影长度。主、散索鞍的预偏量分别记为Δx和Δl。

主索鞍和散索鞍的计算参数简图如图 3所示。图 3(a)中，主索鞍半径记为R；z₁为主缆与主索鞍在中跨侧的切点斜率；z₂为边跨侧的切点斜率；γ₁为主索鞍不动点与圆心两点连线与铅垂线的夹角。图 3(b)中z₅为主缆在锚固点的斜率；z₄为主缆与散索鞍在锚跨侧的切点斜率；z₃为边跨侧的切点斜率；γ₂为散索鞍处不动点与其所在圆弧圆心之间连线同铅锤线之间夹角；φ为散索鞍滑移面与水平面的夹角。索鞍预偏量计算过程中，图 2和图 3中已知参数和需求解的未知参数如表 1所示。

本研究计算分析的复合圆曲线散索鞍分别由圆心角为α_k，α_k+1，…，α_j-1，α_j的圆弧组成，各段圆弧对应半径为R_k，R_k+1，…，R_j-1，R_j^[14]。散索鞍不动点左、右两侧分别为悬索桥边跨段和锚跨段，假设不动点在第p段圆曲线上；主缆与散索鞍在锚跨段的切点(右切点)位于散索鞍的第k段(首段)圆弧上；主缆与散索鞍在边跨段的切点(左切点)位于第j段(末段)圆弧上。

在第k段圆弧上，右切点到k+1段圆弧起点的弧长记为S_k，圆弧起点到右切点的水平投影长度记为L_k，圆心到右切点的竖向投影长度记为h_y，右切点与圆心两点连线同铅垂线的夹角记为θ₁，圆弧起点与圆心两点连线同铅垂线的夹角记为θ_k。

在第p段圆弧上，起点到散索鞍不动点的圆弧长度记为S_b，散索鞍不动点到圆心的水平投影长度记为L_b，竖直投影长度记为h_b。

在第j段(末段)圆弧上，圆弧起点到左切点的弧长记为S_j，圆弧终点到左切点的水平投影长度记为L_j，圆心到左切点的竖向投影长度记为h_Z，左切点与圆心两点连线同铅垂线的夹角记为θ₂，圆弧起点与圆心两点连线同铅垂线的夹角记为β_j。

在第x段圆弧上，圆弧起点到第x+1段圆弧起点的弧长记为S_x+1，圆心到第x-1段圆弧圆心的水平投影长度记为L_x, 竖直投影长度记为h_x，圆弧起点与圆心两点连线同铅垂线的夹角记为β_x。复合圆曲线散索鞍结构细部示意图如图 4所示。

关于散索鞍处的各角度参数单位均为弧度，同时通过对散索鞍处各点之间的几何位置进行分析，可推导出式(4)~ (8)。

$ \begin{gather*} h_{z}-\left(h_{j}+h_{j-1}+, \cdots, \quad+h_{p+1}+h_{\mathrm{b}}\right)=R_{j} \frac{1}{\sqrt{1+z_{3}^{2}}}- \\ {\left[\left(R_{j}-R_{j-1}\right) \cos \beta_{j}+\right.} \\ \left(R_{j-1}-R_{j-2}\right) \cos \beta_{j}+\left(R_{p+1}-R_{p}\right) \cos \beta_{p+1}+ \\ \left.\left(R_{p}-R_{p-1}\right) \cos \beta_{p}\right], \end{gather*} $

(4)

$ \begin{gather*} L_{j}+L_{j-1}+, \cdots, \quad+L_{p+1}+L_{\mathrm{b}}= \\ \left(R_{j}-R_{j-1}\right) \sin \beta_{j}-R_{j} \frac{z_{3}}{\sqrt{1+z_{3}^{2}}}+ \\ \left(R_{j-1}-R_{j-2}\right) \sin -\beta_{\mathrm{j}-1}+\cdots, \quad+ \\ \left(R_{\mathrm{p}+1}-R_{\mathrm{p}}\right) \sin \beta_{p+1}+R_{p} \sin \gamma_{2}, \end{gather*} $

(5)

$ \begin{gathered} S_p+S_{p+1}+, \cdots, \quad+S_{j-1}+S_j-S_b=R_p \alpha_p+ \\ R_{p+1} \alpha_{p+1}+, \cdots, \quad+R_{j-1} \alpha_{j-1}+R_j\left(\beta_j-\arctan z_3\right)-R_p \gamma_2, \end{gathered} $

(6)

$ \begin{gathered} h_b-\left(h_p+h_{p-1}+, \cdots, \quad+h_{k+1}+h_{\mathrm{y}}\right)= \\ \left(R_p-R_{p-1}\right) \cos \beta_p-\left[\left(R_p-R_{p-1}\right) \cos \beta_p+\right. \\ \left(R_{p-1}-R_{p-2}\right) \cos \beta_p+ \\ \left.\left(R_{k+1}-R_k\right) \cos \beta_{k+1}+R_k \frac{1}{\sqrt{1+z_4^2}}\right], \end{gathered} $

(7)

$ \begin{gather*} S_{k+1}+S_{k}+, \cdots, +S_{p-1}+S_{b}=R_{k+1} \alpha_{k+1}+ \\ R_{k}\left(\alpha_{k}-\beta_{k}+\arctan z_{4}\right)+, \cdots, \quad+R_{p-1} \alpha_{p-1}+R_{p}\left(\beta_{p}-\gamma_{2}\right) 。\end{gather*} $

(8)

由复合圆曲线散索鞍上切点和不动点的几何关系，主、散索鞍之间的耦合效应，以及主缆与索鞍之间的变形协调关系分析可推导出式(9)~ (16)。

$ \begin{gather*} \frac{H_{1}^{2} z_{1}}{E A q}+\frac{H_{1}}{q} \ln \left(z_{1}+\sqrt{1+z_{1}^{2}}\right)+ \\ R\left(\sin \gamma_{1}+\sin \arctan z_{1}\right)=L_{Z}+\Delta x ，\end{gather*} $

(9)

$ \begin{gather*} \frac{H_{1} z_{1}}{q}+R\left(\gamma_{1}+\arctan z_{1}\right)=S_{Z} 。\end{gather*} $

(10)

将主缆与主索鞍在中跨侧的切点斜率z₁代入主缆线形中(见式(1))，可得到式(10)中的主缆与主索鞍在中跨侧的切点至中跨最低点的主缆水平投影长度$\frac{H_{1}^{2} z_{1}}{E A q}+\frac{H_{1}}{q} \ln \left(z_{1}+\sqrt{1+z_{1}^{2}}\right)$。将主缆与主索鞍在中跨侧的切点斜率$z_{\mathrm{L}}(i)=0$与主缆在中跨最低点斜率z_L (i)=0代入式(3)中，可得到此两点之间的主缆无应力长度，即式(11)中的主缆无应力长度$\frac{H_{1} z_{1}}{q}$。

$ \begin{gathered} \frac{H_2^2 z_2^2}{2 E A q}+\frac{H_2}{q} \sqrt{1+z_2^2}-\frac{H_2^2 z_3^2}{2 E A q}-\frac{H_2}{q} \sqrt{1+z_3^2}+ \\ R\left(\cos \gamma_1-\cos \arctan z_2\right)+ \\ h_{\mathrm{z}}-\left(h_j+h_{j-1}+, \cdots, +h_{p+1}+h_{\mathrm{b}}\right)=h_{\mathrm{s}}+\Delta l \sin \varphi，\end{gathered} $

(11)

$ \begin{gathered} \frac{H_2^2 z_2}{E A q}+\frac{H_2}{q} \ln \left(z_2+\sqrt{1+z_2^2}\right)-\frac{H_2^2 z_3}{E A q}- \\ \frac{H_2}{q} \ln \left(z_3+\sqrt{1+z_3^2}\right)+R\left(\sin \arctan z_2-\sin \gamma_1\right)+ \\ \left(L_j+L_{j-1}+, \cdots, +L_{p+1}+L_{\mathrm{b}}\right)=L_S+\Delta l \cos \varphi-\Delta x，\end{gathered} $

(12)

$ \begin{gathered} \frac{H_2}{q}\left(z_2-z_3\right)+R\left(\arctan z_2-\gamma_1\right)+ \\ \left(S_p+S_{p+1}+, \cdots, +S_{j-1}+S_j-S_{\mathrm{b}}\right)=S_{\mathrm{S}}, \end{gathered} $

(13)

$ \begin{gathered} \frac{H_3^2 z_4^2}{2 E A q}+\frac{H_3}{q} \sqrt{1+z_4^2}-\frac{H_3^2 z_5^2}{2 E A q}-\frac{H_3}{q} \sqrt{1+z_5^2}+ \\ h_{\mathrm{b}}-\left(h_p+h_{p-1}+, \cdots, h_{k+1}+h_{\mathrm{y}}\right)=h_{\mathrm{M}}-\Delta l \sin \varphi, \end{gathered} $

(14)

$ \begin{gathered} \frac{H_3^2 z_4}{E A q}+\frac{H_3}{q} \ln \left(z_4+\sqrt{1+z_4^2}\right)-\frac{H_3^2 z_5}{E A q}-\frac{H_3}{q} \ln \\ \left(z_5+\sqrt{1+z_5^2}\right)+\left(L_k+L_{k+1}+, \cdots, L_p\right)- \\ L_{\mathrm{b}}=L_{\mathrm{M}}-\Delta l \cos \varphi, \end{gathered} $

(15)

$ \frac{H_3}{q}\left(z_4-z_5\right)+\left(S_k+S_{k+1}+, \cdots, S_{p-1}+S_{\mathrm{b}}\right)=S_M 。$

(16)

根据主索鞍和散索鞍处的平衡条件可推导出式(17)和式(18)。

$ \begin{equation*} H_{1}=H_{2}, \end{equation*} $

(17)

$ \begin{equation*} H_{2}\left(\cos \varphi+z_{3} \sin \varphi\right)=H_{3}\left(\cos \varphi+z_{4} \sin \varphi\right) \text { 。} \end{equation*} $

(18)

将式(9)~ (18)联立，即可得十元非线形方程组。求解该方程组即可得出主索鞍和复合圆曲线散索鞍的预偏量及悬索桥空缆状态下的主缆受力和线形。需要注意的是，式(4)~ (16)可能会随着复合圆曲线散索鞍的几何形状、主缆与主、散索鞍切点的位置关系的变化而变化。

4 索鞍预偏方程组的求解 4.1 牛顿-拉斐森法求解非线性方程组的过程

将索鞍预偏方程组的10个未知参数用$x_{i}(i=1，2, \cdots, 10$替代，将式(9)~ (18)改写为：

$ \begin{gather*} f_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{10}\right)= \\ f_{i}\left(z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5}, H_{1}, H_{2}, H_{3}, \Delta x, \Delta l\right)= \\ 0(i=1, 2, \cdots, 10) 。\end{gather*} $

(19)

由式(19)中$f_{i}$对$x_{i}$的求偏导，组成Jacobi矩阵，可得式(20)。牛顿-拉斐森法的迭代公式见式(21)和式(22)。

$ \begin{gather*} \boldsymbol{J}_{i j}=\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}, \end{gather*} $

(20)

$ \begin{gather*} \boldsymbol{X}^{k}=\boldsymbol{X}^{k-1}+\boldsymbol{\delta} \boldsymbol{X}^{k}, \end{gather*} $

(21)

$ \begin{gather*} \boldsymbol{\delta} \boldsymbol{X}^{k}=\frac{-\boldsymbol{F}^{k+1}}{\boldsymbol{J}^{k}}, \end{gather*} $

(22)

式中，J为一个十阶矩阵；δX为一个十维向量；k为迭代次数。

在编程软件中撰写程序进行迭代。

(1) 选取初值X⁰。令k=1，并设定计算结果精度ε^[15]。

$ \begin{gather*} \boldsymbol{X}^{0}=\left(x_{1}^{0}, x_{2}^{0} \cdots x_{10}^{0}\right)=\left(z_{1}^{0}, z_{2}^{0}, z_{3}^{0}, z_{4}^{0}, z_{5}^{0}\right.，\\ \left.H_{1}^{0}, H_{2}^{0}, H_{3}^{0}, \Delta x^{0}, \Delta l^{0}\right) 。\end{gather*} $

(23)

(2) 计算$\boldsymbol{D}_{i}=-f_{i}\left(\boldsymbol{X}^{k}-1\right)(i=1, 2, \cdots 10)$，当$\max \left|\underset{1 \leqslant i \leqslant 10}{\boldsymbol{D}_{i}}\right| \geqslant \varepsilon$时，则方程组的解为：

$ \begin{gathered} \boldsymbol{X}^{k-1}=\left(x_1^{k-1}, x_2^{k-1} \cdots x_{10}^{k-1}\right)=\left(z_1^{k-1}, z_2^{k-1}, z_3^{k-1} z_4^{k-1}, z_5^{k-1},\right. \\ \left.H_1^{k-1}, H_2^{k-1}, H_3^{k-1}, \Delta x^{k-1}, \Delta l^{k-1}\right) 。\end{gathered} $

(24)

当$\max \left|\underset{1 \leqslant i \leqslant 10}{\boldsymbol{D}_{i}}\right| \geqslant \boldsymbol{\varepsilon}$，表明精度不满足要求，需继续进行步骤(3)。

(3) 利用式(20)计算方程组的Jacobi矩阵。再利用式(21)和式(22)对方程组中的10个未知参数进行调整，并将调整后的参数代入步骤(2)，从而判断调整后的未知参数能否满足精度要求。若不满足，需重复步骤(3)，直到调整后的未知参数满足初始设定的精度要求为止。

4.2 初值x⁰的选取

初值的选取关系着牛顿-拉斐森法迭代次数和计算结果的收敛性^[16]。当初始估计值与方程解存在显著偏差时，算法可能会出现收敛速度衰减甚至发散^[17]。本研究选取算法迭代初值的步骤为：(1)计算成桥状态下主缆与主索鞍分别在中跨侧和边跨侧的切点斜率z₁和z₂，主缆与散索鞍分别在边跨侧和锚跨侧的切点斜率z₃和z₄，主缆在锚固点的斜率z₅，以及主缆分别在中跨段、边跨段和锚跨段的水平分力H₁，H₂，H₃，以计算得到的位置参数为迭代初值；(2)假定主索鞍的预偏量Δx=1 m，散索鞍的预偏量Δl=0.1 m。依据本节方法选取的初值，一般均可确保牛顿-拉斐森法的收敛性。

5 算例

某具有复合圆曲线散索鞍的悬索桥，索鞍预偏量计算已知参数如表 2所示。

参照4.2节中牛顿-拉斐森法迭代初值的选取步骤，根据步骤(1)计算得到悬索桥成桥状态下的参数^[18]，迭代初值如表 3所示。将表 2和表 3中各值作为初值代入牛顿-拉斐森法中进行迭代，得到的计算结果如表 4和表 5所示。

由表 4可知，采用本研究的改进算法计算出算例中主、散索鞍的预偏量分别为1.522 m和1.168 m。由表 5可得预偏后空缆状态下主缆在索鞍处各切点的斜率及在锚跨锚固点的斜率。表 4和表 5中的计算结果表明，本研究提出的复合圆曲线索鞍预偏量改进算法可计算出满足施工精度要求的主、散索鞍预偏量及预偏后的空缆线形。

6 结论

本研究通过对悬索桥主索鞍和复合圆曲线散索鞍之间的预偏耦合效应进行研究，得出如下结论。

(1) 在对悬索桥主、散索鞍预偏分析时考虑其耦合效应，提出了复合圆曲线索鞍预偏量的改进算法。算法基于主缆与索鞍切点和不动点之间的相对位置关系和索鞍处的力学平衡关系构建了一个可同时求解主、散索鞍预偏量的十元非线性方程组。

(2) 阐述了求解复合圆曲线索鞍预偏量方程组的牛顿-拉斐森法迭代过程，并给出了满足计算精度的迭代初值的选取方法。

(3) 算例的计算结果表明，运用本研究的改进算法可简便、快捷、准确地计算出满足要求的主、散索鞍预偏量及预偏后空缆状态下的主缆线形。