0 引言

重大自然灾害，如地震的发生，不仅会造成大量人员伤亡，还会导致包括道路中断等基础设施损坏^[1]。比如，汶川地震中千余条公路路基被破坏，严重影响灾后救援物资的分发，从而影响了灾害救援效果^[2]。对于灾害引发的道路可达性问题，空运是有效的解决方式之一。汶川地震中，99架不同型号直升机被用于灾害救援中的人员和物资运输^[3]。类似案例引发了对包含直升机在内的空运救灾决策研究^[4-5]。

无人机的出现给灾害应急中的物资运输提供了新选择。相较直升机，无人机成本低、机动性好、且无人员伤亡风险, 特别适合于运输对载重量要求不高，但对运输时间有要求的血液、疫苗和药品等^[6]。其中，血液作为一种重要的医疗物资，对于受伤人员的救治发挥着重要作用^[7]。为此，日本、欧洲等均开始将无人机应用于血液配送^[8]。中国也于2021年在浙江构建了国内第一条医用无人机血液运输航线，实现中距离紧急配送。因此，如何利用无人机与道路协同运输方式解决灾后道路可通达性问题，并依托血液供应链，实现血液供需平衡，成为本研究关注的重点。

为满足灾害中的突发需求，血液制品的灾前储存和灾后紧急运输可以互为补充，都必不可少。此时，考虑灾害中的道路中断可能性，有必要提前部署无人机并进行灾害应急物资运输的空-地协同。然而，困难在于：一是，突发性灾害的难预测性，导致灾前的血液储备和无人机难以准确把握，过多会造成浪费，而过少则无法满足需求^[9]。二是，灾害发生后，需要将这些血液通过空-地运输协同进行有效的物流运输，以满足救治的需求。

对于血液供应链灾前部署和灾后救援的统筹决策，已有相当研究^[10]。例如，Hamdan和Diabat^[11]考虑了灾前献血中心的选址和灾后供应链的中断风险等问题；Salehi^[12]考虑了灾前血液存储、灾后血液采集与输送以及不同血型血制品的替代性。但相关研究极少考虑道路中断以及可能的空-地运输协同。

近年来，考虑无人机的运输问题引发了大量关注。例如，黄肖肖^[13]研究了无人机引导的地面运输轨迹规划，而颜瑞^[14]研究了无人机与卡车联合运输。但均不是针对医疗物资，也非考虑灾害应急。在应急场景下，无人机被应用于灾情检测^[15]和应急物流^[16-17]等问题中。然而，这些研究既没有考虑应急血液供应链，也没有关注面向不确定灾害的无人机提前部署。在道路损毁下的血液运输中，无人机是作为替代运输方案出现的。当灾害情况无法提前获知时，如何在血液供应链中提前部署无人机, 如何在灾后实现空-地运输协同，以最大程度实现灾害中的血液供需平衡, 这些问题仍有待研究。

其中，为实现包含无人机的血液供应链灾前灾后协同优化，一个关键是对不确定灾害的描述。场景是最常使用的方法。由此，衍生出了最优化所有场景下期望表现的随机规划^[18]和最小化最坏场景结果的鲁棒优化^[19]。前者可能忽视了最坏场景发生时的极端情况，后者常导致过于保守的结果。为此，Aghezzaf^[20]提出将两者结合的场景鲁棒方法，并被广泛应用于应急血液供应链优化中^{[12, 21-22]}。本研究采用这一方法，利用空-地协同运输解决灾害中的道路通达性问题，围绕灾前无人机部署、血液预库存等防灾决策和灾后临时献血点选址、应急采血、运输等救援决策展开统筹决策, 并将所提模型应用于中国龙门山地震带的灾害防治中。研究发现：通过有效部署无人机和血液库存，结合灾后的空-地协同，可以最大限度改善灾后血液供应。但要充分发挥无人机的作用，需要综合考虑其运距、运能和当地具体情况选择合适的无人机。此外，决策者可以通过调整权重，给出符合其经济性和鲁棒性要求的决策结果。对于可能发生的特定灾害，也给出了合适的权重选择建议。

研究贡献如下：首先，在研究问题上，将无人机应用于考虑道路中断的应急供应链优化设计中，这是现有研究较少关注的；其次在方法上，采用随机场景描述不确定灾害，并利用两阶段场景鲁棒实现灾前灾后的统筹优化；最后在应用上，将研究成果应用于中国龙门山地震带的防灾救灾中，并通过灵敏度分析提炼管理结论。全文安排如下，首先在问题描述的基础上，引入变量，构建考虑空-地运输的两阶段场景鲁棒模型；继而，给出龙门山地震带相关数据并就此展开应用研究；接着，就关键参数进行灵敏度分析并提炼相关结论；最后，对全文总结并展望未来研究方向。

1 考虑空-地运输的应急血液供应链网络模型构建 1.1 问题描述

考虑一个包含采血点、中心血站(Central Blood Station，CBS)和医院输血中心(Transfusion Centers，TR)在内的三级血液供应链。其中，在重大灾害发生后，为满足血液需求，除了日常使用的固定采血点(Permanent Collection Facilities，PCF)外，还会增设临时采血点(Temporary Collection Facilities，TCF)，以扩大血液采集。献血点采集血液首先运至CBS进行检验、检疫和分离，再运至医院以满足需求。紧急情况下，TCF的血液可直接运往医院。考虑重大灾害可能导致的道路通达性问题，拟采用无人机和道路车辆两种运输方式配送血制品，其中，每个PCF, CBS和TR之间都有两种运输方式选择，考虑TCF的场地和设施限制，其血液运输仅依赖于车辆这一种方式。

决策分两阶段展开。灾害发生前，需决定满足日常需求的血液采集、运输，及应对可能灾害的无人机部署、血液预库存等；一旦发生重大灾害，此时需求和道路损坏情况已知，则需制订TCF选址、血液采集、运输方式和运输量等决策，如图 1所示。考虑成本包括第1阶段的血液采集、运输、无人机部署、血液预库存和第2阶段的TCF选址、血液采集与运输，以及血液短缺和剩余成本等。为解决灾害情况未知的问题，采用离散场景的方式描述灾害情况。模型旨在最小化期望总成本和最大后悔值的加权和。

1.2 符号定义

模型中涉及集合、参数及决策变量符号含义如下。

集合和集合元素：P，p为PCF的集合及索引，p∈P; G，g为CBS的集合及索引，g∈G; H，h为TR的集合及索引，h∈H; C，c为TCF的集合及索引，c∈C; S，s为灾害情景的集合及索引，s∈S。

参数：a为单位短缺成本; u为单位盈余成本; v为TCF的单位启用成本; f^t，f^d为卡车及无人机的单位固定使用成本; f为无人机单位部署成本; w为单位血制品采集、检验及处理成本; b为无人机运输能力; e^t，e^d为车辆和无人机的单位运输费用; UB^d为配备无人机的预算上限; UB_p, UB_c为PCFp和TCFc的最大采血上限; k_h为TRh日常血制品需求量; n_ch，n_pg^t，n_pg^d，n_gh^t，n_gh^d，n_hh1^t，n_hh1^d为从TCFc到TRh，PCFp到CBSg，从BCg到TRh，从TRh到TRh₁，使用车辆及无人机的运输距离; ρ^t，ρ^d为车辆及无人机的运距; e^o为血液存储费用; l为血制品生命周期; T为规划的时间; r_pg^s，r_gh^s，r_ch^s，r_hh1^s为情景s下车辆从PCFp到CBSg，从CBSg到TRh，从TCFc到TRh，从TRh到TRh₁的道路是否可通行，1为可通行，0为不可; k_h^s为情景s下灾后响应阶段TRh的应急血制品的需求量; π_s为情景s发生的概率; M为极大数。

决策变量：X_pg^d，X_gh^d，X_hh1^d为日常阶段从PCFp到CBSg，从CBSg到TRh，从TRh到TRh₁，运输使用的无人机数量; Z_pg^t，Z_pg^d，Z_gh^t，Z_gh^d，Z_hh1^t，Z_hh1^d为日常阶段从PCFp到CBSg，从CBSg到TRh，从TRh到TRh₁，如果使用车辆/无人机运输，则为1，反之，则为0;ε_pg^t，ε_pg^d，ε_gh^t，ε_gh^d，ε_hh1^t，ε_hh1^d为日常阶段每周期从PCFp到CBSg，从CBS g到TR h，从TRh到TRh₁通过车辆及无人机运输血制品运输量; Q_p，Q_g为日常阶段每周期PCFp和CBSg的血制品收集量; O_h为TRh的血制品预库存水平; D_p，D_g，D_h为PCFp，CBSg，TRh需配备的无人机数量; Y_c^s为情景s下如果TCFc投入使用时，则Y_c^s=1, 反之则Y_c^s=0;X_pg^ds，X_gh^ds，X_hh1^ds为情景s下从PCFp到CBSg，从CBSg到TRh，从TRh到TRh₁，运输使用的无人机数量; Z_ch^s为情景s下TCFc血液是否运往TRh，是则为1，反之则为0;Z_pg^ts，Z_pg^ds，Z_gh^ts，Z_gh^ds，Z_hh1^ts，Z_hh1^ds为情景s下从PCFp到CBSg，从CBSg到TRh，从TRh到TRh₁，如果使用车辆/无人机运输，则为1，反之则为0;ε_ch^s，ε_pg^ts，ε_pg^ds，ε_gh^ts，ε_gh^ds，ε_hh1^ts，ε_hh1^ds为情景s下从TCFc到TRh，从PCFp到CBSg，从CBSg到TRh，及从TRh到TRh₁通过车辆及无人机运输血制品运输量; Q_c^s，Q_p^s，Q_g^s为情景s下TCFc，PCFp及CBSg的血制品收集总量; α_h^s，β_h^s为情景s下灾后TRh的血制品短缺量、盈余量。

其中，PCFp表示索引号为p的PCF，而TCFc、CBSg及TRh的表述与此类似，不再一一解释。

1.3 模型构造

费用由日常和灾后两部分组成。首先，日常阶段包括灾前PCF、CBS及TR的无人机配备费用ψ₁：

$ \psi_1=f\left(\sum\nolimits_{p \in P} D_p+\sum\nolimits_{g \in G} D_g+\sum\nolimits_{h \in H} D_h\right) \circ $

(1)

TR血液预库存及采集费用ψ₂：

$ \psi_2=\left(e^{\circ} T+w\right) \sum\nolimits_{h \in H} O_h 。$

(2)

日常PCF发出的无人机和车辆运输费用ψ₃:

$ \begin{gathered} \psi_3=T \sum\nolimits_{p \in P}\left(f^{\mathrm{t}} \sum\nolimits_{g \in G} Z_{p g}^{\mathrm{t}}+f^{\mathrm{d}} \sum\nolimits_{g \in G} X_{p g}^{\mathrm{d}}+\right. \\ \left.\sum\nolimits_{g \in G} \varepsilon_{p g}^{\mathrm{t}} e^{\mathrm{t}} n_{p g}^{\mathrm{t}}+\sum\nolimits_{g \in G} \varepsilon_{p g}^{\mathrm{d}} e^{\mathrm{d}} n_{p g}^{\mathrm{d}}\right) 。\end{gathered} $

(3)

日常CBS发出的无人机和车辆运输费用ψ₄：

$ \begin{gathered} \psi_4=T \sum\nolimits_{g \in G}\left(f^{\mathrm{t}} \sum\nolimits_{h \in H} Z_{g^h}^{\mathrm{t}}+f^{\mathrm{d}} \sum\nolimits_{h \in H} X_{g^h}^{\mathrm{d}}+\right. \\ \left.\sum\nolimits_{h \in H} \varepsilon_{g^h}^{\mathrm{t}} e^{\mathrm{t}} n_{g^h}^{\mathrm{t}}+\sum\nolimits_{h \in H} \varepsilon_{g^h}^{\mathrm{d}} e^{\mathrm{d}} n_{g^h}^{\mathrm{d}}\right) 。\end{gathered} $

(4)

日常TR间的转运费用ψ₅，这里也考虑无人机和车辆两种运输方式可选：

$ \begin{aligned} \psi_5= & T \sum\nolimits_{h \in H}\left(f^{\mathrm{t}} \sum\nolimits_{h_1 \in H, h_1 \neq h} Z_{h h_1}^{\mathrm{t}}+f^{\mathrm{d}} \sum\nolimits_{h_1 \in H, h_1 \neq h} X_{h h_1}^{\mathrm{d}}+\right. \\ & \left.\sum\nolimits_{h_1 \in H, h_1 \neq h} \varepsilon_{h h_1}^{\mathrm{t}} e^{\mathrm{t}} n_{h h_1}^{\mathrm{t}}+\sum\nolimits_{h_1 \in H, h_1 \neq h} \varepsilon_{h h_1}^{\mathrm{d}} e^{\mathrm{d}} n_{h h_1}^{\mathrm{d}}\right) 。\end{aligned} $

(5)

此外，当重大灾害发生后，在情景s下，考虑TCF选址费用和车辆运输费用ψ₆^s：

$ \psi_6^s=\sum\limits_{c \in C} v Y_c^s+\sum\limits_{c \in C}\left(\sum\limits_{h \in H} \varepsilon_{c h}^s e^{\mathrm{t}} n_{c h}+f^{\mathrm{t}} Y_c^s\right) $

(6)

情景s下由PCF发出的无人机和车辆运输费用ψ₇^s：

$ \begin{gathered} \psi_7^s=\sum\nolimits_{p \in P}\left(f^{\mathrm{t}} \sum\nolimits_{g \in G} Z_{p g}^{\mathrm{ts}}+f^{\mathrm{d}} \sum\nolimits_{g \in G} X_{p g}^{\mathrm{ds}}+\right. \\ \left.\sum\nolimits_{g \in G} \varepsilon_{p g}^{\mathrm{ts}} e^{\mathrm{t}} n_{p g}^{\mathrm{t}}+\sum\nolimits_{g \in G} \varepsilon_{p g}^{\mathrm{ds}} e^{\mathrm{d}} n_{p g}^{\mathrm{d}}\right) 。\end{gathered} $

(7)

情景s下由CBS发出的无人机和车辆运输费用ψ₈^s：

$ \begin{gathered} \psi_8^s=\sum\nolimits_{g \in G}\left(f^{\mathrm{t}} \sum\nolimits_{h \in H} Z_{g h}^{\mathrm{ts}}+f^{\mathrm{d}} \sum\nolimits_{h \in H} X_{g h}^{\mathrm{ds}}+\right. \\ \left.\sum\nolimits_{h \in H} \varepsilon_{g h}^{\mathrm{ts}} e^{\mathrm{t}} n_{g h}^{\mathrm{t}}+\sum\nolimits_{h \in H} \varepsilon_{g h}^{\mathrm{ds}} e^{\mathrm{d}} n_{g h}^{\mathrm{d}}\right) 。\end{gathered} $

(8)

情景s下TR间的转运费用ψ₉^s，这里同样考虑无人机和车辆两种运输方式：

$ \begin{gathered} \psi_9^s=\sum\nolimits_{h \in H}\left(f^{\mathrm{t}} \sum\nolimits_{h_1 \in H, h_1 \neq h} Z_{h h_1}^{\mathrm{ts}}+f^{\mathrm{d}} \sum\nolimits_{h_1 \in H, h_1 \neq h} X_{h h_1}^{\mathrm{ds}}+\right. \\ \left.\sum\nolimits_{h_1 \in H, h_1 \neq h} \varepsilon_{h h_1}^{\mathrm{ts}} e^{\mathrm{t}} n_{h h_1}^{\mathrm{t}}+\sum\nolimits_{h_1 \in H, h_1 \neq h} \varepsilon_{h h_1}^{\mathrm{ds}} e^{\mathrm{d}} n_{h h_1}^{\mathrm{d}}\right) 。\end{gathered} $

(9)

情景s下TR的血液短缺和剩余成本ψ₁₀^s：

$ \psi_{10}^s=a \sum\nolimits_{h \in H} \alpha_h^s+u \sum\nolimits_{h \in H} \beta_h^s 。$

(10)

情景s下各采血点采集、检验及处理血液的成本ψ₁₁^s：

$ \psi_{11}^s=w\left(\sum\limits_{c \in C} Q_{\mathrm{c}}^s+\sum\limits_{p \in P} Q_{\mathrm{p}}^s\right)。$

(11)

综上，成本可表示为：

$ \zeta_s=\sum\limits_{i=1}^5 \psi_i+\sum\limits_{j=6}^{11} \psi_j^s 。$

(12)

从而，目标函数可表示为：

$ \min z=\eta \max \left(\zeta_s-\zeta_s^*\right)+\lambda \sum\limits_{s \in S} \pi_s \zeta_s, $

(13)

式中，ζ_s^*为当灾害情景s事前已知时的最优决策成本，由此，max (ζ_s-ζ_s^*)表示决策的最大后悔值；$\sum\nolimits_{s \in S} \pi_s \zeta_s$表示成本期望值。η和λ为权重系数，和为1。令θ=max(ζ_s-ζ_s^*)，目标函数可重写为：

$ \min z=\eta \theta+\lambda \sum\limits_{s \in S} \pi_s \zeta_s 。$

(14)

由此，决策者可以通过调整权重η和λ，灵活地在鲁棒性和经济性之间寻求平衡，获得符合其要求的决策。

此外，模型服从如下约束：

$ \begin{gathered} f\left(\sum\limits_{p \in P} D_p+\sum\limits_{g \in G} D_g+\sum\limits_{h \in H} D_h\right) \leqslant U B^{\mathrm{d}} ; \\ Z_{p g}^{\mathrm{d}} \leqslant X_{p g}^{\mathrm{d}} \leqslant M Z_{p g}^{\mathrm{d}}, \sum\limits_{g \in G} X_{p g}^{\mathrm{d}} \leqslant D_p, \quad p \in P, \quad g \in G ; \\ Z_{g h}^{\mathrm{d}} \leqslant X_{g h}^{\mathrm{d}} \leqslant M Z_{g h}^{\mathrm{d}}, \sum\limits_{h \in H} X_{g h}^{\mathrm{d}} \leqslant D_g, \quad g \in G, h \in H ; \\ Z_{h h 1}^{\mathrm{d}} \leqslant X_{h h 1}^{\mathrm{d}} \leqslant M Z_{h h 1}^{\mathrm{d}}, \sum\limits_{h_1 \in H, h_1 \neq h} X_{h h_1}^{\mathrm{d}} \leqslant D_h, \\ h \in H, h_1 \in H, \quad h_1 \neq h_{\circ} \end{gathered} $

(15)

$ \begin{gathered} Z_{p g}^{\mathrm{t}} \leqslant \varepsilon_{p g}^{\mathrm{t}} \leqslant M Z_{p g}^{\mathrm{t}}, \quad p \in P, g \in G ; \\ Z_{g h}^{\mathrm{t}} \leqslant \varepsilon_{g h}^{\mathrm{t}} \leqslant M Z_{g h}^{\mathrm{t}}, \quad g \in G, h \in H ; \\ Z_{h h 1}^{\mathrm{t}} \leqslant \varepsilon_{h h 1}^{\mathrm{t}} \leqslant M Z_{h h 1}^{\mathrm{t}}, h \in H, h_1 \in H, h_1 \neq h_{\circ} \end{gathered} $

(16)

$ \begin{gathered} Z_{p g}^{\mathrm{t}} n_{p g}^{\mathrm{t}} \leqslant \rho^{\mathrm{t}}, Z_{g h}^{\mathrm{t}} n_{g h}^{\mathrm{t}} \leqslant \rho^{\mathrm{t}}, Z_{h h_1}^{\mathrm{t}} n_{h h_1}^{\mathrm{t}} \leqslant \rho^{\mathrm{t}}, \\ p \in P, g \in G, h \in H, h_1 \in H, h_1 \neq h ; \\ Z_{p g}^{\mathrm{d}} n_{p g}^{\mathrm{d}} \leqslant \rho^{\mathrm{d}}, Z_{g h}^{\mathrm{d}} n_{g h}^{\mathrm{d}} \leqslant \rho^{\mathrm{d}}, Z_{h h_1}^{\mathrm{d}} n_{h h_1}^{\mathrm{d}} \leqslant \rho^{\mathrm{d}}, \\ p \in P, g \in G, h \in H, h_1 \in H, h_1 \neq h_{\circ} \end{gathered} $

(17)

$ \begin{gathered} \varepsilon_{p g}^{\mathrm{d}} \leqslant b X_{p g}^{\mathrm{d}}, \varepsilon_{g h}^{\mathrm{d}} \leqslant b X_{g h}^{\mathrm{d}}, \varepsilon_{h h_1}^{\mathrm{d}} \leqslant b X_{h h_1}^{\mathrm{d}}, \\ p \in P, g \in G, h \in H, h_1 \in H, h_1 \neq h_{\circ} \end{gathered} $

(18)

$ Q_p=\sum\nolimits_{g \in G} \varepsilon_{p g}^{\mathrm{t}}+\sum\nolimits_{g \in G} \varepsilon_{p g}^{\mathrm{d}} \leqslant U B_p, p \in P_{\circ} $

(19)

$ \begin{aligned} & \sum\nolimits_{p \in P} \varepsilon_{p g}^{\mathrm{t}}+\sum\nolimits_{p \in P} \varepsilon_{p g}^{\mathrm{d}}=Q_g= \\ & \sum\nolimits_{h \in H} \varepsilon_{g h}^{\mathrm{t}}+\sum\nolimits_{h \in H} \varepsilon_{g h}^{\mathrm{d}}, g \in G_{\circ} \end{aligned} $

(20)

$ \begin{gathered} \sum\nolimits_{g \in G} \varepsilon_{g h}^{\mathrm{t}}+\sum\nolimits_{g \in G} \varepsilon_{g h}^{\mathrm{d}}+\sum\nolimits_{h_1 \in H, h_1 \neq h} \varepsilon_{h_1 h}^{\mathrm{t}}+ \\ \sum\nolimits_{h_1 \in H, h_1 \neq h} \varepsilon_{h_1 h}^{\mathrm{d}}=k_h+\sum\nolimits_{h_1 \in H, h_1 \neq h} \varepsilon_{h h_1}^{\mathrm{t}}+ \\ \sum\nolimits_{h_1 \in H, h_1 \neq h} \varepsilon_{h h_1}^{\mathrm{d}}, h \in H_{\circ} \end{gathered} $

(21)

$ O_h \leqslant k_h(l-1), h \in H_{\circ} $

(22)

$ \theta \geqslant \zeta_s-\zeta_s^*, s \in S_{\circ} $

(23)

$ \begin{gathered} \sum\nolimits_{h \in H} Z_{c h}^s-Y_c^s=0, c \in C, s \in S ; \\ Q_c^s=\sum\nolimits_{h \in H} \varepsilon_{c h}^s \leqslant U B_C, c \in C, s \in S ; \\ \varepsilon_{c h}^s \leqslant M Z_{c h}^s, c \in C, h \in H, s \in S_{\circ} \end{gathered} $

(24)

$ Z_{c h}^s n_{c h} \leqslant \rho^{\mathrm{t}} r_{c h}^s, c \in C, h \in H, s \in S_{\circ} $

(25)

$ \begin{gathered} Z_{p g}^{\mathrm{d} s} \leqslant X_{p g}^{\mathrm{ds}} \leqslant M Z_{p g}^{\mathrm{ds}}, \\ \sum\nolimits_{p \in P} X_{p g}^{\mathrm{ds}} \leqslant D_p, \quad p \in P, g \in G, s \in S ; \\ Z_{g h}^{\mathrm{ds}} \leqslant X_{g h}^{\mathrm{ds}} \leqslant M Z_{g h}^{\mathrm{ds}}, \\ \sum\nolimits_{h \in H} X_{g h}^{\mathrm{ds}} \leqslant D_p, \quad g \in G, h \in H, s \in S ; \\ Z_{h h_1}^{\mathrm{ds}} \leqslant X_{h h_1}^{\mathrm{ds}} \leqslant M Z_{h h_1}^{\mathrm{ds}}, \\ \sum\nolimits_{h_1 \in H, h_1 \neq h} X_{h h_1}^{\mathrm{ds}} \leqslant D_h, h \in H, h_1 \in H, h_1 \neq h, \\ s \in S 。\end{gathered} $

(26)

$ \begin{gathered} Z_{p g}^{\mathrm{ts}} \leqslant \varepsilon_{p g}^{\mathrm{ts}} \leqslant M Z_{p g}^{\mathrm{ts}}, \quad p \in P, g \in G, s \in S ; \\ Z_{g h}^{\mathrm{ts}} \leqslant \varepsilon_{g h}^{\mathrm{ts}} \leqslant M Z_{g h}^{\mathrm{ts}}, \quad g \in G, h \in H, s \in S ; \\ Z_{h h_1}^{\mathrm{ts}} \leqslant \varepsilon_{h h_1}^{\mathrm{ts}} \leqslant M Z_{h h_1}^{\mathrm{ts}}, h \in H, h_1 \in H, h_1 \neq h, \\ s \in S_{\circ} \end{gathered} $

(27)

$ \begin{gathered} Z_{p g}^{\mathrm{ts}} n_{p g}^{\mathrm{t}} \leqslant \rho^{\mathrm{t}} r_{p g}^s, Z_{h h}^{\mathrm{ts}} n_{g h}^{\mathrm{t}} \leqslant \rho^{\mathrm{t}} r_{g h}^s, Z_{h h_1}^{\mathrm{s}} n_{h h_1}^{\mathrm{t}} \leqslant \rho^{\mathrm{t}} r_{h h_1}^s, \\ p \in P, g \in G, g, h \in h, h_1 \in H, h_1 \neq h, s \in S_{\circ} \end{gathered} $

(28)

$ \begin{gathered} Z_{p g}^{\mathrm{ds}} n_{p g}^{\mathrm{d}} \leqslant \rho^{\mathrm{d}}, Z_{g h}^{\mathrm{ds}} n_{g h}^{\mathrm{d}} \leqslant \rho^{\mathrm{d}}, Z_{h h_1}^{\mathrm{ds}} n_{h h_1}^{\mathrm{d}} \leqslant \rho^{\mathrm{d}}, \\ p \in P, g \in G, h \in H, h_1 \in H, h_1 \neq h, s \in S ; \\ \varepsilon_{p g}^{\mathrm{ds}} \leqslant b X_{p g}^{\mathrm{ds}}, \varepsilon_{g h}^{\mathrm{ds}} \leqslant b X_{g h}^{\mathrm{ds}}, \varepsilon_{h h_1}^{\mathrm{ds}} \leqslant b X_{h h_1}^{\mathrm{ds}}, \\ p \in P, g \in G, h \in H, h_1 \in H, h_1 \neq h, s \in S_{\circ} \end{gathered} $

(29)

$ \begin{gathered} Q_p^s=\sum\nolimits_{g \in G} \varepsilon_{p g}^{\mathrm{ts}}+\sum\nolimits_{g \in G} \varepsilon_{p g}^{\mathrm{ds}} \leqslant U B_p, p \in P, s \in S ; \\ \sum\nolimits_{p \in P} \varepsilon_{p g}^{\mathrm{ts}}+\sum\nolimits_{p \in P} \varepsilon_{p g}^{\mathrm{ds}}=Q_g^s=\sum\nolimits_{h \in H} \varepsilon_{g h}^{\mathrm{ts}}+ \\ \sum\nolimits_{h \in H} \varepsilon_{g h}^{\mathrm{ds}}, g \in G, s \in S_{\circ} \end{gathered} $

(30)

$ \alpha_h^s \leqslant k_h^s, h \in H, s \in S_{\circ} $

(31)

$ \begin{gathered} O_h+\sum\nolimits_{c \in C} \varepsilon_{c h}^s+\sum\nolimits_{g \in G} \varepsilon_{g h}^{\mathrm{ts}}+\sum\nolimits_{g \in G} \varepsilon_{g h}^{\mathrm{ds}}+ \\ \sum\nolimits_{h_1 \in H, h_1 \neq h} \varepsilon_{h_1 h}^{\mathrm{ts}}+\sum\nolimits_{h_1 \in H, h_1 \neq h} \varepsilon_{h_1 h}^{\mathrm{ds}}+ \\ \alpha_h^s=k_h^s+\sum\nolimits_{h_1 \in H, h_1 \neq h} \varepsilon_{h h_1}^{\mathrm{ts}}+ \\ \sum\nolimits_{h_1 \in H, h_1 \neq h} \varepsilon_{h h_1}^{\mathrm{ds}}+\beta_h^s, h \in H, s \in S_{\circ} \end{gathered} $

(32)

$ \begin{gathered} Q_p, Q_g, \varepsilon_{p g}^{\mathrm{t}}, \varepsilon_{p g}^{\mathrm{d}}, \varepsilon_{g h}^{\mathrm{t}}, \varepsilon_{g h}^{\mathrm{d}}, \varepsilon_{h h_1}^{\mathrm{t}}, \varepsilon_{h h_1}^{\mathrm{d}}, O_h, \\ Q_c^s, Q_p^s, Q_g^s, \varepsilon_{c h}^s, \varepsilon_{p g}^{\mathrm{ts}}, \varepsilon_{p g}^{\mathrm{ds}}, \varepsilon_{g h}^{\mathrm{ts}}, \varepsilon_{g h}^{\mathrm{ds}}, \varepsilon_{h h_1}^{\mathrm{ts}}, \\ \varepsilon_{h h_1}^{\mathrm{ds}}, \alpha_h^s, \beta_h^s \in R^{+}, \\ D_p, D_g, D_h, X_{p g}^{\mathrm{d}}, X_{g h}^{\mathrm{d}}, X_{h h_1}^{\mathrm{d}}, X_{p g}^{\mathrm{ds}}, X_{g h}^{\mathrm{ds}}, X_{h h_1}^{\mathrm{ds}} \in Z^{+}, \\ Z_{p g}^{\mathrm{t}}, Z_{p g}^{\mathrm{d}}, Z_{g h}^{\mathrm{t}}, Z_{g h}^{\mathrm{d}}, Z_{h h_1}^{\mathrm{t}}, Z_{h h_1}^{\mathrm{d}} Y_c^s, Z_{c h}^s, Z_{p g}^{\mathrm{ts}}, Z_{p g}^{\mathrm{ds}}, \\ Z_{g h}^{\mathrm{ts}}, Z_{g h}^{\mathrm{ds}}, Z_{h h_1}^{\mathrm{ts}}, Z_{h h_1}^{\mathrm{ds}} \in\{0, 1\}, \\ c \in C, p \in P, g \in G, h \in H, \\ h_1 \in H, h_1 \neq h, s \in S_{\circ} \end{gathered} $

(33)

具体说明如下：第一阶段，即日常阶段中，式(15)为无人机部署及使用数量限制。式(16)为车辆使用限制。式(17)分别为车辆和无人机运输距离约束。式(18)为无人机运输量能力约束。式(19)限定日常PCF采集的血制品会全部送往CBS，且大于其采血上限。式(20)为CBS处理的血制品会全部送往TR。式(21) 为TR的日常流量平衡。式(22)为避免血液浪费的预库存量上限约束，其中，当库存按照先进先出的规则被消耗时，最迟应在入库后的第l周期被使用掉，因此有预库存量不应超过周期需求量的(l-1)倍。最后，式(23)表示θ为最大后悔值。

第二阶段为灾害阶段，其约束均针对任一情景s。其中，式(24)为TCF与TR关联约束，以及TCF的使用限制。式(25)为TCF的运输距离和道路通达性的限制。式(26)、式(27)分别是无人机数量和车辆使用的限制约束。式(28)限定车辆使用受道路通达性和运输距离的共同约束。式(29)为无人机运距和运能约束。式(30)分别为PCF向CBS、CBS向TR的运输约束。式(31)限定TR短缺量不大于需求量。式(32)为TR流量平衡约束。最后，式(33)给出了决策变量取值域。

2 实例研究

本研究以中国龙门山断裂带为实例研究对象，该断裂带自1993年以来发生了7次造成重大人员伤亡的地震。该地震带仍处于活跃期，2022年6月再次发生6.1级地震。

以断裂带中北川、平武、汶川和芦山的4所TR为需求点，选取绵阳、德阳、都江堰和雅安的4个CBS，考虑位于江油、三台、盐亭、梓潼、绵竹、广汉、中江、邛崃、崇州、彭州和雨城的11个PCF。

针对该实例，2.1节给出实例数据；2.2节展示计算结果；2.3节展开灵敏度分析。

2.1 实例数据 2.1.1 日常阶段参数

以血液制品中的红细胞为例。记日常阶段的补货周期为1周，决策规划时间为10 a，即T=520周。可知红细胞的生命周期为21 d，即3周^[22]。单位库存成本为0.26元/(U·周期)^[22]，单位采集成本为198.57元/U^[22]。此外，根据中国的献血率^[23]和PCF覆盖人口及采血数据^[24]，可得出每个PCF采血能力见表 1，每个TR每周的红细胞需求量见表 2^[22]。

考虑无人机部署成本为10万元/架, 运输载重为30 U/架，运输距离上限为75 km，固定运输成本为20元/台，单位运输成本为0.02元/ (U·km)，无人机部署预算为800万元。车辆固定运输成本为800元/辆，单位运输成本为0.1元/ (U·km)，运输距离限制设置为300 km。通过百度地图，可得各点间道路运输距离；再由各点经纬度，可得直线飞行距离。

2.1.2 灾后阶段参数

灾后要进行TCF选址、血液采集和运输等决策。每个TCF的部署成本为2 000元，主要包括献血车以及人工费用等。待选TCF献血上限见表 3。单位短缺和剩余成本分别设为657元/U和361.35元/U^[22]。TCF与TR间距离同样由百度地图获得。以1933年—2014年龙门山地震带发生的有人员伤亡的历史灾害作为场景，每个情景下各TR的紧急需求量见表 4(按灾害严重程度递增排序)。各场景具有相同的发生概率。

灾害会引发道路异常^[25]，但事先的准确评估是困难的^[26]。本研究根据历史损坏情况，按灾害严重程度赋予以一定的道路损坏概率，见表 5，继而按概率随机独立生成道路的中断情况。

2.2 计算结果

在i7-10750H处理器，CPU主频2.60 GHz，内存16 GB的电脑上，利用Python调用CPLEX12.8.0对所构建的混合整数规划模型进行最优求解。

图 2给出日常阶段，即灾前的无人机部署和血液预库存决策。不难看出，当η值变大，决策者更关注鲁棒性，预库存总量也增加。而当η≥0.4时，由于预库存上限，即式(22)的限制，各TR预库存量不再增加。不同的是，部署无人机的总量没有随η值而发生显著变化。

此外，目标期望值、最大后悔值及加权值随权重的变化情况如图 3所示。由此表明，决策者可以灵活地改变权重，获得符合其要求的决策结果。

表 6进一步给出了3种典型情景下的灾后决策。表中“—”代表无血液运输。在灾害相对较轻的4、6场景下，只要η值稍大，由于预库存量的增加，短缺量可被有效抑制。但在灾害最重的场景7下，短缺量先下降后不变。这是由于预库存先增加后不变所致。在无人机使用上，随灾害程度增加，无人机使用增多；直至场景7中无人机达到数量上限，完成50%以上运输。这表明无人机在严重灾害下起到重要作用。

继而，针对具体场景对权重选取进行分析。如决策者重点关注情景7，从最小化血液短缺量角度，应有η≥0.4(见表 6)。再观察不同权重下的决策在情景7发生时的后悔值，见表 7。为让后悔值最小，应选取η=0.8。由此，给出了针对特定场景的权重选择建议。

2.3 灵敏度分析

考虑到无人机因为其载重量和运输距离而显著不同，且本研究重点关注了道路中断带来的影响，故此，本节重点就无人机技术参数和道路损坏情况展开灵敏度分析。

2.3.1 无人机技术参数灵敏度分析

近年来，随着无人机技术不断发展成熟，相关技术参数在不断改进。此处重点关注无人机运输能力和运输距离的影响，对其展开灵敏度分析。首先，将其运能设置为初始值的δ倍，其中δ=0.5, 0.6, …, 1.5。以η=0.2为例，其他参数保持不变，相关决策结果如图 4所示。

结果表明：首先，无人机运能变动对于血液预库存的影响不大。但是，随着无人机运能的增加，部署的无人机数量先随之增加。这是因为在部署和使用费用不变的情况下，运能增加带来的经济性改善会驱使决策者增加部署。无人机部署数量增加继而导致灾后的无人机运输量显著增长，由此，期望短缺量也有所缓解。但随着无人机运能的继续增加，当δ大于1后，此时由运能带来的短缺改善已达到边界，继续增加无人机运能反而使得决策者可以在减少无人机部署量的同时，也能达成运输目标。此时，短缺量也不再减少。

此外，进而观测无人机运输距离变化的影响，为此，将其运距上限设置为初始值的δ倍，其中δ=0.5, 0.6, …, 1.5。以η=0.2为例，其他参数为默认值，相关结果如图 5所示。

由图可知：同样的，无人机运距对于血液预库存的影响不大，但其增大会显著推动部署数量的增长。但相应的增长是不规则的，究其原因，是由于随运距增加覆盖线路变化所造成的。比如，当δ由0.7增长至0.8，即运距由52.5 km增长至60 km。发现有6条原先不可行的无人机线路变为可行，如PCF₃≤CBS₁、CBS₂→TR₁等。由此导致无人机部署量的显著增长(从26增至68)。这一结论表明，在选择无人机时，要注意其技术参数，如运距和当地实际情况的吻合，由此才能发挥其最大作用。

2.3.2 道路损坏灵敏度分析

本研究中，道路损坏情况是按照一定的损坏概率随机生成的，而损坏概率设定有一定主观性。为此，将各情景下的道路损坏概率设置为初始值的δ倍，取δ=0.5, 0.6, …, 1.5。以η=0.2为例，结果见图 6(a)。继而，再将最大运距设为97.5，即初始值的1.3倍，结果如图 6(b)所示。

首先，分别观察两图可看出，随着道路损坏概率增大，预库存量增加。这是灾后运输不畅，迫使灾前增加储备所造成的。而同时，期望短缺量总体也有所上升，说明整个供应链中存在显著的由于运输中断导致的供需不平衡。继而，对比两图可以发现，当无人机运距较大时，无人机的部署量显著增加，特别是在道路损坏情况较为严重的情况下。为详细分析这一情况，表 8给出了不同道路损坏概率下各情景的无人机运量。

最后，由表 8不难发现，在道路损坏较为严重时，运距较长情况下的各场景中无人机运量均有显著增加。这说明无人机承担了较多的运输任务，这也就解释了此种情况下的无人机灾前部署量有显著增加的原因，进一步说明了无人机在道路损坏严重情况下所能发挥的重要作用。

3 结论

灾害中的血液供应保障对于挽救生命至关重要，而道路通达情况会影响灾后血液运输，使用无人机运输血液可以不受这一现实条件影响。但将无人机应用于考虑道路中断的应急供应链优化设计中的研究还是极少的。为此，本研究采用无人机和车辆联合运输血制品的配送方式，统筹考虑了日常阶段及灾后阶段的经济性和鲁棒性的要求，构建了一个基于情景的两阶段鲁棒随机优化模型，对期望总成本和最大后悔值的加权值进行优化，进而将模型应用于龙门山地震带，以该地区历史发生的7次地震为情景，得出了最优决策，并以此展开了灵敏度分析。研究发现，决策者对于鲁棒性的要求不会显著改变无人机的部署量，但会增加血液预库存。在灾害严重的情况下，无人机使用量将会达到顶峰，特别是在道路损坏情况严重时，无人机部署量也会相应增加。但考虑选择何种无人机，需要与灾害发生地供应链网络的具体特征，如关键节点间的距离情况等相结合。

本研究还存在一些不足之处，如在灾害情景构建方面采用历史灾害情景描述未来不确定的灾害，而两者之间可能不完全一致；再如，在无人机配置方案方面只考虑了单一型号的无人机，未来可结合不同运输距离和物资需求特点，探讨多型号无人机协同调度方案；此外，在路径规划方面还可以进一步考虑车辆在路网中的线路选择。