0 引言

近年来，中国交通基础设施建设迅猛发展，隧道在完善路网布局，提升通行效率方向发挥着重要作用。由于隧道所处地质环境复杂，围岩稳定性问题一直备受关注。西部地区是中国山地和丘陵最多的地区，其气候环境和地质成因极其复杂，安全事故频繁发生。实际工程中由于软弱夹层引起的隧道失稳塌方案例较多，软弱夹层是岩体中具有一定厚度的软弱带，其力学性质很低，整体性差。在修建隧道时应尽量避开这种不良地质，无法避开时，这将成为隧道开挖过程中重点关注位置，如果认识和处理不到位，造成隧道坍塌、支护变形，不仅影响工程进度，还会造成经济损失和人员伤亡。因此，充分探究软弱夹层对隧道围岩稳定性影响，显得极其重要。

国内外诸多学者针对含软弱夹层隧道的围岩变形规律做了相应研究。首先，在考虑软弱夹层的工程力学性质研究方面，苏培东^[1]考虑软弱夹层的应变软化特征，将夹层的峰值强度与残余强度基于摩尔库伦模型，同基于应变软化摩尔库伦模型的数值模拟结果进行对比分析，得出夹层应变软化更为合理。刘文方^[2]基于燕尾突变解释了应变软化夹层下边坡失稳破坏特征，通过理论推导得出了刚度比为影响边坡突变失稳的主要因素。朱传奇^[3]考虑围岩峰前应变硬化特性，推导出围岩弹性区和塑性区应力表达式及塑性区半径和位移的解析表达式，结果表明考虑应变硬化后，围岩径向应力呈光滑无尖峰分布，围岩应力分布特征与数值模拟结果一致。吴凯峰^[4]和王凯^[5]基于应变软化模型和理想弹塑性模型进行数值模拟，通过分析最大不平衡力、水平位移、塑性区、塑性剪应变比较不同本构模型差异，发现应变软化模型更能合理体现夹层在开挖时的变化过程。

其次, 基于突变理论研究软弱夹层隧道围岩失稳方面，谢飞^[6]以突变理论为基础，建立了尖点突变模型围岩稳定性判别依据，确定临界状态的泊松比和内摩擦角，研究不同洞径的隧道在不同埋深下的突变过程，并借鉴“巨涨落”来解释突变发生的原因。乔趁^[7]以尖点突变为基础建立了熵判据、位移判据、能量判据，来评价围岩是否有岩爆的风险。董建华^[8]以相似模型理论建立地质力学模型，并通过试验和数值模拟验证基于尖点突变模型建立的失稳判据是合理、可靠的。姚仲涛^[9]以尖点突变模型为基础，建立了位移判据、塑性耗散能判据、应变能判据来判断隧道围岩稳定性; 通过数值模拟将安全系数和3种失稳判据对比，分析不同判据的特性。刘志鹏^[10]基于势能原理，建立双应变软化夹层组合下的折叠突变模型，推导出隧道围岩突变失稳判据，并与理论结果对比，证明了判据的合理性，同时提出了切实可行且有针对性的防治措施。王皓^[11]依据突变理论构建了衬砌结构崩落力学模型和失稳判据式，并总结衬砌崩落的主要因素。

然而，对软弱夹层的研究大多只考虑一种岩体力学性质，但地下空间十分复杂，单一的岩石力学性质一般不足以判断隧道的稳定性。因此，本研究基于尖点突变理论，考虑岩石应变硬化与应变软化的物理性质，推导出一种应变硬化与软化组合夹层隧道围岩失稳判据，并通过FLAC3D数值模拟软件分析在围岩失稳主控因素刚度比变化的情况下，围岩位移的变化规律, 从而对影响软弱夹层隧道围岩稳定性的因素有一个清晰的认知，避免突变失稳的发生。研究结果可为今后类似隧道工程设计、施工提供指导借鉴作用。

1 应变软化与硬化夹层组合下的尖点突变模型 1.1 隧道软弱夹层岩体失稳本构模型

软弱夹层按照物理力学性质可分为应变硬化与应变软化。应变硬化是随着岩体应变(位移)的增加，其所能提供的抗力更大。同时硬化的程度还与所产生的应变有关，具体本构关系^[12]如式(1)所示。应变软化指的是随着岩体应变(位移)的增加，其所能提供的抗力更小，具体本构关系如式(2)所示。

$ \tau=\left\{\begin{array}{lc} G_1 \frac{u}{h} & 0 \leqslant u \leqslant u_{\mathrm{h}} \\ \tau_{\mathrm{h}}+G_2 \frac{u-u_{\mathrm{h}}}{h} & u_{\mathrm{h}} \leqslant u \end{array}, \right. $

(1)

$ \tau=G_{\mathrm{s}} \frac{u}{h} \mathrm{e}^{-\frac{u}{u_0}}, $

(2)

式中，u为岩体沿软弱结构面的滑动位移；h为软弱夹层厚度；u_h为硬化-软化临界位移；τ_h为对应u_h的临界剪应力；u₀为特征位移；G_s为应变硬化初始剪切模量；G₁为应变硬化阶段剪切模量；G₂为应变软化阶段剪切模量。

1.2 力学模型

设有2组均匀的软弱夹层分割了岩体，且相互平行，软弱夹层与水平面的夹角为α。2组均匀的软弱夹层与岩体的接触密切，考虑2组软弱夹层的共同作用。同时围岩受径向均匀支护力P。隧道力学模型^[13-14]如图 1所示，2个软弱夹层的性质分别为应变软化夹层和应变硬化夹层。

1.3 尖点突变模型

在力学模型的基础上构建应变硬化夹层与应变软化夹层共同作用的总势能函数，总势能为软弱夹层的应变能与滑动势能之和，其表达式为：

$ V=l \int_0^u \frac{G_{\mathrm{s}} u}{h} \mathrm{~d} u+l \int_0^u \frac{G_{\mathrm{e}} u}{h} \mathrm{~d} u-G u \sin a+P u, $

(3)

式中，V为总势能；l为软弱夹层的长度；G_e为应变软化初始剪切模量；G为被分割岩体的自重。

选择u为状态变量，进行突变理论^[15-17]分析。通过式(4)~(6)势能函数的导数分析，建立了硬软夹层围岩的失稳判断理论依据。

$ V^{\prime}=l \frac{G_{\mathrm{s}}}{h} \mathrm{e}^{-\frac{u}{u_0}}+l G_{\mathrm{e}} \frac{u}{h}-G \sin a+P, $

(4)

$ V^{\prime \prime}=l\left(\frac{G_{\mathrm{s}}}{h} \mathrm{e}^{-\frac{u}{u_0}}-\frac{G_{\mathrm{s}} u}{h u_0} \mathrm{e}^{-\frac{u}{u_0}}+\frac{G_{\mathrm{e}}}{h}\right), $

(5)

$ V^{(3)}=l\left(\frac{G_{\mathrm{s}} u}{h u_0^2} \mathrm{e}^{-\frac{u}{u_0}}-\frac{2 G_{\mathrm{s}}}{h u_0} \mathrm{e}^{-\frac{u}{u_0}}\right), $

(6)

式中, V′, V″, V⁽³⁾分别为势能函数1~3阶导数。

当u≈2u₀时，需分析岩体的稳定性。由V′的量纲可知其表达的是力的平衡，无论位移u较大或较小，只要围岩处于稳定状态，V′=0均成立。随着滑动位移应变软化介质所提供的力发生变化，支护结构所提供的力也会发生相应变化。

将u=2u₀，e²G_e=G_s代入V″时可得V″=0，将u=2u₀代入V⁽³⁾时可得V⁽³⁾=0，势函数的四阶导不为0。根据突变理论的确定性，可确定将此情况展开为尖点突变是合理的。

由于势函数V不便展开成泰勒函数，故将V′在u=2u₀处展开为泰勒函数, 截取至3次项化简，分析在u=2u₀时，微小的扰动对系统产生的巨大影响。转化为尖点突变理论的标准突变模型为：

$ \begin{gathered} \left(\frac{u-u_0}{u_0}\right)^3+6\left(\frac{G_{\mathrm{e}} \mathrm{e}^2}{G_{\mathrm{s}}}-1\right)\left(\frac{u-u_0}{u_0}\right)+\frac{6 h \mathrm{e}^2}{G_{\mathrm{s}} l u_0} \times \\ \left(\frac{2 G_{\mathrm{s}} l u_0}{h \mathrm{e}^2}+\frac{2 G_{\mathrm{e}} l u_0}{h}-G \sin a+P\right)=0 。\end{gathered} $

(7)

此时，可得应变硬化与软化夹层共同作用下的分叉集4a³+27b²=0为：

$ \begin{gathered} 4\left(\frac{G_{\mathrm{e}} \mathrm{e}^2}{G_{\mathrm{s}}}-1\right) 3+27 \frac{6 h \mathrm{e}^2}{G_{\mathrm{s}} l u_0} \times \\ \left(\frac{2 G_{\mathrm{s}} l u_0}{h \mathrm{e}^2}+\frac{2 G_{\mathrm{s}} l u_0}{h}-G \sin a+P\right) 2=0, \end{gathered} $

(8)

$ a=\left(\frac{G_{\mathrm{e}} \mathrm{e}^2}{G_{\mathrm{s}}}-1\right), $

(9)

$ b=\frac{6 h \mathrm{e}^2}{G_{\mathrm{s}} l u_0}\left(\frac{2 G_{\mathrm{s}} l u_0}{h \mathrm{e}^2}+\frac{2 G_{\mathrm{e}} l u_0}{h}-G \sin a+P\right), $

(10)

式中, 参数a反映刚度比对系统稳定性的影响，a>0时围岩倾向于稳定，a＜0时趋向失稳；参数b为常数控制变量。

通过理论推导可知，当刚度比满足分叉集条件4a³+27b²=0时，软化夹层与硬化夹层的刚度比(G_e/G_s)可能和围岩突变失稳有关。以理论分析为依据，通过数值模拟验证基于突变理论的软弱夹层隧道围岩失稳判据的可靠性。

1.4 岩体运动失稳力学分析

根据所建立的尖点突变模型，分析应变硬化与应变软化夹层组合情况下的平衡稳定性。由应变硬化夹层的剪切模量与应变软化剪切模量的刚度比等组成的刚度比参数a和抗滑力(应变软化夹层提供的抗力、应变夹层提供的抗力、支护力)与下滑力(岩体自重)组成的荷载比参数b共同构成了尖点突变的控制平面ab，如图 2所示。控制平面ab被分叉集B分为5个部分：点O，分叉集的2个分支B₁和B₂，分叉集的内部区域E和剩余的区域J。

由图 2可知，分叉集将控制平面ab划分为不同稳定性区域：原点O是控制平面中a=0且b=0的点；a=0表示刚度比k=1/e²的临界状态；b=0表示下滑力等于抗滑力，系统处于极限平衡状态。当(a, b)跨越分叉集时，系统发生突变失稳，可通过数值模拟验证以刚度比k=1/e²作为试问阈值的工程适用性。

2 案例模拟 2.1 工程概况

那适2^#隧道位于广西壮族自治区南宁市宾阳县陈平乡境内，隧道最大埋深为76.5 m。隧址所处地貌为低山丘陵地貌，海拔高度为154~254 m，相对高差为100 m，存在2条隐蔽的软弱夹层，超前地质预报不易探明，初期开挖后位移变形量小，较为稳定。然而在后续的开挖过程中，掌子面后方突然发生塌方，造成人员和设备等严重经济财产损失。塌方段主要地层为粉砂岩夹页岩，如图 3所示。节理裂隙发育，风化层厚。强风化带(W₃)厚10~30 m，岩质软，岩体呈破碎状；下伏弱风化带(W₂)，粉黏结构，泥质胶结，岩质较硬。节理裂隙中充填泥质软弱夹层，对围岩自稳能力影响较大。隧址所在区域地下水以基岩裂隙水为主，受大气降水及地表水补给。暂不考虑地下水对隧道稳定性的影响。

2.2 模型建立

假定2个软弱夹层厚度相同，且间隔一定距离。实际工程中构造情况复杂，且相互影响，故简化地质构造情况，建立相符合的力学模型，重点研究应变硬化和应变软化2种不同性质的夹层在隧道开挖过程中对围岩稳定性的影响。以45°倾角为例，软弱夹层厚度为1 m，2个夹层的间距为5 m，且均通过隧道开挖的横截面。

分析模型长、宽、高分别为60，100，95 m。由于隧道埋深较浅，故暂不考虑构造应力场的影响。边界条件为对x左右2个边界、对y前后2个边界和对z底部边界进行法向约束。岩石和夹层均采用实体单元，初期支护只考虑喷射钢筋混凝土，采用shell结构单元模拟，厚度等效为30 cm，弹性模量为25 GPa，泊松比为0.2。

根据现行的《铁路隧道设计规范》(TB10003—2016)和现场的实际情况确定岩石及夹层力学参数, 如表 1所示。应变软化夹层的软化参数如表 2所示，应变硬化夹层的硬化参数如表 3所示。

开挖方式为台阶法开挖，开挖进尺为3 m，上台阶长度为6 m，开挖后紧跟初期支护，下台阶在上台阶开挖6 m后才进行开挖，并紧跟初期支护。上台阶共21个施工步，第21步为上台阶最后的初期支护；下台阶在第4施工步开始开挖，上、下台阶间隔2个施工步，间隔为6 m；第24步开挖完毕。在台阶开挖时设有6个监测点，探究各监测点随着开挖位移的变化规律，如图 4所示。

2.3 模拟结果分析

分析应变硬化与应变软化组合下的夹层刚度值(剪切模量比值)的变化对围岩稳定性的影响。其中应变硬化夹层的弹性模量取1.0 GPa，剪切模量为0.38 GPa。应变软化夹层的弹性模量分别取0.50，0.10，0.05 GPa，转化后的剪切模量分别为0.190，0.038，0.019 GPa，即刚度比k(剪切模量的比值)分别为2，10，20，以此分析刚度比对围岩稳定性的影响。刚度比的设定是硬化夹层剪切模量不变，软化夹层改变从而改变的刚度比。

2.3.1 竖向位移特征分析

(1) 提取隧道完成开挖后不同刚度比夹层的竖向位移云图，如图 5所示。由图可知，当刚度比较小时，竖向位移基本呈对称分布。随着刚度比增大，竖向位移分布发生变化，位移峰值主要集中在剪切模量较小的夹层内，呈层状分布，位移的变化明显区别于周围岩体。当刚度比为2时，最大隆起位移为8.5 mm，最大沉降位移为8.2 mm；当刚度比为10时，最大隆起位移为1.6 cm，最大沉降位移为1.2 cm；当刚度比为20时，最大隆起位移为2.6 cm，最大沉降位移为2.0 cm。

(2) 提取不同刚度比下拱顶和拱底控制点随开挖竖向位移变化曲线，如图 6所示。由图 6(a)可见，在开挖步第4步之前，由于尚未开挖到控制点，不同刚度比的夹层对拱顶竖向位移的影响尚不明显。第5步开挖后，不同刚度比的影响开始明显。当刚度比为2和10时，竖向位移增加的速度基本一致，二者最终的竖向位移差值为1 mm。当刚度比为20时，随着开挖的进行，与刚度比为10之间的位移差逐渐增大，竖向位移增加的速度更快，最终稳定状态时，与刚度比为10相比的位移相差2 mm。

由图 6(b)可见，开挖到第20步时拱底的控制点基本趋于稳定。刚度比为2和10时，拱底隆起位移基本一致。当刚度比为20时，拱底隆起位移与刚度比为2和10时的位移相比存在显著差异。当刚度比为2和10时，最终位移相差0.1 mm，刚度比为2和20时，最终位移相差1.0 mm。

(3) 提取不同刚度比下左拱脚和右拱脚控制点随开挖竖向位移变化曲线，如图 7所示。由图 7(a)可见，左拱脚处于夹层位置，受刚度比的影响较为明显。当刚度比为20时，竖向位移波动范围最大。在第7步开挖至控制点时，竖向位移达到峰值3.5 mm。对比不同刚度比工况的竖向位移变化规律发现：当刚度比为2和10时，在开挖至控制点后均出现回弹现象，其中刚度比为2时，硬化夹层与软化夹层受力较为均匀，回弹值较小，为0.8 mm；当刚度比为10时，受力不均匀，剪切模量大的夹层承担的围岩抗力稍多，回弹值较大，为1.3 mm。当刚度比为20时，受力呈现显著不均匀，主要由剪切模量大的区域承担抗力，但其所能提供的抗力有限，在开挖过程中其竖向位移峰值为3.6 mm，同时产生最大回弹值为2.7 mm，最终稳定在0.8 mm。

由图 7(b)可见，右拱脚虽未处于夹层位置，但不同刚度比对其竖向位移会产生一定影响，具体表现为：刚度比与竖向位移呈正比，竖向位移随刚度比增大而增大，开挖过程和稳定阶段均呈现此规律。

2.3.2 水平位移特征分析

(1) 提取不同刚度比下左、右拱脚随开挖水平位移变化曲线，如图 8所示。由图 8(a)可见，不同刚度比下左拱脚水平位移差异明显，在开挖至第7步时达到峰值，随后有轻微回弹。当刚度比为2时，硬化夹层与软化夹层的力学性质相差不多，整体受力性能较好，故开挖过程中水平位移峰值为1.25 mm，最终稳定时的水平位移为1.0 mm。当刚度比为10时，水平位移峰值为1.6 mm，最终稳定时的水平位移为1.35 mm。刚度比为20时，水平位移峰值为2.35 mm，最终稳定时的水平位移为2.1 mm。可以明显看出随着刚度比的增加，即2个夹层剪切模量差距的增加，最终稳定时水平位移的差值增大。

由图 8(b)可见，右拱脚虽未处于夹层位置，但不同刚度比对其水平位移会产生一定影响。当刚度比为2和10时，水平位移变化规律相同，在开挖至第7步时水平位移达到峰值。开挖后紧跟初期支护，水平位移开始出现回弹。当刚度比为20时，开挖至第18步时水平位移等于刚度比为10时的水平位移，且产生进一步回弹，水平位移值处于刚度比为2和刚度比为10之间。

3 基于尖点突变理论的围岩稳定性分析

根据理论分析可知，应变软化与硬化夹层的稳定性可根据尖点突变理论进行解释，基于数值模拟数据，可建立尖点突变模式下势函数与状态变量(位移值)的数学拟合关系，具体过程如下。

(1) 根据数值模拟计算结果，推导出隧道围岩监测点在每次开挖后的水平和竖直位移，并据此计算各步开挖后关键控制点的位移增量为：

$ D(s)=\sum\limits_{i=1}^n \sqrt{\Delta u_{i x}^2+\Delta u_{i z}^2}, $

(13)

式中，s为开挖步数；n为监测点数量；Δu_ix为监测点的水平位移；Δu_iz为控制点的竖向位移。

(2) 运用origin软件对所得数据进行四次多项式拟合，得出各项式的系数，再转变为尖点突变的标准形式，进而得到分叉集来判断隧道失稳情况。设由模拟数据拟合得到的势函数方程为：

$ V(X)=a_4 x^4+a_3 x^3+a_2 x^2+a_1 x+a_0, $

(14)

式中，a₀，a₁，a₂，a₃，a₄为待拟合系数；x为测点的开挖步数。将拟合得到的尖点突变势函数转化为标准形式^[18-19]，设u为系统的状态变量，令u=x-A，A=a₃/4a₄，则尖点突变位移增量函数可转换为：

$ V(u)=a_4 u^4+a_2 u^2+a_1 u+a_0 \text { 。} $

(15)

式(14)与式(15)的转化关系为：

$ \left[\begin{array}{l} b_4 \\ b_3 \\ b_2 \\ b_1 \\ b_0 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 6 A^2 & -3 A & 1 & 0 & 0 \\ -4 A^3 & 3 A^2 & -2 A & 1 \\ A^4 & -A^3 & A^2 & -A \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} a_4 \\ a_3 \\ a_2 \\ a_1 \\ a_0 \end{array}\right], $

(16)

$ V_{a b}(u)=u^4+a u^2+b u+c, $

(17)

$ V_{a b}(u)=\frac{V(u)}{b_4}, a=\frac{b_2}{b_4}, b=\frac{b_1}{b_4}, c=\frac{b_0}{b_4}, $

(18)

式中，c为常数项；a和b分别为二次项和一次项的系数。常数项对尖点突变模式下的稳定性分析无影响，则拟合下的尖点突变位移函数为：

$ V_{a b}(u)=u^4+a u^2+b u_{\circ} $

(19)

可由尖点突变的分叉集判定系统是否处于失稳的状态，即Δ=8a³+27b²＜0。

(3) 根据数值模拟数据可知，开挖步在10步内的变换较为剧烈，故以中间插值法分析10步内系统状态的变化。对软弱夹层刚度比分别等于2，10，20时的位移增量进行拟合，如表 4~6所示。

综上，当刚度比为2(小于e²)时，隧道围岩稳定；在刚度比为10(大于e²)时，隧道在第3个开挖步时可能发生突变失稳；刚度比为20(远大于e²)时，在第3~6步时可能发生失稳，失稳范围为12 m。

4 结论

为探究刚度比对围岩失稳的影响规律，为工程稳定性评估提供理论依据。本研究基于应变软化和应变硬化特性本构关系及势能原理，通过理论分析与数值模拟相结合，得到如下结论。

(1) 2种软弱夹层组合形式下，随着刚度比增加，最大隆起位移和最大沉降位移均呈增长趋势。刚度比为2时，隆起位移峰值为8.5 mm，沉降位移峰值为8.2 mm；当刚度比为10时，隆起位移峰值为1.6 cm，沉降位移峰值为1.2 cm；当刚度比为20时，隆起位移峰值为2.6 cm，沉降位移峰值为2.0 cm。减小刚度比可有效防止围岩失稳。

(2) 当刚度比为2(小于e²)时，隧道围岩稳定；在刚度比为10(大于e²)时，隧道在第3个开挖步时可能发生突变失稳；刚度比为20(远大于e²)时，在第3~6步时可能发生失稳，失稳范围为12 m。

(3) 结合2种类型软弱夹层对软弱夹层隧道围岩稳定性影响分析可知，基于突变理论建立的软弱夹层隧道围岩失稳判据是正确的，可作为判别围岩稳定性的补充，对可能出现的失稳做出预警。

(4) 本研究只考虑在单一地层情况下，对刚度比的变化进行数值分析，未来研究可充分考虑其他情况。