0 引言

沥青路面不仅具有出色的荷载传递能力与行车平稳性，更兼具施工周期短、后期维护便利等技术优势，因此在较高等级公路新建及改扩建工程中，沥青混凝土路面已经成为国内外道路工程领域的主要铺设形式^[1]。降雪冻雨天气时，过低的气温致使雨水在路表凝结成冰，若不及时处理，很难自行融化。沥青路面的积雪结冰现象对飞机起飞降落、高速公路运输等造成不利影响，对人们的生活工作带来很大不便，对生命和财产造成巨大威胁。若遇上强对流天气会使路面在结冰后变得更加光滑，增加了道桥等设施的安全隐患系数^[2]。由于冰雪的存在，路面结冰造成的交通事故屡见不鲜，路面除冰雪问题一直困扰着公路管养部门。传统的除冰雪方法^[2-3]包括人工法、机械法和撒布融雪剂, 相关融雪技术取得了一定的效果，但也存在操作困难、成本高昂、损坏轮胎、污染环境等问题^[4-5]，故亟需开展操作简单、可靠且不污染环境的融雪化冰技术研究。

当前，国内外普遍认识到使用碳纤维发热线融雪化冰的优点，并对此进行了不少研究。作为一种新型材料，碳纤维发热线具有导热性能好、耐高温及使用寿命长等优点^[6]。通电后，碳纤维发热线将电能转化为热能，主要通过热传导的方式传递至路面铺装层，实现路面融雪化冰。采用碳纤维发热线作为路桥面的融雪化冰装置，能够有效解决目前所存在的问题。戴家傲^[7]通过试验与数值模拟方法相结合研究发现，碳纤维电热丝通电后升温迅速，2 min后即可接近稳态加热温度，并在通电期间长时间保持表面温度基本不变，碳纤维发热线可为融雪化冰提供很好的恒温热源。张倩雯^[8]采用试验验证与ANSYS有限元法分析的方式，分析在不同条件下碳纤维发热线的混凝土路面融雪化冰的性能，得到了不同厚度的冰层完全融化所需要的时间。袁玉卿^[9]根据现有的普通沥青混凝土路面结构的试件，在一定的输入电压下对预埋碳纤维加热丝沥青混凝土进行温升试验，考察其在自然降雪中防止雪花堆积的能力。Zhao^[10]提出了将碳纤维加热丝放置在混凝土路面中以融化冰雪的方案，并进行了多项试验研究，认为敷设间距在100 mm以内的加热线可以满足融雪化冰对试件表面温度均匀性的要求。

然而单纯地增加碳纤维发热线的电功率、减小电缆间距及埋深，不利于节能，因此何培^[11]对机场导电体自发热沥青混凝土路面进行2 cm保温层和无保温层的融冰融雪试验，通过有限元软件分析冰雪融化情况，证实试验结果的正确性。保温层的设置可以缩短融雪时间，使融雪化冰效果显著。赵亚军^[12]为了分析空心陶瓷微珠隔热层对碳纤维电缆融雪路面升温速率的影响，采用数值模拟软件ABAQUS分析了保温隔热漆形成的隔热层对碳纤维电缆融雪路面升温速率的影响。

综上，现有研究将隔热层对路面融雪化冰的影响考虑在内，然而这些研究并未对周期性热边界条件下发热线隔热层厚度如何选择做出明确的指导意见。本研究为更加贴合实际的气象条件，在考虑边界热环境为日周期变化的条件下，通过给出路面结构传热问题的数学控制方程、边界条件，并利用MATLAB-PDE工具箱进行偏微分方程计算，总结了在不同隔热层条件下的道路表面温升速率，可为实际道路融雪化冰问题提供一定的参考。

1 发热线道路计算模型

利用碳纤维作为发热线的道路融雪化冰工作原理^[13]为：通电后的碳纤维发热线将电能转化为热能，并主要通过热传导的方式传递至道路沥青面层，当路面的温度达到0 ℃以上时，路面的冰雪开始融化，从而达到融雪化冰的目的。为了达到良好效果，通常使路面温度高于4 ℃。碳纤维发热可作为极好的道路融雪化冰的方法之一。但是，由于发热线敷设在一定深度，其工作时温度通常为30 ℃以上，高于路面结构的上、下层温度，一部分热量不可避免地导入下层。为了降低这部分导入下层的热量而提高路表面的温度和升温速率，在发热线下设置隔热层是有效的办法。然而，路层结构的温度场十分复杂，确定需要依据充分的传热计算。

参照某机场跑道沥青路面结构，发热线沿路宽方向等距水平敷设在沥青面层之间，埋深为50 mm，铺设间距为100 mm，如图 1所示。

1.1 传热问题概述

戴家傲^[7]研究发现，通电后的碳纤维电热线将电能转化为热能，表面温度升速极快，并在保持通电期间表面温度趋于稳定，可为道路融化冰雪提供优质的恒温热源。发热线产生的热量通过导热的方式在道路内部传递，当热量向道路内部传递时会削弱路表面融雪化冰的速率，理论上在发热线下方设置良好的隔热层会极大减小热量向反方向传递。道路表面与空气存在对流和辐射换热，其暴露于自然环境中，受外界周期性变化的气象因素影响(例如气温的日变化)，从传热学角度考虑，电加热融雪化冰属于一个明显的周期性非稳态导热计算问题。

1.2 数值分析模型

实际问题中复杂因素极多，使得路面的热传导问题难以求解，为了便于分析，需对实际问题进行一定的假设。

(1) 沥青混凝土路面各层结构为均匀的各向同性体。

(2) 不考虑热传导过程中模型温度场的横向变化。

(3) 忽略温度变化对沥青和发热线的导热系数、比热容等热力性能的影响。

(4) 在道路结构内一定深度位置，结构内部温度受环境温度的影响越来越小，由于土壤的蓄热能力，可近似认为接近恒温。

(5) 发热线的直径与整个试件尺寸相比非常小，故认为发热线的温度在直径方向没有变化，可近似认为发热线内温度均匀分布，并与表面温度相等。

本研究认为道路在纵向是无限延伸的，故横断面按二维平面处理，x方向为路面宽度方向，y方向为路面厚度方向，z方向为行车方向，OA，OB，BD，AD为路面传热计算模型边界。建立传热计算简化二维模型，如图 2所示。

根据能量守恒定律和傅立叶定律建立导热微分方程^[14-15]，道路发热线融雪化冰系统内部温度场的控制方程为：

(1)

式中，ρ为密度；c为比热容；λ为导热系数；τ为时间；t为路面温度; x和y分别为路面宽度和厚度方向坐标。

根据对实际问题的假设，其定解条件如下。

(1) 边界条件

对于OA和BD边界而言，近似认为是绝热面，即第2类边界条件：

(2)

对于AD边界而言，可近似认为接近恒温，即第1类边界条件：

(3)

式中t_b为常数。

对于OB边界而言，考虑道路表面与外界环境的综合对流换热量，即第3类边界条件：

(4)

式中，h为总换热系数；t_a为环境温度。

认为发热线表面温度稳定且表面温度各处相等，即第1类边界条件：

(5)

式中t_s为常数。

(2) 初始条件

(6)

式中t₀为常数。

2 计算参数确定 2.1 材料的相关参数

为研究发热线融雪化冰路面的温度场，建立与实际路面结构相同的完整路面模型。本研究中以发热线作为融雪化冰路面的发热热源，通过求解偏微分方程来获取环境温度为日周期变化的路面温度场。其中，发热线在道路中等间距铺设，设置材料的相关参数如表 1所示。

2.2 总换热系数

当道路表面与周围流体介质发生对流换热时，也必定会与周围环境产生辐射换热。路面的传热与周围环境温度、空气气流状况、路面的发射率和粗糙度等诸多因素有关，其换热量等于对流换热和辐射换热的总和。为计算简单，以综合换热系数替代环境空气对流换热系数，以叠加辐射换热的影响，但因诸多因素的综合影响而难以全面精确计算综合换热系数数值。根据文献[16]得到近似估算公式为：

(7)

式中，h′为综合换热系数；v为风速。

为了计算简单，在分析实际工程问题时，文献[16]建议将综合换热系数当作常数处理，冬季一般情况下取23.3 W/(m²·℃)，在有大风或潮湿表面时取26.8 W/(m²·℃)。考虑在降雨降雪、升温等作用后，道路表面的冰雪会融化，融化当量换热系数计算为:

(8)

式中Φ为所需热量。

本研究总换热系数取潮湿表面的综合换热系数与融化当量换热系数之和，约为46 W/(m²·℃)，后续计算以总换热系数h=46 W/(m²·℃)进行。

2.3 发热线表面温度

根据文献[17]发现当碳纤维发热线温度超过30 ℃时，即可以达到融雪化冰的目的，故本研究选取发热线表面温度t_s为30，40，50 ℃进行计算。

2.4 环境温度

选取夏热冬冷区的湖南省某地典型冬季一月份某日24 h的气温日变化，在观测期间出现了降雪或其他形式的固体降水。数据来自站点Reliable Prognosis公开发布的每日气象数据。利用MATLAB软件Curve Fitting应用程序，拟合计算出冬季室外温度与时间的关系式，经过反复校验处理后，计算得到R²=0.997 2，方差为0.040 5，拟合程度好，可信度较高。算例选取的某日气温如图 3所示。

2.5 计算工具

MATLAB-PDE工具箱求解法是以数值解法的有限元法为基础，对不规则区域适应性好，求解的结果在边界上也较精确^[18]。模型的几何形状比较规整，整个计算区域根据发热线的形状、位置和传热问题的特点分为网格加密区和普通网格区2部分。整个区域采用非均匀网格，即在发热线区域采用加密的网格布置，其他区域采用一致网格的布置形式，这样既能提高计算精度，又可加快计算速度。

3 计算结果与分析 3.1 网格无关性验证

网格数量过少可能会影响计算结果，为了保证网格划分的准确性，在计算之前须进行网格无关的验证^[19]。选取发热线温度为30 ℃、无隔热层的模型进行计算，选取3种网格数量，分别绘制1~3次加密网格进行计算，网格数量分别为6 719，26 876，107 504个。通过对比，选取了相对合适的2次加密网格进行数值计算，建立了3种网格个数的网格模型。3种网格数量计算得到的路表面最高温度与时间关系曲线如图 4所示。

经过验证发现，在进行2次加密网格后网格数量的增加几乎不再影响计算结果，当网格3次加密后，网格数量增至2次加密网格数量的4倍，最大相对误差仅为1.15%。为了节约计算时间并保证计算的准确性，本研究选取2次加密网格进行后续计算。

3.2 计算结果 3.2.1 无隔热层时发热线不同温度下路表面温度随时间的变化

按照道路结构中无隔热层时(见图 1)，分别计算发热线不同发热温度时路表面的温度随时间的变化值，结果如图 5所示。

由图 5可知：

(1) 发热线温度为30 ℃时，15.4 h后路表面的平均温度达到4.8 ℃，但持续时间较短，不能达到良好的融雪化冰的效果。发热线温度分别为40 ℃和50 ℃时，后路表面的平均温度分别在7.73 h和2.46 h达到4.8 ℃，且较长时间保持在4.8 ℃以上，可达到良好融雪化冰的目的。

(2) 通过3条温升曲线可知，随着发热线温度的增加，路表面的平均温度均有提高。在路表面温度分布基本稳定时，对应时刻下，发热线温度每升高10.0 ℃，路表面平均温度提升约1.9 ℃。随着发热线温度的增加，在路表面的平均温度达到4.8 ℃前的温升速率分别为0.636，1.268，3.984 ℃/h。

(3) 通过对比3条路表面温升曲线可见，由于外界温度随时间呈日周期性变化，会与加热线共同影响路面温度，并导致其在一个24 h周期内出现最高温度后回落，最高温度出现的时间比外界温度最高值出现的时间延迟。

3.2.2 发热线温度为30 ℃时不同厚度隔热层时路表面温度随时间的变化

将有隔热层、发热线温度为30 ℃时作为工况1，计算不同隔热层厚度时路表面温度随时间的变化值，并与无隔热层的情况对比。工况1条件下，路表面温升曲线如图 6所示。由图可见：(1)隔热层厚度由0增至40 mm时，6 h后道路的表面平均温度稳定在4.8~5.3 ℃之间。(2)隔热层厚度为0~40 mm时，路面均温达到4.8 ℃所需时间、平均温升率的数据如表 2所示。

由工况1的计算结果可见，5 mm的隔热层可使路表温升速率提升6倍，到达4.8 ℃所需时间由15.4 h缩短至2.2 h。10 mm的隔热层可使温升速率比5 mm隔热层时相对提升35.8%，到达目标温度时间缩减至2 h以内。敷设有15~25 mm厚度的隔热层的路表温升继续提高效果不明显，有30~40 mm厚度隔热层的路面温升效果几乎不变。

3.2.3 发热线温度为40 ℃时不同厚度隔热层时路表面温度随时间的变化值

将有隔热层、发热线温度为40 ℃时作为工况2，计算不同隔热层厚度时路表面温度随时间的变化值，并与无隔热层的情况对比。工况2条件下路表面温升曲线如图 7所示。由图可见：隔热层厚度从0增至40 mm时，6 h后道路的表面平均温度稳定在7.3~7.8 ℃。隔热层厚度取0~40 mm时，工况2时路面均温达到4.8 ℃所需时间、平均温升率如表 3所示。

由工况2计算结果可见，5 mm的隔热层可使路表温升速率提升近9倍，10 mm的隔热层相比5 mm隔热层可使温升速率提升4.05%，路面温度到达4.8 ℃所需时间降至1 h以内，隔热层厚度为15~40 mm的路面温升效果几乎不再提高。

3.2.4 发热线温度为50 ℃时不同厚度隔热层时路表面温度随时间的变化

将有隔热层、发热线温度为50 ℃时作为工况3，计算不同隔热层厚度时路表面温度随时间的变化值，并与无隔热层的情况对比。工况3条件下路表面温升曲线如图 8所示。由图可见：隔热层厚度由0增至40 mm时，6 h后道路的表面平均温度稳定在9.8~10.4 ℃之间。隔热层厚度为0~40 mm时，工况3时路面均温达到4.8 ℃所需时间、平均温升率的数据如表 4所示。

由工况3计算结果可见，相比无隔热层，敷设5 mm隔热层可使得路表温升速率提升近3.5倍，路面温度到达4.8 ℃所需时间降至1 h以内。隔热层厚度继续增加后，路表面温升速率提高效果甚微。不同发热线温度和不同隔热层厚度条件下计算得到的路表面平均温升速率结果对比如图 9所示。敷设隔热层比无隔热层能够显著提高路表面的温度及温升速率，但路表面温升速率不仅与隔热层厚度呈非线性关系，且与发热线温度也呈非线性关系，因此并非选用的隔热层厚度越厚，路表升温融雪化冰效果越好。

3.2.5 有无隔热层时的路面温度分布

发热线温度为40 ℃时，设置5 mm隔热层和无隔热层时的路面温度云图对比如图 10所示。在无隔热层的路面结构中，发热线下方温度梯度大，发热线产生的热流向道路下层结构导入趋势明显，导致路表面温升效果不理想，且温度分布不均匀，在设置隔热层后，热流被阻挡。在发热线层上部，大部分热流只能向路表面传递，使得路表温度分布较为均匀，表面温度高于无隔热层的路面温度。

4 讨论 4.1 不同气候区环境温度条件

为进一步分析寒冷气候区、严寒气候区环境温度下的加热曲线规律，分别选取发热线温度为50 ℃，环境温度为― 13.58 ℃，和发热线温度为70 ℃、环境温度为― 23.3 ℃两种情况，计算分析在发热线下方敷设0~20 mm隔热层时道路的表面温度。寒冷气候区、严寒气候区不同环境温度下路表面温升曲线如图 11所示。

在更低环境温度下且发热线温度保持不变时，路表温度达到融雪温度所需时长变长，发热线温度为50 ℃，仍可使加热升温时长控制在2 h以内，能满足环境温度为― 13.58 ℃下融雪化冰的需求。因发热线的加热功率有限，其产生的热量有上限值，在温度为― 23.3 ℃环境温度下，如使用同样规格的发热线，需增加加热功率将发热线温度提升至70 ℃，才能满足路表良好融雪化冰的需求。在环境温度为― 23.3 ℃、隔热层增加至20 mm厚后，温升速率仅比隔热层10 mm时增长约13%。因此敷设5~10 mm隔热层同样适用于低温环境的路面融雪化冰需求。

4.2 经济分析

按照道路设计年限为15 a，工业用电费用为1元/千瓦时，仅考虑路面温度达到4.8 ℃的升温时长，对经济性能进行评估。通过市场调研获取关键材料参数为：12 K发热线(10 m，100 W)表面发热温度最高约为40 ℃，市场价格27.8元/条；10 mm厚度隔热层材料单价为14.6元/m²。以湖南省某地冬季路表需融雪冰的加热周期，对比设隔热层和不设隔热层多耗电的费用，发现增设10 mm隔热层道路每年每平方米耗电费用约为无隔热层时的9.6%，每平方米增加隔热层的投资费用按道路设计年限计算，其静态投资费用仅为每年节约耗电费用的9.3%。进行经济性能分析表明，采用发热线下方敷设隔热层的复合融雪化冰方案在经济性层面具有显著优势，其投资回收周期优势在长期运营过程中尤为突出。

4.3 进一步研究方向

本研究就隔热层厚度策略进行了初步理论研究，后续有必要进行试验研究加以验证，并对本研究涉及的路面结构力学性能作必要的研究以推动工程应用。

5 结论

本研究发以热线作为热源用于路面融雪化冰，重点探索日周期热边界条件下，在发热线下方敷设隔热层厚度的经济方案。基于传热学原理构建了含隔热层的路面结构热传导方程，采用MATLAB软件进行数值求解，获得了路面结构的温度场分布特征，得到如下结论。

(1) 冬季降雪天气时，在铺设有埋深为50 mm、间距为100 mm的发热线的沥青道路上，在发热线下方敷设隔热层可以大幅降低路表面升温时间，在道路设计年限内的运行费用较低。

(2) 比较敷设5~40 mm隔热层的路表面平均温度的上升速率与不加隔热层的道路温升速率，发现升温速度并非随隔热层厚度线性变化，也不随发热线温度线性变化，因此并非选用的隔热层厚度越厚，路表温升效果越好。

(3) 考虑融雪化冰的需求和工程运营成本，以路面温度维持在4.8 ℃以上、温升时间1~2 h为目标，综合考虑不同气候区的冰冻天气条件，发现合理控制发热线的加热功率使其温度在30~70 ℃，在发热线下方敷设5~10 mm厚的隔热层较为合适。