0 引言

薄壁箱梁因其良好的受力性能被广泛应用于桥梁工程。由于弯曲时翼缘板面内的剪切变形不均匀，箱梁往往产生剪力滞效应，工程设计中必须对其予以充分考虑。近年来，国内外学者针对箱梁的剪力滞效应进行了许多研究工作^[1-10]。刘旭政等^[11]通过建立有限元模型研究了三跨变截面波形钢腹板组合箱梁桥的剪力滞效应，引入了有效分布宽度修正系数并计算分析了该系数在不同梁段区间的取值。周朋等^[12]应用有限梁段法分析了不同荷载工况作用下变截面连续箱梁桥其控制截面的正应力及剪力滞系数。Gyani等^[13]通过定义新的截面纵向位移函数，开发出一种适用于悬臂箱梁剪力滞效应的简化分析理论。李夏元等^[14]在铁木辛柯梁理论的基础上，通过考虑腹板剪切变形、轴向自平衡等条件，修正了薄壁箱梁横截面翘曲位移函数，结果表明，剪切变形对箱形梁的挠曲有较大影响。张元海等^[15-16]选取翼缘板剪切变形引起的附加挠度作为广义位移，在定义新型广义力矩以及引入翘曲位移修正系数的基础上，基于最小势能原理建立了控制微分方程并给出初参数解，将剪力滞效应从箱梁弯曲中分离出来单独进行分析。Luo等^[17]以双室箱梁作为研究对象，利用余弦函数描述了翼缘板的剪力滞翘曲位移模式并建立了考虑剪力滞效应的控制微分方程。秦翱翱等^[18]运用能量变分法建立控制微分方程，对比分析了在设置二次抛物线和余弦函数两种不同类型的翘曲位移函数情况下单箱双室组合箱梁的剪力滞效应。研究结果表明，翘曲位移模式为二次抛物线的剪力滞解析理论适用于集中荷载作用，翘曲位移模式为余弦函数的解析解在均布荷载作用下与实测值和有限元值更为接近。

上述报道的分析箱梁剪力滞效应的文献虽然在结果上能取得较高精度，但其求解过程繁琐，不便于工程技术人员理解。本研究针对单箱单室薄壁箱梁，选取剪力滞附加挠度作为广义位移，得到一种可以反映剪力滞效应的几何特性k，并给出竖向荷载作用下箱梁截面剪力滞广义力矩的计算公式；通过求解简支和悬臂箱梁数值算例，详细分析参数k对剪力滞效应的影响规律。

1 剪力滞翘曲位移

薄壁箱梁横截面如图 1所示。xoy为正交直角坐标系，其中o为截面形心，x轴和y轴分别为过形心o的水平轴及竖向轴，z轴垂直xy轴向外；a，b, c分别为箱梁底板、顶板及悬臂板的宽度；h为梁高；t_b，t_u，t_w分别为箱室底板、顶板和悬臂板，腹板的厚度。

箱梁在受到竖向对称荷载作用时，由于剪力滞效应造成的截面纵向翘曲位移为:

(1)

式中，ω(x, y)=y-ηω_ζ(x, y)为剪力滞广义翘曲位移函数，其中η为应力自平衡修正系数，ω_ζ(x, y)为剪力滞翘曲位移函数；f(z)为剪力滞效应造成的附加挠度。

则截面的翘曲正应力为:

(2)

式中E为弹性模量。

定义剪力滞广义力矩为:

(3)

式中为剪力滞广义翘曲惯性矩。

则翘曲正应力又可表示为：

(4)

2 控制微分方程及初参数解

当箱梁受沿z轴的竖向分布荷载p作用时，得到其总势能Π的表达式如式(5)所示。

(5)

式中，σ和τ分别为截面总的正应力和剪应力；w为初等梁的挠度；G为剪切模量；I_x为横截面对x轴的惯性矩；。

根据最小势能原理，总势能的一阶变分为0，也即

(6)

由式(6)可建立关于剪力滞附加挠度f的控制微分方程如下：

(7)

式中。

先不考虑外荷载作用，则可将箱梁截面的附加挠度f、广义位移f^′、广义力矩M_ω、广义剪力Q_ω用初参数表达，其中Q_ω=η²GA_ζf^′-EI_ωf^‴。当z=0时，箱梁起始端的初参数为f₀，f₀^′，M_ω0及Q_ω0，解得任意截面的状态向量为：

(8)

确定各初参数的边界约束条件为：

(1) 自由端：箱形梁在自由端处广义力矩和广义剪力为0，即：

(2) 简支端：箱形梁在梁端不产生附加挠度，但可以翘曲，即：

(3) 固定端：箱形梁在梁端不产生附加挠度和附加挠曲转角，即：

3 箱梁作用外荷载时的广义力矩 3.1 简支箱梁

跨中集中荷载：

当0≤z≤l/2时，

(9)

当l/2＜z≤l时，

(10)

满跨均布荷载：

(11)

式中l为跨度。

3.2 悬臂箱梁

自由端集中荷载：

(12)

满跨均布荷载：

(13)

当计算的箱梁截面位置确定后，剪力滞广义力矩只与几何特性参数k有关，k综合反映薄壁箱梁剪力滞效应，求得其量纲为m^—1。通过对k进行计算分析，可在不求解剪力滞控制微分方程初参数解的情况下研究截面几何尺寸对薄壁箱梁剪力滞效应的影响。

4 数值算例

引用文献[15]中的算例，如图 2所示，一跨长为50 m的斜腹板混凝土简支箱梁受到两种工况作用，各工况布置分别为：(1)跨中腹板顶面布置2×10 kN的对称竖向集中荷载；(2)腹板顶面布置2×2 kN/m的满跨对称均布荷载。箱梁弹性模量和泊松比分别为31 GPa和1/6。根据薄壁箱梁剪力滞几何特性计算公式，求得截面惯性矩I_x=5.280 m⁴，剪力滞翘曲惯性矩I_ω=3.479 m⁴，参数k=0.830 m^—1。

按本研究建立的计算公式求得不同工况作用下薄壁箱梁截面剪力滞广义力矩沿z轴的分布如图 3所示。从图中可以看出，简支箱梁受不同形式的竖向荷载作用时截面剪力滞广义力矩的分布有较大区别。在均布荷载作用下，剪力滞广义力矩在支座处迅速变化，其余梁跨位置呈水平直线分布。在集中荷载作用下，剪力滞广义力矩在跨中截面出现峰值，而后向简支两端迅速衰减，远离外荷载作用处近似为0，即剪力滞广义力矩只发生在外荷载作用截面附近区域。

为验证本研究剪力滞解析理论的正确性，应用通用有限元软件ANSYS中的SHELL181壳单元建立有限元模型, 计算该算例中箱梁在工况(1)作用下横截面的正应力，并与本研究解析理论计算结果作对比。有限元施加约束时简支梁端约束底排节点，其中一端约束U_x，U_y和U_z，另一端约束U_x和U_y。有限元划分网格时，划分的单元越小，计算结果越精确，本算例将全梁划分为6 000个单元，总计6 060个节点。计算截面选至薄壁箱梁跨中，竖向对称集中荷载施加在腹板顶面节点，横截面正应力的计算位置选择在图 2所示的各关键点上，计算结果见表 1。由表可知，本研究计算结果与ANSYS模拟结果总体上吻合良好。

为了解箱梁的几何特性参数k变化对剪力滞广义力矩的影响，令参数k从0.5开始以0.1为步长增大至1，图 4示出了竖向对称集中荷载作用下箱梁截面剪力滞广义力矩随k值的变化曲线。从图中可以看出，箱梁剪力滞广义力矩与几何特性参数k成负相关，随着k值逐渐增大，箱梁剪力滞广义力矩逐渐减小，其中靠近外荷载作用截面的梁段区域以较快的速度衰减，衰减幅度随k值的增加缓慢降低。

为了考察悬臂板宽度变化对不同梁高的箱梁剪力滞几何特性k的影响，令悬臂板宽度从0开始以0.4 m为步长增大到4 m，即悬臂板相对宽度比c/b从0开始以0.1为步长增大到1，分别计算梁高h为1.6，2.4 m的箱梁跨中截面几何特性参数k，图 5为参数k随c/b的变化曲线。从图中可以看出，当c/b < 0.5时，k值随悬臂板宽度的增大先减小后缓慢增加，高宽比h/b=0.6的箱梁变化幅度更大。当c/b=0.5时，参数k出现峰值，由图 4可知，此时剪力滞广义力矩有最小值，且不同高宽比的k值相差最小。当c/b>0.5时，k值随悬臂板宽度的增大而逐渐降低，而相比高宽比h/b=0.6的薄壁箱梁，高宽比h/b=0.4的箱梁k值随悬臂板宽度的增大衰减幅度较小。

整体上，不同梁高的箱梁k值随悬臂板相对宽度比的变化曲线相似，梁高较小的箱梁k值更大，即要使剪力滞广义力矩更小，则要求箱梁截面高宽比更小。

为明确箱梁截面各板厚度变化对剪力滞几何特性k的影响，保持箱梁其他参数不变，依次令顶板、腹板和底板厚度从0.2 m开始以0.02 m为步长增大至0.4 m，图 6为截面几何特性k随箱梁壁室各板厚的变化曲线。从图中可以看出，几何特性参数k随顶板厚度的增大而增大，随着腹板和底板厚度的增大而减小，其中k值随腹板厚度改变引起的降低幅度要大于由底板厚度改变引起的降低幅度。因此，选择壁厚较大的顶板与壁厚较小的腹板有助于减小薄壁箱梁的剪力滞效应。

取上述算例中箱梁跨长的一半，将其约束改为左端固定右端自由的悬臂箱梁进行剪力滞效应的研究，保持其余参数不变，以分析截面几何特性k变化对箱梁剪力滞效应的影响。在自由端腹板顶面布置2×10 kN的对称竖向集中荷载，应用本研究建立的公式求出该箱梁剪力滞广义力矩随几何特性参数k的变化曲线如图 7所示。由图可知，悬臂箱梁截面剪力滞广义力矩随k值的分布规律与上述简支箱梁相同，再次验证了本研究解析理论的正确性。

5 结论

(1) 选取剪力滞附加挠度作为广义位移建立了控制微分方程，得到一种反映薄壁箱梁剪力滞效应的几何特性参数k，数值算例验证了本研究解析理论的正确性。

(2) 简支箱梁作用不同形式的竖向荷载时剪力滞广义力矩的分布有较大区别。竖向均布荷载作用下，简支箱梁剪力滞广义力矩在支座处迅速变化，其余梁跨位置呈水平直线分布。竖向集中荷载作用下，剪力滞广义力矩在荷载作用截面出现峰值，而后向简支两端迅速衰减，只发生在荷载作用截面附近区域。

(3) 剪力滞广义力矩与几何特性参数k成负相关，随着k值逐渐增大，箱梁剪力滞广义力矩逐渐减小，其中靠近外荷载作用截面的梁段区域以较快的速度衰减，衰减幅度随k值的增加缓慢降低。

(4) 随着悬臂板相对宽度比c/b缓慢增大，几何特性参数k呈先减小后增大再减小的变化趋势，c/b等于0.5时参数k出现最大值。整体上，不同梁高的箱梁k值随c/b的变化曲线相似，梁高较小的箱梁k值更大，即要使剪力滞广义力矩更小，则要求箱梁截面高宽更小。

(5) 几何特性k随顶板厚度的增大而增大，随腹板和底板厚度的增大而减小，其中k值随腹板厚度改变引起的降低幅度要大于由底板厚度改变引起的降低幅度。选择壁厚较大的顶板与壁厚较小的腹板有助于减小箱梁的剪力滞效应。