0 引言

U形梁因建筑高度低、截面利用率高、两侧腹板可兼做声屏障和电缆支架等优点，在轨道交通中被广泛应用^[1]。在轨道交通实际工程中，U形梁材料目前一般都是使用普通混凝土。普通混凝土U形梁与其他常用的普通混凝土T、板、箱梁等一样，自重往往占全部设计荷载的很大部分^[2]。因此，为了对轨道交通中使用的普通混凝土U形梁进行优化，研究者们展开了相关设计研究。

陈伟^[3]基于多目标优化遗传算法，以U形梁的造价和桥梁整体刚度最大为优化目标，对降低桥梁自重又能保持桥梁刚度最优的方法进行了研究。王云云^[4]通过对高速铁路U形连续梁桥进行性能分析及优化研究，得到了影响U形梁力学性能的截面参数、材料特性、合理边中跨比值及合理中跨跨径。梁岩等^[5]以某30 m的槽形梁为研究对象，采用有限元方法研究了梁高、道床板厚度和角隅斜率对梁力学性能的影响，得到槽形梁在给定跨径30 m的情况下存在最佳梁高。陈华婷等^[6]基于Abaqus拓扑优化模块，以应变能最小为优化目标、体积限值等为约束条件，研究了不同支撑条件下轨道交通30 m标准跨径简支高架U形梁的最优结构形式。孟斌^[7]利用应用梯度寻优和子问题逼近方法对双线U形梁截面进行了优化设计研究。吴炜^[8]通过向下增加腹板高度并且缩小底板宽度的方式对连续U梁进行优化，大大减少了连续U梁的预应力钢束数量。以上文献通过各种方法对普通混凝土U形梁进行优化设计，在梁的减重方面取得了一定效果。目前，国内外对轨道交通中U形梁的优化设计研究比较少，对象也是以普通混凝土U形梁为主，U形梁结合UHPC的优化设计研究较少。因此，对轨道交通中U形梁结合UHPC进行优化设计研究具有实际意义。

超高性能混凝土(Ultra-High Performance Concrete，UHPC)具有超高的力学性能和耐久性能，被认为是过去30年最优异的水泥基复合材料之一，能较好地适应当前土木工程结构大型化和复杂化的趋势，其在国内外土木工程领域已有很多的应用^[9-11]。本研究以某磁浮轨道交通工程项目U形梁(简称原U形梁)为研究对象，应用UHPC代替U形梁中的普通混凝土，选择UHPC基结构，采用Abaqus优化模块，以体积限值为约束条件，应变能最小(刚度最大)为优化目标，对UHPC基结构进行拓扑优化得到初始设计截面，利用初始设计截面尺寸调整原U形梁尺寸得到新U形梁截面。新U形梁的材料使用UHPC，新U形梁在力学性能优于原U形梁前提下达到减小自重并提升耐久性的目的。

1 工程背景

某磁浮轨道交通工程项目U形梁长度为25 m，其计算跨径为24 m，梁高为1.7 m，左侧腹板翼缘宽度为850 mm，左侧翼缘左侧厚度为380 mm，右侧厚度为460 mm，右侧翼缘宽度为500 mm，右侧翼缘厚度550 mm，底板与腹板厚度均为260 mm，截面面积S₂=2.27 m²，该U形梁截面详细尺寸如图 1所示。

U形梁的混凝土标号为C55，其力学性能及设计参数见表 1。预应力钢绞线采用规格为1×7-15.20的钢绞线，采用后张法张拉，其抗拉强度标准值为1 860 MPa，弹性模量为195 000 MPa。二期恒载为轨道结构重5 kN/m、承轨梁重14.8 kN/m、强弱电管线5 kN/m和疏散平台2.5 kN/m。底板两侧两根预应力筋的张拉控制应力为1 246 MPa，其他预应力筋的张拉控制应力取1 302 MPa。列车活载以23.8 kN/m的静载等效模拟。

2 UHPC基结构的拓扑优化 2.1 Abaqus拓扑优化数学模型

Abaqus拓扑优化模块采用的拓扑优化方法为变密度法，基于变密度法的结构拓扑优化过程中会出现相对密度值介于0~1的单元^[12-13]，但现实中并不存在相对密度为0~1的材料，因此引入惩罚因子来将每个单元的相对密度强制逼近到0或1。本研究采用SIMP插值模型来实现这个过程^[14]。SIMP插值模型的表达式如下：

(1)

式中，ρ_i为单元i的设计变量(材料单元的相对密度)；p为中间密度材料的惩罚因子，使材料单元的相对密度趋近于0或1；E (ρ_i)为第i个单元的弹性模量；E_min为孔洞单元的弹性模量；E₀为实体单元的弹性模量，ΔE=E₀-E_min。为保证数值计算的稳定性，通常取E_min=E₀/1 000，并且0＜E_min＜E (ρ_i)＜E₀。ρ_i与E (ρ_i)函数图像如图 2所示。

对给定体积的材料，随着惩罚因子p的增加，材料单元的中间密度值向0或1收敛，向0收敛的材料单元结构刚度也逐渐受到惩罚。当单元结构刚度或密度低于某一设定值时，此单元将会被删除掉，拓扑优化单元也将重新分布。

因此，在给定的体积约束条件下，选取最小柔度作为优化目标，得到基于SIMP插值模型的变密度法结构拓扑优化数学求解模型，如式(2)所示。

(2)

式中，C(ρ)为给定拓扑的柔度；U为单元节点的位移矢量；F为元素节点的负载向量；K为总体刚度矩阵；N为元素个数；u_i为单元位移向量；k₀为单位弹性模量的元素刚度矩阵；V(ρ)为优化后的结构体积；V₀为设计域的体积；f为预先设定的体积限值；ρ_i为设计变量；v_i为对应的单元相对体积；ρ_min为一个包含最低允许相对密度的向量。

2.2 UHPC基结构的截面尺寸

为了使拓扑优化后的截面尺寸尽量不受到原U形梁尺寸的影响，在原U形梁基础上拟定一个UHPC基结构^[6]。UHPC基结构的拟定主要考虑限界和辅助功能要求，拟定的UHPC基结构截面尺寸如图 3所示。

2.3 UHPC基结构拓扑优化 2.3.1 截面惯性矩与面积的关系

图 4为两个形状相同的截面，其长宽尺寸如图 4所示。由惯性矩公式i=bh³/12可得两者的惯性矩分别为：i₁=b₁h₁³/12, i₂=b₂h₂³/12，i₁/i₂ =b₁h₁³/b₂h₂³ = (b₁h₁/b₂h₂) × (h₁²/h₂²)，当h₁=h₂时，则i₁/i₂ = (b₁h₁)/(b₂h₂)=s₁/s₂。其中s₁, s₂分别为两个截面的面积。

由上述公式推导可知，在两截面的形心轴相对位置、截面高度和两截面材料沿形心轴两侧分布相同情况下，两截面的面积比值等于两截面的惯性矩比值，即i₁/i₂=s₁/s₂。推理可得到截面惯性矩与面积的关系：保持截面高度不变，在两截面形心轴相对位置和形心轴两侧的材料分布接近的情况下，两截面的面积比值与惯性矩比值也会接近相等。

2.3.2 体积限值的确定

假设优化设计后的结构截面形状仍然为U形，截面高度与原U形梁相等，则其形心轴和材料分布与原U形梁会比较接近。设S₁, S₂和S_basic分别为假设优化设计后的结构截面面积、原U形梁截面面积、UHPC基结构截面面积。

以假设优化设计后的结构截面刚度与原U形梁结构截面刚度相等(即：E₁I₁=E₂I₂)作为前提条件，假设优化设计后的结构材料使用的是UHPC，其力学性能及参数见表 1^{[9, 15]}，原U形梁材料使用的是C55普通混凝土，由表 1可知，E₁/E₂=1.408。则：

(3)

式中, I₁和E₁为假设优化设计后的结构截面惯性矩和弹性模量；I₂和E₂为原U形梁结构截面惯性矩和弹性模量。

由截面惯性矩与面积关系得：α₁=S₂/S₁≈I₂/I₁ = 1.408，S₁≈S₂/1.408=2.27 m²/1.408=1.61 m²。则体积限值为：α₂=S₁/S_basic≈1.61 m²/3.13 m²=0.514，取α₂=0.5。α₁为S₂与S₁的比值，α₂为S₁与S_basic的比值。

2.3.3 UHPC基结构拓扑优化过程

优化区域选择除支座外的所有结构体，冻结边界条件，为避免自重对优化结果产生影响，放开荷载区域，并且在Load模块施加自重荷载时手动选中施加自重的区域。设计响应选择应变能与体积两项。优化目标为优化后的结构应变能最小(刚度最大)，约束条件为优化后结构体积与UHPC基结构体积比值不大于0.5，即体积限值为0.5。在几何约束方面，首先要冻结所有均布荷载(应力)作用面，在UHPC基结构建模时将均布荷载作用面与梁体主体切割开来，切割厚度为50 mm；其次对优化区域使用stamping约束，保证优化方向设定为Z向(桥纵向)，使得优化后结构为等截面结构。

2.4 建立和优化UHPC基结构有限元模型 2.4.1 UHPC基结构有限元模型信息

UHPC基结构为等截面梁，为了减小计算量，有限元模型长度取10 m，支座中心距离梁端均为0.5 m，计算跨径9 m。采用面积相等原则将原U形梁结构中的圆形支座等效替换成正方形支座，正方形支座边长为266 mm。

拓扑优化对象是UHPC基结构模型。原U形梁的轨道梁重量和承轨梁重量通过轨道梁传递到底板上表面处并以均布荷载形式施加。强弱电管线重量以均布荷载的形式平均施加到左右侧翼缘表面。疏散平台只放置在右侧翼缘上，以均布荷载的形式单独施加在右侧翼缘表面。列车活载作用在承轨梁上并通过承轨梁传递到原U形梁的底板上表面处，因此等效列车活载的静载通过均布荷载施加到底板上表面处。有限元模型中均布荷载如表 2所示。

2.4.2 建立拓扑优化的有限元模型

利用Abaqus对UHPC基结构进行建模，模型网格数量217 100个，网格类型为六面体，模型单元类型采用C3D8R，在创建拓扑优化任务阶段选择SIMP插值模型。图 5为UHPC基结构有限元模型。图 6为UHPC基结构有限元模型的网络划分。

2.4.3 UHPC基结构拓扑优化结果

在Abaqus优化模块中对UHPC基结构设定拓扑优化方案后，将模型提交并进行拓扑优化计算。图 7为UHPC基结构拓扑优化后示意图，图 8为UHPC基结构优化过程中应变能和体积变化。

从图 7中可以看出，由于设定了stamping几何约束，优化后的结构被强制成为等截面结构，UHPC基结构去除掉的区域大部分为腹板部分。与腹板区域相比，翼缘和底板区域距离形心轴更远，由惯性矩计算公式可知，在以应变能最小(刚度最大)为优化目标和体积限值为0.5的约束条件下，腹板区域先于翼缘、底板区域被优化掉符合力学规律。由图 8可以看出，优化后结构的体积与UHPC基结构体积比值向0.5逼近，应变能也向99 J逼近，两者最终收敛。

2.5 新U形梁截面

将拓扑优化后的结构转为.stl文件导入到solidworks中，并对拓扑优化后的结构截面各部分尺寸进行量测得到(按四舍五入原则)：左侧翼缘左侧部分最厚处183 mm，最薄处156 mm；左侧翼缘右侧部分最厚处123 mm，最薄处165 mm；右侧翼缘右侧部分最厚处323 mm，最薄处269 mm；左侧腹板最薄处170 mm，最厚处300 mm；右侧腹板最薄处167 mm，最厚处244 mm；底板最薄处161 mm，最厚处260 mm。

确定新U形梁截面各部位尺寸：左侧翼缘左侧和右侧厚度为(123+165)/2=144 mm，取150 mm；右侧翼缘厚度为(323+269)/2=296 mm，取300 mm；左侧和右侧腹板厚度取170 mm，底板厚度为(161+260)/2=210.5 mm，取200 mm。将原U形梁左侧翼缘的厚度调整为150 mm，右侧翼缘调整为300 mm，左侧与右侧腹板厚度调整为170 mm，底板厚度调整为200 mm，得到新U形梁截面，如图 9所示。

经测算，新U形梁截面面积为S₃=1.55 m²，原U形梁截面面积S₂与S₃之比β₁=S₂/S₃=1.465，S₃与UHPC基结构截面面积之比β₂=S₃/S_basic=0.495。β₁=1.464与α₁=1.408, β₂=0.495与α₂=0.5的值接近。

2.6 有限元数值模拟

使用有限元软件Abaqus分别建立了25 m新U形梁与25 m原U形梁有限元模型，其中两种梁的预应力模拟是至关重要的一步。施加预应力的方法一般为先张法和后张法，目前Abaqus都可以有效地模拟出这两种方法对梁的预应力效应^[16-19]。采用后张法对原U形梁与新U形梁进行比较时，需要对新U形梁的实心底板开70 mm预应力筋孔，对于底板厚度为200 mm的新U形梁，这种做法显然会降低梁截面的力学性能，并在与原U形梁比较时，不能直接地表现出优化后新U形梁的力学性能。如果采用先张法施加与后张法相同大小的预应力，新U形梁截面不需要开预应力筋孔，原U形梁在预应力大小不变的情况下预应力筋孔道被填充，其力学性能会略增加而不会减少，从工程角度来看，此时将原U形梁作为参考对象进行对比是有利的。为了不对优化后的新U形梁截面做更改，本研究采用先张法施加相同大小预应力比较两种梁的力学性能。图 10和图 11为两种梁满载作用下的应力云图。满载指添加了自重、二期恒载、列车等效静载和预应力4种荷载作用。

3 新U形梁与原U形梁对比分析 3.1 两种梁自重结果及对比分析

利用Abaqus建立的新U形梁和原U形梁有限元模型计算得到两种梁的体积V₁和V₂。

UHPC与C55普通混凝土的容重均为26 kN/m³。由体积和容重的乘积可计算得到25 m新U形梁和25 m原U形梁的自重，其值分别为1 007.5 kN和1 476 kN，如表 3所示。优化后得到的新U形梁自重比原U形梁减少了31.7%，优化过程大大地减小了原U形梁的自重和体积。

3.2 两种梁力学性能对比分析 3.2.1 两种梁固有频率对比分析

桥梁的动刚度主要通过自身固有频率来衡量。通过有限元软件Abaqus模拟新U形梁和原U形梁得到两者前二阶弯曲振型对应的固有频率，以此对两者的截面竖向动刚度进行对比分析，如表 4所示。

从表 4可以看出，与原U形梁相比，新U形梁第1阶弯曲振型对应的固有频率提高了18.5%，第2阶弯曲振型对应的固有频率提高了24.2%。这说明新U形梁的动刚度性能较原来有所提升。

3.2.2 两种梁不利荷载作用下跨中截面挠度对比分析

两种梁不利荷载作用是对新U形梁和原U形梁施加自重、二期恒载、列车等效静载3种不利荷载，以此得到两种梁不利荷载作用下的跨中截面挠度。使用有限元软件Abaqus模拟不利荷载作用下的两种梁，得到新U形梁和原U形梁的跨中截面挠度分别为15.21 mm和19.26 mm，其值如表 5所示。不利荷载作用下，新U形梁的跨中挠度比原U形梁的跨中挠度小21%，说明新U形梁的截面刚度大于原U形梁的截面刚度。

3.2.3 两种梁满载作用下的力学性能对比分析

为了比较两种梁自重、二期恒载、列车等效静载和预应力作用下的正截面抗弯性能和斜截面抗裂性能，利用有限元软件Abaqus模拟自重、二期恒载、列车等效静载和预应力作用下的两种梁，得到两种梁满载作用下的跨中截面挠度、跨中截面上下缘正应力和最大剪应力，如表 6所示。

新U形梁和原U形梁最大剪应力都发生在梁左侧腹板与底板靠近交接点处，通过剪应力可得两种梁的主拉应力。梁的主拉应力公式为^[20]：

(4)

式中，σ_cx为法向应力值，即正应力值(压应力值时以正值代入公式，拉应力以负值代入)；σ_cy为竖向压应力值；τ为剪应力值。

从式(4)可以看出，当σ_cy=0，主拉应力σ_tp的绝对值大小将取决于剪应力值τ的绝对值大小，剪应力值τ的绝对值越大，则主拉应力σ_tp将越大。因此，当σ_cy=0，将梁的最大剪应力值和对应的正应力值代入式(4)，可得梁最大主拉应力。新U形梁最大剪应力为τ = — 3.96 MPa，最大剪应力点对应的正应力值为σ_cx=5.85 MPa，σ_cy=0，将三者代入式(4)中，得新U形梁最大主拉应力σ_tp= — 2.0 MPa。

原U形梁最大剪应力值— 2.75 MPa，对应的正应力值— 4.88 MPa。同理，通过式(4)得到原U形梁的最大主拉应力值为— 3.70 MPa。

从表 6可知，新U形梁在满载作用下的跨中挠度略小于原U形梁，而跨中截面上下缘正应力的绝对值均大于原U形梁，新U形梁的正截面抗力富余度大于原U形梁，说明满载作用下新U形梁正截面抗弯性能优于原U形梁。原U形梁的最大主拉应力为3.7 MPa，大于C55普通混凝土抗拉强度3.3 MPa，而新U形梁的最大主拉应力为2.0 MPa，远远小于UHPC的抗拉强度12 MPa，由此可以得出新U形梁的斜截面抗裂性能远远优于原U形梁。

4 结论

以普通混凝土U形梁为研究对象，使用UHPC和拓扑优化方法对普通混凝土U形梁进行优化设计研究，得到以下结论。

(1) 利用UHPC与C55混凝土的弹性模量比值及截面惯性矩与面积间的关系得到体积限值。原U形梁截面面积与新U形梁截面面积之比β₁=1.465和新U形梁截面面积与UHPC基结构截面面积之比β₂=0.495分别接近α₁=1.408和α₂=0.5，表明以这种方法确定体积限值是准确且有效的。

(2) 利用Abaqus建立了新U形梁和原U形梁的有限元模型，对它们的自重和力学性能进行了对比分析，对比结果表明：与原U形梁相比，新U形梁自重减少了31.7%，前1、2阶弯曲振型对应的固有频率分别提高了18.5%和24.2%，不利荷载作用下跨中挠度减少了21%，正截面抗弯性能提升了12%，斜截面抗裂性能至少提升了46%。通过优化设计在提升了梁力学性能前提下有效地减少了原U形梁的自重和体积。

(3) 采用UHPC优化设计的新U形梁尽管在成本上有所增加, 但凭借其轻量化特性和优异耐久性能, 可以应用于沿海城市、高盐和高氯等特殊环境中。

(4) 目前国内外对U形梁在轨道交通领域内结合超高性能混凝土的研究设计较少，因此本研究成果可为后期相关的设计研究提供借鉴和参考。