0 引言

随着寒区资源的开发利用，大量公路工程在多年冻土区开工建设。受地形、地势等因素的影响，工程建设中势必会产生因路基开挖而形成的路堑边坡。在冻融作用下，路堑边坡土体强度将有所降低^[1]，导致多年冻土区路堑边坡发生失稳^[2]。为更好进行边坡防治，需对边坡的稳定状态进行定量评价。

目前，定量评价边坡稳定性的方法主要有：极限平衡法和数值分析法。极限平衡法因具有模型简单、力学概念清晰等特点，在边坡稳定性分析中被广泛使用^[3-5]。然而，受理论假设和实际工程环境的限制，极限平衡法存在预测精度偏低、考虑因素较少的缺点^[6]。随着计算机技术的发展，数值分析法被用于边坡稳定性分析中^[7-8]，但如何快速搜索出潜在滑移区域仍是此方法亟需解决的关键问题^[9]。近年来，因机器学习模型可以更好地描述边坡稳定性与其影响因素之间的非线性关系，因此，神经网络、支持向量机、决策树等算法被大量用于边坡稳定性分析中^[10-12]。

模型输入参数是决定机器学习模型预测精度的关键。在普通边坡的稳定性预测模型中，边坡高度、边坡坡度、重度、黏聚力、内摩擦角和孔隙水压比等通常被作为输入参数^{[11, 13]}。对多年冻土区的路堑边坡而言，气候变暖将引起活动层厚度增大。活动层厚度增大将导致下滑力占比增大，导致边坡安全系数减小，甚至出现局部失稳。而且，活动层的土体将经历反复冻融作用，造成土体强度出现不同程度的降低，使得边坡稳定状态遭受破坏^{[1, 14]}。根据灰色关联分析结果，多年冻土区路堑边坡稳定性对不同因素的敏感程度大小依次为黏聚力、冻融损伤系数、活动层厚度、内摩擦角、坡度、土体密度^[15]。然而，活动层厚度和土体冻融损伤系数在现有边坡稳定性预测模型中未曾被考虑。因此，采用现有边坡稳定性模型及输入参数来评价多年冻土区边坡稳定性并不合理。

鉴于多年冻土区路堑边坡局部冻融损伤的特殊性，在确定模型输入参数和数据后，本研究采用归一化对数据质量进行改善。以泛化能力较强的支持向量机、随机森林和梯度提升算法为基础学习器，建立Voting集成学习模型，对表征边坡稳定性的安全系数进行预测。研究旨在建立适用于多年冻土区路堑边坡稳定性评价的预测模型，进而为多年冻土区路堑边坡稳定性评价提供参考。

1 模型基本原理 1.1 支持向量回归

支持向量回归(SVR)是一种基于统计学理论的小样本学习方法。它利用支持向量机对区域中的样本进行回归，得到该区域的映射函数，然后利用该映射函数计算该区域中未知样本的取值^[13]。

对于样本集，

(1)

拟合函数为：

(2)

式中，(x_l, y_l)为样本坐标；W为参数列向量；W^T为W的转置；ϕ(x)为一个函数的列向量；b为偏差；R为模型特征集。

对于非线性问题，SVR可通过改变核函数，把样本数据映射到更高维空间上，并找到一个最优的超平面，从而转变成线性问题。常用的核函数有线性核函数、多项式核函数、高斯核函数等。根据边坡模型的小样本特点，本研究选用高斯径向基核函数：

(3)

式中，x_i为空间中任一点的位置；x_j为空间中某一中心的位置；σ为标准差。

1.2 随机森林

随机森林(RF)本质上是许多决策树的集合，该算法在处理特征遗失和不平衡数据方面表现突出。随机森林根据每棵决策树的预测结果，通过内部投票或者取平均值，给出最终预测结果。主要计算步骤如下^[16]：

(1) 从数据集中取样(有放回取样)，训练得到模型；

(2) 建立树模型，并获得最佳分割点；

(3) 重复产生M棵决策树；

(4) 根据投票机制，产生预测结果。

(4)

式中，C_p为分类结果；n_tree为树的个数；n_hi为基分类器；n_{hi, C}为基分类器的预测类别；I为投票数。

1.3 梯度提升

梯度提升(GB)是一种将弱学习器升级为强学习器的算法。相对于传统的广义线性模型、神经网络等算法，GB算法具备较强的预测能力和模型透明度。与其他Boosting算法不同的是，GB算法选择损失函数梯度下降的方式进行迭代，进而不断改进模型。该算法在目标函数中引入正则项以防止模型过拟合，并对损失函数采用二阶泰勒展开，进一步优化算法的效率和精度。

设样本的极小化损失函数为^[17]：

(5)

使用最小二乘法得到下式：

(6)

(7)

最后迭代M次后，最终的表达式为：

(8)

式中，b(x; γ_m)为基函数；γ_m为基函数的参数；β_m为基函数的系数；f_m-1(x)为当前模型; y_i为实际值。同时得到参数集合P，以及f(x)=f_M(x)。

根据SVR、RF和GB这3种算法的计算原理，图 1给出了这3种算法的结构图。

1.4 Voting集成学习

集成学习是一种将多个学习器结合起来，共同完成学习任务的方法。这种学习方法可以达到降低方差、减小偏差或改进预测的效果^[18]。在集成学习方法中，主要有平均法、投票法和学习法。其中，最直观的就是Voting集成学习法(投票法)。

假设学习器h_i从类别标记集合{c₁, c₂, …, c_N}中预测出一个标记，将h_i在样本x上的预测输出表示为一个N维向量h_i[h_i¹(x), h_i²(x), …; h_i^N(x)]，其中h_i^j(x)为h_i在类别标记c_j上的输出。本研究利用Python语言，采用其Sklearn库中的Voting Regressor ()方法将不同的机器学习回归器组合起来，并返回平均预测值，以便平衡各模型的弱点。

2 Voting边坡稳定性预测模型 2.1 多年冻土边坡稳定性评价指标选择

研究表明，土体重度、坡度、内摩擦角、内聚力以及坡高是影响普通边坡稳定性的主要参数^[11]。对于多年冻土区边坡，其失稳主要发生在活动层，且活动层的土体将经历冻融循环，引起土体强度降低。为此，引入活动层厚度和冻融损伤系数来描述多年冻土区路堑边坡局部冻融的特殊性^[15]。此外综合普通边坡稳定性影响因素，最终确定边坡坡度、土体重度、活动层厚度、黏聚力、内摩擦角以及冻融损伤系数这6个指标为输入参数，设为Y=(α, γ, h, c, φ, k)。

为使预测结果更具有说服力，使用已有文献中的数据作为模型数据集。文献[15]以东北大兴安岭(内蒙古境内)某一级公路的路堑边坡为背景，采用正交分析法给出了6种影响因素(α, γ, h, c, φ, k)，每个因素5个水平的边坡稳定性分析结果(表 1)。鉴于文献[15]中的数据较为合理且具有一定的代表性，且该工程位于多年冻土区(年平均气温为-3 ℃，最大冻结深度约3.1 m)。因此，采用文献[15]中的25组数据来检验模型的有效性。在进行数据随机排列后，选择前20组作为训练样本，后5组作为预测样本。以表 1中的6个影响因素为输入值，以安全系数为输出值，将输入数据归一化处理后即可对模型进行训练。由于不同等级的边坡要求不同的安全系数，因此，本研究仅给出了边坡安全系数值，未评价边坡稳定性。在实际工程中，应根据《建筑边坡工程技术规范》(GB 50330-2013)结合安全系数预测值对边坡进行稳定性评价。

2.2 数据归一化处理

由于边坡稳定性影响因素的量纲不同，因此各因素之间具有不可共度性，不能进行直接比较。因此，采用线性归一化方法对这些因素进行处理：

(9)

(10)

式中，x_i^′为归一化后的第i个影响因素；x_i为归一化前的第i个影响因素；x_imax和x_imin为第i个影响因素的最大值和最小值；y_i^′为归一化后的第i个边坡稳定系数；y_i为归一化前的第i个边坡稳定系数；y_imax和y_imin为第i个边坡稳定系数的最大值和最小值。

2.3 交叉验证

考虑到多年冻土区路堑边坡稳定性数据较少，其测试集规模必然更小，这将引起较大预测误差。为精确评估拟合问题及提高模型泛化能力，对收集的边坡数据进行k-折交叉处理。研究证实当k为5或10时，其综合性能最优^[19]。为减少计算量，本研究采用5-折交叉法进行处理，其原理如图 2所示，基本步骤如下：

(1) 将原始数据集随机划分样本数量相等的5个子集。

(2) 依次将4个子集作为训练集，剩余1个子集作为测试集。

(3) 分别使用不同算法进行学习和测试，计算多种评价指标在测试集下的结果。

(4) 计算个评价指标的平均值作为最终结果，进而获取最优算法。

2.4 构建Voting集成学习模型

以影响多年冻土区路堑边坡稳定性的6个因素为模型输入量、以边坡安全系数为模型输出量，利用Voting模型对路堑边坡稳定性进行预测，其预测流程如图 3所示。

3 模型预测结果评价

采用python语言分别编写SVR，RF，GB和Voting计算模型，然后利用训练集数据对上述4种模型进行训练。令文献[15]中的有限元计算结果为实际值，机器学习预测结果为预测值，则可得到预测值与实际值的对比结果(图 4)。从图 4中可以看出，预测值与实际值整体较为接近，仅个别点偏差较大。

为更好展示不同模型的预测效果，表 2给出了不同模型的预测效果。由表 2可知，训练集样本的均方误差最大为GB模型(0.074 0)，最小为Voting集成学习模型(0.002 7)，相关系数最小为GB模型(0.825 6)，最大为Voting集成学习模型(0.999 8)。从训练集的表现来看，相对误差最大的是SVR模型，为23.95%；其次是GB模型，为14.05%；然后是RF模型为11.70%；Voting集成学习模型的相对误差最小，为1.26%。因此，Voting集成学习模型在训练集的表现最佳。

为检验4种模型的预测效果，利用训练集获取的模型参数对测试集进行预测，预测结果见图 5。从中可以看出，由实际值与预测值构成的数据点均都分布在r=1的线上或其附近，表明预测值与实际值较为接近。相关系数最小的是SVR模型(0.947 2)，相关系数最大的是Voting集成学习模型(0.999 8)。由此表明，Voting集成学习模型具有更高的预测精度。

为了更好地展现Voting集成学习模型对边坡安全系数预测的可靠性，我们将4种模型的预测结果进行对比(图 6)。可以看到，Voting集成学习模型的预测值与实测值的最大相对误差为-0.51%，而GB模型的最大相对误差为4.44%，RF模型的最大相对误差为-6.23%，SVR模型的最大相对误差为9.61%。整体而言，Voting集成学习模型得到的结果最接近安全系数实际值，其次是RF模型和GB模型，最后是SVR模型。对比4种模型，可以看出Voting集成学习模型在多年冻土区边坡稳定性预测中的精度最好。此外，4种模型的均方误差均较小(0.003 2~0.056 0)，表明各模型的稳定性较好。因此，可以采用Voting集成模型对多年冻土区路堑边坡安全系数进行预测。

4 讨论

采用4种预测模型对多年冻土区路堑边坡安全系数进行预测，在计算过程中采用5折交叉验证对原始数据进行训练。计算结果表明，采用5折交叉验证缓解了模型过拟合现象，不仅提升了估算精度，还增强了模型泛化能力。在评估模型自身稳定性时，发现Voting集成学习模型的均方误差(0.032 6)处于较低水平，表明模型拥有较好的稳定性。在对模型进行外部评估时，选取了SVR模型、RF模型和GB模型作为比较对象，发现Voting集成学习模型的预测精度更高。相对于传统极限平衡法和数值分析法，Voting集成学习模型考虑因素更全面，而且避免了滑面搜索的问题。鉴于Voting集成学习模型具有通过短时间内的数据学习后，就可快速提升模型预测精度的高效性优点，可以认为在未来冻土区边坡稳定性评价与防治工作中，Voting集成学习模型将成为边坡风险评估的重要工具。

计算结果表明，Voting集成学习模型可以有效提高预测模型的稳健性，在一定程度上降低了单一学习器造成的误判率。由于Voting集成学习模型避免了因主观赋值而引起的结果不确定性等问题，在一定程度上提高了模型预测结果的可重复性。需要注意的是，Voting集成学习模型自身并不具备超参数，其预测精度完全依赖于基础学习器的预测精度。因此，为提高Voting集成学习模型的精度，就必须提高基础学习器的预测精度。优化模型超参数和增加样本数量是提高基础学习器预测精度和泛化能力的有效方法之一，在后续研究中将重点解决此问题。

本研究将文献[15]中的多年冻土路堑边坡稳定敏感性分析结果作为模型样本，来检验模型的有效性。尽管文献[15]中的数据结果来自于数值模拟，但其依托于实体工程，在一定程度上反映了多年冻土区路堑边坡的局部冻融损伤特征。从输入参数的取值范围看，与普通地区输入参数的取值范围有重叠^[11]，可认为其取值较为合理。然而，这25个边坡数据并非全部是实例数据，其代表性仍有待提高。此外，多年冻土区边坡失稳呈现明显的地域性特征。因此，后续研究中将注重收集多年冻土区路堑边坡实例数据，进而提高模型数据的代表性，以拓展边坡稳定性预测模型的适用性。

5 结论

多年冻土区路堑边坡的稳定性定量化评价是工程建设和道路安全运营中亟需解决的问题。通过构建以SVR，RF和GB模型为基础的Voting集成模型，引入了活动层厚度及冻融损伤系数反映局部冻融损伤特征，实现了对多年冻土区路堑边坡稳定性的准确估算。主要结论如下：

(1) 与SVR，RF和GB算法相比，Voting集成学习模型的相对误差最小，具有很好的预测效果。Voting集成学习模型拥有较好的稳定性，而且具有学习能力强、适应性好的优点，可为多年冻土区边坡稳定性评价提供参考。

(2) 基于Voting集成学习模型的边坡稳定性评价方法，不仅增加了模型分类的稳定性，而且其预测结果完全由样本数据来确定，有效避免了其他评价方法中主观赋值等不精确的问题，有效减小人为因素干扰。

(3) 尽管引入了活动层厚度和冻融损伤系数来反映边坡局部冻融影响，但影响多年冻土区边坡稳定性的因素多样，且呈现地域特征。如果能够收集到更多、更全面的边坡稳定性评价实例数据，必定能够进一步提高Voting集成模型的预测精度。