0 引言

山岭隧道地质和水文条件复杂，其中以富水的断层和裂隙发育的破碎带最为常见，在隧道建设的全生命周期内常因不能有效地控制地下水，带来安全事故和经济损失^[1-2]，对于山岭隧道的防排水设计来说，精确计算涌水量是必不可少的^[3]。富水地层中隧道涌水量的计算，多数学者进行了相关研究，其中在山岭隧道勘察设计阶段中多以地下水动力学法进行涌水量的计算，地下水动力学法主要分为镜像法和保角变换法^[4-6]。镜像法用两个无限渗流场叠加的方式求解半无限平面内隧道的涌水量，其中以Goodman公式应用最为广泛，其适用于高水位或深埋隧洞涌水量计算，但无法考虑衬砌和注浆圈的堵水作用^[7]。应宏伟等^[8]在总结多数学者的研究后提出了，将半无限空间划分为地层、注浆区、支护这3部分，利用镜像法求解“源”-“汇”，推导涌水量计算公式，同时考虑注浆圈和衬砌的减水作用。保角变换是利用复变函数理论将直角坐标系下的半无限平面圆孔问题，转化为复平面下的环形区域进行求解^[9]。保角变换的方法最早是Verruijt^[10]应用在求解隧洞的平面应力应变问题，并在工程上得到了验证。多位学者基于保角变换的方法，在考虑隧道周围等水头边界和等压边界下，提出了半无限含水层稳态流的解析解^[11-12]。朱成伟等^[13]基于保角变换的方法，推导了隧道断面任意埋深下水压力的分布和涌水量解析解，并通过退解和数值模型的验证来证明解析解的正确性。相较于镜像法，保角变换法从稳态渗流微分方程出发，可考虑不同边界条件求得渗流场的精确解。

复杂构造地层条件下隧道涌水量计算研究方面，Hwang等^[14]同样采用镜像法和势叠加的原理将有限空间内的渗流问题，转化为无限空间进行求解，利用积分变换的方式，推导了穿越富水断层时隧洞中涌水量随时间变化的计算方法。朱彬彬等^[15]将断层视为水头补给边界，提出以垂直断层代替倾斜断层的方法，并利用镜像法叠加求解隧洞的涌水量，通过对比龙津溪引水隧洞工程实测涌水量进行对比，证明了该方法的准确性。成国文等^[16]在文献[7]的基础上运用断层等效的方法进一步推导了断层影响区内的Goodman解析解。

但是，上述方法仍存在不足，即断层影响区的隧道涌水量未考虑衬砌和注浆圈的堵水作用。因此，为解决这一问题，本研究从稳态渗流的微分方程出发，利用断层等效的方法，结合镜像法和保角变换原理，严格推导了该问题的解析解，以期对断层影响区内的隧道勘察设计提高一定帮助。

1 问题描述 1.1 理论模型

三维空间内隧道与断层的位置关系可简化如图 1所示，空间内断层的产状可以用走向、倾向和倾角进行描述，其中η为断层的倾角，AB为断层的走向线，CD为断层的倾向，β为视倾角，ω为断层走向线与隧道轴线方向的夹角，L为断层至隧道轴线中心的垂直距离，H为地下水位的高度，d为断层宽度，z为断层至隧道断面的距离。如图 1所示，断层倾角、视倾角及走向线与隧道轴线夹角之间的几何代数关系表述如下：

(1)

垂直距离L与断层宽度d和断层至隧道断面的距离z间的关系如下所示：

(2)

即当z≤Htan β/tan ω-d/sin ω时，断层处于隧道左侧；z>Htan β/tan ω时，断层处于隧道右侧，因此隧道涌水量主要受到断层至隧道轴线中心的垂直距离L影响。

1.2 基本假定

为计算断层影响区内隧道涌水量，以地下水位为基准面建立x-y平面坐标系，如图 2所示，区域Ⅰ表示围岩，区域Ⅱ表示隧道外注浆区, 区域Ⅲ表示隧道的衬砌。其中r_g为隧道注浆圈最大外径；r_l和r₀为隧道衬砌的外径和内径；k_g，k_l和k_s分别为注浆圈、衬砌、围岩的渗透系数；H为地下水位高度，即隧道中轴线到地下水位线的距离。基于以上分析，隧道渗流模型的基本假定如下：

(1) 断层面宽度小于隧道半径；

(2) 断层至隧道轴线中心的垂直距离大于注浆圈半径；

(3) 断层影响区内，围岩、衬砌和注浆圈为均质同性材料；

(4) 地下水为稳定渗流状态，符合达西定律要求；

(5) 隧道埋深大，。

1.3 断层等效

文献[16-17]提出将平面内倾斜断层等效成为垂直断层的可行性，采用数值模型分别对倾斜断层和垂直断层进行分析，如图 3所示。其中模型长400 m，高300 m，隧道半径取8 m，以隧道轴线为基准面，隧道内边界水压力为零，模型底部为不透水边界，模型上边界为水位线，总水头恒定，断层作为补给边界，设其总水头恒定不变^[18]，模型左、右边界亦设为恒定水头。图 4所示为倾斜断层与垂直断层的涌水量对比，可见误差较小，涌水量随视倾角的增大逐渐增大，因此采用等效断层的方法计算涌水量具有可行性。

2 渗流场求解 2.1 围岩渗流场

将断层视为地下水的补给边界，利用镜像法映射出虚拟的“源”，代替断层的补给作用，并将有限的渗场转化为以实际隧道作为“汇”的作用的无限空间渗流问题，如图 5所示。

围岩渗流场内，其极坐标下的微分方程符合达西定律稳定渗流的地下水渗流，表示如下：

(3)

(4)

式中，φ为总水头；y为位置水头；p为水压力；γ_w为水的重度。

采用保角变换的方法，可将图 5中平面x-y坐标分别映射为外径1和内径α的复平面环形坐标，结合基本假定，其边界条件如下：

(5)

(6)

(7)

式中，ρ₁实际隧道的半径；ρ₂为虚拟“源”的半径；ρ₄为区域Ⅲ半径；θ₁为实际隧道的角度；θ₂为虚拟“源”的角度；θ₄为区域Ⅲ角度。

环形区域内，控制方程(3)将转化为：

(8)

其中 ，并根据边界条件式(5)~(7)的围岩内的水头表达式为：

(9)

式中, C₁，C₂为待定系数。，ρ₂和θ₂可按周期内的平均值进行计算，如下所示：

(10)

(11)

式中A=H (1-α²)/ (1+α²), L≥r_g。

2.2 注浆圈及衬砌渗流场

根据式(3)的Laplace方程，区域Ⅱ和Ⅲ的总水头表示如下：

(12)

(13)

式中, C_ij为待定系数，i=2，3，j=1~6；ρ₃为区域Ⅱ半径。

区域Ⅱ和区域Ⅲ地下水稳定渗流；因此在Ⅱ、Ⅲ界面流速与流量相等即：

(14)

(15)

(16)

结合边界条件(BC3)，联立式(12)~ (16)可求得区域Ⅱ和Ⅲ水头表达为：

(17)

(18)

式中, M=C₃₅ (1+k_l/k_g)+ (1-C₃₅)r₀²/r_l² (1-k_l/k_g)，N=C₃₅ (1-k_l/k_g)+ (1-C₃₅)r₀²/r_l² (1+k_l/k_g)。

2.3 涌水量求解

由图 5，在ε-η坐标中，在其内径上满足如下关系：

(19)

根据文献[9]可将式(19)变化为级数表达形式，并代入式(17)可得区域Ⅱ的水头表达式为：

(20)

在流量和流速相等的条件下，区域Ⅰ和区域Ⅱ界面处满足如下公式：

(21)

(22)

(23)

将式(20)和式(9)代入上式可得方程组如下：

(24)

(25)

(26)

联立求解C₁和C₂，断层影响下单隧道的涌水量为：

(27)

3 结果与验证 3.1 退化解验证

当地层中不存断层影响时即L′→∞，且k_s=k_g=k_l，r_s=r_g=r_l。此时由式(10)、(24)、(26)可得无衬砌及注浆圈条件下周围总水头分布情况：

(28)

该结果与Park等^[10]一致。

3.2 有限元对比

图 6为隧道涌水量的解析解与数值解的验算对比，分别为隧道参数r_g=10 m，r_l=6.5 m，r₀=6 m不同工况下的情况，同时满足断层至隧道轴线中心的垂直距离大于注浆圈半径要求。本研究所推导的解析解和数值模型的结果随着断层与隧道垂直距离的增加而更加一致，本研究解析解求得的涌水量小于数值解，但两者的计算误差结果在10%左右。

4 参数分析 4.1 地下水位高度

如图 7为地下水位变化对隧道涌水量的影响。对比不同断层至隧道轴线中心的垂直距离和注浆圈半径的比值，可以发现，对于地下水位变化，隧道涌水量的敏感性更强。地下水位高度由50 m逐渐增大至200 m时，隧道涌水量则由9.7 m³/ (m·d)增加至38.8 m³/ (m·d)，大致呈现出线性的变化。从图中可以看出，在做好注浆圈堵水作用下，隧道涌水量受断层与隧道最小距离的影响较小。

4.2 衬砌厚度

隧道涌水量和衬砌厚度的关系，如图 8所示。对于断层至隧道轴线中心的垂直距离为36 m的情况下，在隧道衬砌外径r_l保持不变，隧道厚度由1 m降到0.1 m时，涌水量随衬砌厚度的降低而增加，且涌水量的增大速度逐渐加快，地下水位越高，将增大隧道的涌水量。此外，值得注意的点在于，衬砌厚度小于0.3 m时，此外地下水位的高低对隧道涌水量有着直接影响。

4.3 注浆圈厚度与渗透系数

由图 9可以看出，注浆圈的渗透系数与其所需厚度之间存在明显的反比关系。具体而言，当注浆圈的渗透系数较小时，注浆圈度也相应较小；当注浆圈厚度达到某一数值时，隧道涌水量将不再因注浆厚度的增加而明显减少。因此，相对渗透系数对隧道内的涌水量控制起到了至关重要的作用。隧道涌水量与注浆圈厚度在相对渗透系数低的情况下，大致呈线性关系。只提高注浆圈的厚度，并不能使涌水量明显减少，相反，相对渗透系数高的时候，就会出现不同的情况。因此，在隧道设计与施工过程中，应优先考虑优化注浆材料的渗透性能，以实现更为高效的地下水控制。

5 结论

建立断层影响下隧道涌水量的计算模型，并建立涌水量的计算公式，主要考虑断层区作为补水边界的作用，通过数值模型验证方法的可行性，推导的解析解有助于提高隧道勘察设计阶段的计算效率。

(1) 对于未采取有效堵水措施的隧道，涌水量受隧道与断层间垂直距离影响较大，而在断层与隧道之间垂直距离不变的情况下，主要是受地下水位高度的影响。

(2) 衬砌厚度的提高，明显增强了其对地下水渗水的阻碍作用，进而减少了隧道的涌水量。较薄的衬砌对地下水渗透的阻碍作用在衬砌厚度降至0.3 m以下时明显减弱。因此，在隧道与断层垂直距离较小处，宜增大衬砌厚度，减少涌水量。

(3) k_s/k_g < 50时，涌水量与注浆圈厚度之间呈现线性关系；而注浆圈渗透系数较低时，即k_s/k_g>50，注浆圈的厚度对涌水量的影响比较显著。因此，在保证注浆圈厚度要求的同时，隧道防排水的前期设计和施工过程中，应首先考虑优化注浆材料的抗渗性能，从而使地下水得到更高效的控制。