0 引言

近年来随着桥梁技术的不断发展，大跨度悬索桥、斜拉桥开始不断涌现，其跨越能力强，结构造型美观，已经被工程界广泛应用。但同时在大跨度索桥全寿命使用过程中也出现了较多问题。比如作为柔性构件的索结构，因其具自重较轻、刚度较低的特性，极易发生风致颤振、涡激振动。结构阻尼减振技术的应用，有效抑制了桥梁结构在车辆、风和地震作用下的动力响应^[1]。桥梁索结构作为桥梁的主要受力构件之一，吊索的振动控制问题受到了国内外学者们的广泛关注。

目前关于桥梁索结构的振动控制主要为空气动力学措施、结构措施、机械措施等^[2]，并研究出多种桥梁振动观测分析和控制的方法。楚玺等^[3]通过欧拉运动放大算法，对桥梁的连续图像序列进行空域分解，使用对微弱运动敏感的时域带通滤波器进行滤波, 得到连续图像序列中的微小振动, 再对低频的振动信号采用信号放大处理，有效地满足了桥梁索塔结构振动位移的观测需求，为振动控制提供了翔实准确的数据依据。对于低阶模态的大幅风雨振，目前的研究和工程实践已表明，在斜拉索锚固端附近安装外置阻尼器是一种较为有效的减振方式^[4]。Raftoyiannis等^[5]针对斜拉索锚固位置处采用可动锚固系统可以有效降低斜拉索的振动幅度的特性进行了研究分析。同时由于斜拉索锚固处含有氯丁衬套，一定程度上降低了外置阻尼器的性能。为此Ahmad等^[6]研究提出外置阻尼器负刚度的概念，以改善配备橡胶衬套斜拉索的阻尼。汪峰等^[7]研究表明，在温度变化的影响下索-梁振动频率会发生明显改变，会破坏拉索振动控制鲁棒性，影响结构状态评估。梁栋等^[8]将调谐质量阻尼器与拉索常规黏滞阻尼器组合起来，形成安装在拉索端部的复合减振装置，用于抑制大跨度斜拉桥索-梁耦合振动发生时的拉索振动。陈政清^[9-10]提出了电涡流阻尼器作为新式的桥梁减振技术，有效提高了桥梁阻尼器的寿命与可靠性。为提升传统被动黏滞阻尼器(VD)对斜拉索的减振效果，一种融合旋转式电涡流阻尼技术与滚珠丝杠两节点惯质单元的电涡流惯质阻尼器(ECIMD)的斜拉索减振新方法^[11]近年来逐渐发展成熟。针对桥梁索结构的风雨激振所采用的空气动力学措施减振技术因其操作简单而得到广泛应用，国内外研究结果表明，在斜拉索表面缠绕螺旋线、增加肋条或者改变桥梁整体气动外形可以达到利用空气动力学措施减振的效果^[12-15]。Krarup等^[16]通过建立索与上部水系非线性耦合的有限元模型，对这一现象进行了分析，提出主动模态控制器在抑制风雨激振方面比最优调谐线性粘滞阻尼器有更好的性能效果。Helbert等^[17]基于形状记忆合金的创新阻尼装置，利用索结构刚度和振动频率的变化使得NiTi合金阻尼器微观结构变化以用来降低桥梁索结构的振动导致的疲劳而引发事故。

综合国内外研究现状，现阶段桥梁索结构的减振技术研究主要有以下不足：索端黏滞阻尼器(Tuned Mass Damper，TMD)机械减振措施存在不能更好地处理面外振动的问题；辅助索措施减振效果较差且影响美观性；电涡流阻尼器存在结构低阶振动时减振效果不明显等缺点。针对上述问题，本研究提出了一种新型的悬索桥吊索阻尼器，结合原有吊索的保护套筒，设计出一种新型的套筒阻尼结构，套筒与吊索间隙加装有阻尼材料并包裹在吊索表面，套筒兼具保护吊索不受风雨侵蚀和抑制吊索振动的作用。

1 吊索-套筒阻尼体系振动控制方程

现以大沽河航道桥5^#吊索结构为例进行分析计算。构建吊索-套筒阻尼体系，其主要由吊索、吊索外部包裹的阻尼减振材料(由高阻尼性能氯丁橡胶制成)，以及套筒(由合金钢所组成)，断面示意图如图 1所示。作用机理如下：吊索在发生振动时，带动阻尼材料与外筒发生接触碰撞，阻尼材料发生形变起到了吸收能量的效果，同时外筒存在一定的质量和刚度，当吊索外层的阻尼材料接触到外筒时外筒的质量起到TMD的作用。

现将吊索简化为张紧弦简化模型如图 2所示，单位质量为M_i，其中m₁为套筒的单位质量；套筒与吊索之间采用弹簧-阻尼连接其中阻尼系数为C；弹簧刚度为K₁；吊索、套筒长度为L；吊索横向刚度为K_s；F(t)为外部激励荷载；U (t_i)为单位长度套筒安装点相对位移随时间的变量；吊索张紧力为T；套筒与吊索连接处距端点位置为x_n；吊索的振动设为w(x, t)。

系统运动方程为：，设置阻尼材料的阻尼系数为C；刚度系数为K。

模型设置为吊索外包裹的阻尼材料与套筒之间存在一定间隙，当吊索发生振动时若振幅小于间隙可以假定吊索发生的为自由振动，其表达式为：

(1)

其中：

(2)

φ_i (x)为i阶振型函数，其边界条件满足φ(x)与q (x)，q (t)为振型随时间的变化情况。

(3)

将式(2)代入式(1)中，两端同时乘以φ_j (x)，并在(0, L)内积分得：

(4)

式中m=1, 2, 3, …。

化简得：

(5)

式中K_i为在i阶振型下的阻尼器系统刚度。

当吊索振幅大于阻尼材料与套筒间隙时，则吊索与阻尼材料和套筒发生接触阻尼材料与套筒产生耗能作用，其中套筒在运动时阻尼力为(式中F(t) 单位为N)：

(6)

式中，C₁，K₁为减振材料的阻尼系数和刚度系数；δ (·)为Dirac函数；U(t_i)为不同时间下套筒横向位移；x_i为吊索的不同位置。

安装套筒阻尼器后吊索的振动运动方程如下：

(7)

公式的边界条件为：

(8)

拉索的自由振动方程是非线性偏微分方程，采用伽辽金方法解决，其振动位移由有限级数叠加而成, 取一满足吊索位移的边界条件函数φ_i (x)，q_i (t)，为广义方程构造振动解：

(9)

φ_i (x)为i阶振型函数，其边界条件满足：

(10)

将式(9)代入式(8)中，并在(0, L)内积分得：

(11)

式中m=1, 2, 3, …, 化简得：

(12)

式(13)可化为矩阵形式：

(13)

其中：

(14)

质量矩阵M为：

刚度矩阵K为：

由上述振动方程可得，当吊索发生振动时对吊索的运动特性起到了显著的影响。为进一步验证上述参数的影响以及给出明确的量化指标，使用了阻尼比的概念，利用有限元软件建立吊索-套筒阻尼体系模型。通过施加冲击荷载采用自由衰减法利用控制变量法进行阻尼比的计算，进而得出各参数在单一变量和多变量交互作用下对套筒阻尼器减振效果的具体影响并对其进行优化。

2 阻尼比参数优化 2.1 有限元参数

由上述振动控制方程可知，吊索-套筒阻尼体系的振动特性与套筒阻尼器的阻尼材料性质(C，K)、外筒的质量(M)、刚度(k)以及吊索和外筒的间隙Δ有关。为进一步分析多种参数对套筒阻尼器减振效果的影响，采用通用有限元软件ANSYS建立吊索-套筒阻尼体系分析模型。模型吊索长度与大沽河航道桥5^#吊索为参考设置长度20 m，外筒厚度20 mm，阻尼材料与外筒间隙Δ为变量，初步设定20 mm。吊索采用Link10单元模拟，外筒采用Shell63单元模拟，套筒间隙的阻尼材料采用带有间隙功能的Combin40弹簧阻尼单元模拟。考虑到悬索桥的主梁、主缆的质量、刚度较大，因此吊索模型两端设定为固端约束，套筒一端固定一端自由，模型具体参数依据材料实际性能如表 1所示。

2.2 减振性能评价指标

由于弹簧-阻尼单元耗能曲线是非线性的，因此考虑使用阻尼比作为耗能效率评价指标，描述体系的耗能效率。在不考虑自然阻尼的条件下利用自由衰减公式计算阻尼比公式如下：

(15)

式中，A_i，A_j分别为吊索在某时刻最大振幅；n为振幅峰值A_i，A_j相隔周期。

目前提出了多种结构耗能评价方法，如常见的自由衰减法、半功率带宽法，已经形成了成熟的测试标准，但缺乏系统的阻尼特性规律研究，影响阻尼比的计算精度^[18-19]。为解决该问题，田启强等^[20]提出利用能量守恒原理计算阻尼比，有效弥补了自由衰减法精度不足的问题，但需要大量试验对比工作，计算稍显复杂。为此本研究提出一种较为简便的计算方法，有效提高计算精度。

如图 3所示吊索-套筒阻尼器减振振动时程曲线，波峰的数值并非呈理论上光滑的单调递减的曲线。因此峰值数值A_i在进行理论计算时，针对上述问题尽可能地提高阻尼比计算精度，现将计算出的自由衰减时程曲线中较为离散的正向峰值A_i数值进行拟合，如图 4所示，得到符合理论上单调递减的振幅峰值A_i衰减包络曲线，以提高阻尼比计算精度。

计算时为避免因实际峰值数值A_i，A_j的过度离散化和峰值包络曲线不光滑导致阻尼比计算结果误差较大，在选取峰值数值A_i，A_j时应选取拟合后峰值包络曲线上的点并代入式(15)进行计算。以图 3为例：当在0~2 s，2~4 s选取任意两点位移峰值进行计算阻尼比时，体系阻尼比分别为ζ=0.028 5和ζ=0.025 2，当采取改进后方法时经过计算在0~6 s内体系阻尼比恒定为ζ=0.026 6。该方法计算出的阻尼比减小了因振动位移峰值分布不均匀引起的计算误差，能较为有效地评价吊索-套筒阻尼器体系的减振性能。

2.3 阻尼器参数优化设计 2.3.1 阻尼材料对减振性能影响

在关于吊索-套筒阻尼体系的参数分析中，考虑到包裹在吊索上的阻尼材料，其耗能效率受阻尼系数和刚度系数影响。模型中阻尼材料采用带间隙的弹簧单元进行简化，表示套筒内部材料弹簧阻尼单元的弹性系数、阻尼系数和套筒吊索间隙影响着吊索与外筒间的耦合振动。采用控制变量法，考虑套筒的阻尼材料阻尼系数、刚度系数固定，调整不同的套筒间隙进行模拟计算。

因此以阻尼系数固定、刚度系数逐渐递增和弹簧单元刚度系数不变阻尼系数递增为例对吊索结构进行分析，通过自由振动衰减法计算出吊索减振体系阻尼比，并分析出阻尼比的变化趋势。考虑到参数合理的可适用范围，范围为K=100~3 000 N/m，并得出各模型弹簧-阻尼单元的刚度系数和阻尼系数与阻尼比对应关系如图 5~6所示。

可以得出结论：当弹性系数在一定范围内时，随着弹性系数的递增，体系阻尼比呈现先增加后减小最终保持稳定的趋势。当弹性系数固定时，随着阻尼比的递增，体系的阻尼比也随之递增。

阻尼材料与外筒间的距离将影响阻尼材料的有效作用范围，原定结构中距离不大于70 mm，因此设计6种不同的间隙进行试算，并且汇总如图 7所示。

从图 7中可以看出：

(1) 当阻尼材料参与减振时，间隙大小与阻尼比存在一定相关性，并且在特定范围内随着间隙的增大，体系阻尼比也会提高。

(2) 当吊索套筒间隙超过一定数值时，套筒阻尼器的振动不足引起阻尼材料耗能。

经过单一变量分析后发现例如：不同套筒间隙对体系阻尼比的影响规律性不明显，在参数变化范围内阻尼比数值含有多个递增区间和递减区间。不同阻尼材料刚度对减振效果的影响同样呈现非线性的特点，因此设定单一变量进行分析不足以说明多参数组合后的最优数值区间，无法准确进行后续的试验分析步骤。所以应同时考虑到弹簧阻尼系数，弹簧刚度系数，以及吊索套筒间隙进行阻尼比计算分析，结果如图 8所示。在考虑多参数耦合作用后，阻尼材料在满足刚度系数位于300~500 N/m，间隙为0.05 m，阻尼系数为80~100时减振效果达到最优值。

2.3.2 套筒参数对减振性能影响

继对套筒阻尼材料对体系阻尼比影响的分析后，外筒的结构特性也是影响吊索-套筒阻尼体系阻尼比不可忽略的因素之一。由式(12)推导可得吊索套筒阻尼体系的减振效果与外筒的质量M_i有关，因此在完成对套筒阻尼器阻尼材料分析基础之上，继续进行吊索-套筒在不同质量比和刚度比下的分析。由于在实际吊索结构上吊索的质量材料改变较难，所以在此环节分析中认为吊索质量不变而不断调整套筒的质量。以下对不同吊索套筒质量比条件下的体系阻尼比进行分析，选取质量比为1∶0.5，1∶1，1∶3，1∶5，1∶10。

初始模型单位尺寸的质量设置为：

吊索单元：π·r₁²·ρ·1=3.14×0.025²×7 850=15.4 kg；

套筒单元：π·(r₂²－r₃²)·ρ·1=70.25 kg；

初始条件下质量比约为：1∶4.67。

除了考虑套筒质量比的影响外，还应考虑外筒作为TMD的功能，外筒质量和外筒的自身刚度为吊索提供了附加质量和刚度，在计算时也需要同时考虑外筒的刚度与质量比。同样采用自由振动衰减法计算多种参数下的阻尼比对应数值，如图 9所示：可以直观看出在吊索-套筒质量比低于1∶5时，吊索-套筒体系的阻尼比总体上呈随吊索-套筒刚度比的增加而减小的趋势，尤其当吊索-套筒刚度比较低时这种趋势愈发明显。

2.3.3 响应面法参数优化

为准确得出套筒阻尼器在最大阻尼比下所对应的参数取值，在上述关于各参数对阻尼效果影响的初步分析中依据材料的参数特性和参数的有效作用范围，得出了各个参数变化的倍率区间，在此范围内采用响应面法对套筒阻尼器的设计参数进行优化。运用中心复合设计原理得出弹簧-阻尼单元阻尼材料阻尼系数、弹簧刚度、套筒间隙、吊索套筒刚度比共4个因素对体系阻尼比有显著影响。通过分析得出在不同材料参数影响下阻尼比对应的最优数值作为基础值，各参数的数值变化倍率范围依据材料的属性，以及控制变量分析后得出的参数较优区间。各因素设计基础值和相应中心复合设计的设计点坐标，设定体系阻尼比为响应变量，具体数值如表 2所示。通过对表 2进行二次响应面回归分析得到响应面回归方程：y_k=0.006 17+0.024 75x₁+0.011x₂+0.032 83x₃－0.023x₄+0.019 58x₁x₃+0.043 3x₁x₄－0.030 63x₃x₄。

由图 10所示3组计算因子交互作用以及二次回归方程分析可知：在材料性能允许范围内，套筒阻尼材料刚度位于400~500 N/m，吊索套筒质量比为5~6倍，阻尼材料阻尼系数达到80~100 (N·m)/s，吊索套筒间隙约为0.05 m时套筒阻尼器的阻尼性能达到最优值。

3 减振性能分析

吊索套筒阻尼器的基本参数采取分析优化后最优数值如表 3所示，并以此参数进行数值分析。

3.1 平面荷载共振作用下吊索振动

以下为普通吊索和含有套筒阻尼器吊索在不同激励荷载频率与自身固有频率比值的条件下跨中振动响应峰值位移分析。采用不同频率与固有频率比值下的简谐荷载作用于吊索跨中并获取跨中最大位移。设定为平面单独作用简谐荷载，含套筒阻尼器吊索和普通吊索在主共振下动力响应。体系阻尼、激励幅值分别为：(1)无Rayleigh阻尼；(2)2种吊索系统的激励荷载峰值均为10 000 N，并且采用正弦加载。

现选取在相同峰值激励荷载，不同激励频率条件下吊索在每一个计算时程内的正向峰值数值如图 11所示。在不同频率激励荷载下的含套筒阻尼器吊索跨中峰值位移随时间变化率较普通吊索更为明显，峰值位移衰减速率更快。以1.0倍激励荷载下吊索跨中时程分析为例：在共振作用下含有套筒阻尼器的吊索每一时刻跨中位移峰值远低于普通吊索，并且含套筒阻尼器吊索的峰值位移在初始阶段1 s内快速增加后开始逐渐减小，而普通吊索峰值位移则随施加激励荷载时间的增加而持续增加，并且在6 s时二者位移峰值已经相差3倍。由此得出在不同频率激励荷载下，安装有套筒阻尼器的吊索跨中位移值要低于普通吊索。

吊索在施加周期激励荷载时，其位移时程曲线将由瞬态变为稳态，时程曲线峰值随时间变化逐渐趋于平稳，稳态位移是吊索振动重要的形式。由图 12所示当外部激励荷载频率与吊索的主频率比值范围在0.85~1.05左右时，两种吊索跨中稳态振动位移急剧变大，但含套筒阻尼器吊索峰值稳态位移远低于普通吊索。在非共振频率荷载下各频率内2种吊索跨中稳态位移响应规律基本一致，含套筒阻尼器吊索位移仍低于普通吊索。

3.2 非平面荷载共振作用下吊索振动分析

目前在吊索实际运营过程中，索结构的面外振动控制尚未得到较好的解决，套筒阻尼器的安装可以有效降低吊索面内、面外的振动。在分析过程中荷载仍以任意方向简谐荷载为例对吊索进行加载。观察激励荷载作用下对2种吊索面内、面外振动的影响。

现分析讨论如下工况，将简谐荷载沿着oxy平面进行正交分解后x向20 000 N，y向10 000 N，且激励频率与固有频率比值ω/Ω=1.0(主共振)。

通过图 13发现套筒阻尼器能够有效减小吊索在受激励荷载时面内、面外的振动位移。在主共振作用下安装有套筒阻尼器，吊索面内振动减小到原来的4倍；面外振动减小到原来的2.5倍左右。

3.3 吊索动力响应分析

从上述分析的时程曲线可以看出，随着荷载峰值的递增，含有套筒阻尼器吊索的位移时程曲线峰值也在不断递增，考虑到套筒阻尼器的参数是相同的，因此虽然振幅增加但是观察得出不同荷载作用下吊索运动进入稳态的时间是一致的。图 14是对吊索进行主共振频率加载，不同峰值的激励荷载的吊索跨中位移幅值。

当两种吊索在施加递增的主共振荷载时，峰值位移与稳态位移都基本呈线性增加，通过对比发现含阻尼器与不含阻尼器吊索的稳态位移与最大位移增长的斜率不一致。当吊索安装阻尼器时其位移较未安装阻尼器有明显减小，并且位移幅值增长更慢。所以在共振激励状态下套筒阻尼器依旧有着良好的减振性能。观察普通吊索在主共振激励荷载下的位移峰值，在共振荷载超过一定范围时吊索位移过大，在同峰值共振激励荷载作用下吊索的位移达到非共振激励下的8倍，超出材料的变形范围。而安装有套筒阻尼器的吊索在共振激励作用下其位移峰值较普通吊索有显著的减小。

4 结论

本研究提出了新的桥梁吊索的减振阻尼措施，并建立了吊索-套筒阻尼体系的参数振动耦合模型，推导了相关振动公式，建立有限元模型并采用体系阻尼比作为评价指标。通过响应面法优化套筒阻尼器的设计参数得出最优值，比较了在有无阻尼器条件下吊索的振动特征，得出如下结论。

(1) 在合理参数范围内套筒阻尼器阻尼比大小与外筒的质量、阻尼材料的刚度、阻尼系数以及吊索套筒间隙存在关系。并且在考虑到4项参数的交互作用后发现：吊索-套筒阻尼体系的阻尼比与阻尼材料的阻尼系数、吊索套筒间隙存在正相关；外筒与吊索质量比满足1∶5，阻尼材料刚度为400 N/m时套筒阻尼器阻尼效果最好。

(2) 当吊索在主共振激励下进行动力响应分析时，安装有套筒阻尼器的吊索跨中位移显著低于普通吊索。因此套筒阻尼器能明显提高吊索在共振激励下的减振性能。同时安装有套筒阻尼器吊索与普通吊索在不同频率下简谐荷载作用时其最大峰值位移规律基本相同。

(3) 套筒阻尼器能够为索结构提供面内、面外振动控制，克服了常见的索端TMD只能提供面内减振的不足。

(4) 在不同激励荷载作用下含套筒阻尼器吊索的最大振幅和稳态振幅均小于普通吊索，由瞬态进入稳态时间更早；含套筒阻尼器吊索的峰值和稳态位移也都低于普通吊索并且跨中位移随荷载峰值的增长速率也更慢。

针对本研究理论验证，有限元分析已经初步完成，后续研究需要建立试验模型进行验证本研究内容的合理性。

本研究的吊索振动模型考虑到桥梁主缆主梁刚度较大假定两端固接，实际上桥梁主缆主梁和吊索存在一定的耦合振动，后续研究将继续就索梁耦合问题进行讨论。