0 引言

青藏高原地处中低纬度高海拔地区，特殊的地理气候条件形成了独特的多年冻土区。多年冻土是一种受限于地质特性和热扰动的特殊土体，状态极为敏感^[1-3]。气候环境和工程活动的变化极易改变其赋存环境，导致其承载力降低^[4]。在多年冻土区修筑公路，特别是采用沥青面层的公路，极有可能会加剧多年冻土的退化。反之，多年冻土的退化将削弱路基的稳定性，引起上覆公路路基发生融沉变形和边坡滑塌，严重威胁了行车的安全性和舒适性^[5]。为了防止多年冻土退化导致路基融沉变形，热棒路基、片块石路基、通风管路基等技术方案在多年冻土公路路基处理中得到了广泛应用，并取得了显著效果。然而部分处理路段仍发生了严重的融沉变形^{[1, 6-8]}，这是由于影响冻土公路路基稳定性的因素众多且体系复杂，受制于目前的监测技术及理论研究水平，多年冻土公路路基设计并未集成考虑各因素对路基稳定性的影响重要程度。因此，构建科学合理的多年冻土公路路基的稳定性评价体系并开展评估，对多年冻土区公路路基设计、施工和养护具有重要的指导意义。

模糊综合评价法^[9]、遗传算法^[10]、BP神经网络^[11]、TOPSIS^[12]等多种模型和方法已被应用到路基稳定性的评估分析中。基于模糊隶属函数，模糊评价法能够对表现为模糊性的数据资料做出比较贴合实际的评价；遗传算法通常需要与可靠度理论相结合来分析路基的稳定性，选择、交叉和变异3个算子均由经验确定，计算过程繁琐；BP神经网络和模糊推理方法需要大量的数据样本，样本越多，评价结果越准确^[13]；TOPSIS法避免了数据的主观性，能够很好地刻画多个影响指标的综合影响力度。上述各种方法为冻土路基的稳定性评估提供了一定的科学依据，但由于多年冻土本身特性和所处环境的复杂性，导致冻土公路路基的稳定性评价也变得复杂，具体表现为各影响因素之间相互影响、定性与定量共存，使得这些方法在评价冻土公路路基稳定性方面存在一定的局限性，并且在指标权重确定过程中存在主观随意性带来的偏差和过分依赖指标数据而忽略指标本身重要程度等缺点。

综上所述，本研究提出了基于博弈论组合赋权-物元可拓模型的多年冻土公路路基稳定性评估模型。以多年冻土公路路基病害的致因为出发点，从路基本体、下卧冻土层和气候环境因素综合考虑，构建了以冻土特性、地质环境、气候条件和工程状况为准则层，包含12个评价指标的多年冻土路基稳定性评价指标体系。通过博弈论将G1法确定的主观权重和熵权法确定的客观权重进行组合，然后将综合权重应用于物元可拓模型对多年冻土公路路基稳定性进行评估。最后通过实际案例分析，验证了模型的科学性和合理性。

1 多年冻土路基稳定性评价系统 1.1 构建评价指标体系

多年冻土路基稳定性受多种因素共同影响，并且各因素间存在相互作用，因此构建合理准确的冻土路基稳定性评价指标体系对于评价结果的可信度至关重要。Luo等^[13]指出多年冻土的厚度有利于路堤的稳定性，多年冻土厚度越大，路堤的稳定性越好。赵韬等^[14]通过研究发现多年冻土区地表变形与体积含冰量、年平均地温、活动层厚度这3个影响因素之间具有一定的相关性。李金平等^[15]通过对不同冻土温度、荷载等条件下路基下土体变形进行分析，阐释了多年冻土路基不均匀变形破坏的特征和成因；Andersland等^[16]指出辐射量、气温及降雨量均是影响冻土路基变形的关键因素；Yu等^[17]指出植被退化也会导致永久冻土退化；周康等^[18]分析了共玉高速公路路基下伏多年冻土时空演变特征及影响因素。综上所述，除了外部荷载(车辆、地震)和路基本身的施工质量外，多年冻土区路基稳定性主要受下伏多年冻土热状态的制约，而冻土特性、气候条件、地质环境和工程状况均会导致路基下层多年冻土的热状态发生变化，进而影响多年冻土路基的稳定性^{[13, 19]}。本研究从路基本体、下卧冻土层和气候环境综合考虑，以多年冻土路基的稳定性为目标，从冻土类型、气候条件、地质环境和工程状况作为准则层，建立多年冻土路基稳定性评价指标体系，如图 1所示。

1.2 评价指标的等级标准

为对多年冻土路基稳定性做出准确评估并对测评路基进行针对性养护，需要对其稳定性等级进行合理划分。从路基稳定性考虑，按照地温可以将冻土分为高温极不稳定冻土、高温不稳定冻土、低温基本稳定冻土和低温稳定冻土；按照含冰量可以将冻土分为少冰冻土、多冰冻土、富冰冻土、饱冰冻土和含土冰层^[20]。但是冻土路基的稳定性受多种因素共同影响，并非由单一因素可以判断确定，因此，参考文献[12, 13, 21]将多年冻土路基稳定性划分为4个等级，即稳定(Ⅰ级)，较稳定(Ⅱ级)，欠稳定(Ⅲ级)，不稳定(Ⅳ级)。路基工程安全性评价指标的等级标准如表 1所示，工程措施的等级按照文献[13]进行划分。

2 基于博弈论组合赋权-物元可拓的评估模型

由于构建的多年冻土路基稳定性评价体系中既包含定量指标，又包含定性指标，采用单一方法难以完全反映评价指标的真实权重。为保证冻土路基稳定性评价的可靠性，本研究采用博弈论组合赋权法对G1法确定的主观权重ω^*和熵权法确定的客观权重ω^**进行组合得到组合权重ω，以对决策者的主观意向和数据的客观属性进行平衡，进而提高指标权重的准确性。然后，采用物元可拓模型对稳定性各评价指标进行量化，计算各指标与稳定性等级之间的关联函数值。最后，基于组合权重计算各指标与稳定性等级之间的综合关联度，并按照最大关联度原则判定待评定冻土路基区间的稳定性等级，计算流程如图 2所示。

2.1 基于博弈论的组合赋权方法 2.1.1 G1法确定主观权重

G1法是对各指标按重要程度进行排序的基础上，对相邻指标依次进行判断来确定权重的一种主观权重确定方法，其省去了层次分析法构造判断矩阵和一致性检验的过程^[22-23]，具体步骤如下。

(1) 确定评价指标的序关系。按照重要程度将评价体系中的指标集C= {c₁, c₂, c₃, …, c_n}中的n个指标依次进行排序，记排序后的关系为c′ ₁>c′ ₂>…>c′ _i-1>c′ _i>…>c′ _n。

(2) 确定相邻指标的比值。对步骤(1)中相邻指标c′ _i－1相对于c′ _i的重要程度以二者权重比值的形式表示为：

(1)

式中，w_i-1和w_i分别为c′ _i-1和c′ _i的权重，i=2，3, …，n；r_i的取值参照表 2^[24]。

(3) 确定指标权重。根据步骤(2)中各相邻指标间r_i值按照式(2)计算第n个指标的权重，再根据式(1)依次计算其余各指标的权重：

(2)

式中, 为对r_i值进行求积; k为指标i的排序位次, 其取值为n, n-1, …, 2。

2.1.2 熵权法确定客观权重

熵权法是根据待评价对象的指标值构成的判断矩阵来确定指标权重的一种客观评价方法^[25]。具体步骤如下。

(1) 构建判断矩阵X。

设待评价对象有m个，待评价对象的评价指标有n个，建立基于样本数据的评价矩阵X= (x_ij)_m×n。x_ij为多年冻土路基稳定性评价体系中第i个待评价对象的第j个指标的评价值。对于定量指标而言，x_ij的取值为其真实的监测值；对于定性指标而言，x_ij的取值根据其单个指标所处的评价等级按照表 3进行打分。

(2) 判断矩阵X标准化。

为了消除不同量纲和量纲单位的不可公度性，通过式(3)对判断矩阵X进行标准化处理^[25]，得到矩阵Y= (y_ij)_m×n。

(3)

式中, x_max和x_min分别为多年冻土路基稳定性评价体系中第j个指标所有样本数据中的最大值和最小值。

(3) 根据熵的定义，确定各评价指标的熵值e_j为：

(4)

式中f_ij为熵值公式中的一个固有参数，表示概率。为使ln f_ij有意义，对传统意义的f_ij进行修正：

(5)

(4) 计算各评价指标的客观权重为：

(6)

2.1.3 博弈论确定组合权重

博弈论组合赋权法是以纳什均衡理论为基础，将G1法确定的主观权重和熵权法确定的客观权重进行协调比较，以二者最大化利益为目标，对主、客观权重中的信息全面考虑并集成优化的过程，以获得多年冻土路基稳定性评价体系中各指标的合理权重^[22]。具体步骤如下。

(1) 构造基础权重向量集E_k。

利用L种方法计算评价体系中的n个评价指标的权重，则构造的基本权重向量集为：

(7)

(2) 构建权重向量线性组合E：

(8)

式中α_k为线性组合系数，α_k>0。

(3) 优化求解线性组合系数α_k。

以E和各个E_k之间的离差最小化为目标，采用多目标博弈论模型对其进行优化，求解L个向量的线性组合系数α= [α₁, α₂, …, α_k]，约束条件为：

(9)

根据矩阵的微分性质，对式(9)求一阶导数，可将其转化为等价线形方程组：

(10)

通过对式(10)进行求解，得到线性组合系数α= [α₁, α₂, …, α_k]。

(4) 对线性组合系数α_k进行标准化：

(11)

(5) 计算组合权重为：

(12)

2.2 多年冻土路基稳定性物元可拓评价模型

可拓评价法从定性和定量2个角度将各指标之间的矛盾问题进行物元转化和运算转化为多个特性的就近原则问题，从而得出指标之间的内部规律，实现对待评估事物的合理评估。物元可拓理论把待评价事物N，事物具有的特征属性C及特征的具体量值V通过物元R = (N，C，V)概念有机结合起来，反映出事物的质与量的辩证关系。通过对多年冻土路基稳定性评价指标进行物元变换^[26]，具体步骤如下。

(1) 确定待评物元。

将多年冻土路基的各指标实测数据和按照表 3获得的定性指标评价数据用物元R₀表示，即为待评物元。

(13)

式中，P₀为待评冻土路基；C_n为冻土路基稳定性评价体系中的第n个评价指标；v_0n为P₀关于评价指标C_n的量值，即待评冻土路基各评价指标的实际数据。

(2) 确定经典域R_j。

多年冻土路基的稳定性指标的经典域是冻土路基的各指标特征与其在不同稳定性等级标准下的量值构成的物元矩阵R_j。

(14)

式中，N_j为所划分冻土路基的稳定性等级(j=1，2，3，4)；C_n为冻土路基稳定性等级N_j的第n个评价指标；ν_jn= < a_jn, b_jn>为冻土路基稳定性等级N_j关于C_n的取值范围。

(3) 确定节域R_p。

在经典域R_j的基础上，根据各评价指标C_i在整个评价体系中的取值范围建立节域R_p。

(15)

式中，N_p为冻土路基稳定性等级的全体；ν_pn= < a_pn, b_pn>为N_p条件下关于C_n的取值范围。

(4) 按式(4)对各评价指标进行无量纲化处理。

(5) 计算冻土路基稳定性等级评价指标的关联函数值。冻土路基第i个评价指标关于稳定性等级j的关联函数为：

(16)

式中ρ为实测值到经典域和节域的范围。其中：

(17)

(18)

(19)

(6) 确定待评冻土路基关于稳定性等级j的可拓关联度为：

(20)

式中ω_i为基于博弈论理论求得的第i项评价指标的权重。

(7) 确定冻土路基稳定性等级。

根据最大关联度原则，若K_j0=max K_j (P₀), j∈ {1, 2, 3, 4}，则待评冻土路基P₀的稳定性等级为j₀。

3 实例分析

以G214玛多至玉树段的7个未养护冻土公路路基区间为例，区间长度为100 m，对其路基稳定性进行分析计算，验证本研究提出的冻土路基稳定性评估模型的有效性。各路基区间的监测数据如表 4所示。

表 1所示的12个冻土路基稳定性评价指标中，对于难以量化的植被覆盖率C₅和既非正向指标又非负向指标的路基高度C₁₀按照定性指标处理，其按照表 3中的定性指标评价参数进行量化，其余定量指标采用路基区间的实测值。

3.1 指标权重的确定

(1) G1法确定指标主观权重。

按照G1法的基本原理，分别对准则层P和指标层C按照重要程度进行排序并赋值，多年冻土路基稳定性评价指标排序及r_i值如表 5所示。

按照式(1)和式(2)对表 5中的数据进行分析计算，得到各准则层P_i下对应指标C_i的权重，各指标的权重乘以对应准则层P的权重即可得到各指标在目标层下的主观权重，计算结果如表 6所示。

(2) 熵权法确定指标客观权重。

根据表 4中的路基区间监测构建判断矩阵X；根据式(3)对判断矩阵X进行标准化，得到标准化判断矩阵Y；根据式(4)~(6)对标准化判断矩阵Y进行分析计算客观权重。计算结果如表 6所示。

(3) 基于博弈论的组合权重。

按照式(10)计算得到G1法权重和熵权法权重构建的向量集的线性组合系数α₁和α₁分别为0.203和0.797，组合权重的计算结果如表 6所示。根据表 6绘制多年冻土路基稳定性评价体系的指标权重，如图 3所示。

由图 3可知，除C₁，C₃，C₄的主、客观权重差异较大外，其他各指标的主、客观权重变化趋势基本一致。通过比较各指标的组合权重可以发现，C₄>C₁₂> C₁₀>C₈>C₁，这说明年平均地温的变化对路基的稳定影响最大，这与导致冻土路基变形的根本原因一致。而C₁并不是影响冻土路基稳定性的主要因素，这是因为路基下部高温冻土的融化才会导致路基的不均匀融沉。因此，实际工程中通常采用热棒、片块石路基、通风管路基等工程措施为路基下部冻土蓄冷以达到提高冻土路基稳定性的目的。以上结果说明基于博弈论的组合权重对主客观权重进行了最优化集成，这既体现了评价过程中经验的重要性，又突出了实际监测数据的效用，其能够对多年冻土稳定性评价体系各指标进行合理赋权。

3.2 多年冻土路基稳定性物元可拓评价

(1) 根据表 1将多年冻土路基稳定性各评价指标在Ⅰ~Ⅳ级的取值范围进行标准化处理，将其作为冻土路基稳定性物元经典域R_j。

(2) 根据冻土路基稳定性评价指标的取值范围确定节域R_p。

(3) 根据表 4中各区间的实际数据确定其待评物元并进行标准化处理，确定待评物元R₀。

(4) 以区间1为例，根据式(16)~(19)计算路基稳定性评价指标关于稳定性等级的关联函数值，结果如表 7所示。同理，可以计算得到区间2~7各评价指标关于稳定性等级的关联函数值，再根据表(6)和式(20)计算各路基区间的综合关联度及稳定性等级，结果如表 8所示。

根据最大关联度识别原则，由表 8可见，区间5和区间6处于稳定状态；区间2和区间3处于较稳定状态；区间1，4，7处于不稳定状态。2022年实测各区间冻土公路路基变形数据显示，7个区间内的冻土路基发生了不同程度的融沉变形，其结果与本研究基于博弈论-物元可拓模型构建的多年冻土路基稳定性评价模型分析结果吻合度较高。这也进一步验证了本研究模型对多年冻土路基稳定性评估的准确性和合理性。

4 结论

本研究将博弈论组合赋权和物元可拓模型相结合，构建了一种新型的多年冻土公路路基稳定性评估模型，并对G214玛多至玉树段的7个区间多年冻土公路路基的稳定性进行了评估。

(1) 通过分析多年冻土公路路基变形的根本原因，归纳总结影响其稳定性的主要因素，构建了以冻土特性、地质环境、气候条件和工程状况为准则层，包含12个评价指标的多年冻土路基稳定性评价指标体系，其中年平均地温、工程措施、路基高度、年平均气温和含冰量是影响冻土稳定性最主要的因素。

(2) 物源可拓模型中指标权重的合理性直接影响评估结果的准确性，本研究基于博弈论对G1法确定的主观权重和熵权法确定的客观权重进行了组合，避免了G1法赋权方法过程中主观随意性带来的偏差和熵权法过分依赖指标数据而忽略指标本身重要程度等缺点，使得多年冻土路基稳定性评估中的指标权重更加科学合理。

(3) 通过工程实例分析，将基于博弈论求解的主客观组合权重应用于物源可拓模型，对多年冻土路基稳定性进行综合评估，评估结果与实测路基变形数据吻合度较高，验证了博弈论组合赋权-物元可拓模型用于多年冻土路基稳定性评价的合理性，其结果可为多年冻土路基养护提供决策依据。