0 引言

汽车在使用过程中，各零部件不可避免地需承受交变应力的作用，从而引起材料的疲劳损伤。当疲劳损伤总量达到一定阈值后，会发生疲劳断裂，疲劳断裂是汽车零部件的主要失效形式之一^[1-2]。可靠且精确的汽车零部件疲劳损伤模型，可有效提高疲劳寿命的预测精度，有助于降低因零部件失效的交通事故、提升汽车试验场可靠性试验的有效性，具有重要的研究与工程意义。

目前，国内外针对疲劳损伤预测模型方面已开展一系列的研究工作，按照预测模型的型式可分为线性疲劳损伤预测模型与非线性疲劳损伤预测模型。在线性疲劳损伤模型方面，MINER最早解释了疲劳破坏机理的损伤准则，该准则认为，在材料受到交变载荷作用历程时，每一个交变载荷循环都损耗材料一定量的有效寿命分量，疲劳损伤与材料所吸收的功成正比，载荷作用功与载荷循环次数与载荷疲劳寿命值的比值呈比例关系。MINER准则因仅需应力变幅大小及其所对应的疲劳寿命次数，目前依旧在工程中广泛应用^[3-4]。然而，已有大量试验证实：当应力作用次序变化时，采用MINER模型所预测的疲劳损伤将出现较大误差^[5-7]。为此，后续相关研究者发现，工程的材料疲劳破坏可主要归纳为裂纹形成和裂纹扩展两个阶段。在考虑裂纹增长与疲劳损伤等效关系的基础上，提出材料的疲劳损伤可以用一个趋向可接受最大裂纹长度的裂纹长度累积量来表示，进而转化为非线性疲劳损伤模型。在非线性疲劳损伤预测模型方面，比较经典的是，Manson-Halford^[8]结合大量试验验证提出了非线性模型的作用系数，只需相邻应力所对应的疲劳寿命之比。近年以来，不少学者通过对Manson-Halford的模型改进。例如，Yuan等^[9-10]和Gao等^[11]引入了材料加载前一级应力与后一级应力的幅值之比。Yue等^[12]结合前一级应力与后一级应力的幅值并构建了一定的比例关系。Haghouei等^[13]引入了前一级应力与后一级应力的疲劳寿命之比及一些常数。Gao等^[14]将材料加载后一级应力与前一级应力的幅值之比引入到不同于上述几种改进模型的位置。通过分析可知，Manson-Halford相关改进模型均多数引入了相邻应力幅值或二者比值作为依据，这些模型在疲劳试验数据验证中均取得了较好的预测效果。

然而，已有不少研究工作表明，非线性疲劳损伤模型除了需考虑应力加载次序之外，还可能涉及材料特性参数，例如材料S-N曲线取对数后线性表达式中的斜率^[15-16]。此外，考虑到处于高周疲劳状态下的局部化损伤与低周疲劳的损伤存在差异性，而Manson-Halford及其改进模型的试验验证几乎只考虑高周寿命的情况，未考虑高周疲劳与低周疲劳相结合时的验证。

基于此，本研究分析并参考Gao模型的结构形式，进一步引入相邻应力幅值之比、材料S-N对数特性直线的斜率、前一级疲劳累积损伤共3项参数，对Manson-Halford模型进行改进。其次，采用多级疲劳试验数据，分别计算和对比Miner模型、Manson-Halford模型、Gao模型、YG模型、Yue模型、Haghgouei模型及新模型一共7种模型的结果。其中，疲劳试验数据应力级数从两级到五级均有覆盖，试验数据不仅涉及高周疲劳，也包含高周疲劳和低周疲劳相结合的情况。

1 疲劳损伤预测模型 1.1 线性疲劳损伤预测模型

Miner认为材料疲劳过程中，每一个应力循环对最后的疲劳持久限都有影响并造成一定程度的疲劳破坏量。定义D_m为疲劳累积损伤：

(1)

式中，m为应力的级数；n_i为交变应力S_i作用的循环数；N_i为交变应力S_i作用下的疲劳寿命；d_i为每一级应力的疲劳损伤。

因此，材料在承受第1到第m级应力后，若第m+1级应力作用下发生疲劳断裂，模型预测的剩余疲劳损伤：

(2)

1.2 非线性疲劳损伤预测模型

考虑载荷加载时的应力次序影响，提出了非线性疲劳损伤模型，表达式：

(3)

式中α_{1, 2}, α_{2, 3}, …α_{m, m+1}为作用系数。

因此，材料在承受第1到第m级应力后，若第m+1级应力作用下发生疲劳断裂，模型预测的剩余疲劳损伤：

(4)

由式(3)与式(4)可知，科学地确定非线性疲劳损伤模型的作用系数α_{i, i+1}是疲劳损伤预测的核心所在。

1.2.1 Manson-Halford模型

Manson-Halford^[8]基于损伤曲线，并结合试验数据拟合得到作用系数：

(5)

后续也有不少学者从不同的角度，对Manson-Halford进行了改进，例如YG模型、Yue模型、Haghgouei模型、Gao模型等。

1.2.2 Manson-Halford改进模型

(1) YG模型

Yuan等^[9-10]与Gao等^[11]引入了材料加载前一级应力与后一级应力的幅值之比，用于对Manson-Halford模型进行改进，其作用系数：

(6)

(2) Yue模型

Yue等^[12]结合前一级应力与后一级应力的幅值，构建一定的比例关系作为改进，其作用系数：

(7)

(3) Haghgouei模型

Haghgouei等^[13]引入了前一级应力与后一级应力的疲劳寿命之比及一些常数，其作用系数：

(8)

(4) Gao模型

Gao等^[14]提出的改进思路与上述3种不同，在不同位置引入了材料加载后一级应力与前一级应力的幅值之比，其作用系数：

(9)

2 新的Manson-Halford改进模型 2.1 新的Manson-Halford改进模型 2.1.1 关于相邻应力幅值之比的考虑

由YG模型、Yue模型及Gao模型可知，引入相邻应力之间的幅值作为模型的改进能取得较好的效果，为此，考虑将相邻应力的幅值之比作为改进模型作用系数的参数之一。

2.1.2 关于材料S-N对数特性直线的考虑

首先，基于材料S-N特性曲线，采用S=KN^b公式^[17]先两边分别对数后，可以通过试验数据回归求得系数K，b。ln (K)，b参数分别代表S-N对数特性直线的截距和斜率。

其次，考虑到YG模型和Gao模型都涉及前后相邻应力的幅值之比，结合S=KN^b公式，对相邻应力的幅值之比进行转化可知：

(10)

将式(10)关系代入到Gao模型的作用系数，进一步转化为：

(11)

通过上式可知，Gao模型将M-H模型中的0.4转换为0.4-b，实质上是将材料S-N对数特性直线的斜率b引入。因为b小于0，所以Gao模型是在M-H模型的基础上放大了作用系数。因此，基于上述分析，将材料S-N特性曲线对数的斜率b引入作为改进模型作用系数的参数。

2.1.3 前一级疲劳累积损伤的考虑

定义非线性模型的疲劳累积损伤的过程量，前一级累积损伤：

(12)

Di-1, i为第i-1级应力累积的损伤等效转化为第i级的疲劳损伤后，再与第i级应力的疲劳损伤相加，即Di=Dαi, i+1i, i-1。

在以往的非线性疲劳模型中一般都认为，剩余疲劳损伤dr, m+1=1-Dm=1-Dαm, m+1m-1, m中Dm, m-1仅存在非线性模型的底数，作用系数αm, m+1与前一级累积损伤Dm, m-1无关。但多级应力下金属材料的剩余疲劳损伤与相邻应力、前一级累积损伤Dm, m-1等之间表现出高度的非线性，不排除Dm, m-1会对αm, m+1有影响。为此，进一步提出αm, m+1也由参数Dm, m-1构成。

2.1.4 新的改进模型的提出

基于上述分析，首先考虑在Gao模型的基础上，不应一味地增加或减小作用系数，将相邻应力之比引入进一步修正应力作用次序的影响，此外M-H模型中0.4转换，定义为一个随着关键参数变化的表达式，包括两部分组成：0.4的一半数值0.2，0.4的另一半数值0.2转变为由上述分析的3项S_i/S_i+1, b, D_{i-1, i}组成，考虑到参数之间的数量级，采用3项参数相乘的方式。即，提出构成新模型的作用系数表达式为：

(13)

2.2 疲劳损伤预测的计算步骤

如下以三级应力加载为例，其他级别应力同理。

首先，需要说明的是，第一级计算时D_{0, 1}=d₁，故第一级到第二级的作用系数为：

(14)

其次，第一级等效转化为第二级的疲劳损伤，加上第二级应力后的损伤为：

(15)

进而，计算第二级到第三级的作用系数：

(16)

因此，即可计算第三级剩余的疲劳损伤为：

(17)

3 模型验证 3.1 相对误差计算

考虑到更关注各种模型预测的损伤与实际试验损伤之间的绝对值，及其与总的试验疲劳累积损伤之间的相对值，因此，除了预测每种模型的疲劳损伤之外，还会引入相对误差的计算^[15]，即：

(18)

式中，d_{r, m+1}为最后一级应力下模型预测的疲劳损伤；d_m+1为疲劳试验中最后一级应力下的疲劳损伤。当m=1时，为两级应力；当m=2时，为三级应力；以此类推。

3.2 两级应力验证

两级试验数据选取了300CVM[18]，LY12CZ[19]，30CrMnSiA[20]共3种材料的疲劳试验数据，如表 1~表 3所示。每种材料疲劳试验的应力均包含了高~低加载和低~高加载情况。两级应力下剩余疲劳损伤预测公式为dr, 2=1-dα1, 21，作用系数α1, 2由上述各模型确定。分别运用Miner模型、M-H模型、Gao模型、YG模型、Yue模型、Haghgouei模型及新模型共7种模型计算了疲劳损伤的预测结果，并与试验结果对比，如表 4~6所示，结果如图 1所示，并在图中增加了疲劳损伤±0.2的分界线。

从图 1与表 4~6可比较明显看出，其他5个模型的预测精度要优于Haghgouei模型和Miner模型，这5种模型在不同材料的预测效果各有优势或不足。新模型在高周疲劳与低周疲劳相结合的疲劳预测精度最高，在其他仅高周的疲劳预测效果与M-H模型、Gao模型、YG模型、Yue模型相近。

3.3 三级应力验证

三级应力验证选取LY12CZ材料^[19]，在不同应力作用下的疲劳寿命如表 2所示。有4组加载顺序分别为：低-高、低-高-低、高-低、高-低-高，均为高周疲劳与低周疲劳相结合的情况。三级应力下新模型的疲劳损伤预测参考2.2节计算，得到7种模型的预测值与试验结果的对比如表 7和图 2所示。

(1) Gao模型和Haghgouei模型有2个结果计算出来是负数，这与疲劳试验结果严重不符。

(2) 从第1组疲劳试验数据来看，M-H、Gao、Yue这3个模型他们的相对误差在20%~25%之间，看似不大，但是实际上它们的预测结果非常激进，因为他们预测的第三级剩余疲劳损伤几乎为1，也意味着前两级应力加载造成的疲劳损伤极小，这是非常激进的预测结果。

(3) 由于未考虑载荷作用次序，Miner模型整体误差相对较大，尤其是加载次序是低-高或高-低的情况。

(4) 新模型与YG模型整体预测效果与试验数据吻合，新模型显著地优于YG模型。

3.4 四级和五级应力验证

选用了文献^[20]中铝合金材料的四级和五级应力加载试验数据。不同应力的疲劳寿命和每级施加的循环次数见表 8，其中四级加载应力加载次序有S₁-S₂-S₃-S₄的低高加载和S₄-S₃-S₂-S₁的高低加载，五级加载为S₁-S₂-S₃-S₄-S₁。四级与五级应力下各模型的疲劳损伤预测在2.2节基础上增加相应计算步骤即可，7种模型的疲劳损伤预测结果如表 9和图 3所示，其中Haghgouei模型出现负数损伤情况，预测趋势与试验数据不符；M-H模型、YG模型、Yue模型及新模型共4种模型预测与试验之间的损伤绝对误差的最大值相对而言较为接近。

3.5 统计特征值对比

进一步对两级~五级应力疲劳损伤预测结果与试验结果之差进行了统计，包括标准差、最小值及最大值，如表 10所示。从表 10中也能较为明显看出新模型在这3个统计参数均优于Miner模型、M-H模型、Gao模型及YG模型，虽然Yue模型与Haghgouei模型的个别特征值优于新模型，但在低周疲劳和高周疲劳结合的疲劳损伤预测时的误差较大。因此，通过各级应力疲劳损伤预测结果汇总统计特征值对比可知，新模型比其他模型具有一定的优势。

4 讨论

根据两级到五级应力疲劳试验数据验证可以看出，新模型在多数情况下均取得了较好的预测效果。关于模型构成要素的方面，与Manson-Halford及其改进模型对比可知，新模型中作用系数的构成要素多于这些模型，特别是引入材料S-N对数特性直线的斜率与前一级疲劳累积损伤，某种程度上提升了非线性疲劳损伤预测模型对不同疲劳应力情况的适应性，为此，在LY12CZ材料的低周疲劳与高周疲劳相结合情况验证时取得了较好的效果。此外，由于高周疲劳主要发生在材料的弹性变形阶段，低周疲劳则主要发生在材料的塑性变形阶段，二者对疲劳累积损伤贡献的敏感性不同，在高周疲劳与低周疲劳结合的加载情况下，按照Manson-Halford或Gao等模型的作用系数会过分放大或缩小非线性度，进而影响疲劳损伤预测精度。

关于新模型的特点方面，一方面，由于疲劳寿命本身具有一定的分散性，且上述计算均为疲劳寿命的均值，上述模型除了无法考虑疲劳寿命分散性的影响，也无法考虑Basquin模型拟合参数对新模型的敏感性影响；另一方面，上述所有非线性模型适用范围一般用于多级疲劳应力的情况，虽然新模型在计算非线性作用系数时需要依赖的参数多于其他模型，但计算的复杂度与上述非线性模型的差异不大。

5 结论

本研究提出了一种基于Manson-Halford模型改进的疲劳损伤模型，该模型是在Gao模型的结构基础上进行了改进，引入了相邻应力幅值之比、材料S-N对数特性直线的斜率、前一级疲劳累积损伤作为新的作用系数的改进参数。

结合两级应力到五级应力的疲劳试验数据，对预测结果对比发现，新模型比Miner模型、M-H模型、Gao模型、YG模型、Yue模型、Haghgouei模型这6个模型具有一定的优势，尤其是在高周疲劳和低周疲劳相结合的情况下多级应力疲劳损伤的预测精度，证实了本研究提出改进模型所涉及的作用系数的合理性，具有一定的工程应用价值。