0 引言

在桥梁工程、建筑工程、水利工程中，为增强结构的刚度和强度，会在钢管混凝土或钢管外围包裹一层混凝土，形成劲性骨架混合构件。在桥梁工程中，采用劲性骨架混合结构的典型桥梁有四川沿江高速控制性工程西宁河特大桥、乐西高速苏坝特大桥、万州长江大桥、广西南天高速天峨龙滩特大桥等。这些桥的拱肋均采用劲性骨架混合结构，拱肋作为桥梁最重要的受力构件，必须严格控制外包混凝土的应力，避免外包混凝土产生裂缝来保证桥梁结构在运营期间的安全和耐久性。因此研究劲性骨架混合结构外包混凝土的应力在工程实践中是非常有必要的。

现有的公路或建筑行业规范对外包混凝土的径向应力缺乏相关的计算分析方法以及计算公式。桥梁结构的劲性骨架混凝土构件的应力分析，多集中在数值模拟方面，采用有限元对复杂节点进行建模分析^[1-3]。在水利工程方面，对坝后背管外包混凝土的裂缝研究较为深入，早期研究以应力方法分析^[4]，但着重于将钢筋等效为圆环，计算组合应力。到近现代，由内压导致的开裂问题，更多集中在“允许钢衬外包混凝土出现裂缝”的前提下，讨论裂缝的宽度、间距等问题^[5-10]。为了弥补现行公路或建筑行业规范对混合结构外包混凝土应力分析的空白，本研究采用经典弹性力学方法，求解了圆柱形钢管-劲性骨架混合结构外包混凝土在内膨胀或内压力作用下的应力分布的解析表达式，并对最大应力的影响因素进行分析。对于方柱混合结构，本研究采用有限元方法得出方柱形钢管-劲性骨架混合结构外包混凝土在内膨胀作用下的应力分布规律，并对圆柱、方柱构件分别进行了分析和对比，得出影响应力的主要因素，以此给混合结构外包混凝土的设计提供参考。

通过本研究，在工程实践应用中解决外包混凝土的开裂风险，保证了结构的安全及耐久性。

1 圆柱形混合结构应力分布的解析式

圆柱形钢管-劲性骨架断面示意图如图 1所示。为了建立圆柱形混合结构外包混凝土应力分布的解析式，在图 1中，建立极坐标系。ρ，φ分别为径向坐标、环向坐标。r₁，r₂和r₃分别为钢管内径、外径和混凝土外径。E₁，μ₁分别为钢管弹性模量、泊松比。E₂，μ₂分别为混凝土弹性模量、泊松比。q为钢管内壁径向压力。

假设劲性骨架构件足够长，混合结构在断面上的应力分布可以简化为平面应变问题。同时截面及荷载是轴对称的，根据经典弹性力学^[11]，得到截面上的环向应力和径向应力表达式，如下所示：

(1)

(2)

式中，A₁，A₂，C₁，C₂为待定系数；σ_1ρ，σ_1φ分别为钢管径向正应力、环向正应力；σ_2ρ，σ_2φ分别为混凝土径向正应力、环向正应力。

根据边界条件和接触条件求解待定系数。对于本模型，钢管内缘径向压力为q，外包混凝土外缘径向应力为0，外包混凝土和钢管接触界面变形协调，边界条件、接触条件表达式如下：

(3)

(4)

式中u_1ρ和u_2ρ为径向位移。

将边界条件、接触条件代入应力函数式(1)和(2)求解得到：

(5)

(6)

(7)

(8)

式中，；q为钢管内缘径向压力。

至此，本研究建立了圆柱形混合结构外包混凝土拉应力解析求解式。

为了验证解析解的正确性，假设有一足够长的钢管-劲性骨架混合结构构件，截面形式如图 1所示，其中的参数取值如下：

E1= 206 GPa, μ₁= 0.3, E₂= 36 GPa, μ₂= 0.166 7, r₁= 420 mm, r₂= 450 mm, r₃= 600 mm。

取钢管内膨胀应力为q=1 MPa，采取以上解析式求解以及采用ANSYS有限元模拟计算结果对比如表 1所示。

经验证，钢管内缘环向正应力由于有限元模型加载边界条件的影响存在差异，忽略有限元求解中加载边界条件的影响，其余位置解析解与数值解十分吻合。

2 圆柱形混合结构外包混凝土最大应力的影响因素

根据圆柱形混合结构外包混凝土的应力函数，可见，混凝土的环向正应力(拉应力)σ_2φ是关于ρ单调下降的函数。因此，最大环向正应力出现在外包混凝土内缘与钢管交界处。交界处应力表达式为：

(9)

可以看到，圆柱形混合结构外包混凝土最大应力，与材料性质、结构尺寸和荷载皆有关系。其中，最大环向应力与内膨胀应力成正比，与其他因素成非线性关系。然而，根据规范，常规混凝土泊松比、钢材的泊松比和弹性模量皆为定值。因此，常见的影响变量为钢管内径r₁、钢管外径r₂及外包混凝土外径的相对大小，即r₁/r₂、r₂/r₃比值，根据式(9)，当其中一个比例为定值、另一个为变量时，式(9)可用统一的式(10)表达：

(10)

式中，z为广义变量，表示r₁²/r₂²或r₃²/r₂²；a，b，c为相对于广义变量的常系数。

由此可以看出，外包混凝土的环向应力与钢管壁厚和外包混凝土厚度、弹性模量的变化成单调函数。进一步验算可知，外包混凝土环向应力的最大值，随着壁厚和外包混凝土厚度的增加成单调递减，随外包混凝土弹性模量的增加成单调递增规律。由于钢管和混凝土的材性相对固定^[12-16]，按如下取值：

μ₁=0.3，μ₂=0.1667≈1/6，E₁=206 GPa。

取比例系数r₁₂=r₁/r₂，r₃₂=r₃/r₂，结合工程参考，可取0.9<r₁₂<1，1<r₃₂<3。

ξ表示外包混凝土最大环向应力相对于内压力的比例系数，公式如下：

(11)

对于C30和C80混凝土，其弹模分别为E₂=30 GPa，E₂=38 GPa。由此可以计算得到，ξ随比例系数r₁₂，r₃₂的变化范围和规律如图 2所示。

可以证明，当r₁₂→1或r₃₂→1时，可以得到式(12)：

(12)

(13)

从前述分析可知，对于半径比r₁₂, r₃₂趋近1时，极限值皆为上限值。

3 钢混界面应力分析

由表 1的实例可以看到，管内介质对外的压力为1 MPa，但经过钢管后，再传递到外包混凝土的压应力(即钢混界面应力)仅约0.36 MPa。钢管的材性起到了很重要的作用。

根据前述解析表达式，可以得到钢混界面法向应力，即真正作用到外包混凝土的正应力如下式：

(14)

定义界面应力系数为：

(15)

由于钢管和混凝土的材性相对固定，其值如下所示：

(16)

取比例系数r₁₂=r₁/r₂, r₃₂=r₃/r₂，可简化界面应力系数如下：

(17)

选取常用钢管外径450，600 mm两种类型，给出不同外包混凝土尺寸的钢混截面界面应力系数η，如表 2所示。

钢管径厚比结合实际情况，可取0.9<r₁₂<1, 1<r₃₂<3。

从图 3可以看出，随着钢管内径增大和外包混凝土外径增大，界面法向应力的系数也在增大。但两者各有不同，随着钢管内径增大(即钢管壁厚减小)时，界面法向应力的增长十分迅速，而随着外包混凝土外径增大(即外包混凝土厚度增加)时，界面法向应力的增长先快后慢，最后接近η=1。事实上，当r₁₂→1时，代入式(17)中，可得：

(18)

当钢管的厚度趋于0时，作用在外包混凝土内壁的力与作用在钢管内壁的力相等^[17-18]。通过前面的数值分析结果，这个值是一个上限值。这与客观认知相符。

当r₃₂→1时，代入原比例系数表达式中，可得：

(19)

当外包混凝土的厚度趋于0时，作用在外包混凝土内壁的力趋于0。通过前面的数值分析结果，这个值是一个下限值。这与客观认知相符。

4 方柱与圆柱的对比

方形钢管-劲性骨架混合结构柱断面示意图如图 4所示。在图 4中，建立极坐标系。ρ，φ分别为径向坐标、环向坐标; r₁，r₂分别为钢管内径、外径; a为混凝土边长的一半; E₁，μ₁分别为钢管弹性模量、泊松比; E₂，μ₂分别为混凝土弹性模量、泊松比; q为钢管内壁径向压力。

由于截面不是轴对称，不能直接使用仅与半径相关，而与角度无关的应力函数表示。另一方面，截面内层边界为极坐标描述，而外层边界为直角坐标描述，因此不能找到合适应力函数，分离边界条件，从而不能对相容方程分离变量求解。另外，由于钢管外径离方柱外边缘较近，不能等效为小孔口问题，也就不能采用圣维南原理，确定从小孔到外边缘过渡应力作为连接条件，从而达到转换边界条件形式的目的。

综上，目前难以从解析的角度，提出外包混凝土应力的显式表达式。因此，采用ANSYS有限元模拟分析。

有限元采用平面应变单元plane182，模型为四分之一截面，在相应的中线边上施加对称边界。网格划分采用自适应四边形单元划分方式，最大单元尺寸为1 cm。劲性骨架单元与外包混凝土单元采用共节点连接。通过单元温度变化，模拟钢管内壁的内膨胀或内压力。

对于方柱，钢管与混凝土尺寸取值如下：

r₁=420 mm，r₂=450 mm，a=600 mm。

对于圆柱，钢管与混凝土尺寸取值如下：

r₁=420 mm，r₂=450 mm，r₃=600 mm。

钢材与混凝土材性如下：

E₁=206 GPa，μ₁=0.3，E₂=36 GPa，μ₂=0.1667。

图 5、图 6为方柱与圆柱形钢管-劲性骨架混合结构外包混凝土环向应力与径向应力的分布情况，其中内膨胀压力为q=1 MPa。

由图 5、图 6可知，在方柱形的外包混凝土相对较厚的角部，其环向应力的分布于圆柱较为接近。但在保护层较薄弱处，与圆柱的分布差别较大，出现了较为明显的边界效应。对于径向应力的分布，方柱和圆柱的相似性较大，只是方柱在外边缘处有小幅的应力集中。

5 方柱形混合结构外包混凝土环向应力的影响因素

在钢管内径r₁=420 mm, 钢管外径r₂=450 mm的前提下，对比方柱和圆柱在外包混凝土薄弱处的环向应力在不同厚度情况下的分布，如图 7所示，图中c表示外包混凝土最薄处的厚度。

从图 7可知，当外包混凝土厚度较大，即半径比r₃₂较大时，方柱和圆柱的环向应力分布规律十分相近，这与边界越远则受力分布于边界形状关系越小的常识较为吻合。当外包混凝土较薄，即半径比r₃₂较小时，方柱的外包混凝土的环向应力分布，不再显示反比单调减函数的特征，而是显示随到圆心距离的增大，环向应力先下降后上升的规律。当外包混凝土保护层很薄时，甚至单调上升。方柱外包混凝土内缘的应力与圆柱外包混凝土的应力十分相近，其差别尚在建工行业的误差范围内。并且在一定的外包混凝土厚度下限之上，这样的误差，不随外包混凝土厚度的变化而变大。

根据前述可以看到，方柱外包混凝土的环向应力集中在混凝土薄弱位置，而最大环向应力不一定出现在外包混凝土内缘(与钢管外表面相接)处，而是可能出现在混凝土外缘。或者内外相近，在混凝土中部最小。这意味着，如果达到开裂拉应力容许值，由于内膨胀，外包混凝土内外都可能优先产生裂缝。

此外，根据圆柱的解析结果，类比可得，方柱外包混凝土的开裂应力也与半径比、外包混凝土弹模有关系。

方柱形钢管-劲性骨架的数值分析模型采用外径为0.9 m和1.2 m的两种型号的钢管，方柱外包混凝土环向应力分布与主要的结构尺寸关系如图 8所示。

从图 8可以看出，与圆柱不同，环向应力的分布不仅与半径比有关，还与绝对尺寸有关。当钢管壁厚越薄，混凝土厚度越厚，环向应力受绝对尺寸的影响越小，反之越大。

通过有限元模拟分析，可以计算得到方柱外包混凝土薄弱处环向应力分布，随外包混凝土刚度变化的情况如图 9所示。

由图 9可知，在一般的工程混凝土，弹性模量范围内，方柱外包混凝土环向应力分布随弹性模量的变化成单调递增趋势。进一步发现，仅在小区间上近似为线性函数。同理，可以验算方柱外包混凝土环向应力分布与内压力也是单调递增函数，与弹性模量不同的是，其是线性关系。

6 结论

本研究通过弹性力学理论分析和有限元模拟计算，对比了圆柱形钢管-劲性骨架和方柱形钢管-劲性骨架混合结构的外包混凝土应力分布规律，弥补了现行公路或建筑行业规范对混合结构外包混凝土应力分析的空白，结论如下：

(1) 推导出了圆柱形钢管-劲性骨架混合结构外包混凝土应力分布以及钢混界面应力的显式表达式，并与数值分析对比，误差较小。

(2) 圆柱形钢管-劲性骨架混合结构外包混凝土环向应力最大值出现在靠近钢管外壁处，越往外越小。外包混凝土环向应力的最大值，随着壁厚和外包混凝土厚度的增加成单调递减，随外包混凝土弹性模量的增加成单调递增规律。

(3) 推导出了圆柱形钢管-劲性骨架混合结构钢混界面法向应力表达式，提出了关于径向构造尺寸的简化算法。

(4) 方柱形钢管-劲性骨架混合结构外包混凝土在厚度较小时，环向应力呈现非线性分布，可能出现中间小，内外侧较大的分布情况。当外包混凝土厚度较厚时，分布情况趋于圆柱形钢管-劲性骨架混合结构外包混凝土的情况。

(5) 相比圆柱，方柱形钢管-劲性骨架混合结构外包混凝土的最大环向应力分布受截面尺寸的影响更为复杂，但关于弹性模量与内压力的变化，在常规工程中，仍然近似为线性变化。