0 引言

国内外众多学者通过理论分析、数值模拟及试验对横向受荷桩的受力性状进行了大量研究，有关横向受荷桩的计算方法主要有弹性地基反力法^[1-3]、p-y曲线法^[4-5]和各类数值分析法^[6-9]。目前，小变形条件下横向受荷桩的计算方法以m法等线弹性方法为主。m法地基模型参数单一且忽略了土体的剪切作用。由于天然土体具有复杂的物理力学性质，地基性状难以用单一参数来表征，为了更好地模拟地基的实际工作性状，相关学者又提出了双参数地基模型^[10-11]。

采用双参数地基模型分析横向受荷桩的受力特性主要有2种方法。一种是采用2个独立的参数来综合反映地基特征，可以考虑地基土体的剪切作用。张望喜等^[12]、梁发云等^[13]、张天宇等^[14]分别采用不同形式的地基参数，提出了双参数地基横向受荷桩的几种分析方法。另一种方法是改变地基系数的分布形式，如m-t模型^[2](假定地基系数沿深度折线分布)、mz+C模型^{[1, 15-16]}(假定地面处地基系数不为零)，这2种模型地基系数的分布形式较m法合理，但忽略了地基土体的剪切作用。赵明华^[1]基于m法研究了地基系数k(z)=m(z+z₀)形式的横向受荷桩内力和位移的计算方法。贺栓海等^[15]针对计算宽度非线性、地面地基系数不为零的情形，采用地基系数法推导了横向受荷桩的通解。李微哲等^[16]假定地基系数k(z)=mz+C，推导了成层地基中倾斜偏心荷载下桩的幂级数解。

不少学者^[17-21]通过埋设土压力盒的方法直接测试或通过测试桩身弯矩间接推算了桩侧土抗力以及采用有限元法模拟了横向荷载下桩侧土抗力的分布。结果表明，荷载较大时桩侧地面处土体抗力不为零。上述理论研究考虑了地面处土体抗力不为零时的情形，对m法做了改进和完善，但未给出地面处地基系数的具体取值方法。通过水平静载试验数据反演地基参数是一种常用的方法。为了能够更好地分析桩土的实际工况，考虑地面处土体抗力不为零时的情形，本研究根据m法的成果，基于桩基水平静载试验数据，提出了mz+C地基模型下地基参数反演方法，为m法试桩参数分析和计算提供参考。

1 mz+C双参数地基计算方法

文献[1]针对横向受荷桩地面处土抗力不为零时的情形提出了一种计算方法，基本思路为：假定地基系数k(z)=mz+C, m为水平地基系数，C为地面处的地基系数，(1)令C=mz₀，在地基系数等于零的位置建立坐标系x^′o^′z^′，如图 1所示；(2)地面以上桩身视为虚拟段，根据荷载效应等效的原则，将地面处荷载简化到桩顶；(3)根据m法的成果计算桩的内力和位移。

图 1中，Q₀^′为虚拟桩桩顶等效剪力；M₀^′为桩顶等效弯矩；Q₀为实际桩地面处剪力；M₀为地面处弯矩。根据地面处荷载等效原则，由m法求得：

(1)

式中，A_mz0和B_mz0为虚拟桩在地面处的弯矩系数；A_qz0和B_qz0为虚拟桩在地面处的剪力系数；Δ为一个中间系数。4个系数均为αz₀的函数。虚拟桩桩身内力和位移计算为：

(2)

式中，B为桩的抗弯刚度；α为桩土相对刚度；x_z^′，φ_z^′，M_z^′，Q_z^′分别为虚拟桩水平位移、转角、弯矩和剪力；A_x和B_x为位移系数；A_φ和B_φ为转角系数；A_m和B_m为弯矩系数；A_q和B_q为剪力系数。

2 mz+C地基模型参数反演

可通过桩在地面处实测位移和转角获取z₀和α这2个参数。假定桩在地面处实测位移和转角分别为x₀和φ₀，令z^′=z₀，由式(1)和式(2)可得：

(3)

式中，A_x0和B_x0为实际桩在地面处的位移系数；A_φ0和B_φ0x为地面处的转角系数，为已知参数；A_xz0和B_xz0为虚拟桩在地面处的位移系数；A_φz0和B_φz0为地面处的转角系数，均为αz₀的函数。x₀和φ₀计算为：

(4)

式中，k₁ = (B_xz0A_mz0-A_xz0B_mz0)/(A_x0Δ)；k₂ = (A_xz0B_qz0-B_xz0A_qz0)/(B_x0Δ)；k₃= (B_φz0A_mz0-A_φz0B_mz0)/(A_φ0Δ)；k₄= (A_φz0B_qz0-B_φz0A_qz0)/(B_φ0Δ)。

式(4)即为mz+C双参数地基模型地面处位移和转角计算公式，实质上相当于在m法的基础上做了修正，且采用了分项修正系数。修正系数k₁~k₄为地面处桩的变形修正系数或地面处位移系数和转角系数的修正系数。改变土抗力分布模式后对位移和转角影响程度不同，且荷载作用性质不同，影响程度也不同。

当z₀=0时，式(4)即为m法计算模型。由于m法采用Winkler地基模型，计算结果偏大，当修正系数接近于1时，表明实际地基与Winkler地基模型相符。若地面处的土抗力仅由地基土体剪切变形提供，则修正系数越小，表明地基土体剪切作用对桩的受力性状影响越大。根据式(4)计算z₀和α，从而可反演地基参数m和C。

2.1 剪力单独作用

当地面处只有剪力作用时，式(4)可整理为：

(5)

令k₅=A_x0k₁，k₆=A_φ0k₃，代入式(5)得：

(6)

式中，k₅为虚拟桩在地面处的位移系数；k₆为地面处的转角系数，二者均为αz₀的函数。

参数反演计算过程为：根据m法无量纲法的计算成果，αz₀取不同的值，由位移、转角、弯矩及剪力系数计算k₅²/k₆³。由式(6)计算结果求αz₀，k₅，k₆，代入式(5)求解α。由式(1)计算的虚拟桩桩顶等效荷载：

(7)

式中，k₇= — B_mz0/Δ；k₈=A_mz0/Δ。

根据虚拟桩桩顶等效荷载由m法原理计算桩身弯矩M_z^′和桩侧土抗力p_z^′：

(8)

式中，b₁为桩的计算宽度；z^′为换算深度。

求得桩身弯矩和桩侧土抗力理论值后，与实测值对比验证本研究模型的可行性。

2.2 剪力和弯矩共同作用

当地面处剪力和弯矩共同作用时，令M₀=e₀Q₀，式(4)联立后得：

(9)

式中，e₀为偏心距；k₁~k₄为αz₀的隐式函数。

根据m法无量纲法的计算成果，αz₀取不同值时，计算k₁~k₄。采用试算法由式(9)求解α和αz₀。当z₀=0时，k₁~k₄均为1，桩身抗弯刚度应按变量考虑。求得αz₀和α后，由式(2)计算桩身弯矩和桩侧土抗力：

(10)

3 反演模型验证 3.1 反演结果及分析 3.1.1 算例1

文献[1]中某钢筋混凝土灌注桩直径为1 m，地面以上桩长为3 m，入土深度为15 m，土壤为硬塑黏土，m=15 000 kN/m⁴。地表处土抗力不为0，z₀=2 m。假定地面处弯矩等于0，水平力为90 kN。

由文献[1]方法计算的桩在地面处的位移和转角分别为0.916 mm，—0.359 4×10^—3 rad，桩身最大弯矩为81.21 kN·m。根据上述数据反演相关参数，并与理论值对比，结果如表 1所示。桩身弯矩分布如图 2所示。

由表 1和图 2可知，参数反演结果及桩身弯矩与理论值基本接近。这表明本研究反演方法计算精度是可行的，产生误差的原因在于舍入误差。

3.1.2 算例2

文献[22]基桩水平静载试验中，钢筋混凝土桩桩长为17.5 m，桩径为0.6 m，采用HRB400钢筋，桩身C30混凝土，桩头自由。桩身抗弯刚度取0.85E_cI_c，由桩在地面处的位移和转角实测值反演地基参数并计算土抗力，结果如表 2所示。根据反演结果计算桩身最大弯矩及其位置，并与m法对比，结果如表 3所示。Q₀=105 kN和120 kN时桩身弯矩分布如图 3所示。

由图 3可知，与m法相比，地面处土抗力变大对桩身弯矩影响程度沿深度表现出先增大后减小的趋势，主要影响范围位于最大弯矩位置附近。与实测值相比，在正弯矩分布范围内，本研究方法计算的弯矩值上部偏大，下部偏小。主要原因除m法假定地基系数无限增大外，桩身抗弯刚度取值对其也有一定的影响。

3.1.3 算例3

某公路6^#桩^[2]为钻孔灌注桩，采用25^#混凝土，配筋率为0.54%。桩全长为11.5 m，入土深度为11 m，直径为1.04 m，桩头自由。当Q₀= 250 kN，位移为1.73 mm时，转角为—0.732×10^—3 rad，2.0~2.4 m处桩身最大弯矩为255 kN·m。当Q₀=200 kN，位移为1.25 mm时，转角为-0.533×10^—3 rad，2.4 m处桩身最大弯矩为196 kN·m。

桩身抗弯刚度取0.80E_cI_c，根据地面处实测变形值反演地基参数并计算土抗力，结果如表 4所示。根据反演结果计算桩身最大弯矩及其位置，并与m法对比，结果如表 5所示。

将每一级荷载作用定义为1种工况。综合算例2和算例3计算结果，对某一工况而言，由表 3和表 5可知：(1)m法计算的桩在地面处的转角、桩身最大弯矩误差较大, 与mz+C模型相比，m法实质上是通过增大m或α的值保证了桩在地面处的位移与实测值相符，但地面处的转角和桩身最大弯矩计算值偏大，反映了m或α的变化对桩的变形和内力影响程度不同；(2)本研究方法能够保证桩在地面处的位移、转角计算值与实测值相符，桩身最大弯矩及其位置误差很小，这表明mz+C双参数地基模型计算精度较高。

基于现有的桩基水平静载试验桩侧土抗力变化规律^[17-21]综合对比分析各种工况，由表 2和表 4可知，反演结果存在2个问题。(1)地面处的土抗力随着桩顶荷载或位移的增大而减小，这种变化规律与文献[17-21]实测结果不符。其中算例2中工况2计算的地面处土抗力不符合这一规律，是由反演时已知参数误差所致。(2)地面处土抗力计算值偏大，算例2的前3种工况地面处土抗力与最大土抗力比值约为71.08%~92.30%，算例3中工况1地面处土抗力与最大土抗力比值为60.83%。

由式(6)可知，上述2个问题产生的原因除测试误差之外，主要是由计算模型中各种工况桩身抗弯刚度取定值所致。实际上，混凝土开裂前桩身抗弯刚度取定值只是一种近似。首先，由于混凝土材料本身的物理力学性能复杂性、桩身截面变化和弹性模量的离散性等因素，桩身实际抗弯刚度不等于理论值。其次，以算例3为例，减小桩身抗弯刚度可以保证最大弯矩理论值与实测值相符，但2种工况下桩身抗弯刚度的变化幅度不同。即桩身抗弯刚度随着荷载的增大而非线性减小，这与吴恒立^[2]的综合刚度原理研究结果是一致的。考虑桩身抗弯刚度随着桩顶荷载或位移的变化能够更好地模拟桩土的实际工作状况。

3.2 桩身抗弯刚度取值对反演结果的影响

为了研究桩身抗弯刚度变化对桩身最大弯矩和土抗力的影响，改变算例3两种工况下桩身抗弯刚度取值。根据桩-土综合刚度的原理，通过改变桩-土综合刚度来体现桩身抗弯刚度。抗弯刚度初始值取0.80E_cI_c，桩身抗弯刚度与初始值的比值定义为变化系数。工况1桩身抗弯刚度取0.80E_cI_c，0.83E_cI_c，0.85E_cI_c这3种情形，工况2桩身抗弯刚度取0.80E_cI_c，0.78E_cI_c，0.75E_cI_c这3种情形。桩身抗弯刚度变化对最大弯矩和土抗力的影响如图 4所示。

由图 4(a)可知，桩身最大弯矩随着桩身抗弯刚度的增大而增大，抗弯刚度对其影响较大且二者呈线性关系。若不考虑桩侧土抗力的误差，根据桩身最大弯矩实测值调整桩身抗弯刚度，从而使得桩身最大弯矩计算值达到满意的效果。

由图 4(b)可知：(1)最大土抗力随着抗弯刚度的增大而变大，但变化很小，地面处土抗力随着桩身抗弯刚度的增大而减小，抗弯刚度的变化对其影响很大。这是因为，改变桩身抗弯刚度后，αz₀发生变化，对土抗力影响沿深度减弱。(2)桩身抗弯刚度与桩侧土抗力呈线性关系。若不考虑桩身最大弯矩的误差，可根据地面处土抗力实测值调整桩身抗弯刚度。综上分析，桩身抗弯刚度变化对桩身最大弯矩和土抗力的影响呈现反向变化。因此，可根据桩身最大弯矩和地面处土抗力实测值调整桩身抗弯刚度。兼顾二者误差，可以求得桩身抗弯刚度的合理取值范围，从而可以提高mz+C双参数地基模型计算分析精度。

算例3两种工况下桩身抗弯刚度分别取0.80E_cI_c和0.75E_cI_c，桩身弯矩和桩侧土抗力计算结果与其他方法对比如图 5所示。

综合分析图 5可知，2种工况下地面处土抗力对弯矩的影响范围主要位于最大弯矩位置附近，对桩身下部弯矩影响很小，这与算例2中图 3弯矩沿深度变化规律是一致的。工况2抗弯刚度变化为—6.25%时，桩身最大弯矩变化为—8.63%，误差为1.57%，2种工况下土抗力随着荷载变化沿深度分布规律与文献[17-21]实测结果相似，但土抗力与实测值相比是否合理有待于进一步研究。综上，考虑桩身抗弯刚度随着桩顶荷载或位移的变化能够更好地模拟桩土实际工作状况。

随着桩顶荷载或位移的增大，桩侧土体的非线性特征越来越明显，桩-土综合刚度逐渐减小。桩身抗弯刚度取理论值会导致桩身弯矩和地面处土抗力计算结果产生较大误差。因而，桩身抗弯刚度取值应当与荷载或位移水平相适应。实际工程中试桩分析时，可结合桩身弯矩和桩侧土抗力实测值确定桩身抗弯刚度的合理取值范围，从而可以提高本研究方法计算分析精度。

4 结论

考虑地面处土体抗力不为零时的情形，根据m法研究成果，基于桩基水平静载试验数据，提出了mz+C地基模型下横向受荷长桩地基参数反演的一种方法。结合算例分析，得到如下结论。

(1) 本研究方法能够保证桩在地面处的位移、转角计算值与实测值相符，由反演参数计算的桩身最大弯矩及其位置误差很小。与理论模型相比，反演模型计算结果误差为1%左右。与实测值相比，桩身最大弯矩误差在10.2%以内，最大弯矩位置误差在0.6 m以内。

(2) 与m法相比，地面处土抗力变大后对桩身弯矩影响程度沿深度表现出先增大后减小的趋势，主要影响范围分布在最大弯矩位置附近，对桩身下部弯矩影响很小。

(3) 桩身抗弯刚度与最大弯矩、地面处土体抗力均成线性关系，对二者影响较大且呈反向变化。根据桩身最大弯矩和地面处土抗力实测值可求得桩身抗弯刚度的合理取值范围，考虑桩身抗弯刚度随着桩顶荷载或位移的变化能够更好地模拟桩土的实际工作状况，从而可以提高mz+C双参数地基模型计算分析精度。