0 引言

降雨天气降低了交通网络的安全性和可靠性^[1-2]。因为降雨使路面与轮胎之间的摩擦系数和驾驶员的最大可视距离下降^[3-4]。来自FHWA的统计数据表明，每年47%与天气有关的道路碰撞发生在降雨期间，造成的死亡人数超过3 400人^[5]。为减轻降雨天气对交通网络的影响，交通管理部门使用了天气监测与预警系统以及车路协同技术。研究表明，降雨会显著影响驾驶员的反应时间、车速和跟驰距离，而传统的交通管理策略往往未能充分考虑这些变化。通过构建和分析跟驰模型来再现驾驶员跟驰行为，能够更好地理解在不同降雨强度下驾驶员行为的差异性，从而为降雨天气下的精细化交通策略制订与管理提供更有力的支撑。

多项研究探索了驾驶员在降雨天气下行为的变化。在这些研究中，研究的重点是驾驶员的行驶速度和车头时距。例如，Ibrahim等^[6]发现，降雨会降低行车速度，而且不同降雨条件下行车速度的变化不同，小雨环境下行车速度降低2 km/h，大雨环境下行车速度降低5~10 km/h。Rakha等^[7]研究了不同降雨强度对自由流速度、临界速度的影响，发现降雨强度约为0.1 km/h时，会导致自由流速度和临界速度分别降低2%~3.6%和8%~10%；降雨强度约为16 km/h时，自由流速度和临界速度的降幅分别为6%~9%和8%~14%。Ahmed等^[8]发现了在暴雨期间驾驶员会减速行驶并保持更大的车头时距。王笑^[9]对比分析了暴雨和晴朗天气下城市快速路的交通流特性，发现暴雨天气下车头间距急剧减小，车头时距增大。总而言之，尽管一些研究已经讨论了驾驶员在降雨环境的跟驰行为以努力确定跟驰行为的变异性，但这种变异性与现有跟驰模型之间的关系尚未得到评估。

另一些研究使用恶劣天气下的跟驰行为数据集来校准跟驰模型。Soria等^[10]利用仪表车收集了驾驶员的微观轨迹数据，并校准了4种微观交通仿真软件中常用的跟驰模型，以确定能更好反映不同环境及不同驾驶员类型的跟驰模型。Britton等^[11]以Wiedemann 1999跟驰模型为基础，使用SHRP2自然驾驶数据校准了各种天气条件下的跟驰行为。杨龙海等^[12]分析了冰雪天气下驾驶员驾驶行为的变化特征，并基于IDM模型建立了冰雪条件下的跟驰模型。虽然这些研究成果基于实地试验对跟驰模型进行了校准，提高了跟驰模型的模拟准确性。但它们并未区分降雨强度，这意味着目前的成果无法将不同降雨强度下的跟驰行为与跟驰模型的调整参数准确关联。

本研究的目的是标定选定的跟驰模型在不同降雨强度条件下的参数，并将模型估计的跟驰行为与现场获得的跟驰行为进行比较。使用现场定点观测的自然驾驶数据来提取跟驰事件，并观察在不同降雨强度的跟驰行为, 利用提取的跟驰事件来解释降雨强度对跟驰行为的影响。然后，基于遗传算法对广受学者认可的GHR，FVD和IDM跟驰模型进行校正，并识别不同降雨强度下驾驶员行为变化的证据。最后，使用交叉验证的方法评估了每个模型捕捉不同降雨强度下跟驰行为细微差别的能力。

1 选择跟驰模型

选择了3种跟驰模型进行评估，并与不同降雨条件下的现场数据进行比较。选择的依据是模型被学者广泛认可以及模型的可用性。本研究选取GHR模型，FVD模型及IDM模型作为建立不同降雨强度下高速公路跟驰模型的基础。

1.1 GHR模型

GHR模型是基于刺激模型的一般表达形式，由Gazis等于1960 s提出^[13]。作为最为经典的非线性刺激反应类模型，该模型一直沿用至今。其数学表达式为：

(1)

式中，x_n(t)为第n辆车在t时刻的位移；v_n(t)为第n辆车在t时刻的速度；λ为敏感系数常量；m为速度敏感系数；l为间距敏感系数；T为驾驶员的反应时间, T被认为是1 s，因为这通常等于微观仿真模型中使用的更新时间间隔, 该假设也与以往研究结果一致，范围在0.4~2.7 s之间^[14]。

1.2 FVD模型

FVD模型是对广义力模型的修正，Jiang等^[15]发现广义力模型中启动加速度过小，当前车速度大于后车速度时，也应该考虑前后车速度差的影响。因此他删掉广义力模型中Heaviside阶梯函数，并提出了FVD模型。该模型更加全面地考虑了跟驰过程中前后车辆正负速度差的影响，描述的车辆跟驰行为也更加符合实际，受到许多学者的支持。FVD模型的数学形式为：

(2)

其中，

(3)

(4)

式中，α为敏感系数常量，它反映驾驶员对期望速度与实际速度之差的敏感程度；λ为相对速度敏感系数；Δx_n(t)为先导车和跟随车的相对距离；v_n(t)为第n辆车在t时刻的速度；Δv_n(t)为先导车和跟随车相对速度，即先导车和跟随车的速度差；V₁，V₂为跟驰模型参数；C₁，C₂为跟驰模型参数；L为先导车的车身长度，一般为3.8~4.3 m。V_max为期望速度最大值；V_max被认为是跟驰事件中行驶速度最大值。

1.3 IDM模型

IDM模型是一种典型的期望指标类模型^[16]。该模型由自由状态下的加速部分和避免碰撞的减速部分组成，并考虑了驾驶员期望车距和期望车速。该模型由式(5)定义：

(5)

其中，

(6)

式中，a为最大加速度；s^*[v_n(t), Δv_n(t)]为有关车速、相对速度的期望车距函数；b为舒适减速度；v₀为期望速度；s₀为阻塞间距；T为期望车头时距；Δv_{n, n-1}(t)为前后车的相对速度；δ为加速度指数。

2 材料和方法 2.1 试验数据采集与处理

从2020年12月至2021年9月在国内某高速公路的一处基本路段分别采集了正常天气、小雨、中雨和大雨条件下的交通流数据。该地点为双向六车道，大半径曲线路段(半径值超过1 000 m)，客车道限速值为120 km/h，货车道限速值为80 km/h，客货车分离行驶，且纵坡坡度小于3%，距离出入口超过3 km，从而避免了半径、纵坡坡度、匝道出入口及交织段对交通流的影响。数据采集方式为以视频检测技术为主，人工采集为辅。视频采集是通过在横跨高速公路的人行天桥上架设摄像机完成的，采集帧率为60 Hz，采集过程摄像机保持稳定。人工采集分两组进行，一组位于与视频采集的相同位置，试验人员使用测速枪记录行驶速度，另一组在高速公路路侧的隐蔽位置，使用秒表记录连续车辆车头端部通过特定断面的时间间隔。这些人工数据被用于分析视频检测数据的准确性。降雨强度数据来自中国气象发布的小时级降雨量，并通过雨量计现场采集的1 h降雨量进行校核。整个试验过程摄像机和试验人员隐蔽性强，不会对交通状态造成干扰。

交通流参数是利用Adobe Premiere Pro 14.9.0.52提取关键帧完成的。具体过程如下：如图 1所示，假定3个断面分别为AB，CD，EF。当每辆车的车头到达断面AB，CD，EF的位置时，记录此时视频的帧数为t_AB，t_CD，t_EF。根据记录帧数、相邻断面间的距离为S和视频总帧数n_Frame，可获得地点车速v、车头时距h_t、车头间距h_d、前后车的相对速度v和加速度a，如式(7)~(11)所示。其中断面间隔S依据可跨越同向车道分界线确定。为排除大型汽车的干扰，本研究仅提取了小客车专用道的交通流数据。同时，跟驰车辆换道情况也被剔除。

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中，(t_CD)_Follow和(t_CD)_Leader分别为跟驰车和前导车到达CD时的时间；v_Follower和v_Leader分别为跟驰车和前导车的地点车速。

根据上述视频处理方法分别获取了正常天气、小雨、中雨及大雨下高速公路交通流参数组722个，421个，755个和699个。方差分析被用于比较视频提取数据和人工观测数据中地点车速的差异性，检验结果表明，通过两种技术手段采集的地点车速和车头时距数据的显著性水平大于0.05，这说明通过视频提取获得的数据是可靠的。值得注意的是，通过计算流量与通行能力之比发现，数据集包含了自由流到拥堵流状态的数据，无法直接用于跟驰模型的参数标定。为了提取适合本研究的数据集，需要筛选跟驰事件。根据前人的成果^[17-21]，剔除了车头时距大于3 s、车头间距小于7 m或大于150 m的数据。最终筛选出正常天气、小雨、中雨和大雨天气下的有效跟驰事件分别为263个，233个，293个和262个。

样本量的大小也关系到试验结果可靠性。为了从统计学上验证上述跟驰事件数是否满足研究需求，使用软件R 4.1.1进行了效力分析。效力分析的效力一般为0.8，效应量一般在0.4~0.8之间^[22]。单因素方差分析的效力检验结果表明，样本量为30时的显著性水平小于0.05，这意味着上述跟驰事件数可以为所研究的问题提供可靠的保证。

2.2 跟驰模型参数标定与验证过程

参数标定属于寻找使目标函数最小化的模型待定参数最优解问题。作为发展成熟的随机全局优化算法，遗传算法与上述需求相适应^[23]。基于遗传算法的参数标定与验证过程如下：

目标函数选择。跟驰模型的因变量为跟驰车辆的加速度，因此这里以加速度作为性能指标进行参数标定。如果计算值与实测值相同，那么认为模型预测结果是完美的。均方根百分比误差(E_RMSPE)是一种将实测结果与模型结果进行定量比较的一种方法。为了标定模型参数，采用加速度的E_RMSPE作为目标函数，其定义见式(12)。同时，该式也被用作标定模型的验证手段。

(12)

式中，a_i^obs为第i辆车的实际加速度；a_i^sim为标定后模型输出的第i辆车的加速度。

参数范围设置。为节省迭代时间，设置了每个待修正模型的标定参数范围(表 1)，这些范围来源于以前的研究^[21]。

模型标定及验证。不同降雨强度下的各个模型参数标定与验证流程如下：

(1) 随机选择数据集的75%作为标定数据集；

(2) 利用标定数据集，基于筛选后的跟驰事件和E_RMSPE，用遗传算法对跟驰模型参数进行标定；

(3) 剩余25%的数据集被用于交叉验证，并记录E_RMSPE，以衡量降雨强度修正跟驰模型的效果。

3 结果和讨论

本研究的目标是根据降雨强度修正经典跟驰模型。首先分析了降雨强度对车头间距和跟驰速度关系的影响，以验证修正跟驰模型的必要性。然后基于遗传算法，使用不同降雨强度下的跟驰事件分别对GHR，FVD及IDM模型进行参数标定和讨论。最后采用交叉验证的方式对模型标定结果进行验证和评价。

3.1 不同降雨强度下车头间距和跟驰速度的关系

为了验证降雨对驾驶员跟驰行为的影响，图 2展示了不同降雨强度下的车头间距和跟驰速度的关系。可以看出，相同车头间距下的跟驰速度随着降雨强度的增加而降低，降低幅度在较小车头间距下更加显著。在Rahman等^[24]关于降雨对跟车行为影响的研究中，也得到了类似的结论。Wilde^[25]提出的风险动态平衡理论为上述发现提供了一定的见解。这一理论认为，风险动态平衡是驾驶中的一个关键子目标，而速度选择被认为是将任务难度控制在可接受范围内的主要解决方案。降雨环境不但降低了路面-轮胎接触面的摩擦系数，还降低了驾驶员的最大可视距离，这增加了追尾碰撞的可能。降低行驶速度可以使驾驶员更容易地处理危险状况，是补偿碰撞风险的策略之一，尤其是在车头间距较小的情况下。这意味着降雨环境干扰了驾驶员的跟驰速度，为修正不同降雨强度下的跟驰模型提供了现实依据。

类似地，在相同跟驰速度水平下，驾驶员在雨天会保持更大的车头间距。比如，车辆以80 km·h^-1的跟驰速度行驶时，正常和小雨天气下的车头间距不足60 m，而大雨天气下的车头间距则达到90 m以上。因此，降雨天气下驾驶员的跟驰行为发生了改变，这种变化与降雨强度有关。这反映了重新评估高速公路跟驰模型的必要性。

3.2 GHR、FVD和IDM模型参数标定分析

基于遗传算法对每个跟驰模型的参数进行了估计(IDM模型中的期望速度v₀除外)，以符合各自的现场数据，结果被汇总于表 2。其中，IDM模型中的期望速度v₀是通过如下方法估计的：经过对不同降雨强度下行驶速度数据的P-P图检验(图 3)，发现跟驰速度符合正态分布，这里取累计分布曲线第85位分位值速度作为IDM模型中的期望速度v₀。根据表 2，随着降雨强度的增加，体现驾驶员敏感程度的参数逐渐增加，反映驾驶行为或期望驾驶行为的参数具有向更加保守方向变化的趋势。在GHR模型中，大雨环境下的敏感系数常量高于正常天气，反映跟驰速度和车头间距对加速行为刺激程度的参数m和l随着降雨强度的增大而减小。对于FVD模型，由大雨天气下的跟驰数据组标定的敏感系数常量是最大的，代表驾驶员最低期望速度的参数V₁是最小的。在IDM模型中，最大加/减速度随着降雨强度的增大而减小，期望车头时距随着降雨强度的增加而明显增加。产生这种变化的可能原因在于，驾驶任务难度由多因素交互决定，如天气状况、能见度、交通状况和线形条件等。降雨天气导致路面摩擦系数和最大可视距离降低，这增加了驾驶员的驾驶任务难度，收窄了驾驶任务难度和驾驶员能力之间的安全裕度，这一安全裕度决定了他们的恐惧反应和驾驶行为调整。因此，降雨强度越大，驾驶员的驾驶行为表现得越谨慎。这与任务难度均衡理论是相符的^[26]。这表明，GHR、FVD和IDM模型捕捉到了不同降雨强度下的跟驰行为变化，根据降雨强度修正跟驰模型是值得的。

3.3 标定模型交叉验证

为了量化现场数据与校准模型结果之间的差异，采用交叉验证的方式核验标定模型的精度，并利用加速度的E_RMSPE(式(12))表征验证误差。模型验证误差的描述详见表 3。在3种跟驰模型中，IDM模型在正常天气、小雨、中雨和大雨条件下的误差平均值和标准差比GHR和FVD模型小，这说明，对于仅存在小客车的非自由流交通，且无变道干扰的降雨场景，IDM模型标定精度和稳定性较好，总体上最适合现场数据，这是合理的。因为它具有最多的校准参数，因此可以在各种条件下表现得更加灵活。值得注意的是，IDM模型的标定误差在0.46~0.49之间，高于以前研究得到的误差范围。其中可能的原因在于个体驾驶员的驾驶风格存在内在差异^[27]。但微观交通模型可以很容易地处理这种差异性，因为模型的参数值可以利用单独的驾驶员-车辆单元来校准。然而，为了获得这些经过校准的模型参数分布，必须对更多的轨迹进行分析，例如，使用NGSIM轨迹数据^[28-29]。

与IDM模型相比，GHR和FVD模型具有高验证误差。这可能是由于驾驶员的期望(期望速度、期望车头时距等)对模型整体误差产生了影响，但在简单的汽车跟踪模型中没有被纳入。这表明未来可以对GHR和FVD模型进行改进，以更好地处理动态情况。

4 结论

本研究的目标是确定适应不同降雨强度条件的跟驰模型。这项研究根据现场采集的1 051组有效跟驰数据对GHR、FVD和IDM模型进行了校准。E_RMSPE被用作关键的性能指标，以验证标定的跟驰模型。主要贡献如下：

(1) 在不同降雨强度下，驾驶员的跟驰行为存在显著差异。这些差异表现为驾驶员在大雨环境下倾向于保持更大的车头间距和更低的跟驰速度。与正常天气相比，大雨天气下的车头间距增加30 m以上，跟驰速度降低10 km·h^-1。

(2) 降雨天气下驾驶员跟驰行为更为谨慎，这一变化表现为各个跟驰模型中灵敏度不同的最优参数值。

(3) IDM模型在交叉验证分析中的E_RMSPE值最低。IDM能够比其他模型更好地再现驾驶员在雨天条件下的跟驰行为。

本研究主要关注不同降雨强度对车辆跟驰行为的影响。然而，不同交通流特征对车辆跟驰行为也有一定影响，因此，针对不同交通流特征下车辆跟驰行为的差异性分析有待进一步研究。