0 引言

近年来，独柱墩梁桥倾覆事故频发^[1-2]，众多专家学者对独柱墩梁桥的倾覆机理、破坏模式和计算方法进行了大量研究。彭卫兵等^[3-4]研究独柱墩事故桥梁，提出了4种倾覆破坏模式，并基于箱梁滑移和支座被挤出两种破坏模式提出了抗倾覆承载力计算方法；鲁圣弟等^[5]以三跨连续独柱墩曲线梁桥作为研究对象，考虑非线性分析与接触理论，发现不同桥型布置对倾覆过程影响明显，边中跨比越小的独柱墩梁桥, 其抗倾覆安全性能越低，早期基于理想刚体转动的规范方法会明显高估独柱墩的抗倾覆能力；宫亚峰等^[6]基于结构倾覆力学原理和倾覆轴选取原则研究曲线梁桥的抗倾覆稳定性，认为以两中墩支座连线作为倾覆轴得到的抗倾覆验算结果更安全；刘飞等^[7]采用仿真技术和模型试验模拟4辆挂车同时加载在最不利偏载位置时的桥梁响应，在该荷载工况下曲线梁体内侧出现支座脱空现象，并建议距离曲线外侧路缘石50 cm以内禁止行车；周健民等^[8]在杠杆原理基础上, 提出了一种基于拉压杆的独柱墩抗倾覆加固新型结构，该加固结构能将桥梁抗倾覆稳定系数提高1.5倍以上。上述研究为评估独柱墩梁桥的倾覆风险提供了理论依据和参考建议。然而，当独柱墩梁桥的倾覆风险较大时应对其采取加固措施。

针对抗倾覆能力不足的独柱墩梁桥，应根据不同桥型特点合理制订有效的抗倾覆加固措施^[1]。目前常采用增设混凝土钢盖梁，增大联端支座间距，设置独柱墩偏心，设置拉压支座和墩梁固结等措施提高抗倾覆能力^[9]。例如，周健明等^[10]基于杠杆法提出了采用拉压杆加固独柱墩的新型抗倾覆结构，该方法能将梁桥倾覆稳定系数提高1.5倍以上；贺志勇等^[11]采用增设钢盖梁的方式对独柱墩梁桥进行加固，加固后支座不会出现脱空现象，能将倾覆稳定系数提高到3.5。

增设钢盖梁的加固方法不仅能提高独柱墩梁桥的倾覆稳定系数还会增加独柱桥墩偏压破坏的风险^[1]。因此，为统筹独柱墩直线梁桥的倾覆风险和桥墩偏压破坏风险，对钢盖梁加固措施进行协同的多目标优化设计具有重要意义。工程中的优化问题大都属于多目标优化问题，即目标函数不少于2个的优化问题，与单目标优化问题只有1个全局最优解相比，多目标优化问题存在多种最优解^[12]。多目标优化问题一般有两种求解方法，一种是通过一组定义目标重要性的权重将多目标问题组合成单目标优化问题求解，该方法的缺点是目标的权重赋值需要咨询专家，并且无法确定一些特殊问题的Pareto最优解^[13]。另一种是保持多目标优化问题的函数公式，在一次运行中找到Pareto最优解集，该方法可以使用算法确定任何类型的Pareto最优解集，但需要较高的计算成本^[14]。解决多目标优化问题的常用算法一般有：非支配排序遗传算法(NSGA)^[15]、多目标优化粒子群算法(MOPSO)^[16]，以及近年提出的多目标灰狼优化算法(MOGWO)^[17]、多目标蚁狮优化算法(MOALO)^[18]等。然而，目前对于增设钢盖梁加固的研究多集中于加固后的抗倾覆验算，钢盖梁抗弯强度和抗剪强度的验算，以及桥墩偏心受压承载力验算等^{[11, 19]}。对钢盖梁尺寸和独柱墩支座横向尺寸进行协同的多目标优化设计还缺乏探讨。鉴于此，本研究通过Python联合Abaqus与NSGA-Ⅱ遗传算法对独柱墩直线梁桥增设钢盖梁的加固措施进行多目标优化设计。经优化设计后，在提高独柱墩梁桥的倾覆稳定系数的同时降低了独柱桥墩偏压破坏的风险。可为同类型独柱墩桥梁采用增设钢盖梁的加固措施时提供优化设计思路和方法。

1 独柱墩直线梁桥抗倾覆计算 1.1 规范抗倾覆计算

新版公路桥规《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》(JTG 3362—2018)废除了旧版基于理想刚体转动的倾覆计算理论，采用基于变形体转动的倾覆计算理论。新版规范认为桥梁的倾覆破坏过程为：某一单向受压支座出现脱空，单向受压支座持续脱空，整联箱梁抗扭支座全部失效，箱梁变形趋于发散，箱梁翻转、滑移导致支座被挤出，桥墩断裂。新版规范规定，当某一单向支座出现脱空时定义为特征状态1；当单向支座持续脱空，整联箱梁抗扭支座全部失效时定义为特征状态2。以箱梁中心线为参考将桥面分为两侧，移动荷载作用侧的桥墩支座以及独柱墩支座定义为有效支座；无移动荷载作用侧的桥墩支座定义为无效支座，如图 1所示。1^#和4^#表示桥台支座，2^#和3^#表示独柱墩支座。独柱墩桥梁的抗倾覆能力采用横向抗倾覆稳定性系数k_qf来量化：

(1)

式中，k_qf≥2.5；S_bk，i和S_sk，i分别为第i个桥墩处使上部结构稳定的效应设计值和使上部结构失稳的效应设计值。

稳定效应设计值和失稳效应设计值分别按式(2)和式(3)计算，式中各参数的详细介绍见参考文献[4]：

(2)

(3)

式中，R_RGki为在永久作用下，第i个桥墩处失效支座的支反力，按作标准值组合取值；R_RQki为在可变作用下，第i个桥墩处失效支座的支反力，按作标准值组合取值，汽车荷载考虑冲击系数。

采用规范计算方法进行倾覆计算时，一般采用单个点支承模拟桥梁支座，而不考虑支座尺寸的影响。

1.2 支座尺寸对梁桥倾覆计算的影响

支座挤出和箱梁滑移是独柱墩倾覆事故中两种最典型的破坏模式^[3-4]。当支座处于被挤出的关键状态时，假设箱梁与支座之间的摩擦系数为μ，忽略支座的不均匀受压变形。箱梁、支座及桥墩三者相互作用如图 2所示。箱梁滑移时的两个极限状态由式(4)和式(5)表征：

(4)

(5)

式中，a为极限转动轴线距支座边缘的距离；G为重力；α为支座与桥墩顶面的夹角；h为支座厚度。

由式(4)与式(5)可得a≥μx₂。文献[4]研究表明，极限转动轴线的位置距支座边缘的距离可偏安全地取为a=x₂。在汽车偏载作用下，倾覆转动轴线由箱梁中心线逐步向独柱墩支座边缘移动直至到达极限位置，该过程会影响桥墩各支座处反力重分布结果，因此考虑支座尺寸影响的倾覆计算方法更符合实际情况。

采用规范计算方法评估独柱墩直线梁桥的抗倾覆能力时，考虑独柱墩支座尺寸影响的方法是：将独柱墩处的支座简化为两个点支撑，称为有限度抗扭支座。有限度抗扭支座的位置就是极限转动轴线在独柱墩支座上的位置，两个点支撑的距离按式(6)计算。

(6)

式中，D为有限度抗扭支座间距；x₁为独柱墩原支座横向宽度; h为支座厚度。

1.3 加固后独柱墩直线梁抗桥倾覆计算

采用1.1和1.2节的计算方法对独柱墩直线梁桥进行抗倾覆能力评估后，若抗倾覆能力不满足规范要求，应对独柱墩进行加固以保证行车安全。本研究采用在独柱墩顶设置钢盖梁的方法提高独柱墩直线梁桥的抗倾覆能力，即保留或更换独柱墩原支座，在横桥向再对称增加两个支座，如图 3所示。图中x₂为两个新增支座的间距，R_ij为第i个桥墩处的第j个支座反力，其中i=1, 2, 3, 4；j=1, 2, 3, 4。

采用钢盖梁加固独柱墩并考虑原支座尺寸对倾覆计算的影响(设置有限度抗扭支座)。由于加固前永久作用R_Gki已经加载，新增支座不再分担永久作用，无汽车荷载作用时新增支座均处于脱空状态。因此，加固前后抗倾覆稳定效应∑S_{bk, i}保持不变，且不考虑新增无效支座反力对失稳效应∑S_{sk, i}的贡献。

2 抗倾覆加固设计的多目标优化及决策方法 2.1 钢盖梁加固设计多目标优化模型

采用钢盖梁对独柱墩进行加固时，原支座可以保留或更换。加大原支座的横向尺寸x₁可以较快提高抗倾覆能力；适当增加钢盖梁新增支座间距x₂可以较大程度地提高抗倾覆能力^[3]。因此，将原支座横向尺寸、新增支座间距2个参数做为多目标优化模型的设计变量，即X= (x₁, x₂)。

独柱墩直线梁桥抗倾覆加固优化设计的目的在于协调设计变量，提高梁桥的倾覆稳定性系数k_qf，防止梁桥发生倾覆事故，同时保证箱梁、桥墩不出现强度破坏。以3跨独柱墩直线连续梁桥为例，根据1.3节钢盖梁加固独柱墩的倾覆计算方法，可以构造横向倾覆稳定性系数的目标函数：

(7)

式中，R_G12，R_G42为独柱墩梁桥在永久作用下失效支座的反力，方向向下，大于0，加固前后保持不变；R_Q12 (x)，R_Q42 (x)为加固后在汽车偏载作用下，端部失效支座的反力，方向向上, 小于0，R_Qij (x)是设计变量x= (x₁, x₂)的函数。

加固后倾覆稳定性系数k_qf提高的同时，在汽车偏载作用下，新增支座反力R_Q21、有限度抗扭支座反力R_Q22会对2^#桥墩形成一个较大的偏心弯矩。该偏心弯矩会使得2^#和3^#桥墩的抗压承载能力显著降低，可能造成桥墩偏压破坏，偏心弯矩越小则桥墩越安全，独柱墩偏心弯矩M的计算式为：

(8)

考虑桥墩纵向挠曲(二阶效应)影响的轴向力偏向距e_i计算式为^[20]：

(9)

式中，η为偏心距增大系数，墩柱构件为短柱时取η=1。

独柱墩偏心弯矩容许值[M]取决于截面类型、截面尺寸、配筋形式等。对于圆形截面计算为：

(10)

式中，A为独柱墩截面面积；A_s为纵向普通钢筋截面面积；r为圆形截面半径；r_s为等效钢环半径；α为对应圆形截面受压区混凝土截面面积的圆心角(弧度)；α_t为纵向受拉钢筋截面面积与全部纵向普通钢筋截面面积的比值，α_t=1.25-2α，当α大于0.625时，取α_t=0。

对于矩形截面，计算为：

(11)

式中，b为矩形截面宽度；x为混凝土受压区高度；σ_s为离偏心压力较远一侧钢筋A_s中的应力。

借鉴倾覆稳定系数k_qf的数学形式来构造偏心弯矩安全系数k_px的数学表达式，并以此作为第2个目标函数：

(12)

上述目标函数是基于钢盖梁为刚体条件建立的，当钢盖梁竖向变形较大时不再适用。因此，根据《钢结构设计标准》(GB50017—2017)，钢盖梁的竖向挠度ω_z应满足：

(13)

独柱墩抗倾覆加固优化设计的目标是通过对原支座横向尺寸x₁，新增钢盖梁支座间距x₂共2个设计变量的合理取值，使倾覆稳定性系数和偏心弯矩安全系数达到最大值，即：

(14)

此外，对于工程中的1联多跨连续直线梁桥，其独柱墩和双柱墩的设置以及跨度存在不规则情况。在最不利工况下，新增钢盖梁支座和原支座横向尺寸的改变不影响支承处总支座反力的分配，即在于第i个桥墩处，其分配的支座反力保持不变。出于安全考虑，可只对支座反力最大的独柱墩处进行加固优化设计，最大支座反力为：，剩余独柱墩处的加固设计与支座反力最大处保持一致。出于造价考虑，当独柱墩的个数超过2个时，一般不对每个独柱墩都采取加固措施。

2.2 基于NSGA-Ⅱ遗传算法的多目标优化

本研究采用快速非支配排序遗传算法^[15](NSGA-Ⅱ)来计算2.1节提出的加固设计多目标优化模型。NSGA-Ⅱ遗传算法改进了传统非支配排序算法存在的时间复杂度大、非精英主义决策、必须明确共享参数的缺点，提高了算法的搜索效率和收敛速度。NSGA-Ⅱ算法可以通过Python语言平台编写代码程序实现；Python作为Abaqus的接口语言，也可以通过编写代码的方式对其前后处理模块进行高效处理^[21]。基于NSGA-Ⅱ-Python-Abaqus对独柱墩直线梁桥进行抗倾覆加固多目标优化设计流程见图 4，步骤如下：

步骤1  按照加固设计的多目标优化模型，通过Python编译NSGA-Ⅱ算法程序。确定x₁，x₂，f₁，f₂的上下界，并设置种群规模N、最大迭代次数t_max、交叉概率、变异概率等参数。

步骤2  根据x₁，x₂的上下界随机生成种群规模为N的初始种群P₀，调用Abaqus进行计算。

步骤3  Abaqus无窗口运行Python编译的参数化建模脚本研究件，建立3跨独柱墩连续梁桥加固后的有限元模型，计算初始种群P₀中不同个体对应的支座反力R_Qij，并将R_Qij的值写入结果输出文件。

步骤4  NSGA-Ⅱ遗传算法程序读取结果输出文件计算初始种群P₀中不同个体对应的目标函数值f₁，f₂，并进行快速非支配排序。假定P₀中任意2个个体a和b，当a的目标函数值至少有一个优于b的目标函数值时，即{ [f₁ (a)＞f₁ (b) and f₂ (a)＞f₂ (b)]or[f₁ (a)≥f₁ (b) and f₂ (a)＞f₂ (b)]or[f₁ (a)＞f₁ (b) and f₂ (a)≥f₂ (b)]}成立，则称a支配b，b受a支配。根据目标函数值计算每个个体的受支配数n_p，将n_p=0的个体集合分配非支配前沿层F₁，然后去掉F₁的所有个体，再次计算P₀中剩余个体的受支配数n_p，将n_p=0的个体集合分配非支配前沿层F₂，以此类推完成所有个体的快速非支配排序。迭代次数t=0。

步骤5  从种群中随机选择2个个体(每个个体被选择的概率相同)，根据每个个体所在的非支配前沿层F_i选择等级最高的个体进入下一代种群，重复N次后完成二元锦标赛选择策略。然后对选择的N个个体进行交叉变异操作生成种群规模为N子代种群Q_t，从而得到规模为2N组合种群R_t，其中R_t=P_t∪Q_t。调用Abaqus计算Q_t种群中每个个体对应的支座反力R_Qij，从而计算Q_t的目标函数值。

步骤6  对组合种群R_t进行快速非支配排序，根据每个个体的受支配数n_p得到R_t的非支配前沿层F_i。计算每一个非支配前沿层F_i的个体局部拥挤距离，根据非支配前沿层F_i以及拥挤度比较算子从R_t中提取最优的N个个体作为新的亲本种群P_t+1。迭代次数t=t+1。

步骤7  若终止条件成立，即t≥t_max，则计算终止；否则重复执行步骤(5)~ (7)。

基于以上步骤可以求解出目标函数f₁ (x₁, x₂)、f₂ (x₁, x₂)的Pareto最优解集。

2.3 多目标决策方法

由于目标函数f₁ (x₁, x₂)，f₂ (x₁, x₂)不能同时取得最优解，相互矛盾，应结合实际情况统筹目标函数的Pareto最优解集，因此需决策出一个与两个目标最优值最接近的最佳方案。本研究采用的双目标决策方法^[22]是：分别计算2个目标函数的主观和客观权重，然后求出与主客观权重离差化最小的综合权重，最后利用TOPSIS法的正理想解和负理想解确定多目标问题的亲密度系数值，按亲密度系数值对Pareto最优解集中的各解进行评估。具体决策步骤如下：

步骤1  层次分析法(AHP)科学的权重决策过程能够消除部分主观性误差^[23]。采用AHP法计算2个目标函数的主观权重，计算过程为：定义目标层为判断2个目标函数的重要性；准则层为倾覆稳定性系数和偏心弯矩安全系数。影响2目标函数重要性的指标层为：①桥梁破坏顺序，文献[24]建议为避免超载作用下梁桥发生非延性的倾覆破坏，应使倾覆破坏发生在强度破坏之后；②造价；③桥下净空^[1]；④桥梁安全。评价体系如表 1所示。然后计算各指标的权重从而得到2个目标函数的权重。

步骤2  假定Pareto最优解集中有k个个体，以两个目标函数为评估指标得到指标矩阵S= (s_mn)_k×2，其中m=1，2，…，k; n=1，2。然后对指标矩阵S= (s_mn)_k×2进行归一化处理，即：s_mn^*=s_mn/s_max，其中s_max为每列中归一化最大元素。最后采用COWA算子^[25]计算客观权重ω_n：

(15)

式中，为从k-1个元素中任意取m-1个元素的组合数。

步骤3  采用博弈论综合赋权法^[26]计算最优线性组合系数，组合客观权重和主观权重得到综合权重ψ_n：

(16)

式中，ϕ_j (j=1, 2)为最优线性组合系数，按文献[27]计算。

步骤4  采用TOPSIS法^[28]将每个解的归一化值乘以对应的权重，得到加权归一化矩阵K=(k_mn)_k×2，k_mn=s_mn^*·ψ_n。将K中每列最小的元素做为正理想解为V+，最大元素做为负理想解为V^-：

(17)

(18)

步骤5  分别计算K中各元素k_mn与V⁺，V^-的距离：

(19)

(20)

步骤6  分别计算出Pareto最优解集合中每个个体与最优水平的亲密度指数Cco_m，然后按降序对所有个体的Cco_m值进行排列，Cco_m值越大表示第m个个体与两个目标的最优水平越接近。

(21)

3 工程实例 3.1 工程概况

以广西岑溪—兴业高速公路上的某3跨独柱墩直线连续梁桥为研究对象，该桥上部结构采用跨径为(32+50+32) m预应力混凝土现浇箱梁。该桥桥宽12 m，主梁断面为单箱双室截面，采用C50混凝土。桥型立面布置见图 5，横断面布置见图 6。1^#，4^#桥台支座为双支座，支座间距为6.8 m，支座尺寸为450 mm×800 mm×78 mm的板式橡胶支座。2^#，3^#桥墩采用独柱墩单支座，独柱墩支座采用盆式橡胶支座，型号为GPZ (Ⅱ) 22.5DX，尺寸为1 470 mm×1 420 mm× 260 mm。2^#，3^#桥墩采用圆形截面，最窄处直径为2 m，独柱墩身采用C30混凝土。2^#桥墩高23.66 m，3^#桥墩高16.09 m。根据规范计算方法，该桥在1.4倍公路-Ⅰ级车道荷载作用下支座无脱空现象，满足特征状态1的要求；在标准车道荷载作用下倾覆稳定性系数k_qf=1.911 5≤2.5，不满足特征状态2的要求。因此本研究采用钢盖梁对2^#，和3^#独柱墩进行加固，并对原支座尺寸、钢盖梁支座间距进行优化设计。

3.2 有限元模型

使用和Python和Abaqus建立3跨独柱墩直线连续梁桥的参数化有限元模型。有限元模型见图 7，网格尺寸为800 mm。箱梁和支座采用C3D8R实体单元进行模拟，箱梁底面和支座顶面采用面面接触模拟约束，切向采用“罚”摩擦，摩擦系数设置为0.3，法向采用“硬”接触^[29]。将支座底面与底面中点进行耦合约束，该中点的支反力即为该支座的反力。支座底面中点按桥梁实际的边界条件进行约束，如图 7所示。根据《公路桥涵设计通用规范》(JTG D60—2015)，加载车道为2车道，考虑冲击系数后车道荷载大小为P_k=432 kN，q_k=10.5 kN/m。车道荷载在桥面左侧距离路缘石50 cm处开始布置。车道荷载在桥面纵向按R_Q12的最不利支座反力的影响线布置，如图 8所示。

3.3 优化结果

根据相关规范和边界尺寸对设计变量和目标函数进行约束，见式(22)。

(22)

当NSGA-Ⅱ遗传算法的参数设置为：最大迭代次数t_max=562，种群规模N=131，交叉概率为0.9，变异概率为0.1时，Pareto最优解集结果如图 9所示。此时解集的收敛性和稳定性较好，通过增大t_max和N得到的Pareto最优解集基本相同。Pareto最优解集的最大误差在2%以内，可认为此时的参数设置较为合理^[30]。由图 9可知，采用钢盖梁加固独柱桥墩后，独柱墩梁桥的横向倾覆稳定性系数超过了规范要求的水平线，其中初始加固方案较未加固前的横向倾覆稳定性系数提高了167%；对钢盖梁加固设计进行优化后的最小横向倾覆稳定性系数较未加固前提高了201%。优化后的横向倾覆稳定性系数均高于初始加固方案，说明初始加固方案不在Pareto最优解集中。

3.4 决策结果

首先邀请10位专家学者对指标层的4个指标进行评级。根据相对重要性标度(1, 3, 5, 7, 9)对指标进行两两比较并评分，结果如表 2和表 3所示。由规范列平均法求得每个因素的权重分别为：C1 (0.688, 0.212)^T，C2 (0.143, 0.857)^T，C3 (0.125, 0.875)^T，C4 (0.667, 0.333)^T，(C1, C2, C3, C4)^T= (0.329, 0.120, 0.110, 0.441)^T。一致性率CR分别为：C1=0，C1=0，C1=0，C1=0，(C1, C2, C3, C4)^T=0.025，均满足CR≤0.1的检验条件。倾覆稳定性系数A1和偏心弯矩安全系数A2的主观权重分别为0.548和0.416。

由式(15)计算倾覆稳定系数和偏心弯矩安全系数2个指标的客观权重分别为0.584和0.416。由式(13)计算得到2个指标的综合权重分别为0.539和0.461。利用TOPSIS法决策得到Pareto最优解集中次序前10的解见表 4。

将次序1的解作为本研究独柱墩直线梁桥抗倾覆加固优化设计的最佳方案，次序1的解和初始方案的解在Pareto最优解集的位置如图 10所示。由图 10可知，最佳方案比初始方案的倾覆稳定系数k_qf提高了37.25%，偏心弯矩安全系数k_px提高了4.14%，说明本研究对钢盖梁加固优化设计的有效性。

4 结论

本研究对独柱墩直线连续梁桥的加固设计进行多目标优化，然后就多目标优化结果进行决策得到最佳设计方案，并以某3跨独柱墩直线连续梁桥为加固优化对象，得出以下结论：

(1) 针对抗倾覆能力不足的独柱墩直线连续梁桥，采用钢盖梁加固能使其抗倾覆能力迅速提高，满足规范要求。

(2) 本研究提出的独柱墩加固多目标优化模型综合考虑了箱梁倾覆破坏和桥墩偏压破坏两种状态，并基于Python联合NSGA-Ⅱ与Abaqus的多目标优化方法，获得了分布较均匀的Pareto最优解集，该方法能将优化算法与有限元分析高效结合。

(3) 优化方案比初始方案倾覆稳定性系数增加了37.25%，偏心弯矩安全系数增加了4.14%，与最优水平的接近指数增加了227.31%。以上证明本研究对独柱墩直线连续梁桥加固的双(或多)目标优化设计法方法有效可行。