0 引言

钢筋混凝土桥梁在服役过程中同时受到车辆荷载和外部环境的作用，其抗力和可靠度随时间逐渐降低^[1-2]，而传统桥梁设计方法重点考虑桥梁建造初期性能和初始建造成本，这种方法后期的养修成本较高且造成了部分桥梁的使用问题和经济损失。因此，为了提高公共安全与交通舒适度，降低建造和运营综合成本，采用考虑桥梁长期使用性能的全寿命设计方法至关重要。

钢筋锈蚀是导致钢筋混凝土桥梁抗力和可靠度退化的主要原因之一，国内外学者针对钢筋混凝土桥梁全寿命设计已开展了一些研究。Vu等^[3]为了更好地描述钢筋锈蚀对桥梁使用性能及可靠度的影响，通过研究劣化诱发因素在混凝土内的扩散规律以及锈蚀产物膨胀引起的内部径向压力与钢筋质量损失之间的关系，利用法拉第定律预测钢筋混凝土桥梁从锈蚀开始到锈胀开裂的理论时间。Mullard等^[4]通过一系列以混凝土质量、保护层厚度、钢筋直径为主要变量的加速劣化试验与长期暴露试验，得到了钢筋混凝土结构钢筋锈蚀导致混凝土开裂的经验模型。彭建新等^[5]从结构应力、几何参数和材料参数角度出发构造约束条件，构建服役期劣化桥梁性能与维护对策的关系模型。Frangopol等^[6]为了比较直观地反映分析期内建造、养修、更换等各项费用的影响程度，研究并提出净现值计算模型，为混凝土桥梁全寿命优化模型与设计流程的研究提供理论基础。Munoz等^[7]建立了桥梁管理自动化排序系统，使用者输入相关参数和设计标准，通过给定约束条件如所在区域、桥梁类型及设计寿命等，计算结构的有效使用寿命、管养频率和管养成本。Kong等^[8]基于公路工程造价计算理论，对桥梁全寿命成本进行分析，提出了桥梁全寿命经济分析方法，并建立了桥梁全寿命各阶段的费用计算模型。

目前的研究大多集中在材料层次，缺乏钢筋锈蚀对桥梁结构整体性能及可靠度影响层面的研究。在考虑性能退化时通常仅反映桥梁在自然状态下的变化过程，没有考虑其长期使用过程中性能的动态变化以及养修等人为因素对其造成的影响，与工程实际脱节，研究结果较难回应工程有关各方对于桥梁综合经济效益的关注。

本研究在深入研究桥梁全寿命设计的基础上，以实地调研所得我国桥梁检测、养修成本数据及统计规律为基础，构建全寿命成本计算基准。以钢筋在氯离子侵蚀和混凝土碳化耦合作用下的锈胀开裂模型为基础，采用路径概率方法建立全寿命劣化概率模型，并通过蒙特卡洛法进行求解。计算桥梁不同设计方案在设计使用寿命期内的养修概率，综合建造成本、检测成本和养修成本估算全寿命成本及其对应的可靠度。通过对实际钢筋混凝土桥多个耐久性设计方案的参数优化分析，验证其合理性。

1 检测与养修成本基准

全寿命成本分析需要考虑桥梁整个寿命周期的设计、建造、检测、养修等多项成本。本研究涉及的全寿命成本为：

(1)

式中，C_D为设计成本；C_C为建造成本；C_ins (T)为检测成本；C_m (T)为养修成本；T为该变量与时间有关。

1.1 检测成本

桥梁需要在一定的时间间隔内进行检测，以确保其实际性能满足使用要求，检测成本采用式(2)计算：

(2)

式中，K为寿命周期检测总次数；α为检测费用比例；C_i，ins(T)为第i次检测时的费用。根据调研所得国内386座桥梁，718份检测成本历史数据，桥梁的单次检测费用逐年增加，由桥梁所在区域、桥梁等级与检测时间确定，统计结果见图 1，并对历史费用进行了函数拟合，其中T为检测时间，拟合公式见表 1。

1.2 养修成本

对于相对复杂的养修成本计算，本研究提出了基于可靠度的养修概率和成本计算方法，其概率表达式如下：

(3)

式中，C_{m, i}为桥梁寿命周期内第i次养修成本；P_{d, i}为桥梁第i次可靠度下降到的目标可靠度指标的概率；t_PI，t_P分别为初始养修时间和养修时间间隔。以上参数均为设计变量的隐函数，取决于桥梁建造时的设计施工，如混凝土保护层厚度、混凝土等级、钢筋直径等。根据调研所得国内278座桥梁，399份养修成本历史数据，桥梁的单次养修费用与桥梁所在公路等级与养修性质相关，统计结果见表 2和图 2。

从图 1中可以看出，桥梁的单位检测成本随着时间有逐渐增长的趋势但增长速率逐渐趋缓；从图 2中可以看出，桥梁的单位养修成本随着养修程度的加深和桥梁所在公路等级的提升有逐渐增长的趋势。本研究基于实际调研结果建立的桥梁检测与养修成本计算基准可为国内普通钢筋混凝土公路桥梁的全寿命周期成本分析提供参考。

2 钢筋锈蚀导致混凝土开裂时间模型

钢筋混凝土桥在使用过程中混凝土保护层会出现开裂、剥落等现象，如果不进行修复，可能会导致更严重后果甚至强度问题^[9]。Liu和Weyers^[10]根据有限元模拟以及试验数据，提出了混凝土裂缝宽度预测模型，以预测混凝土结构由于钢筋锈蚀导致的开裂，见式(4):

(4)

式中，t_ser为开裂时间；A，B为与钢筋和混凝土等级相关的参数；C为保护层厚度；wc为水胶比。开裂时间受钢筋锈蚀速率、保护层厚度、混凝土质量的影响。Stewart等^[11]通过钢筋混凝土梁加速腐蚀试验的结果证实Liu和Weyers模型合理地预测了开裂的时间。

由于Liu和Weyers模型是在假定钢筋锈蚀速率不随时间改变的基础上建立的，虽然在预测首次开裂时具有可靠的精度，却难以反映桥梁全寿命性能随时间劣化越来越快的问题。为了建立适用于长期性能劣化研究的开裂预测模型，Alonso等^[12]将裂缝扩展与锈蚀电流密度函数联系起来，对Liu和Weyers模型进行修正，建立了劣化速率随时间变化的裂缝预测模型，见式(5)。

(5)

与时间相关的锈蚀电流密度可由式(6)计算：

(6)

式中，t_sp为修正后的首次开裂时间；k_R为与钢筋类别有关的常数；t_p为混凝土结构实际使用寿命；α和β是常数。如果锈蚀速率是时不变的，则α=1且β=0。

对于时变锈蚀速率，Vu和Stewart^[13]的试验研究表明，钢筋混凝土结构随着锈蚀产物在钢筋表面的堆积，会加速引发锈蚀的物质在临近钢筋区域的积累，降低混凝土的保护作用，导致锈蚀速率随时间增加。并根据试验结果回归分析，提出α=0.85和β=0.3。Val等^[14]通过钢筋混凝土板长期暴露试验数据研究结果验证了该参数的合理性。本研究根据Stewart提出的锈蚀电流密度估算方法，计算与混凝土耐久性设计参数相关的初始锈蚀率^[11]：

(7)

式中，w/c为水胶比；cover为保护层厚度以厘米为单位，并假设锈蚀会导致钢筋直径均匀减小。在这种情况下，利用法拉第电化学等效定律可以将锈蚀电流密度直接转化为钢筋的损耗。一般认为，当裂纹宽度超过0.3 mm时，如果没有进行养修，结构的使用寿命就会显著降低^[15]。在本研究中，选择必须进行养修的极限裂缝宽度为0.3 mm，并定义在固定检测时间t_p之前裂缝超限的概率P_f(t)为：

(8)

式中，t_p为检测时间；t_sp为预测开裂时间；P_r(x)为判别式x的发生概率。

3 基于路径概率的全寿命成本计算 3.1 养修概率计算

对于寿命周期的每一个时间节点，都有养修和不养修两种可能，这样的随机性会给养修方案的制订带来困难。本研究采用路径概率模型来计算养修方案的概率分布，路径概率模型由宋志刚等^[16]提出，最初用以计算钢筋初锈时间的概率分布。本研究对其使用方法和使用范围进行了扩展，在同时考虑锈蚀裂缝扩展及养修工作的不确定性后，将钢筋锈蚀的发展划分为一系列路径，通过概率求和的方法来获得养修方案的概率分布，将锈蚀裂缝扩展及养修工作的概率特征进行了有效的结合，并考虑了碳化及氯离子作用的共同影响，参数取值见前文，路径概率模型的基本思路见图 3。

图 3中，t₀为桥梁投入运营的时间；T为桥梁设计使用年限；t₁到t_n为桥梁检测时间。从图中可以看出，对于桥梁是否需要进行养修的检测结果是随机的，例如{t₀，t_a，t_b，T}就是一条全寿命期内的随机路径，桥梁在t_b时刻需要进行养修的概率λ_b的条件概率密度函数为：

(9)

式中，f[λ_a|t_a]为桥梁在t_a时刻进行养修的条件概率密度函数；p(t_b)为桥梁经过t_a时刻养修过后，在t_b时刻进行养修的概率密度函数。虽然桥梁在某一时刻是否需要养修是不确定的，但在定义了n个养修路径后，只要n的数量是有限的，那么养修路径的数量就是有限的，且所有这些路径是互斥的，根据概率求和公式可得所有养修路径的无条件概率密度函数为：

(10)

式中，p(t_j)为桥梁经过t_i时刻的养修过后，在t_j时刻进行养修的概率密度函数；F(t_i)为t_i时刻养修的概率；F(t_j)为t_j时刻养修的概率，公式中隐含的条件为i是大于(j-i)的，因为桥梁的劣化速率会随着时间逐渐增加。

选择合适的桥梁检测方案后，根据桥梁全寿命期各参数在锈蚀开裂模型中生成的随机数应用蒙特卡洛法进行概率分析，只需根据随机抽取的样本值计算开裂时间，并与检测时间进行比较，计算每一种养修方案的概率，但计算量较大。采用蒙特卡洛方法^[17]求养修方案概率的具体步骤：

(1) 根据各变量的概率分布，随机生成每一个变量的样本值X(1，2，…，n)。

(2) 根据生成的样本值计算开裂时间t_sp，并与检测时间序列T_w进行比较，计算养修路径发生概率。

(3) 重复上述步骤N次，得出不同养修次数的概率为：

(11)

式中，n为检测时间序列里面不同养修次数的个数；T_w为检测时间序列；tⁱ_sc为第i次开裂时间；tⁱ_d为第i次检测时间；D为相同检测次数在检测序列中的出现次数。

本研究提出的基于路径概率养修概率计算方法的实现流程见图 4。

3.2 基于可靠度的全寿命成本计算

为了方便地描述耐久性优化设计方案的优劣，本研究通过概率计算结合全寿命成本模型，提出基于可靠度的全寿命成本计算方法。成本优化过程参考文献[18]的优化经验，既可以计算同一设计方案在不同可靠度下的成本变化，也可以计算不同设计方案在相同可靠度下的成本以及不同设计方案在固定全寿命成本下的可靠度。该方法假定养修成本不随贴现率变化且养修效果相同，计算公式如下所示：

(12)

式中，P_fn为最多养修n次的概率；P_n(t)为养修n次的概率；P_r为养修n次的可靠度。

4 案例与分析 4.1 桥梁概况

为验证所提方法的合理性，以经济发达的广东省某近海城市桥梁为例进行计算分析，桥梁总长200 m，桥面全宽10.7 m，行车道宽10 m，双向2车道，采用钢筋混凝土简支T梁，桥梁跨径组合为：6×16 m+2×20 m+ 4×16 m，共12跨。该桥于1997年建成通车，设计使用寿命为100 a，T梁侧面保护层厚度为25 mm，底部保护层厚度为35 mm，该桥尺寸见图 5，图 6。

该桥自投入使用以来耐久性问题严重，2009年桥梁技术状况评定中被评为三类，于2010年和2017年经历两次大规模养修，将于2022年进行第3次养修。本研究利用建立的全寿命成本计算方法，对原设计进行优化分析，结合蒙特卡洛法分析不同优化设计方案对混凝土桥养修过程、全寿命周期成本及性能的影响。

4.2 初始成本计算

根据桥梁设计图及工程概预算计算方法，可以估算该桥建造总成本为4 508万元，其中钢筋混凝土材料成本为973.7万元，占总成本的21.6%。全桥主梁混凝土用量688.2 m³，钢筋的用量为575.7 t，材料成本为356.2万元，占全桥钢筋混凝土材料成本的36.6%，占全桥总建造成本的7.9%，本研究在优化分析中仅考主梁的建造费用，对于4组优化方案，计算方法同原设计，初始成本见表 3。

4.3 检测成本与养修成本计算

桥梁需要在一定的时间间隔内进行检测，根据住建部发布的《城市桥梁养护技术标准》 (CJJ99—2017)相关规定，城市主干路上的桥梁其常规定期检测时间间隔应为1~3 a，本案例检测时间间隔为3 a，检测成本计算公式见表 1，计算结果见表 3。

采用之前提出的养修概率计算方法，通过蒙特卡洛法预测桥梁不同耐久性设计方案，在100 a设计使用寿命期内的养修策略和全寿命成本，案例中养修方法为对裂缝进行灌浆处理和表面修复，根据调研所得历史养修数据，对全桥进行一次裂缝处理和混凝土表面修复的成本约为12.51万元，不考虑贴现率影响，近似认为养修次数与全寿命成本呈线性关系，通过公式(3)计算，计算结果见表 3。

4.4 全寿命优化分析

经过蒙特卡洛法计算的结果如图 7所示，可以得到不同设计方案下养修次数所对应的概率密度及全寿命成本。从图 7(a)~(d)的对比中可以看出保护层厚度的增加能显著提高结构耐久性，减少养修次数并降低养修的离散性。从图 7(a)~(c)和7(e)的对比中可以看出，混凝土等级的提高在一定程度上能提高结构耐久性、减少后期养修次数，但会增加养修活动的离散性。

如果从桥梁全寿命总成本最优的角度出发，通过计算不同设计方案在不同可靠度下的全寿命成本，但不考虑折现率的影响，计算结果如图 8所示。从图中可以看出在不同可靠度下所有修改设计的全寿命成本均低于原设计，其中D方案为全寿命成本原则下的最优方案。若仅考虑初始建造成本，则原设计成本最低，D方案成本最高，比原设计多出32.8万元。

从全寿命成本分析中可以看出，刚好满足规范耐久性要求的原方案，在设计寿命取100 a且可靠度指标取1.0的情况下，综合成本将达到初始成本的2.3倍。而进行耐久性优化后的D方案，虽然初始成本比原设计高出32.8万元(8.6%)，但综合成本比原设计节约112.2万元(12.8%)，表 4中给出了不同可靠度下优化方案相对于原设计方案所节约的全寿命成本。

从表 4中可以看出，不同可靠度指标的取值对设计方案的全寿命成本有显著影响，随着可靠度指标的提高优化方案的经济性均出现先上升后下降的趋势。当可靠度指标β=1时，各组优化方案所节约总成本最多，当可靠度指标继续增加，各方案节约总成本则开始下降。这个现象说明，对于耐久性极限状态目标可靠度的取值不宜过大，可以考虑在设计的时候通过一个较低的可靠度指标，有意放宽对于耐久性条款的设计准入，允许桥梁在使用过程中出现一定的耐久性问题，并通过后续养修进行矫正，这样对于全寿命成本而言，更具有经济性。

5 结论

(1) 通过对我国公路桥梁运营及管养情况的调研发现，设计寿命100 a的桥梁，在投入使用30 a不到的时间内便进行多次大规模养修的案例并不鲜见。本研究提出的养修概率及全寿命成本计算方法，可以在设计阶段比较不同耐久性设计方案的优劣，以较为直观的方式平衡建造成本与养修成本，可有效降低频繁养修的概率。

(2) 本研究将复杂的桥梁养修问题通过路径概率方法进行简化，依据国内公路桥梁管养实际情况提出“先检后修”的分析思路，采用蒙特卡洛法求解，将养修方案、养修成本通过可靠度指标联系起来，结合规范中关于正常使用极限状态指标的相关规定，在实际工程中有更广泛的实用价值。

(3) 本研究依据调研所得桥梁管养投入实际数据，拟合了不同服役地区不同桥梁等级的检测成本计算公式，以及不同公路等级不同养修成本的取值区间，以此构建了桥梁全寿命成本计算基准，可为以后的桥梁全寿命成本分析提供参考。

(4) 本研究采用路径概率方法构建了考虑可靠度指标的桥梁全寿命成本计算方法，进一步的研究可在此计算方法的基础上平衡初始建造成本与后续养修成本，以寻找全寿命周期成本最低为目标函数，开展结构耐久性优化设计研究。在工程实践中可以通过调整极限裂缝宽度的设置以及裂缝超限概率的定义来考虑不同的桥梁等级、不同的部件重要性对桥梁全寿命成本分析带来的影响。使用者也可以根据实际需要选择不同于钢筋锈蚀导致混凝土开裂时间模型的其他劣化模型，仅需要调整结构劣化极限的概率表达式即可。