0 引言

沥青混合料属于黏弹性材料，其黏弹性能随时间与温度的变化而不同^[1]。松弛模量是研究沥青混合料线性黏弹性能的重要参数之一，理论上可以通过应力松弛试验直接测定松弛模量。应力松弛试验是在试验开始的很短时间内输入一个恒定的应变，但目前的试验仪器在应变和温度控制精度上很难实现，试验误差较大^[2]。动态模量、静态蠕变柔量与松弛模量拥有相同的线性黏弹性信息^[3-4]，因此，可以通过复数模量试验间接确定松弛模量，三者可以在时域和频域之间相互转换^[5]。

沥青路面在车辆荷载作用下的实际受力状态可以用动态模量来表示^[6]。已有研究表明，通过最小二乘法进行Sigmoid函数的拟合，可以绘制出动态模量主曲线且能够全面描述沥青混合料的动态黏弹性能^[7-8]。赵延庆等^[9]采用Wiechert模型的Prony级数表达式模拟沥青混合料的动态模量，松弛模量通过黏弹性理论和配置法由存储模量转换而来。

相应地，目前主要使用沥青混合料在不同温度、恒定荷载作用下的蠕变性能来表征沥青混合料的静态蠕变性能。徐世法^[10]采用“四单元、五参数修正Burgers模型”等表征其蠕变性能。Cost和Becker^[4]提出了最小二乘法，将Prony级数与试验数据相拟合，为了避免在转换过程中出现Prony级数负系数使主曲线产生振荡，Park和Kim^[11]引入了约束条件来确保正系数，从而画出平滑的主曲线。Park和Schapery等^[12]提出了一种更为简便的基于Prony级数的主曲线换算方法，该方法在时频域转换间呈现出较好的一致性。黄文柯，张丽娟等^[13]在前人研究的基础上，将求解松弛模量E(t)进行推导，并将推导的结果用矩阵形式表示。

吕慧杰、王志臣和顾兴宇等^[14-16]通过研究已证实，动态模量与蠕变柔量转化松弛模量有一定的适用性。上述3位仅用了单一力值对蠕变柔量以及松弛模量进行研究，黄文柯等^[13]只采取了单一温度对蠕变柔量以及松弛模量进行研究。然而事实上，应力加载大小在一定程度上对蠕变柔量乃至转化后的松弛模量大小存在很大的影响。此外，以往研究大多基于单一沥青混合料的动态模量或者蠕变柔量转化得到的松弛模量，未基于不同应力水平作用, 对由蠕变柔量和动态模量换算所得的松弛模量之间的准确性进行对比分析。鉴于此，本研究基于不同种类的沥青混合料的动态模量和不同荷载加载下沥青混合料的蠕变柔量试验结果，利用时温等效原理建立沥青混合料的储存模量和蠕变柔量主曲线。然后，采用Laplace变换实现松弛模量主曲线间的换算。通过比较不同应力加载下的蠕变柔量与动态模量所转化松弛主曲线之间的区别，以此验证换算方法的有效性。

1 黏弹性模型

一般用不同组合方式的弹簧和黏壶元件形成的力学模型来描述材料的黏弹性行为^[17]。

广义的Maxwell模型如图 1(a)所示，可以较好地模拟沥青混合料的应力松弛行为；广义的Kelvin模型如图 1(b)所示，可以较好地模拟沥青混合料的蠕变变形行为。

本研究采用广义Maxwell模型和广义Kelvin模型分别对沥青混合料的动态模量和蠕变柔量进行黏弹性参数的拟合。利用上述两种模型可以获得时域内的松弛模量E(t)和蠕变柔量D(t)的Prony级数表达式为：

(1)

(2)

式中，E_m为第m个黏壶的松弛模量；η_m为第m个黏壶的黏度；ρ_m为松弛时间；M为Maxwell单元数；E_e为稳态模量；t为缩减时间。

(3)

(4)

式中，t为加载时间; D(t)为沥青混合料的蠕变柔量; σ₀为施加的恒定应力；ε_t为沥青混合料在恒定应力作用下产生的应变；D_g为与时间无关的瞬时蠕变柔量；D_i为与时间相关的蠕变柔量系数；τ_i为广义Kelvin模型第i根弹簧的滞后时间。

2 黏弹性参数转化 2.1 动态模量转化松弛模量

要得到松弛模量，首先要得到动态模量主曲线，通过对沥青混合料动态模量的试验，获得在不同温度下的动态模量和相位角，根据时温等效原则建立动态模量和相位角的主曲线^[18]。如式(5)~(7)所示：

(5)

(6)

(7)

式中，E^*为沥青混合料的动态模量; δ，α，β，γ，C₁和C₂为拟合参数; f_r为在参考温度下的加载频率; f为试验频率; α_T为移位因子，是温度的函数; T为试验温度; T_r为参考温度。

存储模量与动态模量的关系如下：

(8)

式中，E_t为存储模量; E^*为动态模量。

广义Maxwell模型的总应力等于各组成部分应力之和，即：

(9)

式中，σ_e为并联弹簧上承受的应力; σ_m为第m个Maxwell模型上承受的应力。

并联弹簧和Maxwell模型的本构关系为：

(10)

(11)

将式(10)和(11)代入式(9)，然后再进行傅里叶变化将时间域转化为频域，利用松弛时间关系式ρ_m=η_m/E_m，再根据弹性-黏弹性对应原理，就得到如下关系式：

(12)

(13)

式中，E^* (iω)为复数模量函数; E_e= E′_(ω)|_ω→0⁺即当角频率(ω)从右侧趋近于0时的存储模量。故由存储模量主曲线可以得到E_m和E_e。

再根据式(12)可以得出：

(14)

式中 为第m个角频率。

根据式(13)，确定Prony级数表达式中各参数值，代入式(1)，可以得到松弛模量的主曲线。

2.2 蠕变柔量转化松弛模量

蠕变柔量换算松弛模量需要进行Laplace变换，根据Boltzmann线性叠加原理，沥青混合料线性黏弹性参数积分型本构关系式为：

(15)

式中x为时间的积分变量。

式(15)反映了时域内蠕变柔量与松弛模量之间的准确积分关系，从理论上证明了蠕变柔量与松弛模量之间转换的可行性。通过Laplace变换可得复数柔量与复数模量在频域内互为倒数。

(16)

式中D^* (iω)为复数柔量函数。

将用Prony级数表示的松弛模量和蠕变柔量的式(3)和式(4)代入式(16)中可得：

(17)

式中δ(x)为狄拉克函数。

(18)

(19)

(20)

式中，E为E_e和E_m的集合矩阵; A为E_m的系数矩阵; B为E_e的系数矩阵; A_hm为矩阵A中第h行、第m列的元素，h=1, 2, …, p，p为配置时间点数的总个数; B_hi为矩阵B中第h行、第i列的元素; t_h为式(15)的积分上限。

3 计算实例 3.1 室内试验

选用基质/SBS改性沥青AC-13、基质/SBS改性沥青AC-20、基质沥青AC-25共5种沥青混合料。按照《公路工程沥青及沥青混合料试验规程》(JTG E20—2011)，采用旋转碾压成型直径100 mm高度150 mm动态模量试件，以及直径100 mm高度100 mm的蠕变柔量试件。级配如表 1所示。

本研究采用万能试验机(Universal Testing Machine，UTM) 进行动态模量和蠕变柔量试验。动态模量采用正弦波加载方式，频率为0.1，0.5，1，5，10，25 Hz；每个频率参照规范对应不同的加载次数，测试温度为- 10，4，21，37，54 ℃。蠕变柔量采用0.3，0.4，0.5，0.6，0.7 MPa。在上述5个温度下恒定加载120 s，数据采用试验仪器力值稳定后的前100 s绘制主曲线。

3.2 数据拟合

将动态模量与蠕变柔量主曲线按照Sigmoid方程拟合出来，如图 2~3所示，考虑到需要将换算的结果进行对比验证，参考温度应保持一致，因此，选择21 ℃为参考温度。

如图 2所示，主曲线通过Sigmoid函数以及WLF方程拟合后，在仅有的试验频率和温度下，通过将不同温度不同频域下的动态模量进行平移，可以绘制出沥青混合料在较宽频域内完整的动态模量主曲线。

如图 3所示，不同温度和不同应力下的蠕变柔量通过Sigmoid函数以及WLF方程拟合后，可以绘制沥青混合料在较宽时域内的蠕变柔量。

5种混合料中，通过0.7 MPa应力加载换算得到的蠕变柔量主曲线在范围更广的时域内能完全呈现。且相同时间的条件下，0.7 MPa的蠕变柔量依次小于0.3~0.6 MPa。这表明应力大小对于沥青混合料的蠕变柔量的变化有着不可忽略的影响。

时域越低，蠕变柔量数值在不同应力条件下相差并不大，随着时间频域的增加，5种应力下的蠕变柔量主曲线，0.3 MPa的增幅最大，0.7 MPa的增幅最小。

3.3 分析讨论

在确定存储模量Prony级数参数时，为简化求解，通常采用配置法先确定若干个松弛时间点。配置点之间的距离一般在对数坐标轴相差1，并包含全部松弛时间^[3]。为了避免单元数过多导致计算复杂，同时保证数据拟合的准确性，本研究配置了11个节点^[16]，松弛时间点分别为ρ_i=10^i-7(i=1，2，…，11)。同理，对蠕变柔量主曲线进行拟合计算式，配置延迟时间点τ_i=10^i-7(i=1，2，…，11)。计算所得存储模量和蠕变柔量Prony级数参数如表 2所示，由于篇幅限制，这里只列出AC-13，AC-20和AC-25的动态模量及0.5 MPa下蠕变柔量的Prony级数参数。

应用前述理论中动态模量与静态蠕变柔量转化松弛模量的公式，转化后的松弛模量对比图如图 4所示。

由图 4可知，不同应力加载的蠕变柔量与动态模量转化的松弛模量主曲线整体曲线形式相同、曲率变化不同，说明两种方式转化获取的松弛模量主曲线在时间频域上具有一定的相似性，满足松弛模量随着松弛时间的延长，逐渐下降的特性。且拟合过程中，松弛模量对于Prony级数系数微小的变化，会直接对拟合的主曲线造成一定的影响。

换算结果的差值产生可归因于频域与时域的换算和Laplace变换的误差。由于在对数坐标系下，模量值较低时差异的放大效应更为突出，模量越低，两种转化的差异越明显。

将蠕变柔量与动态模量所转化的松弛模量进行数值对比，同坐标下蠕变柔量与动态模量差值作为差值计算值，具体换算差值如表3所示，所使用公式如式(21)所示。

(21)

图 4中，低频域为10^-8~10^-4，中频域为10^-4~10⁺³，高频域为10⁺³~10⁺⁶。

由图 5可以看出，在0.3 MPa应力作用下，5种沥青混合料低频域、中频域、高频域区间内相应的平均差值为：25.7%，66.2%，78.7%；在0.4 MPa应力作用下，5种沥青混合料在各频域区间内相应的平均差值为：40.0%，56.7%，49.5%；在0.5 MPa应力作用下，5种沥青混合料在各频域区间内相应的平均差值为：24.7%，12.6%，44.6%；在0.6 MPa应力作用下，5种沥青混合料在各频域区间内相应的平均差值为：28.5%，36.1%，50.7%；在0.7 MPa应力作用下，5种沥青混合料在各频域区间内相应的平均差值为：61.1%，35.2%，39.2%。在中频域内，5种沥青混合料在0.3，0.4，0.5，0.6，0.7 MPa下相应的平均差值为：66.2%，56.7%，12.6%，36.1%，35.2%。可以知道，由蠕变柔量转化所得松弛模量与动态模量转化所得松弛模量的差值，在0.5 MPa的静态加载应力时的中频域内最小。

对于同一种沥青混合料而言(以SBS-13为例)：在0.5 MPa应力下各频域内的差值均最小。其中，在低频域内，0.3，0.4，0.6 MPa和0.7 MPa应力下的转化差值分别比0.5 MPa应力下的转化差值高4.9%，21.4%，5.3%和31%；在中频域内，0.3，0.4，0.6 MPa和0.7 MPa应力下的转化差值分别比0.5 MPa应力下的转化差值高37.5%，39.1%，27.2%和18.3%；在高频域内，0.3，0.4，0.6 MPa和0.7 MPa应力下的转化差值分别比0.5 MPa应力下的转化差值高56.5%，5.4%，3.5%和7.8%。可得知对于同一种混合料而言，在0.5 MPa应力状态下转化得到松弛模量的差值最小。由此得出结论：当静态加载应力控制在0.5 MPa时，与低频域和高频域相比，上述5种沥青混合料在中频域内(10^-4~ 10⁺³ s)对应的由蠕变柔量转化为松弛模量的差值相对最小。同样的趋势在图 4中也有所体现：中间段时间频域内，在0.5 MPa静态加载应力作用下拟合的松弛曲线与动态模量主曲线转化拟合得到的松弛模量主曲线更贴近。上述数据表明，采用0.5 MPa加载的蠕变柔量试验来推导沥青混合料松弛模量主曲线的方法具有较高的可靠性。

通过公式的转换，可以将较为简单的沥青混合料动态模量和蠕变柔量转化为试验较难得到的松弛模量，为沥青混合料松弛模量的转化提供了有效参考。但是受限于松弛模量的真实值较难直接通过试验测得，两个参量转换获得松弛模量的精度验证方面目前还存在一定困难。

4 结论

(1) 动态模量与蠕变柔量进行黏弹性参数主曲线换算为沥青混合料黏弹性力学研究提供了有益的参考。

(2) 应力大小对于蠕变柔量主曲线的变化有很大的影响，具有时域内加载应力越大，蠕变柔量越小的特点。时域较低时，蠕变柔量数值在不同应力条件下相差并不大，随着时域的升高，加载应力越小蠕变柔量主曲线增幅越大。

(3) 不同荷载加载的蠕变柔量与动态模量转化松弛模量主曲线的规律不同，不同类型的沥青混合料中，0.5 MPa加载的蠕变柔量所转化的松弛模量在整个频域内最接近动态模量所转化的松弛模量，工程试验中可用0.5 MPa加载的蠕变柔量试验来推导沥青混合料的松弛模量主曲线，并采用中频域(10^-4~10⁺³ s)来进行松弛模量的求解计算。