0 引言

随着城市道路交通的发展，国内城市桥梁日益增多，独柱墩由于占地面积小，使得桥梁下部布局得到改善，其应用也越来越广泛^[1]。然而随着城市桥梁的跨度和载重能力不断提高，对独柱墩帽梁的承载能力也有了更高的要求。小宽厚比独柱墩帽梁的顺桥向尺寸较大，可以很好地承受大跨度城市桥梁端部的竖向荷载因此较多应用于中长跨度的城市立交桥及高速匝道。根据大部分实际结构的尺寸情况并依据圣维南原理对D区构件的判别，我们将宽厚比小于2或小于帽梁横桥向宽高比的独柱墩帽梁为小宽厚比帽梁。小宽厚比独柱墩帽属于典型的应力扰动区(D区)构件，在竖向集中荷载作用下，其内部受力情况复杂。

在针对桥梁盖梁结构的设计分析方法中，多为针对普通盖梁结构的规范设计方法，对于小宽厚比独柱墩帽梁结构设计方法并没有明确的规定。目前对小宽厚比独柱墩帽梁在内的D区构件的研究方法主要有有限元法^[2-7]、试验法、拉压杆分析法^[8-10]等。其中，基于拉压杆模型的设计方法，其计算公式简洁、实用，且计算准确，在混凝土结构D区的设计计算中应用广泛。《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》(JTG 3362—2018)中将独柱墩帽梁分为矩形、倒梯形和花瓶形，给出了3种类型帽梁的平面拉压杆模型及顶部抗拉承载力公式。然而，目前规范中独柱墩帽梁的拉压杆模型往往都是平面拉压杆模型，无法体现其空间受力特征。另外，试验研究是进行混凝土结构设计研究最直接有效的一种方法^[11-14]。由于小宽厚比独柱墩帽梁结构较新，中国目前对小宽厚比独柱墩帽梁的试验研究较少。针对以上现状，本研究以某一大桥重载辅道FL6墩帽梁为例，通过对模型进行拓扑优化，分析小宽厚比独柱墩帽梁的空间受力特征，并根据拓扑优化结果建立小宽厚比独柱墩帽梁的空间拉压杆模型基本构形。通过室内缩尺模型试验模拟小宽厚比独柱墩帽梁在竖向支座荷载作用下的受力性状。并将试验结果分别与规范中拉压杆模型设计方法和基于拓扑优化的空间拉压杆模型比较，从试验的角度验证了空间拉压杆模型的合理性。

1 基于拓扑优化的小宽厚比独柱墩帽梁的空间拉压杆模型 1.1 普通独柱墩帽梁的拉压杆模型

《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》(JTG 3362—2018)中将独柱墩帽梁分为矩形、倒梯形和花瓶形，3类帽梁的平面拉压杆模型见图 1，其顶部横桥向受拉部位的抗拉承载力规定按如下公式计算。

(1)

(2)

式中，T_{th, d}为墩顶的横向拉杆内力设计值；F_d为墩顶竖向荷载设计值，按基本组合取用；γ₀为结构重要性系数；s为支座中心距；h为墩顶横向变宽度区段高度，当h>b时，h=b，b为墩帽顶部的横向宽度；b′为距离墩顶高度为h的位置处墩身或墩帽的横向宽度；f_sd为普通钢筋抗拉强度设计值，取钢筋屈服强度的0.75倍；A_s为拉杆中的普通钢筋面积，按盖梁顶部2h/9高度范围内的钢筋计算。

普通独柱墩帽梁厚度较小，一般不需要对其顺桥向进行承载力分析。但是小宽厚比独柱墩帽梁模型在横桥向和顺桥向的尺寸相近，其在横桥向和顺桥向的受力特征与普通独柱墩帽梁有所不同。因此，在建立小宽厚比独柱墩帽梁的拉压杆模型时，需要考虑其空间受力特性，在横桥向和顺桥向均建立拉压杆模型。

1.2 小宽厚比独柱墩帽梁的结构拓扑优化

拓扑优化方法是一种应用广泛的结构优化方法^[15-18]，其基本思路是根据给定的荷载、约束等条件，以某些性能指标作为目标，寻找结构的最优形态分布。目前用来解决拓扑优化问题的方法主要包括均匀密度法^[19]、变密度法^[20]、渐进结构优化方法^[21-22]等。这些方法基本的思路是一致的，都是先进行有限元计算，通过一定的策略删除应力水平较低的单元，对应力较高的单元附近进行增加单元。

本节采用基于Abaqus固体各向同性罚函数法的变密度分析方法对小宽厚比独柱墩帽梁进行拓扑优化分析。选择背景工程中辅道墩FL6为研究对象，根据墩柱图纸建立半模型和全模型的有限元模型，其中桥墩高度按D区定义取大于一倍桥墩直径的高度，墩柱构造见图 2。为了兼顾计算结果的准确性和计算效率，有限元网格的划分根据经验设定初值，并根据试运行结果对网格尺寸进行调整。最终决定有限元网格尺寸划分为400 mm，半模型的有限元网格模型及其约束形式见图 3。通常拓扑优化分析是找寻结构在荷载作用下的受力路径，不考虑结构的几何非线性及材料非线性的影响。因此在本模型中混凝土材料按照各项同性材料建模。

依据变密度法原理的结构拓扑优化程序对该半结构模型建立拓扑优化任务进行分析。设定的目标响应函数分为两个，分别为整个结构模型的应变能以及整个结构模型的体积比(结构优化模型与结构原始体积的相对比例)。经过试算，当模型体积比例为25%时，结果已形成较明显的拉压杆构型，因此将模型体积比例设定为25%，即优化后的保留体积为结构原始体积的25%。通过不断的迭代计算，在迭代22次后，结构的应变能达到最小，目标响应函数迭代曲线见图 4。将全模型体积比例设定为20%，在24次以后，结构的应变能达到最小。拓扑优化结果见图 5。

由图 5(a)~(c)可知，经过试算，在25%的优化模型体积比例下，小宽厚比独柱墩帽梁结构的拉压杆形态已基本成型，应力分区明显。在横桥方向上，半模型两支座之间的帽梁顶部区域为一层较薄的拉应力区域，帽梁的中腹部基本掏空，压杆沿最短路径斜向下传递，结构D区的中下部存在一道横向压杆。而半模型在顺桥向的拉压杆形态不明显，这是由于D区高度较小，而本模型所施加的支座面力在顺桥向上有较大的尺寸，因此，力流向下传递的角度较小，顺桥向上的横向拉杆力较小，在拓扑优化分析中无法体现。

图 5(d)~5(e)为全模型的拓扑优化结果。小宽厚比独柱墩帽梁的拓扑优化结果在横桥向呈Y字形状，帽梁顶部存在一道拉杆，而在中下部存在一道压杆；在顺桥向，由于小宽厚比独柱墩帽梁的厚度较大，在帽梁中部有水平拉力的存在。

1.3 小宽厚比独柱墩帽梁的空间拉压杆模型基本构形

针对承受竖向荷载的小宽厚比独柱墩帽梁，上一节进行了最小应变能的结构拓扑优化分析，得到了小宽厚比独柱墩帽梁在竖向荷载作用下的空间最优拓扑构形。参考拓扑优化分析的结果，提出了小宽厚比独柱墩帽梁的空间拉压杆模型基本构形，如图 6所示。

将图 6(a)小宽厚比独柱墩帽梁横桥向的拉压杆模型与图 1(a)矩形帽梁的拉压杆模型进行比较，发现小宽厚比独柱墩帽梁横桥向的拉杆模型在帽梁中部布置了一条水平压杆，而普通独柱墩帽梁并没有在斜压杆的中部布置水平压杆。这是因为小宽厚比独柱墩帽梁模型在顺桥向帽梁中部有水平拉杆，考虑结构稳定性，在横桥向同一高度应布置水平压杆。而且图 6中的拉压杆模型比图 1更加符合图 5中拓扑优化的结果，说明本研究提出的空间拉压杆模型更加符合小宽厚比独柱墩帽梁的受力特征。

由于空间拉压杆模型的构型不唯一，具体参数需要进一步讨论。采用拉杆最小应变能准则或最大刚度准则可找到模型的最优构型^[23]。依据虚功原理，单位力作用下轴向拉、压杆的应变能V_ε在数值上等于结构刚度K的倒数，由于结构中混凝土材质的压杆刚度K远大于钢筋拉杆的刚度，因此结构的整体刚度大小主要由模型中的压杆所决定。结构应变能可表达如式(3)所示。

(3)

式中，F_i为压杆轴力; l_i为杆件长度; E为杆件材料的弹性模量; A_i为杆件的截面积。

令x为顺桥向上中部水平拉杆距离帽梁顶部的距离，可以将应变能表达为以x为单一变量的函数V_ε(x)。依据拉压杆模型最优简化的最小能量准则(最大刚度准则)，最优化模型构型的应变能应最小，即V_ε对x的倒数为0，表达如下：

(4)

根据该式可以解出x值，根据x值即可进一步求出压杆AG在横桥向上的倾角θ，以及在顺桥向上的倾角α，最终得到空间拉压杆模型的最佳构型。

2 小宽厚比独柱墩帽梁静载试验设计 2.1 缩尺模型设计

以某一大桥重载辅道FL6墩帽梁作为试验原型，缩尺模型与原结构尺寸比值为1∶10，模型构造见图 7。于本次模型试验，缩尺模型的材料也采用与原结构同规格标号的混凝土及钢筋材料，模型的钢筋布置见图 8。混凝土结构统一采用C55混凝土材料，而钢筋采用同等级Q235材质。

2.2 试验设备、系统及方案

试验采用双拼反力架试验系统进行反力加载，墩顶双支座反力由2台300 t油压千斤顶提供。应变片采用电阻式应变片，应变测试采用东华DH3816静态应变综合采集仪。

为了得到小宽厚比独柱墩帽梁在双支座竖向荷载作用下其帽梁横桥向拉应变、以及顺桥向劈裂拉应变的分布情况，模型内部钢筋的应变变化规律，以及帽梁与桥墩结合处的应变变化规律，在图 9所示的测点布置位置粘贴混凝土表面应变片以及钢筋应变片。

混凝土表面应变测点沿模型4个面布置，每个面编号依次为1^#~4^#(横桥向为1^#, 3^#面，顺桥向为2^#, 4^#面)，每个面上布置8个测点，从上到下依次为后缀编号的1^#~8^#。其中，1^#~5^#测点位于帽梁高度的六等分点上，而6^#，7^#，8^#测点位于桥墩顶部与帽梁结合处，测试其压应力。钢筋应变测点在帽梁范围内沿高度共布置5层，编号依次为1^#~5^#，每层的应变测点见图 9(c)，后缀编号依次为1^#~6^#(后缀1^#~4^#测点分别位于1^#~4^#面)。

试验采用分级加载方式，由于试验加载系统限制，预估加载上限值为260 t，因此加载分级采用前大后小的方式，前5级为每级20 t，5~15级为每级10 t，之后的加载为每级5 t。采用慢速持荷法加载，每级加载值到位后持荷3~5 min，并读取应变稳定值3次读数，取平均值，应变读数完成后进行裂缝观测。试验的现场照片见图 10。

3 竖向静载试验结果分析

试验按2.2节中所述的加载工况及步骤进行，当加载至本次试验条件的最大吨位(双支座荷载250 t)时，由于反力梁变形过大，试验中止，最大加载工况为250 t。

由于混凝土应变测点2-3^#，3-3^#两个测点失效，在分析混凝土应变分布特征时，只选取1^#面及4^#面进行分析。由于模型施工及钢筋布置不便等原因，部分钢筋应变测点的应变片被损坏或取消，只选择测试数据较为完整的3^#面和4^#面进行分析。分析选取大约对应1倍标准组合荷载值的130 t工况以及最大加载工况250 t进行。测点坐标选取时，以向下为正，选取测点距离帽梁顶部的距离为测点横坐标。混凝土应变结果和应变分布特征见图 11~图 13，3^#，4^#面的钢筋应变结果和应变分布特征见图 14~图 15。

由图 11~12及图 13可以看出，所有测点均大致呈线性增长趋势，表明结构在加载工况范围内基本处在弹性工作范围内。另外，从图 13和图 15关于混凝土和钢筋在帽梁不同方向的应变分布特征可以看出，混凝土与钢筋的测试结果具有较好的一致性，这主要体现为以下两点。

(1) 在横桥向，混凝土应变测试结果和钢筋应变测试结果均反映出帽梁顶部的拉应力较大，而底部拉应力较小。值得注意的是，试验中靠近底部的测点依然表现为受拉，而在本项目所提出的拉压杆模型中，底部为水平压杆。这是由于模型试验中无论是最下层的混凝土应变测点还是钢筋应变测点均高于帽梁底部，而该拉压杆模型中的水平压杆可能低于帽梁底部的原因所致。

(2) 在顺桥向，混凝土应变测试结果和钢筋应变测试结果均反映出帽梁中部的拉应力较大，而顶、底部拉应力较小，其中钢筋的底部应变测点表现为压应力。这是由于在顺桥向上支座宽度与帽梁厚度之比较小，结构在顺桥向上表现出了劈裂效应。

为了讨论现有规范中独柱墩盖梁拉压杆模型对小宽厚比独柱墩帽梁的适用性，本研究对试验荷载采用空间拉压杆模型方法进行钢筋应力计算，并同规范中的相关方法及试验中钢筋应力测试数据进行对比。缩尺模型横桥向配筋面积为3 074 mm²，s，h，b′分别为0.38，0.6，0.38 m。选取大约对应1倍标准组合荷载值的130 t工况以及最大加载工况250 t进行分析，该加载值为双支座荷载，故计算得到F_d分别为65 t和125 t。

根据1.3节得到的空间构型，可以通过式(5)计算出横桥向拉杆的内力：

(5)

根据式(1)可以得到规范方法下横桥向拉杆的内力，除以配筋面积后即可得到拉杆应力值。对于实测应变值，可根据应力应变公式得到其应力值。在130 t工况以及250 t工况下，两种方法计算得到的横桥向拉杆应力与实测值的对比见表 1。

由表 1可知，根据规范和空间拉压杆模型计算得到的拉杆应力值均要大于实测值，但是规范方法的结果与实测值差异更大。这是因为当荷载向下传递时，力流在小宽厚比独柱墩帽梁的顺桥向也有一定程度的扩散，从而减小了横桥向内力。小宽厚比独柱墩帽梁具有明显的空间效应，而规范中的拉压杆模型只考虑了横桥方向，因此不适用于小宽厚比独柱墩帽梁的设计。空间拉压杆模型方法得到的结果更接近于实测值，但是也与实测值有一定的差距，这是因为：空间拉压杆模型方法本质上是极限承载力计算方法，它假设拉杆内力全部由钢筋承担；而在实测中，由于拉杆区域的混凝土也提供了抗拉承载，因此实际工作中的钢筋应力是低于理论计算值的。

试验结果中，横桥向最大拉应力出现在帽梁顶部，顺桥向最大拉应力出现在帽梁中部，这与根据拓扑优化结果所提出的空间拉压杆模型中水平拉杆的位置基本吻合，也证明了本研究的空间拉杆模型的构型是合理的。

4 结论

本研究对小宽厚比独柱墩帽梁分别进行了拓扑优化分析和试验研究，主要结论如下：

(1) 本研究通过对小宽厚比独柱墩帽梁进行拓扑优化，分析了其内部应力分布特征，并基于拓扑优化的结果提出了空间拉压杆模型的基本构型，根据最小应变能准则提出了确定其最优构型的方法。

(2) 试验结果表明，模型在横桥向上的拉应力从上至下随帽梁高度递减；在顺桥向上，帽梁中间位置拉应力最大，帽梁的顶部拉应力低于中部，帽梁底部则表现出受压的趋势。

(3) 式(1)所得计算值与实测值相差较大，说明既有规范中不考虑盖梁厚度的平面拉压杆模型方法并不适用于小宽厚比帽梁的设计。在对小宽厚比独柱墩帽梁进行设计时需考虑空间效应，同时为预防顺桥向的劈裂破坏，需加强顺桥向钢筋。

(4) 模型的实测应力分布情况与根据拓扑优化结果提出的空间拉压杆模型一致，并且采用空间拉压杆模型计算得到的拉杆应力值相比规范法更加合理，证明本研究所提的空间拉压杆模型基本构形以及确定最优构型方法的合理性。