0 引言

国内外众多学者基于地基反力法对横向受荷桩的受力性状开展了大量研究工作。其中，小变形条件下横向受荷桩常用计算方法是m法。基于m法的横向受荷桩在计算方法、相关参数取值、地基分层特性影响、荷载耦合作用下桩基受力性状等方面取得了丰富的研究成果。但m法桩身抗弯刚度取定值且假定地面处桩侧土抗力为零，使得计算结果不能同时很好地与实测值相符。李洪江等^[1]对后注浆超长灌注桩通过埋设土压力盒的方法测试了桩侧土抗力；朱照清等^[2]开展了大直径钢管桩水平承载力现场试验研究，通过弯矩实测值间接推算了桩侧土抗力；王舒等^[3]对现场两根钻孔灌注桩进行了荷载试验与有限元模拟；王小龙等^[4]，江杰等^[5]通过室内模型试验分别研究了水平荷载作用下钢管桩和膨胀土浸水过程中单桩的承载特性; 周德泉等^[6]采用室内模型测试了被动正斜桩堆载后桩前土抗力变化规律。上述研究结果表明，荷载较大时桩侧地面处土体抗力不为零。吴恒立^[7]的研究结果表明，采用理论刚度由m法计算的桩在地面处的位移和转角不能同时很好地与实测值相符。曾长女等^[8]采用试验方法研究了水平荷载下桩基抗弯刚度与应变的关系，当桩身混凝土开裂后，钢筋混凝土截面或钢管混凝土截面的抗弯刚度随着应变非线性变化。苑举卫等^[9]基于理论模型分析了预应力管桩抗弯刚度随荷载变化情况，当管桩的弯矩大于开裂弯矩时，其抗弯刚度急剧衰减。

为了改进m法模型缺陷，国内外众多学者先后提出了双参数地基模型^[10-13]、综合刚度原理和双参数法^{[7, 14]}以及三参数法^[15-16]等。

相对而言，三参数法理论计算模型研究较少。竹下淳^[16]提出的理论模型具有代表性，该模型假定地基系数k(z)=c+mzⁿ，并给出了桩的抗弯刚度为常数时n=0，0.5，1，2这4种情形下的数值解。重要结构物或地质条件复杂的桩基工程，常常需要借助于桩基水平静载试验获取地基参数以验证计算模型或参数选取的合理性。为了提高m法试桩计算分析精度，本研究将桩的抗弯刚度作为待定参数，提出了地基系数形如mz+C^[17-18]的横向受荷长桩三参数模型参数反演方法。

1 基于m法的三参数模型计算原理

文献[17]给出了地基系数形如mz+C的横向受荷桩内力和位移计算方法。令C=mz₀，假定地基系数k(z)=mz+C，如图 1直线所示。m为水平地基比例系数。分别在地面处(z=0)和地基系数等于零的位置(z=-z₀)建立坐标系。

将地面以上桩身视为虚拟段，根据m法求解桩的内力和位移：

(1)

式中，x_z′，φ_z′，M_z′，Q_z′分别为虚拟桩水平位移、转角、弯矩和剪力；B为桩的抗弯刚度；α为桩土相对刚度；Q′₀，M′₀为虚拟桩桩顶荷载；A_x，B_x为位移系数；A_φ，B_φ为转角系数；A_m，B_m为弯矩系数；A_q，B_q为剪力系数。

假定桩在地面处荷载为Q₀，M₀。令式(1)中z′=z₀，得：

(2)

式中，A_mz0，B_mz0，A_qz0，B_qz0为虚拟桩在地面处的弯矩和剪力系数。

由(1)式、(2)式得：

(3)

式(3)中含有参数B，α以及αz₀的隐式函数Δ，A_mz0，B_mz0，A_qz0，B_qz0。当B已知时，式(3)为双参数模型；当B未知时，式(3)变为三参数模型，参数用α，z₀，B表示。

2 三参数模型参数反演方法

式(3)中，令z′=z₀，得：

(4)

式中，k₁=(B_xz0A_mz0-A_xz0B_mz0)/(A_x0Δ)；k₂=(A_xz0B_qz0-B_xz0A_qz0)/(B_x0Δ)；k₃=(B_φz0A_mz0-A_φz0B_mz0)/(A_φ0Δ)；k₄=(A_φz0B_qz0-B_φz0A_qz0)/(B_φ0Δ); x₀，φ₀分别为地面处位移和转角实测值；A_x0，B_x0，A_φ0，B_φ0为实际桩在地面处的位移和转角系数。

式(4)用于三参数反演时面临3个问题：(1)桩的抗弯刚度B未知。B的取值对α, z₀有影响。(2)需要建立k₁~k₄与αz₀之间的函数关系。根据m法幂级数解可知，其函数关系表达式较为复杂。(3)需要通过桩身最大弯矩实测值确定参数。

为了便于参数反演，可采用试算法。假定αz₀，计算参数B，α及桩身最大弯矩。当桩身最大弯矩计算值接近于实测值时可求得相应的3个参数，通过桩身弯矩和土抗力分布情况验证模型的可行性。

2.1 剪力和弯矩共同作用

当地面处土抗力为0时，满足式(4)条件的α和B分别记为α₀，B₀，由式(4)得：

(5)

当地面处土抗力不为0时，令α=k_αα₀，B=k_BB₀。代入式(4)得：

(6)

令 ，由式(6)得：

(7)

整理上式得：

(8)

式中，k_α，k_B分别为桩土相对刚度系数和桩的抗弯刚度系数。

令 ，由式(2)定义为荷载等效系数。

由式(1)知，桩身弯矩和桩侧土抗力可分别表示为：

(9)

(10)

式中，b₁为桩的计算宽度；z′为换算深度。

式(9)，式(10)对z₀=0时的情形仍适用。

参数反演过程如下：

(1) αz₀取不同的值，列表计算k₁~k₈。

(2) 由式(5)计算α₀, B₀。

(3) 假定αz₀，查表求k₁~k₈后，由式(8)求解k_α，k_B，由式(9)计算桩身最大弯矩。

(4) 桩身最大弯矩值对比。当理论值与实测值相近时，可求得相应的αz₀，k_α和k_B。

(5) 计算桩侧土抗力。

(6) 根据桩身弯矩和桩侧土抗力计算值与实测值对比，分析参数取值的合理性和可行性。

满足式(4)的αz₀，α，B可能存在多组解，均能够保证桩在地面处的位移和转角实测值与理论值相符，但能否很好地反映桩土实际工作状况需要结合桩身最大弯矩及土抗力分布情况等与实测值对比综合分析。

2.2 剪力单独作用

当M₀=0时，由式(7)得：

(11)

式(9)~(10)可简化为:

(12)

定义k_Mmax，k_pmax，k_p0分别为最大弯矩系数、最大土抗力系数以及地面处土抗力系数。由式(12)得：

(13)

根据αz₀的取值和m法无量纲法计算成果列表计算k_B，k_α，k_Mmax，k_p0，k_pmax各个系数。取长桩进行分析，αz₀变化对其他参数的影响如图 2所示。

由图 2可知：当地面处剪力一定时，随着αz₀的增大，桩土相对刚度、抗弯刚度以及最大弯矩均减小，地面处土抗力增大，最大土抗力先减小后增大。

上述结论是基于桩在地面处的变形值等于实测值为前提条件。改变αz₀后，桩侧土抗力和弯矩要发生重分布。实际上，当场地条件和地面处荷载一定时，桩土的受力性状处于某一特定状态。若要更加准确地分析桩土的实际工况，还需要根据桩身最大弯矩实测值确定相关参数，通过桩身弯矩和土抗力分布情况验证反演模型。

为了更好地分析αz₀变化对桩土受力性状的影响，将αz₀取值对应的桩土状态定义为一种工况。现研究各种工况下mz+C地基模型地基系数的变化规律。水平地基比例系数m和地面处地基系数C可表示为:

(14)

经计算发现，m值随着αz₀的增大而减小，C值随着αz₀的增大而增大。各种工况下地基系数的示意图如图 3所示。

由图 3可知，αz₀不同取值反映了同一地基模型下地基系数变化趋势。参数反演的实质是选择合适的αz₀，确定桩土参数m，C，B，尽可能使得某一工况能够与桩土的实际受力性状相符。

采用式(13)可方便确定桩土参数, 计算过程如下。

(1) 令αz₀= 0，由式(5)计算α₀，B₀。

(2) 根据桩身最大弯矩实测值由式(12)求解参数k_Mmax。

(3) 根据k_Mmax查表求αz₀，从而可求得k_B，k_α，k_p0，k_pmax各个系数。

(4) 计算桩身弯矩和桩侧土抗力验证反演模型。

3 反演方法验证

算例1扶余松花江大桥Ⅳ^#试桩资料^[7]如下：钻孔灌注桩，采用200^#混凝土，直径D=1.62 m，入土深度― 18.8 m，有钢筋骨架。地面处水平荷载Q₀=600 kN，弯矩M₀=150 kN·m，加载高度0.25 m。地面处位移和转角实测值分别为4.04 mm，―1.05×10^―3 rad，3.6 m处桩身最大弯矩1 130 kN·m。

采用5次多项式对实测弯矩值拟合，求得地面处的剪力和弯矩分别为582.49 kN，148.97 kN·m，加载高度0.256 m。误差分别为―2.92%，―0.69%，2.40%，弯矩拟合精度很高。

对拟合后的弯矩函数求二阶导数，求得地面处土抗力和最大土抗力分别为65.16 kPa，78.24 kPa。当αz₀= 0.35时，根据地面处的实测变形值由本研究方法计算的桩身最大弯矩接近于实测值。计算结果与m法对比如表 1所示，桩身弯矩和土抗力沿深度分布分别如图 4，图 5所示。

(1) 由表 1可知，本研究方法计算的最大弯矩位置与m法基本接近，最大土抗力位置与实测值能够很好地相符。地面处土抗力和最大土抗力误差均在15%以内，计算精度高于m法。

(2) 由图 4，图 5可知，与实测值相比，本研究方法计算的桩身弯矩和土抗力沿深度分布较m法合理。考虑地面处的土抗力并将桩的抗弯刚度作为待定参数能够更好地分析桩土的实际工作状况。

算例2文献[19]选用长102 cm，外径3 cm，内径2.3 cm的有机玻璃圆管模型桩在砂土中进行了水平荷载试验，测试了桩身位移、弯矩和土抗力。桩的抗弯刚度为6.892 9×10^―2 kN·m²，入土深度82 cm，荷载作用于地面处。原文献缺少桩在地面处转角实测值，对桩身位移实测数据拟合后近似求得了地面处的转角。根据0.06, 0.07 kN两级荷载下的实测值反演相关参数，结果如表 2所示，桩身弯矩、土抗力沿深度分布分别如图 6，图 7所示。

由表 2可知，本研究方法计算的最大弯矩位置与m法基本接近，最大土抗力位置与实测值能够很好地相符，最大土抗力误差在5%以内。由图 6~图 7可知，桩身弯矩、土抗力分布曲线与实测值吻合很好，沿深度分布较m法合理。

综合算例1和算例2分析，保证桩在地面处位移、转角及桩身最大弯矩3个指标实测值与理论值相等的前提下，根据本研究方法三参数模型参数反演结果计算的最大土抗力位置与实测值能够很好地相符，土抗力最大误差在15%以内。桩身弯矩和土抗力分布曲线较m法合理。这表明，本研究反演模型是可行的。

与m法相比，实际工程中桩侧最大土抗力位置较理论值偏上，地面附近桩侧土体受力变大，上部土抗力分布变得更加均匀。考虑地面处土抗力使得桩身最大弯矩和最大土抗力计算值与实际值更加接近，三参数模型能够更好地分析桩土的实际受力性状。

4 结论

考虑地面处的土体抗力，将α，B，z₀作为桩土参数，提出了基于m法的横向受荷长桩三参数模型参数反演方法。结合理论模型和算例分析，得到如下结论：

(1) 当地面处剪力一定时，随着αz₀的增大，桩土相对刚度、抗弯刚度、最大弯矩及m值均减小，地面处土抗力和C值均增大，最大土抗力先减小后增大。

(2) 本研究反演方法能够保证桩在地面处位移、转角桩身、最大弯矩及最大土抗力位置计算值与实测值相符。与现场试验实测值相比，土抗力最大误差在15%以内。与室内模型试验实测值相比，最大土抗力误差在5%以内。

(3) 与实测值相比，桩身弯矩和土抗力沿深度分布较m法合理。考虑地面处的土体抗力并将桩的抗弯刚度作为待定参数，能够更好地分析桩土的实际工作状况。