0 引言

缓解高峰期的交通拥堵，一直是个世界性的管理难题。为此，交通工程和经济学领域的学者进行了大量的研究。其中，由诺贝尔经济学奖得主Vickrey于1969年提出的经典瓶颈模型^[1]是最早运用确定性排队理论建立的、具有内生出发时间的高峰期动态交通分配模型。在该模型中，出行者权衡计划延误成本和排队等待时间来确定出发时间，以使出行成本最小。均衡状态下，所有人的出行费用相等。然而，以往的瓶颈模型研究未考虑出行者有限理性的特点，均假设通勤者的到达时间与期望时刻稍有偏差，便会产生计划延误成本。实际上根据Simon^[2]在决策时并非完全理性的观点，通勤者的期望到达时间不是一个值，而是一个区间，通勤者只要在此区间内到达便没有损失。因此，有必要在瓶颈模型中考虑有限理性，而松弛完全理性假设，降低模型与现实的误差，剖析考虑出行者到达时间无差异带时道路拥堵的形成机理，进而缓解早高峰期的交通拥堵，提高出行效率。

Vickrey的经典瓶颈模型提出之后，得到了广泛的关注和拓展。从出行选择维度出发，Arnott等^[3]分析了一个同时考虑出发时间和路径选择的包含并行线路的网络模型。Wu等^[4]考虑小汽车和轨道交通并存，讨论了多模式瓶颈问题下的模式划分和出发行为。关于异质通勤者，周城溪等^[5]考虑一个Y型汇流网络中的单一通勤者和带小孩的通勤者，构建了高峰期出行选择均衡模型。朱玲等^[6]分析了在自动驾驶汽车和普通汽车同时存在的混合驾驶环境下，瓶颈路段的晨间出行行为。谢超达等^[7]从客货运用户边际时间效用不同的角度出发，分析了客货混合城市公路运输通道的拥挤特性。余月等^[8]将乘客分为有座位和无座位2类，将公共交通廊道视为一个时空网格网络，研究了早高峰公共交通廊道的均衡模型和算法，建立了时间资源配置均衡模型并分析了均衡的等价性条件。对目标时刻的扩展中，陈蒂等^[9]将Vickrey瓶颈模型的目标时刻扩展为两个，详细推演了错峰间隔和错峰人群比例对总排队时间的影响。关于瓶颈模型与道路收费结合方面，Zhang等^[10]基于随机瓶颈容量下通勤者的选择行为，设计了时变和阶梯收费方案。Wang等^[11]分析了一种针对晨间通勤动态拼车的可变比例收费补偿机制，研究了共享乘车平台在负效用最小化或利润最大化目标下的最优风险投资。

此外，一些研究证实了出行者的决策行为存在无差异带并对此进行了分析。通勤者行为调查^[12]表明，超过50%的通勤者接受工作场所迟到超过5 min，这证明了到达时间无差异带的存在性。进一步地，实证研究表明^[13]，出行者的成本构成具有一个灵活的时间间隔，在时间间隔内单位计划延误时间成本较低，在时间间隔外较高。基于此，Han^[14]等和Guo等^[15]研究了有限理性用户均衡(BRUE)，即当出行成本处于可接受的范围，即无差异带以内时，出行者就不会改变出发时间或路径选择。Krishnan^[16]认为只有当两个选择的效用差异足够大(大于阈值ε)时，决策者才会认为它们是不同的，表现为明显偏好，并进一步建立了最小可感知差异模型。Zhang等^[17]进一步扩展了该模型的应用，通过将无差异阈值的概念引入嵌套Logit模型中，构建了有限理性嵌套Logit模型，以此分析出行者的方式选择。车松珊等^[18]通过综合考虑驾驶人决策行为的不确定性和主观偏好, 建立了一种用于模拟有限理性决策心理的交织区元胞自动机动力学模型。赵磊等^[19]为研究有限理性出行者在出行时间不确定时的路径选择，提出了有限理性置信度水平的概念，即出行者能够在预算时间最小值的无差异带内到达目的地的概率。张婷婷^[20]将最小出行成本与无差异阈值之和作为前景理论的参考点，构建了有限理性交通分配均衡模型。

本研究基于出行者对到达时间的感知存在无差异带的假设，基于Vickrey基本瓶颈模型构建了考虑出行者到达时间无差异带不对称的瓶颈模型，并将其扩展到无差异带对称、早到时间无差异带、晚到时间无差异带情形下。通过与基本瓶颈模型相比较，讨论了出行者具有到达时间无差异带条件下的出行时间选择问题，推导和分析了均衡解的性质，为制订和实施缓解城市交通拥堵的管理政策提供理论支持。

1 模型构建与分析 1.1 基本瓶颈模型

假定有个同质出行者从一个住宅区出发到同一工作地上班，途中仅由一条含有瓶颈的道路连接，瓶颈容量为s。为简化计算，设出行者的期望到达时间为t^*，且从住宅区到瓶颈和从瓶颈到工作地的旅行时间为0。假设C(t)为通勤者在时间t出发的出行成本，它由旅行时间成本和由于早到或晚到的计划延误成本两部分构成，则C(t)为:

(1)

式中，α为单位旅行时间成本；T(t)为出行者的排队时间；β为单位早到时间成本；t^*-[t+T(t)]为早到时间；γ为单位晚到时间成本；t+T(t)-t^*为晚到时间。

1.2 无差异带不对称的瓶颈模型描述

本节仍然假定有N个同质出行者每天需要通过一条含有瓶颈的道路到达工作地，瓶颈容量为s。出行者的期望到达时间不变，仍为t^*，且自由流旅行时间为0。在此基础上，又因为第1个出行者和最后一个出行者不经历排队，所以[t_s, t_e]为N个出行者的出发时间区间，又可以表示到达时间区间。与Vickrey的基本瓶颈模型不同的是，本模型假设出行者早到或晚到时间不大于无差异带宽度时，出行者难以察觉，不会产生计划延误成本。如图 1所示，出行者早到的无差异带宽度为ε₁，晚到的无差异带宽度为ε₂，出行者只要在[t^*-ε₁, t^*+ε₂]之间到达，便没有计划延误成本。

基于本研究构建的考虑出行者到达时间无差异带不对称的瓶颈模型，在t时刻出发的通勤者的出行成本如式(2)所示：

(2)

式中，在时间段[t_s, t^*-ε₁]内到达为早到，t^*-ε₁- (t+T(t))为早到时间；在[t^*+ε₂, t_e]内到达为晚到，t+T(t)-t^*-ε₂为晚到时间。

1.3 无差异带不对称的瓶颈模型均衡分析

由于瓶颈容量的限制，每个出行者都必须在旅行时间成本和计划延误成本之间权衡，使得自己的总出行成本最小。当达到纳什均衡时，每个出行者的总成本相等，与出发时间无关。均衡条件如式(3)所示：

(3)

依据式(2)和假设，第1个出行者的出行成本为β(t^*-ε₁-t_s)，最后一个出行者的出行成本为γ(t_e-t^*-ε₂)，两者相等。在均衡状态下，出发区间刚好足够所有旅客通过瓶颈，即t_e-t_s=N/s，则

(4)

(5)

将式(4)代入第1个出行者的成本β(t^*-ε₁-t_s)中，可得均衡成本为：

(6)

排队时间T(t)等于排队长度Q(t)除以瓶颈容量s，即T(t)=Q(t)/s，则T(t)如式(7)所示：

(7)

式(7)对t求导，可得：

(8)

1.3.1 出发率分析

首先根据不同出行情况将出行者分为早到者、无差异带内到达者和晚到者3类，下面对出发率和排队时间的均衡解给出具体推导：

(1) 在无差异带外早到，即到达时间满足t_s＜t+T(t)＜t^*-ε₁的出行者，其出行成本为：

(9)

将式(9)代入式(3)，再结合式(8)，可得早到者的出发率为：

(10)

达到均衡时，早到者的成本等于第1个出行者的成本，即：

(11)

可得早到者的排队时间为：

(12)

(2) 在无差异带内到达，即到达时间满足t^*-ε₁＜t+T(t)＜t^*+ε₂的出行者，其出行成本如式(13)所示：

(13)

将式(13)代入式(3)，再结合式(8)，可得在无差异带内到达的出行者的出发率为：

(14)

在均衡状态下，无差异带内到达的出行者的成本等于均衡成本，即：

(15)

可得无差异带内到达的出行者的排队时间为：

(16)

(3) 在无差异带外晚到，即到达时间满足t^*+ε₂＜t+T(t)＜t_e的出行者，其出行成本为：

(17)

同理可得在无差异带外晚到的出行者的出发率和排队时间分别为：

(18)

(19)

1.3.2 均衡解分析

为便于分析，将到达时间为t^*-ε₁，t^*，t^*+ε₂的出行者视为关键出行者1、关键出行者2与关键出行者3，相应的出发时间记为t₁，和t₂。对于关键出行者1，t₁+T(t₁)=t^*-ε₁成立，且其出行成本αT(t₁)等于均衡成本，可得：

(20)

类似地，可以得出：

(21)

(22)

图 2描述了基本瓶颈模型中出行者的时刻表及成本构成。依据本研究分析，可以画出考虑出行者到达时间无差异带不对称的出行时刻表及成本构成图，如图 3所示。在图 3的上半部分中，线段AH为t₁时已出发的总人数，线段KH为t₁时已被瓶颈服务的总人数，则线段AK为排队人数。t_s到t₁的出发率，即线段OA的斜率为常数，且大于瓶颈通行能力s，因此队列线性地增加。t₁到t₂的出发率，即线段AB的斜率等于瓶颈通行能力，队列长度保持不变且最大。最后从t₂到t_e队列线性地消散，直至t_e完全消失。排队时间乘以瓶颈通行能力等于排队长度，所以式(16)乘以s，可得最大排队长度为：

(23)

在图 3中，累计出发曲线R(t)与累计到达曲线G(t)围成的区域OABCO的面积表示出行者的总排队时间T_QT，即：

(24)

结合式(24)与式(4)~(5)，(16) 得：

(25)

总早到时间对应图形ODEO的面积，再将式(4)代入，可得:

(26)

总晚到时间对应图形CFGC的面积，再将式(5)代入，可得:

(27)

图 3的下半部分描述了出行者的成本构成。以任一出行者的到达时间为起点，向下做垂线，便可直观地看出其成本构成。如图 3所示，t₁时刻到达的出行者成本由早到惩罚和排队成本两部分构成。进一步分析，图中线段HJ的长度为均衡成本的大小，线段HE为此出行者的早到时间，其与单位早到时间成本β(图 3中为斜率)的乘积为早到惩罚，即线段HI。线段IJ为排队成本的大小。

表 1汇总了基本瓶颈模型与考虑出行者到达时间无差异带不对称的瓶颈模型的结果。比较后可以发现，相比于基本瓶颈模型，考虑到达时间无差异带不对称的情形下，出发区间长度不变，个人均衡成本更低，出发率和排队时间的表达式变为3段，瓶颈处的最大排队长度和总排队时间更小，出行者的总早到时间、总晚到时间和总计划延误成本也更小。这表明未考虑出行者到达时间无差异带的基本瓶颈模型过高估计了均衡成本、最大排队长度、总排队时间、总早到时间、总晚到时间和总计划延误成本。

2 模型扩展

结合出行者的日常出行行为，可以将考虑出行者到达时间无差异带不对称的瓶颈模型进一步扩展到无差异带对称、早到时间无差异带和晚到时间无差异带的情形。当采用弹性工作制时，出行者到达时间的无差异带是对称的。即在保证固定工作时长或完成任务的前提下，出行者可以选择工作的具体时间安排，这时早到或晚到一段时间都是可以接受的，不会产生计划延误惩罚，如图 4(a)所示。当出行者的工作有严格的上班时间，晚到会扣罚薪资时，出行者具有早到时间无差异带，如图 4(b)所示。当出行者自驾小汽车旅游出行时，由于景区有严格的开放时间，为了不产生额外的停车费，出行者只能在开园时间以后到达，这时晚到一段时间是可以接受的，即晚到时间具有无差异带，如图 4(c)所示。

本节继续推导了考虑无差异带对称、早到时间无差异带与晚到时间无差异带的瓶颈模型，结果如表 2~3所示。由表 2可以看出，相比于基本瓶颈模型，3种推广情形下，个人均衡成本变低，瓶颈处的最大排队长度和总排队时间变小，出行者的总早到时间、总晚到时间和总计划延误成本也更小。这一比较结论与无差异带不对称的情形相似。3种扩展情形的出发区间长度不变，均为N/s，无差异带对称、晚到时间无差异带的出发区间推迟，早到时间无差异带的出发区间提前。进一步地，可以发现在无差异带宽度相等的条件下，考虑早到和晚到时间无差异带的瓶颈模型的均衡成本、最大排队长度、总排队时间、总早到时间、总晚到时间、总计划延误成本均相等。

类似于2.2.2节的分析，将到达时间为t^*-ε, t^*, t^*+ε的出行者视为关键出行者1、关键出行者2与关键出行者3，相应的出发时间记为t₁, 和t₂，将其汇总于表 3中。可见3种扩展情形的均晚于基本瓶颈模型，到达时间t^*-ε, t^*, t^*+ε的公差为ε，相应的出发时间t₁, 和t₂之间也间隔ε。

3 数值算例

在本节中，通过一个数值算例，探讨早高峰期考虑出行者到达时间无差异带的瓶颈模型的均衡性质。根据Jia等^[20]研究，参数满足：2β＜α＜γ。设置参数为：α=0.3，β=0.1，γ=0.4。出行者数量为：N=1.2，瓶颈容量为s=0.8，t^*=8.5。其次，参考周城溪等^[5]，假设出行者的期望到达时间为8.5 h，即一天中的第8.5 h，因此设t^*=8.5。无差异带不对称时，早到的无差异带宽度设为ε₁=0.2, 可换算为12 min；晚到的无差异带宽度设为ε₂=0.06，可换算为3.6 min。3种扩展情形无差异带对称、早到时间无差异带、晚到时间无差异带的无差异带宽度均为ε=0.2。计算结果详见表 4。

图 5比较了不同瓶颈模型中出行者的成本。可知，相比于基本瓶颈模型，考虑出行者到达时间无差异带的4种情形下，总成本T_C、均衡成本C、总排队成本T_QC、总早到成本T_EC、总晚到成本T_LC和总计划延误成本T_SDC均减小，且在无差异带对称时最小。考虑出行者无差异带时，使得出行者刚好在t^*到达的出发时间均推迟，这是由于最大排队长度变短，出行者可以选择更晚出发。图 6给出了基本瓶颈模型及考虑到达时间无差异带的瓶颈模型的均衡出发率。差别在于考虑无差异带的情形下，即图 6(b)~(e)中，出发率函数分为3段而非两段。以考虑无差异带不对称的情形为例，见图 6(b)，出发率r在出发时间为7.969~8.229之间时，等于通行能力s，队列既不增加也不消散。综上，在考虑无差异带的情况下，出行者只要在期望区间内到达便没有惩罚，早到或晚到的计划延误成本变小。另一方面，考虑无差异带时，出发率的变化导致通勤者的排队时间变小。这两部分成本的减少使得均衡成本、总均衡成本下降。

图 7描述了均衡成本、最大排队长度和总排队时间随无差异带宽度之和ε₁+ε₂的变化情况。图 7(a)中，均衡成本和最大排队长度都随无差异带宽度之和ε₁+ε₂的增大而线性减小。特别地，图 7(b)中描绘了一个二次曲线随着无差异带宽度之和的增大趋势，总排队时间减小的速率越来越大。在ε₁给定的条件下，图 8(a)给出了出发区间随晚到无差异带宽ε₂的变化情况。从图 8(a)可以看出，ε₂逐步变大的同时，出发区间长度不变但推迟。在ε₂给定的条件下，图 8(b)给出了出发区间随早到无差异带宽ε₁的变化情况。从图 8(b)可以看出，ε₁逐步变大的同时，出发区间长度也不变但提前。

4 结论

基于基本瓶颈模型和出行者有限理性的特质，假设出行者的到达时间在无差异带以内时，不产生计划延误成本，建立了考虑出行者到达时间无差异带不对称的早间通勤模型。通过进一步拓展得出了考虑无差异带对称、早到时间无差异带、晚到时间无差异带的瓶颈模型。分别推导了4种情形下出发区间、出发率、排队时间和均衡成本等指标，讨论分析了均衡状态下有限理性出行者的出行决策和成本构成。

结果显示，相比于基本瓶颈模型，4种情形下的总成本、均衡成本、最大排队长度、总排队成本、总早到成本和总晚到成本均变小，变小的幅度与无差异带宽度之和ε₁+ε₂有关。4种情形下，出发区间的长度均不变，但出发区间提前或推迟取决于β, γ, ε₁以及ε₂的值。研究结果表明，Vickrey基本瓶颈模型由于忽视了出行者到达时间无差异带的存在而过高估计了总成本、均衡成本、最大排队长度、总排队成本等指标。另外，推行弹性工作制，尽可能增大出行者的到达时间无差异带宽度之和，会使通勤高峰期推迟，但可以均衡高峰期内车流量，降低出行者的均衡成本，缩短最大排队长度，减小总排队时间，从而减轻城市的通勤压力。这种方法不需要增加基础设施，且实施成本低。通过充分调查获得参数值后，可以计算出不同场景下高峰期的开始时间和结束时间，为交通管理措施的实施提供科学指导。

本研究初步构建了考虑出行者到达时间无差异带的瓶颈模型，但要使模型能够真正运用到交通管理实践中，还需要进行大量的调查与分析以获取无差异带的宽度。如何进一步融合有限理性理论与瓶颈模型，或同时考虑出行者的异质特性，或探讨拥堵收费、瓶颈容量设计等问题，是未来值得深入研究的科学问题。