0 引言

当前，桥梁建设方案的环保和景观需求被提到了空前的决策优先级，桥梁的功能不仅局限于跨越障碍物，也是作为连通交通、协调环境、融合文化的重要载体。对于缆索承重体系桥梁，工程师们越来越多地关注其桥塔几何外形、索面的美学特性。近年来涌现了大量具有空间复杂构形的异形桥塔^[1-2]。不同于常规“A形”、“H形”、“钻石形”桥塔轴线的直线或折线形式，空间异形桥塔轴线多以空间曲线组成^[3-4]，通常采用可塑性较好的钢桥塔和钢-混凝土组合桥塔，外表面通常饰以融合环境与文化的建筑外形^[5-7]。同时，随着钢箱桥塔形式趋于结构高耸化、材料高强化、构件薄壁化，这类桥塔整体长细比较大，稳定问题突出。

现行规范采用稳定折减系数来考虑长细比对压杆极限承载力的影响，对于理想边界条件、截面几何特性规则的桥塔较为适用。而空间异形桥塔几何位姿呈空间曲线，甚至伴随纵桥或横桥向的倾斜，以及截面的渐变与扭转，并非规则截面。同时钢桥塔或钢-混凝土组合桥塔的内部构造复杂，墩柱两端边界复杂，并非理想约束。利用现有方法难以获得其稳定极限承载力，无法准确感知结构安全性。而这类桥塔形式发展快、规模大，亟待需要开稳定极限承载力研究。

现有方法多采用数值模拟手段开展异形桥塔稳定性研究^[8]。牟芸等^[1]考虑双重非线性对曲塔混合梁斜拉桥建立三维有限元计算模型，开展了桥塔非线性稳定分析，研究结果表明双重非线性对桥塔稳定极限承载力显著影响，桥塔稳定极限承载力远低于欧拉临界力。吕梁等^[9]在对主跨600 m的南京长江五桥的非线性稳定分析中也得到了相同结论。孙亮^[2]以主跨200 m的曲线形钢塔斜拉桥为研究对象，对比分析了空间杆系单元与空间板壳单元结果，认为杆系单元不能精细刻画构件局部稳定行为，应采用板壳、实体等精细化单元来模拟。王茜等^[10]在钢桥塔节段模型计算分析中也得到了类似的结论。上述研究均表明桥塔稳定性受双重非线性影响显著，是导致桥塔稳定极限承载力远低于欧拉临界力的主要原因，设计计算时应考虑双重非线性对桥塔稳定的影响。同时，应采用精细化有限单元，高保真模拟桥塔整体、局部刚度，反映结构真实受力水平。

为此，本研究开展了空间异形桥塔的稳定极限承载力分析方法研究。首先，阐明了空间异形桥塔稳定问题的本质，通过建立考虑双重非线性的三维精细化模拟策略，提出了空间异形桥塔的稳定折减系数计算框架。最后，以一座典型的空间异形桥塔斜拉桥为依托工程，进行弹性稳定分析和非线性稳定分析，获得了其稳定极限承载力。本研究成果可为空间异形桥塔设计计算提供理论和技术支撑，促进桥塔结构形式的创新发展。

1 空间异形桥塔稳定问题的实质 1.1 空间异形桥塔承载力计算瓶颈

近年来，出于对城市人文景观和美学的需求，空间复杂构形的异形桥塔结构发展迅速。国内几座典型的空间异形桥塔缆索承重桥梁见图 1和表 1。这类桥主缆或拉索呈空间索面，桥塔线形多以空间曲线组成，结构体系受力复杂。随着塔高增加、板件尺寸减小，稳定问题突出。

区别于短柱的材料强度破坏，高耸桥塔由长细比增大的附加效应使构件材料在未屈服前就发生侧向挠度急剧增长，结构在外荷载作用下无法维持平衡状态，最终发生失稳破坏。桥塔受压失稳时，侧向挠曲使塔身中产生数量很大的附加弯矩，加速了结构破坏进程，因而桥塔的稳定承载力远低于其轴压强度。

现行的多项行业规范在计算压杆承载能力时，均引入了稳定折减系数φ来考虑长细比增加的二阶效应对压杆极限承载力的影响，根据长细比λ查表或计算获得φ。值得注意的是，长细比λ主要由压杆计算长度l_o和截面回转半径i来确定，其中计算长度l_o是根据压杆两端的理想边界(固结、铰接、自由)来确定，回转半径i计算对于规则截面(等截面矩形、圆形、工字形等)比较适用。

而空间异形桥塔截面非规则，边界复杂^[11]，难以采用现有方法计算其稳定极限承载力。趋于保守的设计通常引发较大的材料消耗与安全冗余，不适应桥梁工程向低碳环保的发展目标^[12]。

1.2 空间异形桥塔的稳定安全系数

不规则截面、非理想边界的空间异形桥塔稳定分析可采用有限元法执行特征值屈曲分析。结构平衡方程可表示为：

(1)

式中，K₀，K_σ为结构的弹性刚度矩阵和应力刚度矩阵；D，P为结构位移向量和外荷载向量。K₀与外荷载无关，仅与构件几何构形有关，K_σ在小变形情况下与外荷载 P成正比，因此当外荷载增大k_e倍至k_eP时，K_σ也增大k_e倍，k_e为弹性稳定安全系数。则式(1)可写作：

(2)

由式(2)可推导出第1类线弹性稳定问题的控制方程：

(3)

此时，稳定问题被转化为求式(3)的最小特征值问题，最小特征值即为k_e，其表达式为：

(4)

式中，P_{cr, E}为压杆的弹性稳定极限承载力，其本质为基于小变形假设的欧拉临界力；W和F分别为恒载和外荷载。通常在确定结构设计荷载时存在两种观点，即综合考虑恒载W与外荷载F或是仅考虑外荷载F^[13]。本研究采用偏于安全的观点，将恒载与外荷载共同纳入设计荷载范畴。

然而，空间异形桥塔结构形式日趋复杂。遭受制造和安装过程中的误差累积^[14]，不可避免地存在初始缺陷和初始偏心，使得结构的实际承载力往往小于线弹性极限承载力，弹性稳定安全系数总是过于保守^[2]。

实际上，长细比较大、应力水平较高的桥塔实际变形情况很可能不满足小变形假设。力与位移并非线性增长，部分构件的应力状态也并非总在线弹性阶段，结构平衡方程的建立必须考虑结构大变形和材料弹塑性的影响，方能获得较准确的极限承载力^[15]。尤其是对于空间异形桥塔，塔-梁体系与拉索体系间受力高度耦合, 力流传递复杂，几何非线性影响显著。结构的几何大变形带来构件应力、应变的增大，构件材料进入塑性后弹性模量等物理参数改变反过来又将影响结构刚度和变形，双重非线性对稳定极限承载力影响显著^[16]。例如：重庆大佛寺长江大桥，主跨为450 m双塔斜拉桥，弹性稳定安全系数k_e=12.4，非线性稳定安全系数k_n=3.7，仅为k_e的0.29。在京沪高铁上的越江工程南京长江大桥方案，主跨为488 m三塔PC箱-钢桁叠合梁，在不同工况下k_e为4.7~8.0，而k_n仅为1.7~2.3，仅为弹性稳定安全系数的0.3倍左右。孙亮^[2]对一座跨径为(200+200)m的曲线形钢桥塔斜拉桥进行稳定分析，发现k_e=94.51，考虑双重非线性和初始缺陷后k_n=19.89，仅为k_e的0.21。

考虑双重非线性的稳定分析属于第2类稳定问题，其本质为在增量加载过程中，通过不断求解计入几何非线性和材料非线性刚度矩阵寻找其极限荷载的过程，可描述为：

(5)

式中 K_0i―1，K_σi―1，K_Li―1分别为第i-1个荷载级后结构平衡时的弹塑性刚度矩阵、几何刚度矩阵、局部坐标系下的大位移矩阵。随着荷载增加，结构刚度矩阵不断变化，当外部荷载产生的应力水平使结构刚度矩阵奇异时，结构承载力到达极限，此时对应的最小荷载值即为非线性稳定极限承载力：

(6)

式中，P_{cr, N}为考虑双重非线性和初始缺陷的稳定极限承载力；P₀为加载前结构所受到的初始外荷载。由此根据失稳荷载与结构设计荷载的比值，即可获得非线性稳定安全系数k_n：

(7)

受几何、材料非线性影响，非线性稳定安全系数k_n远远小于弹性稳定安全系数k_e。因此，《公路斜拉桥设计细则》中要求弹性稳定安全系数k_e≥4。如此一来，即便考虑双重非线性及各种缺陷时，结构也不至发生失稳风险。

2 空间异形桥塔稳定极限承载力计算方法

在短柱承载力前乘以稳定折减系数φ(0 < φ < 1)，将耦合在一起的初始缺陷、双重非线性问题统一为方便计算的经验公式，可以直观、快速地映射出构件受稳定影响的承载力折减程度，便于快速判断结构设计是否合理，在结构优化设计过程中表现出较好的效率优势。本节从非线性稳定安全系数入手，系统考虑构件长细比、双重非线性和初始缺陷的影响，寻求稳定安全系数与稳定折减系数φ的内在映射关系，建立了空间异形桥塔稳定极限承载力计算方法。

2.1 稳定折减系数计算方法

将稳定折减系数定义为综合考虑长细比、双重非线性和初始缺陷影响的稳定临界荷载P_{cr, N}与短柱轴压极限承载力P_s的比值，则φ可表示为：

(8)

将式(8)中的前一项定义为考虑长细比影响的短柱承载力折减系数φ⁰，即长柱弹性稳定承载力(即欧拉临界力)与短柱极限承载力的比值，φ⁰可表示为：

(9)

将式(8)中的后一项定义为非线性影响系数η：

(10)

η表征了双重非线性和初始缺陷的耦合作用对压杆极限承载力的影响程度。将式(9)和式(10)联立代入式(8)，则有：

(11)

式中，φ⁰考虑了长细比的影响；η进一步考虑了双重非线性的影响。对于长细比较小、双重非线性影响较小的桥塔结构，则可取η=1，此时φ=φ⁰，即φ⁰可近似认为是进一步考虑双重非线性、初始缺陷的稳定折减系数上限值。

式(11)将长细比、双重非线性和初始缺陷影响混杂在一起，统一为求解两类稳定安全系数，可根据数值模拟方法获得。该方法在获得稳定折减系数时，无需再根据长细比查表或计算，对于无法准确获得长细比的复杂空间异形桥塔结构具有较好的适应性。

2.2 典型理想压杆算例验证

为验证本研究所提计算方法的准确性，针对桥塔常用的典型结构形式，设计了钢筋混凝土构件、矩形和圆形纯钢箱构件和钢箱混凝土构件。该组构件均采用等截面理想直杆，采用底部固结的理想边界条件，因此可以利用规范查表获得φ, 以便校验本研究方法的准确性。

2.2.1 非线性有限元模拟策略

基于Abaqus构建精细化的非线性有限元方法，分别对4种构件进行弹性稳定分析和双重非线性稳定分析。非线性有限元建模时，几何非线性采用弧长法(Riks法)分析，材料非线性也被引入到钢箱、钢筋和混凝土中。钢筋混凝土构件的混凝土本构关系采用《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010)给出的单轴受压和单轴受拉应力-应变曲线，钢筋的本构关系采用有屈服点单调加载应力-应变曲线。钢箱混凝土的钢箱采用二次塑流的本构模型，箱内混凝土采用韩林海等^[17]提出的考虑钢管约束效应的核心混凝土应力-应变关系模型。

混凝土单元采用三维实体单元C3D8R，钢筋采用桁架单元，钢箱采用四节点缩减积分格式的壳单元S4R，可模拟钢箱壁的鼓曲变形，在局部稳定分析时更精确。边界条件设置上，钢筋与混凝土采用内置区域约束，钢箱和混凝土之间的接触界面行为模拟考虑法线方向的接触和切线方向的黏结滑移。法向接触采用“硬”接触，即垂直于接触面的力流可在界面间完全传递，接触压力为0或负值时，可模拟钢箱与混凝土接触面分离，相互作用消失。切向黏结滑移采用Coulomb摩擦模型。

利用Abaqus进行屈曲稳定分析时，采用考虑初始缺陷的弧长法计算。将弹性稳定分析中一阶屈曲模态的形变量，作为非线性稳定分析的初始缺陷，同时位移最大值限定为H/1 000(H为构件长度)。

2.2.2 钢筋混凝土构件

如图 2所示，矩形钢筋混凝土构件边长为b×h=1 m×1.5 m，圆形钢筋混凝土构件直径为D=1.382 m，2种截面的面积相等。均采用C40混凝土，纵向钢筋均为24根ϕ28 HRB335钢筋，纵向钢筋配筋率ρ=1%。2种截面均采用ϕ10 HRB235箍筋，箍筋间距均为250 mm。

表 2和表 3为钢筋混凝土构件的稳定折减系数φ计算结果，φ随构件长细比增大而减小，且呈非线性变化，与《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》 (JTG 3362—2018)值的平均误差为6.7%，验证了本研究所提稳定极限承载力计算的可行性和准确性。P_{cr, E}与欧拉临界力基本相近，表明压杆弹性稳定极限承载力的本质是基于小变形假设的欧拉临界力。此外，非线性稳定安全系数k_n仅为弹性稳定安全系数k_e的0.15~0.35，表明考虑双重非线性和后，结构实际承载能力大幅降低，结构设计时应充分考虑双重非线性、初始缺陷等因素的影响。

2.2.3 钢箱构件、钢箱混凝土构件

如图 3所示，钢箱混凝土构件边长为b×h=1.275 m×1.5 m，外钢箱厚度为14 mm，PBL加劲肋厚度为6 mm，箱内灌入C40混凝土。纯钢箱构件的截面尺寸、板件厚度与钢箱混凝土构件一致，未灌入混凝土。

表 4为纯钢箱构件的稳定折减系数计算结果，与《公路钢结构桥梁设计规范》(JTG D64—2015)^[18]获得的φ值的平均误差为6.9%。表 5为钢箱混凝土构件的稳定折减系数计算结果，与中国工程建设标准化协会标准《矩形钢管混凝土结构技术规程》(CECS 159：2004)获得的φ值的平均误差为5.2%，验证了本研究方法的准确性。比较表 3和表 4可知，在构件长细比相同的情况下，钢箱内灌注混凝土后，由于混凝土对钢板壁的侧向支撑作用，稳定安全系数提升明显。因此对于高耸钢桥塔，推荐全部或部分灌注混凝土来提高稳定性。

综上，本研究提出的稳定折减系数计算方法对钢筋混凝土结构、钢结构以及钢-混凝土组合结构的适应性均较好，方法可行且准确，可以为进一步评估空间异形压杆结构稳定性提供直接的底层分析工具。

3 工程应用

本节以一座具有典型特征的空间异形桥塔斜拉桥为工程依托，融合精细化有限元获得其弹性稳定安全系数和非线性稳定安全系数。采用第2节提出的空间异形桥塔稳定极限承载力计算方法，计算了其稳定折减系数和稳定极限承载力。

3.1 桥塔构造细节

该桥结构形式采用跨径布置为(45+185+238+45)m的空间索面独塔斜拉桥，索塔为异形空间扭曲面钢桥塔，总高度约为173.3 m，如图 4所示。六边形索塔截面采用钢箱外筒+格栅式内筒的形式，箱内设置多种加劲钢板和横隔构造。为平衡索塔两侧推力、降低塔底弯矩造成的偏心受力，在塔底V形腿全高范围内灌注混凝土进行压重，形成钢箱混凝土组合结构。

3.2 非线性有限元模拟策略

非线性有限元建模思路与2.2.1节相似，采用ANSYS有限元软件建模。建模分析同时考虑了几何非线性(包括几何大变形、拉索垂度效应)、材料非线性(钢结构本构和混凝土本构)和初始缺陷。其中几何大变形模拟、材料本构模型选择以及初始缺陷设置方式与2.2.1节一致，此处仅描述拉索垂度效应模拟。通过Ernst公式修正斜拉索弹性模量的方式来实现斜拉索轴向刚度随索力变化，在ANSYS的APDL语言中迭代实现：

(12)

式中，E为考虑垂度影响的斜拉索换算弹性模量；E₀为斜拉索钢材弹性模量；γ为斜拉索单位体积重力；S为斜拉索长度；α为斜拉索与水平线的夹角；σ为确定工况斜拉索应力。

如图 5所示，模型建立时主梁和桥塔采用基于Timoshenko理论的Beam189单元，能够模拟细长杆件的剪切变形对结构稳定的影响，主梁建模采用“鱼骨梁”建模策略。拉索采用Link10单元，建模时拉索初应变采用矩阵法求解，且分析过程中采用Ernst公式不断更新刚度。塔底钢箱混凝土的混凝土采用Solid65单元，其特点在于对材料非线性的处理，相较于其他实体单元，能够模拟混凝土开裂、压碎、塑性变形等行为。钢箱采用Shell181单元，为4节点有限应变单元，每个节点具有6个自由度(3个平动自由度与3个转动自由度)，适用于模拟薄壳至中等厚度的壳结构，能够考虑壳体厚度的变化，适应线性分析及大转动、大应变的非线性分析，非常适用于塔脚区域的钢结构模拟。

为降低计算耗时，桥塔上部钢结构采用梁单元模拟，塔脚钢结构采用壳单元模拟，两种不同单元的连接接口的力与位移传递尤为重要。如图 6所示，本研究采用刚性区法实现不同单元交界面的连接，利用ANSYS的CERIG命令快速地形成刚域，该界面处理方法可自动建立约束方程，能够综合权衡内力传递的均匀性和计算效率。模型的材料参数如表 6所示。

3.3 非线性稳定分析结果 3.3.1 弹性稳定安全系数

采用3.2节中的分析策略，忽略双重非线性后对结构进行弹性稳定分析，计算荷载为结构恒载和汽车荷载。结构的前3阶失稳模态及对应的弹性稳定系数k_e(见图 7)。1阶失稳模态为主塔横向失稳，对应k_e=18.58。2阶失稳模态为主梁竖向失稳，对应k_e=19.52。3阶失稳模态为主梁竖向失稳与主塔横向失稳的耦合，对应k_e= 19.56。第1类稳定的最小特征值为18.58，即失稳临界荷载P_{cr, E}为18.58倍的恒载与活载之和，弹性稳定安全系数大于4，符合规范要求。

3.3.2 非线性稳定安全系数

采用2.2.1节和3.2节的非线性有限元模拟策略，综合考虑双重非线性和初始缺陷的影响，对结构进行非线性稳定分析。对计算模型施加多个荷载子步，不断地迭代求解，该过程采用Ernst公式中不断更新拉索弹性模量。结果表明，当加载至恒载与活载之和的4.125倍时，结构的切线刚度矩阵趋于奇异，无法继续加载从而结构达到极限状态。此时，结构的变形分布情况如图 8所示。沿着桥塔高度方向，塔底由于钢箱混凝土的组合作用，混凝土对钢箱壁板起到侧向支撑作用，此区域结构变形最小；结构最大变形4.54 mm，出现在主跨的主梁跨中区域。索塔截面上缘的应力分布如图 9所示，极限状态下桥塔的上部锚固区域和塔脚区域分别出现了塑性铰，而中部尚未屈服。

可见，结构的非线性稳定安全系数k_n为4.125，仅为弹性稳定安全系数的0.222，但是从现有类似桥梁的稳定分析统计结果来看，该值属正常范围。考虑双重非线性和初始缺陷后，第2类稳定承载力大幅降低，即结构的实际失稳临界荷载远低于欧拉理论的临界值。设计上应考虑非线性对结构稳定承载力的影响，因此《公路斜拉桥设计规范》(JTG/T 3365-01—2020)要求弹性稳定安全系数大于4。如此一来即便再融入对非线性的考虑，结构仍不至失稳。规范要求钢主梁斜拉桥的k_n≥1.75，该依托工程桥梁k_n=4.125，满足要求。

3.3.3 稳定折减系数

根据2.2节典型压杆的算例结果，不论钢筋混凝土、钢箱混凝土或是纯钢箱混凝土，稳定折减系数φ总是与非线性影响系数η成反比，因此可针对不同材料分别拟合φ与η的显式关系。如此一来，对于长细比难以准确计算的复杂压杆，可以利用弹性弹性安全系数k_e与非线性稳定安全系数k_n的比值，根据其所采用的材料选择显式关系，来搜索合适的稳定折减系数。利用表 5数据采用多项式拟合钢箱混凝土构件的φ-η显式关系为：

(13)

式中，φ为压杆的稳定折减系数；η为非线性影响系数。

基于表 5额外设计了5个测试样本，通过公式计算和采用规范查表 2种路径获得的φ，验证该拟合公式的准确性。每个测试样本的结构采用和2.2.3节的钢箱混凝土构件截面尺寸相同，仅改变每个样本构件的压杆长度。表 7为5个测样本的拟合值与规范值对比，本法计算结果与规范值吻合程度较好，最大误差仅7.54%，拟合精度较高，可用于该算例桥梁稳定折减系数的快速判定。

将该依托工程桥梁的k_n=4.125，k_e=18.58分别代入式(14)可得φ=0.899，即考虑压柱承载力受稳定的影响，桥塔截面抗压的强度承载力前应乘以折减系数0.899。

4 结论

本研究通过理论推导、数值模拟等方法，开展了空间异形桥塔的稳定极限承载力计算方法研究，可为拓宽空间异形桥塔应用场景提供技术支撑。主要结论如下。

(1) 深刻剖析了空间异形桥塔稳定问题的实质，从非线性稳定安全系数入手，系统考虑构件长细比、双重非线性和初始缺陷的影响。寻求稳定安全系数与稳定折减系数的内在映射关系，提出了空间异形桥塔稳定极限承载力计算方法。将耦合在一起的初始缺陷、几何非线性、材料非线性问题，统一为方便手工计算的经验公式，可以直观地、快速地映射出构件受稳定影响的承载力折减程度。

(2) 采用矩形和圆形钢筋混凝土、纯钢箱、钢箱混凝土这3类典型理想压杆算例，构建了非线性有限元模拟策略。将本研究稳定承载计算结果与规范值比对，最大误差6.9%，验证了本研究方法的可行性和准确性。

(3) 以一座具有典型特征的空间异形桥塔斜拉桥为工程依托，构建精细化非线性有限元模拟策略，获得其稳定极限承载力。结果表明：该工程的k_e=18.56，k_n=4.125，稳定折减系数为0.899，考虑几何、材料双重非线性、初始缺陷后，k_e仅为k_n的0.222倍，稳定极限承载力大幅降低，设计应考虑非线性对结构稳定承载力的影响。