0 引言

近年来，在不断扩大的地下空间开发的同时，地下结构的安全问题也日益受到关注，而地震、工程爆破等都是导致地下结构损伤的主要原因。地震发生时产生的地震波传播到隧道时，会使隧道结构产生动应力集中现象，对隧道的安全有极大威胁，例如：在过去的几十年中，一些大型地震事件中报告了广泛的隧道地震破坏^[1-3]。因此，计算隧道在地震波作用下的动力响应解进而分析其变化特点、提高其抗减震性能、保证其在强震作用下的安全性和畅通性以及震后易修复性具有重要意义。

目前，关于在多孔弹性模型^[4-5]中对地震扰动下隧道结构的动力响应问题进行了大量的研究，且研究主要基于经典Biot理论^[6]。在Biot波动理论的基础上，建立了求解饱和土中任意形状洞室对弹性波的散射问题的复变函数法^[7]，且对饱和土中深埋圆柱形衬砌动应力集中因子(DSCF)值进行了求解^[8]，求解了饱和土介质中，2个椭圆形空腔间相互作用时的动力响应问题^[9]。需要注意的是，以上研究都是基于单层衬砌，然而在实际工程中，复合衬砌隧道能够更好地加固、减震^[10]。王帅帅等^[11]基于波函数展开法，研究了在平面P波入射下，深埋圆形三层复合式衬砌的动应力集中问题，并给出了级数解析解，分析了不同衬砌刚度组合与厚度组合对衬砌动应力集中系数的影响。Ding等^[12]基于Biot理论，用波函数展开法求解了饱和土中浅埋复合式衬砌的动力响应解，分析了无量纲频率、入射角、厚度、刚度以及复合衬砌埋深对复合衬砌抗震性能的影响。范凯祥等^[13]基于Biot理论，采用Fourier-Bessel级数展开法，建立了瑞利波入射下，饱和土中浅埋隧道复合式衬砌的散射力学模型，求解了频域内复合式衬砌的动应力集中系数、孔压集中系数的解析解。

从以往的研究来看，对多孔弹性模型中地震波的研究主要基于Biot理论，其理论是基于多孔介质中的波长远大于孔径的假定而得到的。但是，在室内试验发现，饱和孔隙介质中的波速呈现负色散^[14-15]，这种特性不能用传统的Biot理论来描述。通过引入非局部参数来描述饱和孔隙弹性介质的孔径效应，并成功捕捉到负色散关系^[16]，并且利用非局部Biot理论^[16]研究在地震波作用下饱和多孔介质中衬砌的动力响应^[17-18]。为了解释在试验中观察到的正色散和负色散现象，Tong等^[19]考虑了孔隙介质的尺寸效应和孔隙材料内部结构的非均匀性导致的非均匀应变场。引入多孔介质的孔径效应和结构非均匀效应的2个长度参数，对经典Biot理论进行了改进，从而提出了应变梯度非局部Biot理论。

本研究采用波函数展开法，求得饱和孔隙弹性介质中入射平面P波作用下复合式衬砌的动力集中因子的解析解，其中饱和孔隙弹性介质采用应变梯度非局部Biot理论进行描述。然后，通过退化本研究提出的模型来验证模型，并与已发表的结果进行比较^[20]。为了说明复合衬砌的抗震性能，讨论了衬砌刚度和厚度对衬砌内DSCF值影响。随后，对非局部参数与尺寸因子以及入射P波频率、入射角等影响因素进行了详细分析。

1 计算模型和基本场方程 1.1 计算模型

假设深埋复合衬砌为无限长圆柱形洞室且为各向同性弹性材料，衬砌周围介质为饱和土。如图 1所示，(θ, r)为极坐标系，复合衬砌外层衬砌外半径为R₁，外层衬砌内半径为R₂，内层衬砌内半径为R₃，单位为m。假设P波从左到右水平入射到复合衬砌的外表面上。

1.2 应变梯度非局部Biot理论 1.2.1 饱和土中控制方程和波数求解

衬砌外介质为饱和土介质，在考虑孔隙尺寸效应和结构非均匀效应影响下，饱和土的控制方程^[19]为：

(1)

运动方程为：

(2)

式中，l₀为表征孔隙尺寸效应的非局部参数；l₁为表征土体结构非均匀性的尺寸因子； 分别为拉普拉斯算子、散度算子和梯度算子；σ_ij为土骨架总应力；σ_ij^L为经典Biot理论中的土骨架总应力；μ为土体剪切模量；ε_ij和ε分别为土骨架应变张量和体积应变；δ_ij为Kronecker符号；λ_c=λ+αM²，λ为Lame常数, α和M为Biot参数；P_f为流体压力；ζ为单位体积饱和土的流体体积变化量；u 为土骨架的位移；w为流体相对于土骨架的位移。ρ为饱和土的平均密度，且ρ= (1-n₀)ρ_s+n₀ρ_f；m为一个比值，且m=ρ_f/n₀，其中ρ_s为土壤固体颗粒的密度，n₀为饱和多孔介质中的孔隙率；η为流体黏滞系数；k为渗透系数，高频下η=η₀F(ζ)，η₀为低频下的流体黏滞系数，F(ζ)为频率修正系数^[6]。

引入土骨架部分的标量势函数φ_s与矢量势函数ψ_s，流体部分的标量势函数φ_f与矢量势函数ψ_f，根据Helmholtz分解原理，土骨架位移u和流体对固体的相对位移w表示为^[19]：

(3)

将式(3)代入式(2)，利用波函数展开法，省略时间项，通过数学运算可以得到关于φ_s和Ψ_s的高阶偏微分方程^[21]：

(4)

式中，P波的波数k_i (i=1, 2, 3, 4)表示4种类型的快波；剪切波的波数k_si(i=1, 2)表示2种类型的慢波。然而，实际上只存在2种P波和1种剪切波呈现出合理的传播特性及明确的物理意义，分别为P₁波，P₂波，SV波(假设波数分别为k₁，k₂，k_s)。因此，饱和土介质中P波仅存在P₁波和P₂波，且波数通过式(5)求解。

(5)

式中，

同样，SV波也只存在一种，且波数求解为：

(6)

式中，

1.2.2 衬砌中控制方程和波数求解

衬砌介质为单相介质，计算时可以将衬砌视为弹性、各向同性材料。衬砌介质在直角坐标系下的运动方程及本构关系为^[19]：

(7)

式中，μ₂为衬砌结构的剪切模量；ü_s为衬砌介质位移；λ₂为衬砌结构Lame常数；ρ_sd为衬砌材料的密度。

与饱和土求解波数过程相似，运动方程中衬砌位移u_s包含时间相关项。求解波数时，需要消去时间相关项，将衬砌位移u_s写成u_s= u_s·e^―iωt，后代入运动方程并消去时间相关项得：

(8)

引入衬砌介质的标量势函数Φ_sd与矢量势函数Ψ_sd，根据Helmholtz分解原理，衬砌介质位移u_s的表达式为：

(9)

将式(9)代入衬砌介质运动方程式(7)中，经过求解可以求得衬砌介质中P波的波数k_α及SV波的波数k_β，表达式为：

(10)

1.3 饱和土内波场

入射P波势函数为^[20]：

(11)

式中，φ₀为入射波的振幅；k₁为入射波的波速；ω为入射波圆角频率。将式(11)展开为柱坐标下的级数形式，可得：

(12)

式中, J_n (k₁r)为第1类n阶Bessel函数，当n=0时，ε_n=1，当n≥1时，ε_n=2。

由于衬砌周围是饱和土介质，入射P波传播至外层衬砌外表面时，将会产生反射P1波，P2波，以及剪切波。散射波的势函数表达式满足Helmholtz方程，采用分离变量法可以求得饱和土中土骨架部分的波场表达式为：

(13)

式中，φ_s1为P1波；φ_s2为P2波；ψ_s为剪切波；A_n，B_n，C_n为待定系数；k₁，k₂，k₃分别为饱和土中P1波，P2波，SV波的波数；H_n⁽¹⁾ (·)为第1类n阶Hankel函数，也表示波向坐标原点传播。

由1.2节的波数求解过程可以得出，流体部分的势函数和土骨架部分的势函数的幅值之比会为一个定值，该定值为：

(14)

故流体部分势函数为：

(15)

土骨架部分散射波场、流体部分散射波场以及入射波场共同组成了饱和土中总波场：

(16)

1.4 衬砌内波场

入射P波传到衬砌外边界表面会产生折射波，传播到衬砌内表面会产生内表面反射波。外层衬砌内折射波和反射波的波场为：

(17)

式中，Φ_sd¹为透射P波；Ψ _sd¹为透射剪切波；Φ_sd²为衬砌内边界反射P波；Ψ _sd²为衬砌内边界反射剪切波；D_n1，E_n1，D_n2，E_n2为待定系数；k_α，k_β分别为外层衬砌介质中P波、SV波的波数；H_n⁽²⁾ (·)为第2类n阶Hankel函数，也表示波向坐标原点外传播。故得外层衬砌内总波场为：

(18)

与深埋隧道单层衬砌波场区别在于内层衬砌的波场，波传播至外衬砌与内衬砌的界面时，会产生透射波与反射波，波场势函数表达式为：

(19)

式中，Φ_sd2¹，Ψ_sd2¹分别为内层衬砌透射P波，透射剪切波势函数；Φ_sd2²，Ψ_sd2²分别为内层衬砌内边界反射P波，反射剪切波势函数；k_α2为内层衬砌中P波的波数；k_β2为内层衬砌中剪切波的波数，表达式同式(10), 即k_α2=k_α，k_β2=k_β；F_n1，G_n1，F_n2，G_n2为待定系数。故内层衬砌中总波场为：

(20)

2 边界条件及其解

通过简单的数学运算式(1)和式(3)饱和孔隙弹性全空间中的位移和应力可以用势函数表示为：

(21)

式中σ_θθ为衬砌在弹性波作用下产生的环向应力。

同理可得，在极坐标下，衬砌的位移应力表达式为：

(22)

根据饱和土与衬砌外边界的接触条件，假设饱和土和衬砌结构接触面接触紧密，不发生相对位移，r=R₁时，可以得到：

(23)

假设饱和土与衬砌的界面为不透水边界，当r=R₁时，对应边界条件为：

(24)

衬砌内边界没有受任何力作用，为自由边界，当r=R₃时，边界条件为：

(25)

式中，u_r和u_sr分别为饱和土骨架和衬砌结构的径向位移；u_θ和u_sθ分别为饱和土骨架和衬砌结构的切向位移；σ_rr为饱和土土骨架的法向应力；σ_sr为衬砌结构的法向应力；σ_rθ为饱和土土骨架的切向应力；σ_srθ为衬砌结构的切向应力。

r=R₂时，内外衬砌径向位移与切向位移相同，正应力与切应力相同，即：

(26)

根据以上的边界条件，将饱和土中总波场表达式与衬砌介质中总波场表达式代入饱和土和衬砌的应力与位移关系式中，再利用以上的边界条件，可以求解出所有势函数中的总共11个待定系数，代入边界条件得到的矩阵方程为：

(27)

式中，G为由mathematics提取的波场势函数中待定系数前的系数；B为11个待定系数；A为边界条件方程中的常数项。通过式(27)求解得到所有的待定系数，利用求解得到的结果可求出所有的应力表达式，计算流程图如图 2所示：

3 数值结果与讨论

弹性波在介质中传播时遇到几何不连续体，如孔洞、裂缝等，会发生波的衍射或散射，导致介质中的局部应力出现动应力集中现象。动应力集中因子可以作为评估复合衬砌抗震性能的一个指标，动应力状态定义为复合衬砌的周向应力与饱和土中入射波引起的应力之比^[20]：

(28)

式中，σ_θθ^*为动应力集中系数；σ₀=(μ+2λ)k₃²，为入射波作用下的应力幅值。

3.1 结果验证

为了对本研究计算结果的准确性进行验证，将计算结果退化为单相介质下的情况，并与Pao^[20]的结果进行对比。为此本研究土体及衬砌的参数取值为：，其中为单相介质与衬砌剪切弹性模量之比；γ为单相介质与衬砌中P波波速的比值；v₁为单相介质的泊松比；v₂为衬砌的泊松比；η′为衬砌内外半径之比。如图 3所示，本研究退化解和Pao^[20]的计算结果一致，故本研究计算结果的正确性得到了验证。

3.2 计算结果分析

为进一步分析饱和土中各参数对深埋复合衬砌动力响应情况的影响，本研究的计算参数如表 1所示。

图 4为不同非局部参数及尺寸因子单独影响下，衬砌中A点(P_A)与B点(P_B)处动应力集中系数随入射P波频率的变化图。由图可知，频率较低时，不同非局部参数和尺寸因子下的DSCF值大小相差不大，随着频率的增加，不同非局部参数和尺寸因子下DSCF值大小差距逐渐变大。非局部参数取值为0.01时，即受到孔隙尺寸效应的影响，随着入射P波频率的增加，P波的波长变短，导致P波波长接近甚至小于饱和土介质孔隙尺寸。此时，波不能轻易地绕过土颗粒，而导致波的散射增加，传播过程有更多的能量耗散，进而导致传递到衬砌上的能量减少，使衬砌中产生的DSCF值下降。尺寸因子取值0.01时，即考虑土骨架非均匀效应的影响，随着频率的升高，土体的梯度内能不可忽略，这部分能量使衬砌中产生的DSCF值增大。故频率增大时土体孔隙尺寸效应及土体结构非均匀效应对衬砌结构DSCF值的影响都将不可忽略。由此可以说明非局部参数和尺寸因子对衬砌DSCF值的影响与入射波频率有关，且频率越大非局部参数和尺寸因子对DSCF值的影响越大。

图 5为f=700 Hz时，复合衬砌A点与B点处DSCF值随非局部参数和尺寸因子的变化曲线。由图可清楚地看出，非局部参数的增加对衬砌内DSCF值因子有衰减作用，而尺寸因子的增加对DSCF值有增加的效果。即入射波频率一定时，非局部参数和尺寸因子取值越大，对衬砌内DSCF值的影响越大。

图 6中分别为复合衬砌内外边界处和l₁→0或l₀→0时，圆周DSCF值随非局部参数和尺寸因子的变化，入射波频率为700 Hz。由图 6(a)可知，随着非局部参数的增加，衬砌内DSCF值逐渐减小。而由图 6(b)可知，随着尺寸因子的增加，DSCF值会逐渐增大。综合图 6来看，非局部参数和尺寸因子变化时，沿衬砌环向的分布规律不受影响。对比内外衬砌边界的DSCF值时发现，内外衬砌边界的DSCF值峰值数量以及峰值所在的地方相近。由Tong等^[16]的研究可知，非局部参数对土体刚度有软化效应，而尺寸因子对土体刚度有硬化效应，由此导致非局部参数引起衬砌DSCF值减小，而尺寸因子引起DSCF值的增大。

图 7为衬砌中A点与B点DSCF值随内外层衬砌刚度的变化，由图中可以看出，入射波频率为100 Hz时，A点的DSCF值随外衬砌刚度E_sd1的增加而逐渐减小，随内衬砌刚度E_sd2的增加而逐渐增大。B点的DSCF值随外衬砌刚度的增加而逐渐增大，随内衬砌刚度的增加而逐渐减小。但入射波频率变大时，A点与B点DSCF值随内外层衬砌刚度的变化并没有明显规律，因为随着频率的增大，波的干涉作用加剧，导致衬砌内DSCF值随衬砌刚度变化变得复杂。由此可得，在入射波频率较低时，对于双层复合衬砌结构，外层衬砌刚度越大，在外层衬砌中产生的动应力集中因子越大，但对内层衬砌的保护会更好。内层衬砌刚度越大，在内层衬砌中产生的动应力集中因子越大，但对外层衬砌的保护会更好。因此在外层衬砌不被破坏的情况下，内层衬砌适当选择刚度小一点的材料有利于隧道衬砌的安全。

图 8为外衬砌厚度d₁与内衬砌厚度d₂对A点与B点DSCF值大小的影响，在入射波频率100 Hz时，A点与B点处的DSCF值均随着内外衬砌厚度的增加而减小。但入射P波频率取值增加时，波的干涉作用加剧，导致衬砌A点与B点处DSCF值随衬砌厚度变化变得不稳定，此时DSCF值随衬砌厚度变化没有明显规律。由此可以得出，低频时，适当增加衬砌的厚度有利于减小衬砌的DSCF值，而高频时增加衬砌的厚度对减少衬砌内DSCF值的效果不佳。

4 结论

基于应变梯度非局部Biot理论，针对饱和土介质中复合衬砌在入射P波作用的情况的动应力响应问题，采用波函数展开法进行了求解。分析了非局部参数与尺寸因子以及入射P波频率的变化对衬砌内动应力集中因子的影响，单独分析了内外衬砌的刚度变化与厚度变化对内外衬砌的动应力集中因子的影响，得出如下结论：

(1) 频率较低时，非局部参数和尺寸因子对衬砌DSCF值的影响很小，而随着频率的增加，非局部参数和尺寸因子对衬砌内DSCF的影响会逐渐变大，且非局部参数对衬砌内DSCF有削弱的影响，尺寸因子对衬砌内DSCF有增强的影响。

(2) 衬砌刚度对衬砌内DSCF值影响较大，低频下外衬砌刚度越大，外衬砌内DSCF值越大，内衬砌内DSCF值越小。内衬砌刚度越大，内衬砌内DSCF值越大，外衬砌内DSCF值越小。

(3) 衬砌厚度对衬砌内DSCF值有影响，低频下，衬砌厚度在一定范围内越大，衬砌内DSCF值越小。