0 引言

体外预应力加固技术通过在桥梁结构内部或外部布设体外预应力束对原结构进行主动加固，用于提高结构承载能力与正常使用性能^[1-6]。相对于其他加固方法，体外预应力加固在增加较小自重的情况下即可改善原结构的受力状态，提高原结构的刚度和抗裂性并在一定程度上抑制桥跨下挠，特别适用于大跨度连续刚构开裂、下挠病害处置^[7-10]。在体外预应力加固桥梁结构承载能力极限状态设计中，加固体系体外束极限应力的计算及取值极为关键，对其精确计算需结合加固体系几何非线性与材料非线性迭代求解，不便于工程设计应用，因此国内外众多学者就体外束极限应力简化计算方法开展了大量的研究，取得了一些有价值的结论。Allouche等^[11]对体外预应力加固简支梁桥与连续梁桥体外束极限应力增量进行了研究，假定梁体未开裂时保持弹性状态，通过塑性铰理论提出了直线形体外束极限应力增量简化分析方法；Harajli等^[12]考虑了普通钢筋和构件跨高比影响，基于增量变形法建立了以预应力筋极限强度系数为变量的计算模型，由此导出了体外束极限应力计算公式；黄侨等^[13]对加固体系体外束极限应力计算方法进行了评价与分析，选取了与试验结果相吻合的计算模式，对其中的相关参数进行修正，提出了体外束极限应力计算的实用公式，并写入了规范；袁爱民等^[14]在箱梁变形和破坏特征的基础上，给出了结构破坏过程中的3个阶段体外束长度变化量，并推导了不同加载模式下预制箱梁体外预应力筋极限应力增量的计算公式，并对所提公式进行了试验验证；牛斌^[15]基于弯矩-曲率关系对体外预应力加固简支梁桥进行了全过程非线性分析，结合塑性铰分析理论，提出了体外束极限应力计算方法。上述外束极限应力的研究成果最终表达为在体外预应力加固设计领域被广泛采用的计算公式，如Chakrabarti公式、Harajli公式、哈工大公式、同济大学公式等。随着对体外束极限应力研究的不断深入，一些与试验结果相吻合的计算公式最终被纳入到各国规范，如美国AASHTO-04规范修正公式、加拿大A23.3-M94《规范》公式、英国BS8110《规范》公式、中国《公路桥梁加固设计规范》(JTG/T J22—2008)公式等。

《公路桥梁加固设计规范》(JTG/T J22—2008)以下简称《规范》。中对体外预应力加固简支梁与连续梁在极限状态下体外束的极限应力计算公式进行了规定。该公式是在AASHTO-04规范修正公式基础上，通过材料强度指标转换、试验计算应力到设计取值的转变且考虑中国公路行业有关标准对AASHTO-04规范修正公式中的某些参数进行了调整并经理论推导得出。经相关研究表明，《规范》公式对体外束极限应力的计算值与试验值之比平均为0.95，离散系数为0.04，计算精度较高，离散性较低。同时，该公式基于体外预应力加固简支梁提出，在理想的破坏模式下能够推广应用到等截面连续梁体外束极限应力的计算，因此适用范围较广。但对于广泛采用体外预应力加固技术进行病害处置的大跨度变截面连续刚构而言，因其变截面与墩梁固结特性，导致该加固体系在极限状态下的破坏特征与简支梁、连续梁具有显著区别，《规范》公式推导过程中的某些假定对该加固体系并不适用，由此导出的公式显然不能用于变截面连续刚构体外束极限应力的计算。

本研究针对变截面连续刚构体外预应力加固设计过程中体外束极限应力计算问题，在对《规范》公式验证与评价基础之上，对加固体系在极限状态下的实际破坏模式及中支点失效模型与等效塑性区截面应变分布进行分析与研究，以明确加固体系在极限状态下的塑性铰个数和中支点截面变化对加固体系体外束有效长度的影响，最后提出了变截面连续刚构加固体系体外束极限应力计算公式，并对公式的正确性与适用性进行了验证。

1 《规范》公式验证与评价 1.1 《规范》公式验证

《规范》中规定的体外预应力加固简支梁与连续梁体外束极限应力计算公式如式(1)所示，适用的典型体外束布置形式如图 1所示。

(1)

式中，σ_{pu, e}为体外束极限应力；l_e为计算跨体外束有效长度；γ_p为体外预应力筋材料安全系数；h_{p, e}为体外预应力筋重心至截面顶端距离；E_{p, e}为体外预应力筋弹性模量；c为截面受压区顶面与中性轴的距离；σ_{pe, e}为体外预应力筋扣除预应力损失后的有效预应力；f_{pd, e}为体外预应力筋抗拉强度设计值。

通过已有研究表明：式(1)对于体外预应力加固简支梁与等截面连续梁具有较好的计算精度，能够用于上述两种桥梁结构体系体外束极限应力的计算，但对于变截面连续刚构桥而言，在结构破坏形态、主梁截面形式及桥梁结构体系3方面均与连续梁桥存在显著区别，《规范》公式是否适用于变截面连续刚构加固体系体外束极限应力的计算有待进一步验证。

以下选取两座常见且具有代表性的体外预应力加固变截面连续刚构为工程背景，通过有限元模型对背景工程外束极限应力增量进行计算分析，所选取的背景工程主要设计参数如表 1所示，背景工程体外束布置示意如图 2所示。

采用Midas FEA NX桥梁专用有限元分析程序建立两座背景工程有限元模型，体外束采用以下方法建模：体外束采用程序自带的桁架单元模拟，体外束单元与混凝土单元之间采用节点耦合的方式以模拟二者之间的接触关系，在体外束单元与混凝土单元连接处节点存在应力集中现象，考虑到此处设置有转向块或锚固块，实际刚度较大，因此在该位置处通过提高材料弹性模量的方法以模拟实际情况，避免加固体系在达到承载能力极限状态前该部位先行破坏。体外预应力采用初拉力荷载施加，初拉力荷载为扣除全部体外预应力损失后体外束的有效预应力与体外束截面面积的乘积。背景工程有限元模型示意如图 3所示。

为验证《规范》公式对于上述两座背景工程体外束极限应力计算的适用性，同时运用《规范》公式对上述加固体系体外束极限应力增量进行计算。图 4为《规范》公式计算结果与有限元模型计算结果对比分析柱状图，从图中可以得出：《规范》公式对于变截面连续刚构加固体系极限应力增量计算结果相比有限元计算结果偏大，本例中最大偏差接近40%(背景工程2)，表明《规范》公式计算结果会使设计偏于不安全，因此，对于变截面连续刚构加固体系体外束极限应力计算并不能采用《规范》公式。

1.2 《规范》公式评价

由1.1节研究结论可知：《规范》公式并不能应用于变截面连续刚构加固体系体外束极限应力的计算，通过追溯《规范》公式推导过程，可以做出如下评价。

(1)《规范》公式中参数l_e实质上是对结构在破坏极限状态下塑性区长度的计算，规范中假定l_e=l_i/ (1+N_s/2)，式中，l_i为两端锚具间体外索的总长度；N_s为构件失效时形成的塑性铰数目。采用1+N_s/2作为极限状态下构件塑性铰个数的依据为体外预应力加固连续梁破坏状态下跨中截面的塑性铰转角约为中支点转角的2倍^[16]。上述依据成立的前提为等截面连续梁在理想破坏模式下，而体外预应力加固体系实际破坏模式与结构跨径、加固跨位置及配筋率有关，不一定出现理想的破坏模式，意味着中跨跨中截面出现塑性铰而中支点截面不一定产生理论中的塑性铰。

(2)《规范》公式基于等截面简支梁导出，对于截面变化引起的体外束极限应力增量仅通过h_{p, e}，c两个参数有所体现，据相关研究表明：由于截面变化引起的体外束极限应力增量变化幅度在2倍以上，因此《规范》公式不能准确反映等、变截面结构体系在体外束极限应力计算方面存在的差异。同时，对于变截面连续刚构而言，跨中截面与中支点截面刚度存在较大差异，从截面刚度的角度来讲，完全有可能出现在极限状态下跨中截面进入塑性形成完全塑性铰而中支点截面并未达到塑性，此时中支点截面转角是否仍然按照《规范》公式成立的假定进行取值有待进一步研究。

(3)《规范》公式对于体外预应力加固简支梁和连续梁极限应力计算的不同仅体现在体外束有效长度的计算上，并未考虑结构体系的不同。因此，将《规范》公式应用到变截面连续刚构加固体系中会存在以下问题：变截面连续刚构在中支点处的约束多于连续梁，其转动能力较弱，相同荷载作用下体外束的伸长量偏小，如运用《规范》公式对变截面连续刚构体外束极限应力进行计算，会引起体外束极限应力计算值增大，使设计结果偏于不安全。

通过以上分析可知，《规范》公式对于变截面连续刚构体外束极限应力计算并不适用，以下重点通过理论分析与公式推导，在《规范》公式的基础上，提出适用于变截面连续刚构体外束极限应力计算的修正公式。

2 《规范》公式修正 2.1 塑性铰个数修正

体外预应力加固变截面连续刚构在极限状态下塑性铰个数与加固体系的破坏模式密切相关，《规范》公式将加固体系极限状态下的塑性铰个数用公式1+N_s/2表示，其中N_s的取值对于连续梁取n-1(n为连续梁跨数)，这种取值方法是建立在连续梁出现理想破坏模式的前提下，并没有考虑结构实际破坏模式。据相关研究表明^[17]：运用《规范》公式对连续梁极限状态下塑性铰个数进行计算，在连续梁跨数为2~3跨时，塑性铰个数《规范》公式计算结果与实际较为吻合，当跨数在3跨以上时，《规范》公式对塑性铰个数的计算结果偏多，导致加固体系体外束极限应力计算值偏大。

对于变截面连续刚构加固体系而言，可借鉴连续梁加固体系极限状态下的实际破坏模式对其塑性铰个数进行计算。考虑到变截面连续刚构桥跨数一般为3跨及以上，因此变截面连续刚构加固体系极限破坏状态下塑性铰个数的确定主要考虑以下两个因素：(1)变截面连续刚构加固体系在实际破坏模式下不会每一跨同时出现塑性铰，塑性铰个数小于运用《规范》公式计算出的结果；(2)在实际破坏模式下，当跨中截面达到破坏极限状态出现完全塑性铰时，中支点截面由于刚度较大，不一定达到极限状态而出现完全塑性铰。3跨变截面连续刚构不同破坏模式下典型塑性铰个数及位置，如图 5所示。

根据以上分析，对《规范》中塑性铰个数的计算公式进行修正，以适用于变截面连续刚构加固体系在极限状态下塑性铰个数的计算，修正建议如下。

(1) 当变截面连续刚构跨数为3~4跨时，在实际破坏模式下，塑性铰个数取值为：

(2)

式中n为变截面连续刚构跨数。

(2) 当变截面连续刚构跨数在4跨及以上时，加固体系在实际破坏模式下，塑性铰个数偏安全地取：

(3)

引入塑性铰个数修正系数α₁对规范中塑性铰个数计算公式进行修正，修正后的塑性铰计算公式可表示为：

(4)

式中，α₁计算公式如下：

(5)

2.2 中支点截面修正

根据2.1节分析可知，对于变截面连续刚构加固体系而言，可能出现在极限状态下跨中截面进入塑性形成完全塑性铰而中支点截面并未达到塑性，故中支点截面转角不能直接取跨中截面塑性转角的1/2，需结合中支点失效模型对截面转角进行单独分析以导出中支点截面转角计算表达式，进而对《规范》公式进行中支点截面影响修正。

图 6为变截面连续刚构加固体系中支点失效模型，由图中几何关系可求得体外束的伸长量为：

(6)

式中，c_sp为截面中性轴与中支点截面体外束重心轴的距离；k_sp为截面底缘与中支点截面体外束重心轴的距离；k_s为截面上、下缘之间的距离；z_s为截面底缘与中支点截面中性轴的距离；β为中支点截面塑性转角。

体外束伸长量与体外束重心处混凝土应变之间的关系为：

(7)

式中，D_sp为中支点截面等效塑性区长度；ε_sp为中支点截面体外束重心位置处混凝土应变。

图 7为中支点截面失效时，等效塑性区截面应变分布，由图中几何关系可知：

(8)

式中，ε_cu为混凝土极限压应变；ε_s为截面顶缘混凝土应变。

联立式(4)~(6)，可导出中支点截面失效时塑性铰转角表达式为：

(9)

考虑在极限状态下变截面连续刚构加固体系跨中截面和中支点截面可能不会同时进入塑性，采用ε_sp代替ε_cu更符合实际，即加固体系在实际破坏模式下，中支点截面转角可以表示为：

(10)

联立式(6)~(10)可导出变截面连续刚构加固体系在中支点截面由于截面变化引起的体外束极限应力修正系数为：

(11)

式中，D_mp为加固体系失效时跨中截面等效塑性区长度；z_m为跨中截面顶端与中性轴之间的距离。

2.3 修正公式的提出

根据2.1~2.2节分析结论，在运用《规范》公式对变截面连续刚构加固体系体外束极限应力进行计算时，应考虑加固体系在实际破坏模式下的塑性铰个数及由中支点截面变化引起的体外束有效长度变化两个因素，建议采用塑性铰个数修正系数α₁与中支点截面修正系数α₂两个参数考虑上述影响，修正后的公式如式(12)所示，适用的典型体外束布置形式如图 8所示。

(12)

式中，，其余参数同前。

3 算例分析

为验证式(12) 对变截面连续刚构加固体系体外束极限应力计算的正确性与适用性，以文献[18]中3座依托工程为算例，各算例设计参数如表 2所示。

应用式(12)分别对上述3个算例跨中截面体外束极限应力增量进行计算，以下以算例1为例，对式(12)计算过程进行详细介绍。

(1) 截面等效

将加固体系跨中箱型截面按照等效原理转换为工字型截面，转换后的工字型截面尺寸如图 9所示。

(2) 公式参数计算

体外索有效长度计算，计算公式为：l'_e=2l_i/(N'_s+2)，l_i依据设计图纸取284 137 mm，算例1为3跨变截面连续刚构，故N'_s=1，将上述参数值代入公式得l′_e=182 758 mm。其他相关参数计算：α₂=0.223，γ_p=2.2，h_{p, e}=2 471 mm，c=494 mm，E_{p, e}=1.95×10⁵ MPa。

将上述参数代入式(12)，得：

(13)

运用同样方法可对算例2，3体外束极限应力增量进行计算，限于篇幅，计算过程从略, 以下直接给出计算结果：

算例2极限应力增量：Δσ₂=121.8 MPa；算例3极限应力增量：Δσ₃=94.5 MPa。

将算例体外束极限应力增量与文献[20]计算结果进行对比分析，结果如表 3所示。

由表 3可以得出，采用修正公式对变截面连续刚构体外束极限应力增量的计算结果与实际结果较为接近，最大误差为9.7%(4跨变截面连续刚构)，在10%以内，能够满足工程计算精度的要求，因此，修正公式对于变截面连续刚构体外束极限应力的计算具有较好的适用性。同时，修正公式计算结果小于文献[20]计算结果，表明在体外束设计过程中，采用修正公式得出的结果能够保证结构的安全性。此外，修正公式是在《规范》公式的基础上加入两项修正系数以适用于变截面连续刚构体外束极限应力计算，与有限元计算过程相比，具有形式简单、操作性强等特点，能够为体外预应力加固变截面连续刚构承载能力极限状态设计提供参考。

4 结论

(1) 体外预应力加固体系体外束极限应力计算的《规范》公式基于等截面简支梁导出，不能考虑变截面连续刚构加固体系实际破坏模式与中支点截面变化特征，导致《规范》公式对变截面连续刚构体外束极限应力计算不适用，且计算结果偏大，使设计结果偏于不安全。

(2) 考虑连续刚构结构体系，同时借鉴连续梁加固体系极限状态下的实际破坏模式，建议变截面连续刚构加固体系极限状态下塑性铰个数在《规范》公式的基础上进行如下修正：N′_s=α₁N_s，式中，α₁为塑性铰个数修正系数，计算公式见2.1节。

(3) 修正公式对变截面连续刚构体外束极限应力计算具有较好的适用性，计算结果最大误差在10%以内，能够满足工程计算精度要求，且计算结果使结构设计偏于安全。同时，修正公式具有形式简单、操作性强等特点，能够为体外预应力加固变截面连续刚构设计提供有益参考。

(4) 对于算例3(4跨变截面连续刚构)体外束极限应力计算结果偏差为9.7%，数值略大，可能随着变截面连续刚构跨数的增加，结构实际破坏模式种类增多，极限状态下塑性铰个数选取太过保守。在后续的研究中，将结合数值模拟与模型试验重点针对4跨及以上变截面连续刚构实际破坏模式下的合理塑性铰个数选取进行研究，以不断修正、完善变截面连续刚构体外束极限应力计算公式。