0 引言

近年来，悬索桥由于具备跨越能力及景观效益等优势，因此成为大跨径桥梁建设的首选桥型^[1-2]。悬索桥成桥状态的技术参数备受桥梁建设者重视，成桥状态关键技术参数受空缆状态的参数误差修正的影响^[3-4]，空缆状态主缆实际架设无应力长度及恒载的参数误差会导致实际成桥状态偏离设计成桥状态^[5-6]，这种偏离引起成桥状态主梁线形、索塔偏位、锚跨张力及索夹抗滑性^[7-9]等关键参数不满足规范及设计要求。在有效识别空缆状态参数误差情况下，如何修正空缆状态参数使得成桥状态满足设计及规范要求，成为悬索桥施工控制研究要点。

目前悬索桥计算理论发展趋于成熟，创新性缆索计算理论不断涌现^[10-12]，分段弹性悬链线法^[13]及有限元法^[14]作为主要计算理论。关于悬索桥空缆状态参数误差修正方法，国内外学者进行广泛研究。Zhang^[15]提出根据悬索桥空缆状态中跨主缆几何信息和恒载参数误差修正无应力吊杆长度和索夹安装位置的分析方法，基于空缆状态收集的参数误差与悬链线方程理论建立中跨主缆非线性方程组，通过求解非线性方程组确定吊杆下料长度及索夹放样坐标。该研究仅建立中跨主缆非线性方程组计算，忽视边跨及散索鞍参数误差而进行悬索桥体系不闭合参数误差修正计算，势必产生计算误差。唐茂林^[16]基于成桥状态中跨吊杆处于竖直状态进行边、中跨主缆迭代计算修正成桥状态，根据迭代计算结果及无应力守恒原则求解空缆状态吊杆无应力下料长度及索夹放样坐标修正值。该研究对于悬索桥参数误差修正算法具有应用价值，但由于修正成桥状态索塔存在偏位及忽视锚跨对于散索鞍偏位误差修正，在较大施工参数误差下，会使得实际成桥状态偏离理想成桥状态。俞鼎伦^[17]针对施工期参数误差对于成桥状态的影响，提出遗传算法修正有限元模型的施工期吊杆索力，实现成桥状态主梁线形及内力满足合理成桥状态要求。该研究仅考虑修正吊杆力，忽视主缆在索鞍处切点变化及其他施工参数修正，导致实际成桥状态偏离理想状态。

在以上既有研究基础上，本研究提出空缆状态参数误差修正闭合迭代算法。根据悬链线方程理论，建立主缆在索鞍处非线性方程组；基于分段弹性悬链线理论，建立吊点间迭代方程组；利用几何相容条件迭代，求解各跨主缆力学参数；根据索鞍两侧主缆力学平衡条件，依次进行全桥各索鞍位置迭代计算；基于迭代计算参数，求解空缆状态参数修正值；最终，实现空缆状态参数误差修正闭合迭代计算及“塔直梁平、合理锚跨力”工程控制目标。

1 合理成桥状态迭代计算 1.1 中跨主缆迭代求解

如图 1和图 2所示，根据中跨主缆实际架设无应力长度及修正吊杆张力，基于分段弹性悬链线理论与悬链线方程理论，分别建立悬索桥中跨吊杆间主缆迭代方程组与主缆在索鞍处非线性方程组。根据分段弹性悬链线理论及纵向水平距离关系，吊点O₁~吊点O_n迭代方程组如式(1)~(4)所示。

(1)

(2)

(3)

(4)

式中，h_i, l_i, s_oi分别为第i号索段高度、跨度及无应力长度；V_i为第i号索段始端竖向缆力；q为缆索自重荷载集度；EA为悬索桥主缆截面抗拉刚度；P_i为修正成桥状态吊杆力，中跨主缆在左侧主索鞍切点为E点，其悬链线系数为a₁。EO₁距离为l₀，吊点O₁处水平缆力、竖向缆力分别采用H和V₀进行表示，系数a₁的计算公式见式(5)。

(5)

式中，。

根据水平方向几何相容条件可得式(6)。

(6)

式中，Δ₁为主索鞍不动点到索塔中心线距离; L₁为索塔中心到节点O₁水平距离，联立求解得到l₀。O₁E与EB′高度及无应力长度计算公式见式(7)~(10)。

(7)

(8)

(9)

(10)

式中，γ为主索鞍不动点、索塔中心点与主索鞍圆心连线间夹角。

同理得到Δh_OnF，Δh_FB″，S_OnF，S_FB″，将表达式代入式(11)及式(12)。

(11)

(12)

式中，H_B′B″与S分别为不动点B′B″高程与中跨主缆实际架设无应力长度，式(11)及式(12)为中跨主缆收敛判别关系式。

1.2 边跨迭代方程组建立

根据左边跨主缆实际架设无应力长度与吊杆张力，基于悬链线理论，建立悬索桥边跨主缆迭代方程组与主缆在索鞍处非线性方程组。如图 3所示，根据2.1节中式(1)~(4)计算公式建立吊点B₁到吊点B_n迭代方程组，得到Δh_b及S_bi。

边跨主缆在左侧主索鞍切点为C点，其悬链线系数为a_b0，C点与吊点B₁水平向距离为l_b0，H_b和V_b0为吊点B₁处的水平缆力与竖向缆力。根据主缆悬链线理论与几何闭合条件，依次构建吊点B₁与主索鞍不动点B′间非线性方程组。悬链线系数计算公式如式(13)所示，根据水平方向闭合条件可得式(14)。

(13)

(14)

式中，c₂= ― H_b/q，Δ₁为主索鞍不动点到索塔中心线距离；L₂为索塔中心到节点B₁水平距离。将式(13)代入式(14)求解得到l_b0。B₁C与CB′竖向高度计算公式如式(15)、式(16)所示，根据式(9)和式(10)无应力长度计算公式得到B₁C与CB′无应力长度S_B1C与S_CB′。

(15)

(16)

散索鞍力学简图如图 4所示，B′₁与B′₃分别为边跨主缆在散索鞍左、右两端处切点，B′₂为散索鞍不动点，切点B′₃处悬链线系数计算式见式(17)。

(17)

B′₂B′₃和B_nB′₂水平距离计算公式如式(18)与式(19)所示。

(18)

(19)

式中，θ₂为索鞍不动点与索鞍中心点连线与竖直方向夹角；d为拟定的散索鞍圆半径；l_bn为节点B_nB′₃间水平距离。根据式(13)~(19)建立非线性方程组可求解出l_bn，a_b(n+1)，进一步代入式(20)及式(21)可得到Δh_B′2B′3, Δh_BnB′3。

(20)

(21)

B′₂B′₃和B_nB′₃段无应力长度可由式(9)和式(10)计算公式进行求解，基于边跨高度闭合条件与无应力长度守恒原则建立边跨主缆收敛判别关系式，如式(22)及式(23)所示。

(22)

(23)

式中，H_B′2B′与S_B′2B′分别为节点B′₂B′高程与左边跨主缆实际架设无应力长度，式(22)及式(23)为边跨主缆收敛判别关系式，迭代计算H_b和V_b0。

1.3 锚跨迭代方程组建立

锚跨受力简图见图 5。设主缆在锚跨处锚固点为点M，其坐标分别为x_m，y_m；MB′₁间水平距离为L_MB′1；点B′₁处的悬链线系数为a_m1，左侧散索鞍

圆心O坐标分别为x₀，y₀。B′₁B′₂水平、竖向距离计算公式分别见式(25)和式(26)。

(24)

(25)

(26)

MB′₁竖向高度计算公式见式(27)。

(27)

式中，c₃= ― H_m/q。根据锚固点M与散索鞍圆心O闭合条件建立竖向高度与水平距离计算公式为：

(28)

(29)

根据式(9)和式(10)无应力长度计算公式得出锚跨处MB′₁及B′₁B′₂无应力长度分别为S_mz和S_mh，S_m为锚跨实际无应力长度如式(30)所示。

(30)

联合式(24)~(30)非线性方程组分别求解L_MB′1，a_m1，H_m。本研究计算公式关于散索鞍推导为圆曲线，实桥散索鞍为空间复合圆曲线形式，迭代计算需判断各缆索在锚跨处切点位于第几个圆弧段，基于无应力长度守恒原则进行相应理论推导，建立迭代方程组进行计算分析，本研究由于篇幅原因不在此赘述。

1.4 散索鞍偏转角计算

散索鞍转动中心力矩平衡判别式见式(32)。

(31)

(32)

式中，W₁为散索鞍恒载自重；d_w1为散索鞍重心至其转动中心的水平距离；θ₁为重心和转动中心连线与竖直方向间夹角。将收敛误差ω与收敛精度比较，通过假定的偏转角θ₂代入2.2节进行迭代计算，直至本次散索鞍处边跨与锚跨主缆迭代计算完成。

1.5 参数误差修正计算流程

根据主索鞍两侧主缆力学平衡条件，依次对索鞍位置进行修正，经过多次迭代计算确定主索鞍位置状态、各跨主缆吊点几何信息和索段的无应变长度，最终确定基于空缆状态施工参数误差的合理成桥状态，主索鞍增量计算方程^[18-19]如式(33)所示。

(33)

式中，ΔR为待求主索鞍偏移量；ΔH为本次主索鞍两侧主缆水平力计算差值。关于主索鞍增量切线刚度方程D的求解方法为：给定主索鞍微小位移，根据2.1节与2.2节计算方法分别计算该索鞍两侧主缆水平力差值，D系数即为水平力差值与微小位移的比值。参数误差修正流程图如图 6所示。

2 合理成桥状态参数修正 2.1 吊杆无应力长度修正

根据合理成桥状态主缆吊点高程对应主梁吊点高程与吊杆力学平衡条件，吊杆无应力长度S_i计算公式如式(34)所示。

(34)

式中，L_i为第i个吊杆有应变状态下的长度；Z_i为在第i个吊点的主缆标高；h_i为对应的主梁吊点标高；P_i为第i个吊杆的修正张力；w为单位长度的吊杆重量；E_d为吊杆钢丝的弹性模量；A_di为第i号吊杆横截面面积。

2.2 索夹放样坐标修正

根据理想成桥状态相关参数及无应力长度守恒原则，基于悬链线方程理论建立空缆状态主索鞍不动点间竖直方向相容方程，求解主缆在空缆状态力学参数，根据各索段无应力长度守恒原则求出各索段水平方向距离l_0i。Δ₅为空缆状态主缆在左侧主索鞍切点到左侧索塔中心线距离，中跨第i个索夹空缆状态安装放样坐标Δx_i如式(35)所示。

(35)

2.3 主索鞍成桥状态位置及加劲梁焊缝宽度修正

合理成桥索鞍修正量通过主索鞍最后一次顶推实施，左右侧索鞍相对设计值发生改变引起索鞍间距变化，在迭代计算中改变吊杆间距以适应索鞍间距变化。为了使得吊杆在合理成桥状态处于竖直状态，索夹在合理成桥状态满足设计抗滑要求，吊杆水平间距通过调整主梁焊缝宽度，同时焊缝宽度应满足规范要求^[16]。计算公式如式(36)所示，其中Δ_z为左侧主索鞍位移调整量；Δ_y为右侧主索鞍位移调整量；n为主梁数量。

(36)

2.4 空缆状态主缆锚跨索股张力修正

成桥状态锚跨张力关系到桥梁安全状况^[21]，参数误差迭代算法可求得合理成桥状态的锚跨索股无应力长度与合理成桥下散索鞍的位置，根据合理成桥状态下锚跨索股张力分布模式^[22]，基于无应力长度不变原则散索鞍从合理成桥状态位置倒拆分析到实测空缆状态散索鞍位置，计算空缆状态理论锚跨索股张力。锚跨索股调整计算公式见式(37)，控制方法为计算锚跨索股无应力长度与索股缆力双控，锚跨索股调整为复杂的控制过程。

(37)

式中，T_k为空缆状态锚跨索股张力；T_h为合理成桥状态下锚跨索股张力分布模式；Δl为合理成桥状态位置倒拆分析到实际空缆状态散索鞍位置锚跨索股有应力长度变化量；l₀为合理成桥状态的锚跨索股无应力长度；A′为主缆索股截面面积。

3 工程运用及算法比较 3.1 工程背景

工程研究背景为某跨越长江的单跨地锚式悬索桥，主梁采用钢箱梁，总体布置图如图 7所示，悬索桥主跨跨径为1 038 m，左侧与右侧边跨跨径分别为340，305 m，锚碇IP之间距离为1 683 m，矢跨比为1/9，设计基准温度为20 ℃。全桥共63对吊杆，吊杆与索夹和钢箱梁间采用销接式连接。

3.2 空缆状态参数误差

主缆索股架设完成后进行紧缆，对悬索桥各跨主缆几何信息进行连续测量，根据几何信息可以计算主缆实际架设长度。利用主梁称重质量和桥面铺装实测密度等数据得到恒载质量，进一步修正吊杆索力。空缆状态基础参数误差如表 1所示，吊杆索力修正值与设计值如图 8所示，本研究设计值均为原设计荷载及计算参数下的计算值。

3.3 合理成桥状态参数修正

“塔直梁平”是桥梁工程控制的目标，对于悬索桥而言，合理成桥状态控制目标除了主梁线形与设计值一致及索塔塔偏控制为零控制目标外，应保证锚跨索股张力均匀性以满足索股在成桥状态安全系数一致。根据第2节迭代计算方法得到基于空缆状态参数误差修正的合理成桥状态。如表 2所示，合理成桥状态索鞍位置相对设计位置发生变化，迭代计算中为适应这种变化通过改变吊杆间距进行调整，实桥中吊杆间距变化通过主梁间焊缝宽度进行调整。由于本桥主索鞍计算值相对设计位置往中跨移动，主梁焊缝宽度相应减少1 mm。两侧空缆状态锚跨索股张力修正值分别为300.9 kN和303.6 kN。

合理成桥状态吊杆无应力下料长度与索夹放样坐标对比值分别如图 9及图 10所示。吊杆下料长度修正值比设计值要短，32^#吊杆差值最大分别为15.0 cm，其差值曲线都类似抛物线形状。索夹1^#~56^#索夹放样修正坐标相对设计值往左边跨移动，1^#索夹最大差值为3.8 cm；57^#~63^#索夹放样坐标相对设计值往右边跨移动，63^#索夹最大差值为1.2 cm；误差值曲线呈现非线性形状。

3.4 实桥监测结果及分析

根据误差反馈数据修正的成桥状态控制技术参数如表 3及图 11所示。

由图 11所示，实测成桥状态主梁线形与设计值差值最大为5.8 cm，且呈现非线形形状；左侧及右侧索塔偏位控制在1.0 cm以内，满足规范要求；锚跨索股张力计算值与实测值整体误差率控制在1.0%左右。实际成桥状态控制参数与理想成桥状态控制存在误差原因是在迭代计算中没有将测量误差和制造误差考虑在内，测量误差和制造误差对于参数误差修正计算将是下一步重点研究工作。

若未进行悬索桥空缆状态参数误差修正，设计线性值与成桥状态主梁线形差值最大为12.8 cm，同时计算的成桥状态下索塔出现往中跨侧3.0 cm塔偏，锚跨索股张力整体误差率在3.6%左右。基于悬链线方程理论构建的中跨主缆修正计算方法，没有将影响整体计算精度的边跨主缆与锚跨索股考虑在计算分析中，计算路径的不闭合导致计算结果误差。本研究计算方法考虑锚跨、中跨及边跨主缆在各索鞍处力学平衡闭合迭代计算，具有计算精度高、迭代计算满足闭合条件等优势。

4 结论

(1) 本研究提出基于悬链线方程理论建立索鞍处非线性方程组及分段弹性悬链线理论建立各吊杆间迭代方程组，由几何相容条件联合迭代求解非线性方程组及迭代方程组得到各跨主缆力学参数，有效解决了悬索桥索鞍边界几何非线性迭代困难及收敛性问题，索鞍处切点位置及缆力的精确计算有利于提高主缆计算精度。该研究可为悬索桥设计及施工计算提供参考。

(2) 根据索鞍两侧主缆力学平衡条件依次对全桥各个索鞍位置进行迭代修正计算，直到全桥索鞍与主缆体系满足收敛要求，从而达到合理成桥状态。该方法实现了空缆状态参数误差修正闭合迭代计算，体现合理成桥状态参数误差修正与工程参数调整闭合性原则。

(3) 本研究算法应用于实际工程，实际成桥状态相关技术参数监测结果满足设计及规范要求，验证本研究方法的有效性和可行性。锚跨张力精细化计算分析为今后研究的重点内容。