0 引言

高强度螺栓连接是各类钢结构在施工现场进行装配式安装的主要连接方式，具有安装方便、连接紧密、强度高等优势，广泛应用于桥梁、输电塔、风力发电塔筒等钢结构工程^[1-4]。对钢结构螺栓连接节点进行优化设计或安全评估时，可采用有限元方法对其进行模拟分析以明确节点的受力状态。对极限状态下螺栓杆会发生较大变形的螺栓连接节点进行精细化模拟分析时，需准确考虑螺栓材料的真实应力-应变关系，以确保分析结果的准确性。

近年来，国内外学者对高强度螺栓的力学性能已进行了大量研究。Moore^[5]测试了4种强度、6种直径共1 533个螺栓在单轴拉伸和剪切状态下的强度，讨论了螺栓的抗拉及抗剪强度计算方法。Lange和Kawohal^[6-7]测试了常温、高温和高温后10.9级高强度螺栓在纯拉和拉剪耦合作用下的承载力，结果表明螺栓杆的极限强度随温度的升高而降低，高温下高强度螺栓的延性有所提高。Li等^[8]测试了96个12.9级高强度螺栓在拉伸、剪切、以及拉剪共同作用下的承载性能，并对各受力状态下高强度螺栓的力学行为进行了模拟分析。李同欣^[9]测试了10.9级高强度螺栓在轴向拉伸往复作用下的低周疲劳性能，分析了不同直径高强度螺栓在不同荷载幅作用下的疲劳失效模式和破坏特点。黄炳生等^[10]研究了不同加热温度及冷却方式下高强度螺栓材料的屈服强度、极限强度和弹性模量的变化规律，提出了相关力学性能的折减计算方法。淳庆和邱洪兴^[11]对摩擦型高强度螺栓连接节点裂纹扩展过程进行了有限元分析，提出了裂纹的几何形状因子计算方法，建立了裂纹扩展过程中应力强度因子与裂纹长度的函数关系。李传习等^[12]研究了不同连接方式下U肋的抗疲劳性能，结果表明采用高强度螺栓连接的U肋抗疲劳性能优于焊接U肋。Yang等^[13-14]对一种新型可拆卸螺栓连接件开展了推出试验并结合有限元模拟分析探讨了该连接件的失效模式和基本力学性能。张凡等^[15]建立了钢混高强度螺栓连接件在弹性阶段的承载力计算模型，并通过与试验结果比较验证了计算模型的准确性。综上所述，既有研究主要关注高强度螺栓的抗拉、抗剪、及拉剪共同作用下的承载力计算方法，并讨论了高温后高强度螺栓的力学性能计算方法及螺栓的疲劳性能，尚未有研究深入讨论高强度螺栓材料的真实应力-应变关系。

在金属材料应力-应变关系研究方面，国内外学者已开展了相关研究。Ling^[16]提出采用线性和幂函数组合关系式描述金属材料颈缩后的真实应力-应变关系，并结合有限元分析校核金属材料的真实应力-应变关系。Hertelé等^[17]对描述钢材应力-应变关系的Ludwik，Ramberg-Osgood，Hollomon，Voce，Swift和Ludwigson模型进行了综述，并提出了一个两阶段应变硬化模型以描述钢材颈缩前的真实应力-应变关系，但对颈缩后真实应力-应变关系未进行讨论。王少辉等^[18]推导了TC4钛合金材料颈缩区域最小直径的计算方法，然后计算出材料的真实应力与真实应变，最后通过Bridgman表达式对所得真实应力进行修正，得到了TC4钛合金材料的真实应力-应变曲线。Yun和Gardner^[19]提出了两种表达式用以描述热轧碳钢颈缩前的工程应力-应变关系。Liu等^[20]提出了一个三阶段应力-应变表达式以描述钛钢复合板颈缩前的工程应力-应变关系。以上两位学者分别提出采用多段表达式描述金属材料的工程应力-应变关系，未讨论所研究金属材料的真实应力-应变关系。Ho等^[21]采用有限元方法模拟S690Q钢材的拉伸试验，基于“瞬时截面法”即通过比较有限元分析和拉伸试验中试件颈缩区域的最小截面面积，连续修正有限元分析中的钢材真实应力-应变关系，提出了描述S690Q真实应力-应变曲线的分段函数表达式。Yang等^[22]采用Ling的方法校核了几种低碳钢和高强钢颈缩后的真实应力-应变关系，并指出幂函数有可能会高估高强钢颈缩后的真实应力-应变关系，不应认为幂函数为钢材颈缩后真实应力-应变关系的下界。Gu等^[23]提出了一个四参数表达式以描述具有负泊松比的高强高塑性钢全过程真实应力-应变关系，并且该表达式还可较准确地描述4种工程常用结构钢材的真实应力-应变关系。Xi等^[24]在低温条件下对Q960E钢材进行了单轴拉伸试验，测试了其力学性能，并提出了一个三阶段表达式以描述Q960E在低温条件下的全范围工程应力-应变关系。孙胜江等^[25]对钢-玄武岩纤维复合筋进行了抗拉性能试验，提出了该种材料工程应力-应变关系的拟合模型。综上所述，既有研究主要对相关金属材料的工程或真实应力-应变关系进行了讨论，尚未有研究深入讨论高强度螺栓材料的全过程真实应力-应变关系。

本研究以10.9级M20，M24，M30这3种直径高强度螺栓为研究对象，采用试验与有限元分析相结合的方法，研究高强度螺栓材料在单轴拉伸状态下的全过程真实应力-应变关系。首先对描述材料真实应力应变关系的Ludwik，Hollomon，Voce，Swift表达式的适用性进行了讨论，最后提出两种改进的Ramberg-Osgood表达式用以描述高强度螺栓材料的全过程真实应力-应变关系。研究结果可为高强度螺栓连接节点的精细化模拟分析提供参考。

1 螺栓材料拉伸试验 1.1 拉伸试件设计

近年来，10.9级M20~M30高强度螺栓在大跨径桥梁中得到了广泛应用^[26-27]。为此，以10.9级M20，M24，M30这3种直径高强度螺栓为研究对象，选用的螺栓杆长度分别为130，140，150 mm。每种直径螺栓各3个试件，编号分别为M20-T1~T3，M24-T1~T3，M30-T1~T3。螺栓及螺栓拉伸试件的尺寸如图 1所示，所有拉伸试件均通过车床进行加工，拉伸试件平行段位于螺栓杆无螺纹段。首次加工完成后，发现试件平行段尺寸存在偏差，为确保试件颈缩及断裂发生在平行段内，对平行段进行二次加工。最终平行段直径为9 mm，长度为55 mm，试件平行段的实测直径与设计直径的偏差在0.02 mm以内。

1.2 试验加载及测试方法

图 2所示为开展螺栓材料拉伸试验的加载及测试装置，采用300 kN电液伺服控制试验机在室温下开展拉伸试验。采用引伸计监测试验中试件标距段的拉伸变形，引伸计标距为50 mm，量程为25 mm。试件发生断裂后取下引伸计，以便获得高强度螺栓材料从加载至断裂的全过程工程应力-应变曲线。根据GB/T 228.1—2021进行单轴拉伸试验，采用位移控制加载，加载速度为0.5 mm/min。

1.3 试验结果

图 3为各螺栓试件的全过程工程应力-应变曲线，其中工程应力为试验拉力与试件平行段初始截面积之比，工程应变为引伸计伸长量与引伸计标距之比。螺栓拉伸试件的工程应力-应变曲线由4阶段组成：加载初期材料处于弹性阶段；当工程应变增至屈服应变后，随应变的增长应力变化较小，材料发生屈服；当应变发展至应变硬化初始点时，材料开始强化，工程应力随应变增大呈非线性增长直至达到极限强度；随后试件开始颈缩，颈缩区截面面积逐渐减小，工程应力不断下降，应变继续发展直至发生断裂。

由图 3(a)~(c)可知，各直径螺栓拉伸试件的工程应力-应变曲线在弹性、屈服、强化阶段重合度较高，而在颈缩阶段略有差异，但下降趋势基本一致。对于M20螺栓，M20-T2试件的屈服平台相对较短，其曲线在硬化阶段略高于M20-T1和M20-T3试件的硬化曲线。选取各直径螺栓T1试件的工程应力-应变曲线进行比较，如图 3(d)所示。曲线屈服平台的长度随螺栓直径的增大而变短；屈服平台越短，强化阶段曲线越高；试件发生颈缩后，3条曲线的下降趋势基本一致。后文基于图 3(d)所示的螺栓材料工程应力-应变曲线研究其真实应力-应变关系。

单轴拉伸试验中所有试件的拉伸断裂均发生在平行段内，如图 4所示。通过分析各试件的工程应力-应变曲线获得的高强度螺栓材料力学性能如表 1所示，其中屈服应变ε_y、极限应变ε_u分别为屈服强度σ_y与极限强度σ_u对应的应变。M20，M24拉伸试件有较明显的屈服平台，取其屈服阶段最小应力值为屈服强度；M30拉伸试件的工程应力-应变曲线无明显屈服平台，取其0.2%塑性变形的应力值为条件屈服强度^[28]。3组拉伸试件的屈强比σ_y/σ_u在0.93~0.97之间，断裂应变ε_f在12.0%~13.4%之间，两者均随试件直径的增大而略有减小。极限强度σ_u在1 116.1~1 170.3 MPa之间，随拉伸试件直径增大而略有增大。

2 有限元模拟 2.1 有限元模型

采用Abaqus^[29]对拉伸试验进行模拟，图 5为螺栓材料拉伸试验的有限元模型，模拟中采用螺栓拉伸试件的设计尺寸。为提高计算效率，有限元模型中减少了拉伸试件两端夹持部分的长度。在拉伸试件两端中心分别建立参考点，将拉伸试件的两个端面分别与对应的参考点完全耦合，边界条件施加于两端参考点。将模型左端参考点RP-1完全固定，对模型右端参考点RP-2施加轴向位移。采用Abaqus中的显式动力求解器对拉伸试验进行准静态模拟分析。单元网格尺寸设置为1 mm，选用八节点六面体减缩积分单元C3D8R模拟试件在轴向拉伸荷载下直至发生颈缩大变形的力学行为，采用Mises屈服准则描述材料的屈服面。在显式动力分析中，设置总加载时间为200 s，目标时间增量为0.002 s。在有限元分析结果中，通过提取各增量步参考点RP-1的反作用力和试件标距段的伸长量，计算试件的有限元分析工程应力-应变曲线，并与相应试验结果进行比较。

2.2 真实应力-应变关系模型

采用有限元方法对螺栓材料拉伸试验进行模拟分析时，需输入螺栓材料的真实应力-应变关系。在材料达到其极限强度之前，可采用式(1)、式(2)将实测的工程应力-应变关系转化为真实应力-应变关系。

(1)

(2)

式中，σ_e，ε_e为工程应力和应变；σ_t，ε_t为真实应力和应变。

材料颈缩后，式(1)、式(2)已不适用，此时可借助相关应力-应变表达式对材料颈缩后的真实应力-应变关系进行外推。

(1) Ludwik模型

1909年，Ludwik^[30]提出了第1个常用的应力-应变关系模型，其表达式为：

(3)

式中，σ_y为屈服强度; ε_p为塑性应变; A，n为拟合参数。

Ludwik模型必过屈服点，且应力值无上限，属于定初值非饱和模型。

(2) Hollomon模型

1945年，Hollomon^[29]为了使表达式更简洁，从Ludwik表达式中删除了参数σ_y，得到了如下表达式：

(4)

式中ε为真实应变。

Hollomon是一种典型的全应变外推模型，又称纯幂硬化函数，且模型应力值无上限，属于非饱和模型。

(3) Voce模型

1948年，Voce^[31]首次提出用指数函数描述金属材料的应变硬化，其表达式为：

(5)

式中A，B为拟合参数。

Voce模型必过屈服点，且存在应力上限值，属于定初值非饱和模型。

(4) Swift模型

1952年，Swift^[32]基于Hollomon模型，提出了另一个幂函数，其表达式为：

(6)

Swift模型不过定点，且应力值无上限，属于不定初值非饱和模型。

2.3 基于硬化段真实应力-应变的拟合

分别基于上述4种表达式对M20-T1，M24-T1，M30-T1试件颈缩前的真实应力-应变曲线进行拟合。采用该4种表达式对真实应力-应变曲线的硬化阶段拟合效果最好，因此采用此种拟合方式对螺栓材料颈缩前硬化阶段的真实应力-应变曲线进行拟合，然后外推螺栓材料颈缩后的真实应力-应变曲线。表 2列出了这4种应力-应变关系的表达式及拟合分析所得参数值。采用上述4种表达式拟合M20-T1，M24-T1，M30-T1试件真实应力-应变曲线的硬化阶段并进行外推，随后，将其转换为真实应力-塑性应变关系，采用Abaqus对各试件的单轴拉伸试验进行模拟分析。图 6所示为M20-T1，M30-T1试件的真实应力-应变曲线，图 7所示为M20-T1，M30-T1试件的有限元分析与实测工程应力-应变曲线的比较情况。

Ludwik，Hollomon，Swift表达式均高估了螺栓材料颈缩后的真实应力，此3种表达式拟合的真实应力随应变的增长而快速增大，最终超过材料的实际真实应力。Voce表达式是饱和外推模型，拟合所得的真实应力上限值接近颈缩时的真实应力σ_n，而实际颈缩后的真实应力应大于σ_n，因此该表达式低估了螺栓材料颈缩后的真实应力。综上所述，上述4种应力-应变表达式均无法准确描述高强度螺栓材料在拉伸大变形状态下的真实应力-应变关系。

3 改进的Ramberg-Osgood表达式

Ramberg-Osgood^[33]表达式为：

(7)

式中，ε，σ为真实应变和真实应力；A，B，n为相关参数。该表达式可较准确描述金属材料在小变形下的弹塑性应力-应变关系，当材料发生较大塑性变形时存在较大偏差^[34]。鉴于Ramberg-Osgood(以下简称RO)表达式较为简洁，仅用单个表达式描述材料的真实应力-应变关系。因此本研究对RO表达式进行改进，分别提出基于颈缩前真实应力-应变关系及硬化阶段真实应力-应变关系对RO表达式中的相关参数进行计算，然后外推螺栓材料颈缩后的真实应力-应变关系。

3.1 基于颈缩前真实应力-应变

在真实应力-应变曲线中，将开始发生颈缩时的应变和应力表示为(ε_n, σ_n)，其与工程应力-应变曲线中(ε_u, σ_u)相对应。将(0, 0)与(ε_n, σ_n)之间的真实应力-应变关系进行归一化处理，如式(8)，式(9)及图 8所示。

(8)

(9)

参考式(7)得到改进后的RO表达式为：

(10)

归一化后曲线经过(1, 1)，代入式(10)得：

(11)

基于式(11)可得应力-应变归一化曲线的切线模量E为：

(12)

取归一化曲线起点的切线模量为E₀，末点的切线模量为E₁，则有：

(13)

(14)

联合式(13), 式(14)得：

(15)

归一化曲线起点和末点的切线模量可分别表示为：

(16)

(17)

式中E为弹性模量。

已知螺栓材料的弹性模量E，开始发生颈缩时的应变ε_n和应力σ_n，首先根据式(16)、式(17)计算E₀，E₁，然后根据式(13)、式(14)分别计算A，n，将A，n代入式(11)可得到基于改进RO表达式的螺栓材料真实应力-应变关系，将此方法记为RO-1模型。

3.2 基于硬化阶段真实应力-应变

在螺栓材料真实应力-应变曲线中，开始发生应变硬化时的应变和应力为(ε_sh, σ_sh)。将应变硬化阶段的真实应力-应变曲线做归一化处理，如式(18)、式(19)及图 9所示。式(10)~(15)同样适用于基于应变硬化阶段真实应力-应变曲线的RO模型参数确定。

(18)

(19)

取归一化曲线起点的切线模量为E₀，曲线末点的切线模量为E₁，则有：

(20)

(21)

根据Yun和Gardner^[18]的研究，钢材工程应力-应变曲线中应变硬化初始阶段的硬化模量E_sh可表示为：

(22)

式中，σ_u为材料极限强度; ε_u为相应的工程应变；σ_sh，ε_sh分别为应变硬化起点的应力和应变; C为常数。

本研究采用(ε_n, σ_n)替代式(22)中的(ε_u, σ_u)，并通过调整C的量值计算真实应力-应变曲线中应变硬化初始阶段的硬化模量E_sh：

(23)

将式(23)代入式(20)，可得起点切线模量E₀为：

(24)

由式(24)可知，E₀为常数，即可将其设置为校核参数。如图 10所示，改进RO曲线的初始应变硬化模量随E₀的增大而增大。已知螺栓材料应变硬化起点的应变ε_sh和应力σ_sh，以及开始发生颈缩时的应变ε_n，应力σ_n，采用式(21)计算E₁；然后根据式(13)、式(14)分别计算A，n，将A，n代入式(11)即可得到基于硬化阶段真实应力-应变关系的RO曲线，将此方法记为RO-2模型。

3.3 模拟曲线与试验曲线的比较

图 11所示为基于RO-1方法的3种直径螺栓材料真实应力-应变关系，M30的真实应力-应变关系稍高于M20和M24的真实应力-应变曲线，3条曲线均呈递增趋势。基于图 11所示的真实应力-应变关系分别对3种螺栓进行有限元模拟分析，图 12所示为M20和M30螺栓材料的有限元分析和实测工程应力-应变曲线的比较情况，两者整体吻合度较高，但基于RO-1方法会略微高估材料在屈服及强化阶段的真实应力。

基于RO-2方法对3种直径螺栓材料的真实应力-应变关系进行校核。图 13所示为不同E₀量值下M20和M30的真实应力-应变关系。随E₀量值的增大，颈缩后材料的真实应力呈增大趋势。图 14所示为基于RO-2模型的M20和M30有限元分析和实测工程应力-应变曲线比较情况。对于M20-T1，M30-T1试件，有限元分析和实测工程应力-应变曲线吻合度最高时，对应的E₀量值分别为1.35，1.45。表 3给出了3种直径高强度螺栓材料基于RO-2模型的参数校核及计算结果。

基于两种改进RO模型分别获得各直径螺栓的全过程真实应力-应变关系，对拉伸试验进行有限元模拟，图 15所示为有限元分析与实测的工程应力-应变曲线比较结果。有限元分析中采用基于RO-2方法的真实应力-应变关系，得到的工程应力-应变曲线与实测曲线吻合度更高，但需对参数E₀进行多次校核，RO-1方法则相对简便。因此，在可接受误差范围内，推荐采用RO-1方法描述高强度螺栓材料的真实应力-应变关系。对于需要精确考虑螺栓材料真实应力-应变关系的有限元分析，则推荐采用RO-2方法获得高强度螺栓材料的全过程真实应力-应变关系。

4 结论

(1) 本研究中高强度螺栓材料的屈强比与断裂应变随螺栓直径的增大略有减小，其极限强度随螺栓直径的增大而略有增大。

(2) Ludwik，Hollomon，Voce，Swift这4种应力-应变表达式均无法准确预测高强度螺栓材料颈缩后的真实应力-应变关系，Hollomon，Swift，Ludwik表达式会高估螺栓材料颈缩后的真实应力，Voce表达式则会低估。

(3) 基于归一化颈缩前的真实应力-应变关系提出改进的Ramberg-Osgood表达式可较准确地描述高强度螺栓材料的全过程真实应力-应变关系，其在强化阶段会略微高估螺栓材料的真实应力。

(4) 基于归一化硬化阶段真实应力-应变关系提出改进的Ramberg-Osgood表达式可更为准确地描述高强度螺栓材料的全过程真实应力-应变关系。在模拟螺栓杆断裂等精细化有限元分析中，推荐采用此方法描述高强度螺栓材料的真实应力-应变关系。

(5) 本研究基于高强度螺栓材料单轴拉伸试验对其单轴拉伸下的真实应力-应变关系进行了研究，以此为基础，可进一步校核适用于高强度螺栓材料的延性断裂模型，并讨论高强度螺栓在拉伸、剪切及拉剪耦合状态下的塑性及断裂行为。