0 引言

近年来随着经济发展，高速铁路大量建设，高速列车在行驶过程中的安全和平稳也受到了越来越多的关注，列车在经过铁轨时会产生地基动力，会导致地基和钢轨的变形。随着现在列车的行驶速度越来越快，引发了越来越剧烈的动力响应，对地基的威胁也随之增大。由此有必要对动荷载作用下地基的动力响应问题进行研究。

对于类似问题，国内外已经有很多学者进行了研究，Sneddon^[1]对弹性半空间在移动荷载作用下的稳态响应问题，利用积分变换方法进行了求解。Eason^[2]采用积分变换方法，对均质各向同性、单相介质半空间在移动荷载作用下的问题进行了求解。Payton^[3]对单相介质半空间在移动线荷载作用下的动力响应问题进行了求解。Kim^[4]用傅里叶变换方法，对弹性地基在匀速移动简谐荷载作用下的动力响应问题进行了求解。Cai^[5]等对矩形移动荷载作用下，单相介质半空间地动力响应问题，采用解析方法对稳态解进行了求解。樊金甲^[6]采用动态空心圆柱扭剪试验的方法，对软黏土在复杂交通荷载应力路径作用下的变形特征进行了研究。刘丁铭^[7]采用GDS循环三轴仪并开展三轴试验, 深入探究了循环荷载作用下吹填钙质砂的动力特性。

以上研究基本都针对单相弹性介质在荷载作用下的动力响应问题进行了求解，但大多实际情况，土体介质并不适合简化为单相介质处理，而是含水的饱和土介质或多相介质。Frenkel最早对饱和多孔介质动力特性进行了研究，之后，Biot^[8]在Frenkel的基础上提出了饱和孔隙介质动力理论，该理论具有形式简单、模型参数物理意义明确、试验测量容易等优点而广泛应用于各领域。许多学者利用Biot理论，对饱和土地基在移动荷载下的动力响应进行了研究。Siddharthan^[9]基于Biot理论，提出了一种更加高效的半解析方法，解决了平面应变情况下饱和土介质的动力响应问题。Theodorakopoulos^[10]等采用Biot理论，对移动荷载作用下饱和弹性多孔介质的动力响应问题，利用傅里叶级数展开法进行了求解。Lu^[11]采用Biot理论，运用傅里叶变换方法求解，对半空间饱和土介质在移动点载荷作用下动力响应的解析解进行了推导。孙宏磊^[12]采用Biot理论，将土体假设为横观各向同性的饱和土介质，采用半解析法对条形移动荷载作用下的动力响应问题进行了求解。Xu^[13]基于Biot理论，运用三重傅里叶变换，成功地提出了传递反射矩阵法(TRM)，并应用该方法解决了移动荷载下饱和土半空间的动力响应问题。胡安峰^[14]采用Biot理论，对移动线荷载的影响下，将下卧基岩饱和地基的动力响应问题作为平面应变问题处理并进行了求解。孙波^[15]采用Biot理论，用傅里叶变换与傅里叶逆变换对移动荷载作用下饱和土地基中波的传播特性问题进行了求解。李奎奎^[16]等研究了两层半空间中的饱和-非饱和土在矩形移动荷载下的动力响应问题。

上述有关饱和土体在移动荷载下的动力反应的研究，主要是建立在经典Biot理论基础上。然而，Biot理论是基于波长远大于孔隙尺寸建立的。Lee^[17]等通过试验发现，入射波频率在0.3 MHz至1.0 MHz时，波速呈现出明显的负色散现象，而运用Biot理论却无法预测出该现象。原因在于随着频率的增加，入射波波长变短，此时波长接近甚至小于孔隙尺寸，导致波无法轻易绕过土颗粒传播，使得波动散射增强。为解决这个问题，Tong^[18]等人考虑孔隙尺寸效应的影响，并对孔隙尺寸效应对波的传播特性进行了研究，发现在饱和土中孔隙尺寸效应对波的传播特性不容忽视，通过引入非局部参数，对经典的Biot理论进行改进，从而提出了非局部Biot理论。

综上所述，本研究考虑孔隙尺寸效应和矩形荷载作用下的饱和土地基计算模型，并且对矩形移动荷载作用下的饱和土地基的动力响应问题进行求解，研究了在不同模态和不同非局部参数的取值下，矩形荷载移动速度和荷载自振频率的变化对饱和土竖向和水平位移响应的影响，其中孔隙尺寸效应影响强弱通过非局部参数的取值大小表示。

1 控制方程及求解

非局部Biot理论控制方程为

(1)

(2)

根据Helmholtz分解原理，土骨架位移u和流体对固体的相对位移w可以通过引入土骨架及流体标量势函数φ_s，φ_f；土骨架及流体矢量势函数ψ_s, ψ_f来表示：

(3)

将式(3)代入非局部Biot理论的控制方程中可得：

(4)

由于所考虑的是平面应变问题，因此，方程式(4)中的拉普拉斯算子可表示为▽²=∂²/∂x²·∂²/∂z²。引入时域和频率内的傅里叶变换对：

(5)

采用式(5)对式(4)进行傅里叶正变换，可得：

(6)

由此可得：

(7)

式中：

式(7)为坐标(x, z)的偏微分方程，无法直接求解。为得出势函数解析解，引入对坐标x的傅里叶变换对：

(8)

采用式(8)对式(7)进行傅里叶变换，可得：

(9)

令：r₁²=k²-k₁²，r₂²=k²-k₂²，s²=k²-k₃²，可得：

(10)

上述方程均是标准形式的波动方程，可直接写出其解的形式为：

(11)

式中，和 为土骨架中快波及慢波势函数；A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂均是常量待定系数，可由特定的边界条件求出。由式(6)可知，流体中势函数与土骨架中势函数之间存在一定比值关系，由此可得流体中势函数为：

(12)

式中，ζ₁，ζ₂和ζ₃为比值系数，其表达式为：

非局部应力的近似表达式为σ_ij=σ_ij^L+τ²▽²σ_ij^L，将局部应力σ_ij^L的表达式代入式(12)可得：

(13)

由此，可得直角坐标系下，饱和土中位移、应力与势函数关系如下：

(14)

式中，u_x，u_z分别为土骨架水平及竖向位移；w_x，w_z分别为流体相对土骨架的水平及竖向位移；σ_zz，σ_xz及P_f分别为竖向应力、切向应力及孔隙水压力; ψ₁和ψ₂分别为矢量ψ_s和ψ_f的第二分量。

2 计算模型及求解

矩形荷载作用下饱和土地基动力响应计算模型如图 1所示，饱和土层上表面作用沿x轴正方向宽度为2l，矩形移动荷载大小可以表示为F(x)=F=4×10⁵ N/m²，荷载移动速度为v，假设路基表面为透水边界条件。假设上述荷载是周期变化的，并将其展开为傅里叶级数形式，为保证在下一个周期开始之前，之前的波已完全衰减，应该选取一个足够长的“静止”区域，此处选取的“静止”区域长度为2L，如图 1所示。

因此，t=0时刻，可将整个区间的荷载方程写成如下形式：

(15)

将上式展开为傅里叶级数形式，可得：

(16)

式中，Re代表谐波F_n和参数λ_n的实部；整个荷载方程(包括静止区域)在区间长度为2L上分成2N+1个等间距点，每个点间距为Δ_x=0.1，此处选取2N=4 096，因此，式(16)可表示为

(17)

式中, 。

该类问题的边界条件为：

(18)

采用式(8)对式(18)进行双重傅里叶变换可得：

(19)

从而可求解出移动矩形荷载下波数-频率内地基的位移及孔压响应，进行二次傅里叶逆变换即得出时域内动力响应解析解。

3 数值结果与讨论

以下为本研究求解得到的不同模态和自振频率下，饱和土体地表竖向位移及水平位移随荷载移动的速度变化曲线。

图 2(a)~(c)是模态(n=1, 5, 9)3种情况下，荷载自振频率取到50 Hz时移动速度变化对竖向位移的影响曲线，图 2(d)是前15个模态累计相加的结果曲线。根据图 2(a), 在低模态下(n=1)下，不同非局部参数的竖向位移曲线基本重合，此时τ对竖向位移大小的作用很小。图 2(a)中，响应峰值所在的荷载移动速度的位置在不同的τ取值处接近于同一位置，在荷载移动速度大约34 m/s处。在图 2(b)中可以看出，当模态n=5的时侯，在不同τ的取值下，响应峰值随着τ的增大而增大，且随着τ取值的增加，响应峰值所在位置对应的荷载移动速度逐渐降低，图中可以看出峰值逐渐增大且向左移动。在图 2(c)中可以看出，当模态n=9时，τ取值越大竖向位移的峰值越大且向移动速度较小一端移动，其竖向位移响应幅值的大小是图 2(a)的竖向位移响应幅值的0.3%左右。对比图 2(a)~(c)可知，竖向位移响应主要依赖于低模态(n=1)。如图 2(d)所示，将前15项累计相加得到的的曲线与模态n=1时的曲线对比基本一致。

当荷载自振频率取到100 Hz时，荷载移动速度变化对竖向位移的影响如图 3所示。在低模态下，其规律与图 2一致，τ对竖向位移响应的作用很小。而模态取值n=5, 9时，其响应峰值随着τ的变大而变大，并且随着τ的变大，响应峰值位置相对应的荷载移动速度也逐渐减小，图中可以看出峰值逐渐增大且向左移动。图 2(c)与图 3(c)所展现的结论均与理论预测的结果一致。

图 4为荷载自振频率取50 Hz的时候，荷载移动速度变化对水平位移的影响曲线，图 4(d)是前15个模态累计相加后的结果。由图 4(a)可知，在低模态下(n=1)和不同τ取值下，水平位移大小没有出现明显的变化，此时非局部参数对水平位移大小的影响非常小。当模态n=5时，对比图 4与图 2可以看出，位移峰值大小随τ的增加的变化规律相反，响应峰值随着τ的增大而减小。原因在于τ越大孔隙尺寸也越大，而只有竖向荷载时，则会降低泊松比，从而降低水平位移。如图 4(c)所示，当模态取n=9时，τ对水平位移大小的影响越来越大，在τ取值逐渐增加时，响应峰值变化的幅度相较于图 4(b)中的幅度更大，峰值向左移动的幅度也越大。水平位移的响应规律类似于竖向位移，由图 4(d)的前15项累计相加得到的结果曲线可知，在低模态(n=1)时，其水平位移变化趋势基本一致。

当荷载自振频率取到100 Hz时，荷载移动速度变化对水平位移的影响如图 5所示。在低模态下，其规律与图 2一致，τ对水平位移响应的作用很小。而模态较高时，随着τ取值的增加，响应峰值随着τ的增大而减小，且随着τ取值的增加，响应峰值所在位置对应的荷载移动速度逐渐降低，图中可以看出峰值逐渐减小且向左移动。

为了更深入地研究自振频率大小和τ的取值对位移响应的影响，图 6到图 9分别给出了荷载移动速度分别为20 m/s和80 m/s时，荷载自振频率的变化对竖向及水平位移在不同模态下的影响曲线。由图 6可知，在低模态下(n=1)和不同τ取值下，竖向和水平位移大小没有出现明显的变化，此时τ对位移大小的影响非常小。从图 6(b)，(c)可以看出，当模态n=5和n=9时，竖向位移大小随着τ取值的增大而增大，而竖向位移响应的幅度较小。将前15项累计相加得到的结果曲线与低模态(n=1)对比可知，其规律与上文一致，结果如图 6(d)所示。

图 7(a)、图 6(a)表明，在荷载移动速度增加至v=80 m/s时，竖向位移响应峰值所在位置对应的荷载自振频率逐渐降低且峰值向左移动。图 7(b)、图 7(c)表明，在模态(n=5，9)时竖向位移响应峰值与非局部参数呈正比例关系，与荷载自振频率呈负相关，其最大峰值约为图 7(a)峰值的0.19%。将前15项累计相加得到图 7(d)，通过对比得出竖向位移的变化大小和趋势基本一致，说明了竖向位移响应的幅度主要取决于低模态(n=1)。

图 8为荷载移动速度v=20 m/s时，在不同模态和不同τ取值下随荷载自振频率变化的水平位移曲线。由图 8(a)可知，在低模态(n=1)下，不同的τ值对水平位移的作用很小，其规律类似于竖向位移。而当模态取到5或9时，水平位移响应随τ的增大而减小。

从图 8、图 9可以看出，当荷载移动速度从v=20 m/s增加到80 m/s时，其峰值所在位置向频率较低一端移动。从图 9(b)，(c)可知，水平位移峰值随着τ取值增大而降低，并且图中峰值所在位置的荷载自振频率随着τ的增大而减小。

将前15项累计相加得到的结果曲线与低模态(n=1)对比可知，其规律与上文一致，结果如图 9(d)所示。

4 结论

本研究基于非局部Biot理论，对路基表面考虑透水边界条件和矩形荷载作用的饱和土地基的水平和竖向位移响应问题进行了求解，分析了非局部参数、荷载移动速度、荷载自振频率等因素的影响，得出了以下结论：

(1) 非局部参数对位移峰值有影响，其规律主要为随着非局部参数的增加，竖向位移峰值逐渐增加，而水平位移峰值逐渐减小，并且位移响应的幅度主要取决于低模态(n=1)。位移随荷载自振频率的变化会受到非局部参数的影响，随着非局部参数增大，位移响应峰值会在更低的荷载自振频率处出现，位移响应峰值向左移动。

(2) 荷载自振频率会影响位移随荷载移动速度的变化，并且随着荷载自振频率的增加，在较低荷载运动速度下会出现位移响应峰值。

(3) 荷载移动速度会影响位移随荷载自振频率的变化，随着荷载移动速度的增大，位移响应峰值会在更低的荷载自振频率出现。