0 引言

隧道在运营期间会出现排水管道结晶的现象，所生成的结晶体可能导致排水管道完全堵塞致使排水系统失效。因此针对隧道排水管道结晶堵塞的研究已成为隧道工程领域的热点课题之一。

管道结晶堵塞机理方面，田崇明等^[1]通过现场调研及文献调研总结得出隧道排水管道结晶堵塞的4个过程；Kostoglou M等^[2]研究发现，溶液中的晶体沉积是结晶离子发生化学反应而析出在材料表面形成的；詹树高等^[3]经现场调查取样并分析得出Ca²⁺, Mg²⁺等离子，与溶解在水中的CO₂发生反应，生成结晶堵塞排水管道；Helalizadeh A等^[4]研究发现产生成垢结晶的机理在不同流速下是不同的；郭小雄^[5]和杨长根等^[6]进行室内试验分析得出结晶体的形成受排水系统的酸碱性、温度压强及CO₂共同影响；邢晓凯等^[7]明确了结垢过程受过饱和度和流速正向影响。叶飞等^[8]通过室内试验发现水泥、速凝剂以及地下水的酸碱性影响结晶的生成；蒋雅君等^[9]认为隧道排水系统的堵塞有化学反应生成的结晶堵塞和碎屑沉积堵塞两种来源。徐筱等^[10]通过腐蚀性分析和饱和指数法测量隧道地下水的离子成分和浓度，研究不同流率、排水坡度和触角材料对排水管内结晶增长的影响。由于客观条件的限制，所以利用计算机软件对管道结晶过程进行模拟总体效果更好。Brahim^[11]使用CFD软件提出了“虚拟污垢”的模拟理念，并且考虑入口流速与流体密度的修正；范波^[12]针对虚拟污垢法的流速表达式进行了修正，考虑到因管道变窄引起的流速变化，更合理地描述实际流场和温度场；Zhang等^[13]运用Matlab编辑程序实现了管道结构随着结晶层厚度改变而改变的目的，并将其通过Comsol软件实现了CaSO₄在管道中结晶过程的模拟；吕恒花等^[14]通过建立化学反应模型，利用表面反应速率，从二维层面计算管道壁面的结晶速率，但没有考虑温度场改变与结晶过程之间的相互影响；金贞花等^[15]通过对结晶的沉积脱除模型和传热方程进行研究，发现垢层结晶影响传热效果，并基于此考虑耦合作用建立了结晶预测模型，但模型在只能体现时间维度上结晶量的变化，空间维度上结晶垢层的分布无法体现。

国内外针对结晶机理的研究，对于宏观的流体动力学影响少有分析；针对结晶过程数值模拟的研究未能考虑化学反应生成的结晶颗粒受到流体作用力的影响；针对结晶速率量化的研究仍然不足。本研究通过考虑化学反应生成和流体作用力之间的流固耦合建立隧道排水管道CaCO₃结晶沉积速率数值模拟模型，分析不同流体流速、温度、Ca²⁺浓度对CaCO₃结晶沉积的影响，根据无量纲法推导出CaCO₃结晶沉积速率关联式，并通过室内试验进行验证。

1 CaCO₃结晶沉积速率数值模拟模型

结合前人^[16-20]对隧道排水管道结晶沉积过程和机理的分析，明确隧道排水管道CaCO₃结晶是在化学反应机理和流体动力机理共同作用下进行，由此建立基于化学反应模型与离散相模型(DPM)的隧道排水管道CaCO₃结晶沉积速率数值模拟模型。化学反应模型与DPM模型关系如图 1所示。

1.1 化学反应模型

根据对隧道排水管道结晶机理的分析可知，隧道排水管道内Ca²⁺和HCO₃^-发生化学反应形成难溶于水的CaCO₃，并逐渐聚集沉积到排水管道壁面上形成了结晶层。在这个过程中发生化学反应，存在质量传递，因此模拟时需对化学反应过程进行计算。

针对流动过程中的化学反应，目前Fluent软件中的有限速率模型常被用于壁面以及颗粒表面的化学反应问题，由用户自定义化学机理来描述化学反应过程，之后求解化学组分运输方程。结合隧道排水管道中的CaCO₃结晶过程，能够较好地契合其本质，因此本研究采用有限速率模型来考虑CaCO₃结晶过程中的化学反应。

有限速率模型的质量守恒方程为：

(1)

式中，ρ为物质密度；t为时间；Y_i为质量分数；v为速度分量；J_i为物质的扩散通量；R_i为净产生速率；S_i为质量源项。

1.2 离散相模型(DPM)

因为隧道排水管道整体范围及水流过水断面面积较小，因此将隧道排水管道中的水流视为不可压缩流体。DPM采用欧拉法对连续相——流场整体进行计算，管道中的流体需要满足质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律。

连续相流体的3个控制方程为：

(2)

(3)

(4)

式中，ρ为流体密度；S_M为质量方程的源项；p为流体压力；μ为流体的动力黏度；u_i，u_j为流体时均速度分量，其中i，j可取1，2，3 m/s；u_i′，u_j′为流体脉动速度分量；S_i为动量方程的源项；T为温度；k为导热系数; C_p为比热容; S_T为能量方程源项。

隧道排水管道中的结晶堵塞现象，主要是由CaCO₃结晶颗粒在管道壁面上沉积引起的，因此需要对固体结晶颗粒的运动轨迹进行模拟。DPM采用拉格朗日法描述离散相。对于隧道排水管道，可以采用DPM的非稳态来计算管道中CaCO₃结晶颗粒的分布。在笛卡尔坐标系中，通过积分颗粒作用力微分方程来求解离散相颗粒的轨道，结晶颗粒的作用力平衡方程的形式为：

(5)

(6)

(7)

式中，d_p为颗粒直径；u_p为颗粒速度；u为流体速度；C_D为曳力系数；Re为相对雷诺数；g_x为重力加速度；F_D单位质量下固体结晶颗粒的曳力；F_x为x方向的其他作用力；ρ_p为颗粒密度；μ为流体的黏度。

隧道排水管道中的流动状态属于湍流状态，故采用标准k-ε湍流模型对流态进行描述。利用流体的平均流速u与式(5)分析CaCO₃结晶颗粒的移动轨迹。

沿着各个坐标方向对轨迹方程进行求解，即可得到CaCO₃结晶颗粒的轨迹：

(8)

对于任意一个给定的时刻，利用Fluent求解式(5)和式(8)，即可得到管道中CaCO₃结晶颗粒的移动轨迹。

1.3 双向耦合计算

在排水管道CaCO₃固体颗粒沉积中，管道内部离散相与连续相之间的耦合主要指动量的耦合。传递的动量值可计算管道中CaCO₃颗粒的动量变化得到，后续的液相计算中应用该动量值可实现动量之间的相互影响。之后对液相与固相的控制方程进行交替求解，直至收敛，实现耦合计算。液相与固相之间的动量变化值计算方程为：

(9)

式中，F为传递的动量值；F_other为其他相间作用力；为CaCO₃颗粒的质量流量；Δt为时间间隔。

1.4 边界条件

模拟中需要确定的边界条件包括：进出口边界条件、壁面条件以及液相和离散相的边界条件。

液相边界条件：在管道入口处定义流体的入口速度，以速度入口作为边界条件；出口边界条件为出流边界；壁面为无滑移管壁。

离散相边界条件：管道入口处设置为面射流源，颗粒为CaCO₃颗粒，密度大小为2.93×10³ kg/m³；管道内颗粒质量流量设置为1×10^-15 kg/s；以捕捉边界条件为壁面边界条件。

2 CaCO₃结晶沉积速率数值模拟结果及分析 2.1 化学反应速率常数设置

排水管道内发生的CaCO₃结晶反应化学如式(10)所示，通过式(11)计算化学反应速率r，随后通过式(12)来计算反映化学反应速率快慢的参数反应速率常数k。

(10)

(11)

(12)

式中，m_CaCO3为碳酸钙的生成量；r为化学反应速率；M_CaCO3为分子质量，M_CaCO3=100 g/mol；k为反应速率常数；c_Ca²⁺为钙离子浓度；c_HCO3^-为碳酸氢根浓度。

通过式(11)~ (12)处理已有室内CaCO₃结晶试验数据，可解得式(10)所示化学反应过程的化学反应速率和反应速率常数，如表 1所示。并在化学反应流动数学模型中依照该数值进行模拟。

2.2 管道流场分析

本研究依据隧道排水管道常使用的DN110波纹管尺寸，对隧道排水管道尺寸进行设置。管道长度为1 m，管道直径为97 mm，重力沿z轴方向，为9.81 m/s²，管道进口为坐标原点处，x轴为流体流动方向，管道另一端为出口。管道模型的网格划分采用扫略网格划分方式。

当v=1.3 m/s，T=293 K及Ca²⁺质量分数为1×10^-4时，管道内CaCO₃分布图如图 3所示。由图 3可见，在管道入口的位置没有CaCO₃颗粒，随着流体沿着管道流动过程中化学反应不断进行，同时CaCO₃在重力等多种力的作用以及管道壁的吸附作用下，结晶粒子向管道下部沉积。在距离管道入口处0.164 m处沉积的CaCO₃质量分数达到最大值为1.274×10^-6，之后沉积的CaCO₃质量分数均未发生改变。

2.3 正交试验条件下的CaCO₃沉积规律分析

为明确流速、温度及Ca²⁺浓度3种因素共同作用于隧道排水管道CaCO₃结晶过程中各影响因素的显著性以及主次顺序，本研究采用3因素3水平的正交试验方案进行数值模拟设计。正交试验条件下各项因素具体水平以及实际沉积的CaCO₃质量分数如表 2所示。

表 2中数据显示，随着流速的增加，实际沉积的CaCO₃质量分数下降，但是下降的趋势在减小，究其原因，是因为流速的增加会导致流体对管道壁面上的CaCO₃颗粒的冲刷作用增大，造成CaCO₃颗粒从管道壁面上脱落；而随着温度或Ca²⁺浓度的增加，实际沉积的CaCO₃质量分数近似线性增大，是由于温度和Ca²⁺浓度的增大均可导致正向化学反应速率加快，进而使得CaCO₃沉积量增大。

极差R反映了各个影响因素对于试验结果的主次关系，极差R越大说明该因素对试验结果的影响越明显，则为主要因素；极差R越小说明该因素对试验结果的影响越不明显，则为次要因素^[21-23]。由表 2正交试验结果可以看出，针对不同影响下的隧道排水管道的CaCO₃结晶沉积规律的研究中，流速、温度、Ca²⁺浓度这3个的“主次”关系为：Ca²⁺浓度＞流速＞温度。

3 基于无量纲法的CaCO₃结晶沉积速率关联式

通过数值模拟的结果分析可知，CaCO₃结晶沉积速率是多种影响因素共同作用的结果。本章通过无量纲理论，结合数值模拟结果，针对隧道排水管内的CaCO₃结晶速率进行定量分析。

3.1 量纲的确定

对于管道中CaCO₃结晶的定量分析，主要包括析晶过程和结晶脱离两个过程，两者的差值即为最终的结晶量。影响析晶过程的主要因素包括Ca²⁺浓度(即溶液硬度)、流体的运动黏度、管径、流速、流体温度以及结晶表面温度。而影响脱除过程的主要影响因素包括结晶层的密度、结晶层的导热系数以及碳酸钙颗粒的粒径，因为结晶层是由结晶物质(CaCO₃)以及流体共同组成的，所以对于结晶层密度和结晶层导热系数两种影响因素，需要将其分为流体密度、结晶体密度以及流体导热系数、结晶体导热系数来考虑。

综上所述，隧道排水管道CaCO₃结晶沉积率问题的参量包括了结晶沉积率m_d、硬度c、流速v、运动黏度μ、管径d、流体温度t_b、结晶表面温度t_i、颗粒粒径r、流体密度ρ_l、结晶体密度ρ_s、流体导热系数λ_l以及结晶体导热系数λ_s，共计12个参量。因此，对于要研究的问题需要的关系如式(13)所示：

(13)

3.2 无量纲群组

除了确定参量还需确定CaCO₃结晶问题的基本量纲，分别是质量M、时间T、长度L以及温度K。利用确定的4个基本量纲，将确定的12个参量量纲全部表示出来，具体结果见表 3。

根据π定理，将会有k=12-4=8个无量量纲，因此从12个参量之中选取溶液硬度c、流速v、管径d以及流体温度t_b作为重复变量，得出8个无量量纲π₁~π₈，结果依次为：

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

3.3 最终量纲关系确定

通过上述的求解过程，得到8个无量量纲π₁~π₈，则对于隧道排水管道CaCO₃结晶沉积率问题的最终量纲关系如式(22)所示。其中k₀~k₇为待定系数，为直观看出各因素对CaCO₃结晶沉积率的影响，将相同影响因素的项合并到一起得到式(23)。

(22)

(23)

根据对数值模拟的分析结果可知，Ca²⁺浓度与CaCO₃结晶沉积速率成正比，则浓度的指数为1；流速的增大会导致CaCO₃结晶沉积速率的减小，则流速的指数为负数；温度的增大会导致CaCO₃结晶沉积速率的增大，则温度的指数为正数。除此之外，由于本研究对CaCO₃结晶速率的研究不考虑壁面温度与流体温度的温度差，故将关联式中的t_i与t_b合并到一起。基于此，则式(23)的中各指数关系应满足关系式(24)：

(24)

本研究针对隧道排水管道中的CaCO₃结晶沉积速率研究中，管径、颗粒密度、流体密度、颗粒热导率和流体热导率均为定值，因此将关联式中这些物理量与常数项k₀合并，均作为常数项来考虑，结合数值模拟所得计算结果，利用Matlab中的矩阵运算功能及多元线性回归函数，解得隧道排水管道中的CaCO₃结晶沉积率的关联式为：

(25)

4 CaCO₃结晶沉积速率试验验证

为验证关联式准确性，通过调整影响因素参量进行不同工况下室内模型试验，并将室内试验结果与关联式计算结果进行对比。

4.1 试验工况设置

试验装置由水箱、水泵、波纹管等组成。通过抽水泵抽水，波纹管流进水箱来实现水流的循环流动。通过球阀调节以及流体测速仪测量循环水流速，保证初始流速满足试验工况设置的要求。确定循环水以CaCl₂和NaHCO₃为溶质，利用EDTA滴定法对循环水硬度(Ca²⁺浓度)进行监测，保证其满足试验要求。

试验主要针对流速与离子浓度对CaCO₃结晶速率的影响进行设计。试验在24 h供暖的室内进行，水温稳定在20 ℃。基于此设置4组工况进行试验，具体参数如表 4所示。

4.2 试验结果分析

各试验工况下管道在0, 600，1 200 h时的结晶情况如图 4所示。

不同工况下的管道累计CaCO₃结晶质量随时间的变化趋势如图 5所示。

从图 5中可以看出，随着流速的增大CaCO₃结晶量增加，这与数值模拟的结果相反。其原因是在室内结晶试验中，随着流速的增大，循环水的过流面积也是增大的，即流体与管道壁面的接触面积也随之增大，有更大的结晶面积，如图 4所示。而过流面积增大引起的结晶量增大效果比流速增大引起的结晶量减小效果要更显著，因此整体表现出流速增大，CaCO₃结晶量反而增大。除此之外，随着Ca²⁺浓度的增加，CaCO₃结晶量增加显著，Ca²⁺浓度在影响CaCO₃结晶量的过程中占主导地位，与正交条件下的数值模拟结果一致。

4.3 对比验证

利用origin软件拟合图 5中的曲线得到拟合方程分别如表 5所示。

表中拟合方程的系数代表了不同工况下结晶量随时间变化的快慢，利用式(26)可计算单位面积上结晶量随时间变化的快慢，即结晶沉积速率。

(26)

式中，m_d为结晶沉积速率；k为拟合曲线系数；c为过流断面与管道接触面的长度；l为管道长度。

根据式(25)~ (26)及表 5，分别计算关联式与室内试验不同工况下的CaCO₃结晶沉积速率以及两者之间的误差，结果如表 6所示。

根据表 6可看出，4组工况的计算值与试验值较为接近，误差分别为1.77%，2.97%，2.10%以及2.00%，误差大小均处于允许范围之内。因此通过计算值与试验值的对比，说明关联式具有较高的准确性。

5 结论

主要研究结果如下：

(1) 数值模拟通过发现：随着流速的增大，CaCO₃沉积量逐渐减少，且减小趋势逐渐减小；随着温度或Ca²⁺浓度的上升，CaCO₃沉积量逐渐增多，且呈线性上升。在影响CaCO₃结晶沉积的过程中，Ca²⁺浓度占据主导地位，对CaCO₃沉积量的影响最大，温度对CaCO₃沉积量的影响最小。

(2) 在数值模拟的基础上，运用无量纲理论，综合各个参量之间的关系推导出了隧道排水管道CaCO₃结晶沉积速率计算关联式：m_d=4.086×10^-11×v^-0.754t_b^1.245c。

(3) 将关联式的计算值与排水管道CaCO₃结晶速率室内循环水结晶试验的试验值进行了不同工况下的对比验证，4种工况下的误差分别为1.77%，2.97%，2.10%和2.00%。结果表明：基于量纲理论的关联式能够很好地计算不同工况下的CaCO₃结晶沉积速率。