0 引言

空心板桥作为中小跨径桥梁的常用桥型，在公路交通系统中扮演着重要角色。由于自然环境以及交通荷载等因素的共同作用，其性能退化不可避免^[1]。为了确保结构的正常使用，常采用预防性养护策略^[2]。确定最优养护时机对于实现桥梁性能的有效提升以及养护资源的优化配置，具有重要的科学研究意义与工程实用价值。

针对桥梁最优养护时机研究，国内外学者开展了大量相关的工作。比如，Yang等^[3]以预期生命周期成本、预期检查成本和预期维护成本为优化目标，得到了最佳的维修计划。Hyung等^[4]以桥面性能和养护成本作为优化目标，提出了一种适用于非凸问题且只产生Pareto最优解集的改进求解方法。齐锡晶等^[5]考虑桥面板养护优先级系数和养护目标的权重，提出了一种高速公路桥梁桥面板养护方案多目标决策方法。孙广俊等^[6]基于技术状况退化模型和预防性养护策略，以全寿命周期内养护费用最低为原则优化桥梁预防性养护时机。David等^[7]考虑生命周期性能的最大化和维护成本的最小化，提出了一种概率生命周期优化方法。综上所述，现有研究多以桥梁性能指标和养护成本作为优化控制目标，缺乏对桥梁养护后安全冗余储备的有效考虑。

鉴于现有研究的不足，本研究基于237座桥梁样本数据的统计分析，利用等维新息无偏灰色马尔可夫模型获取桥梁技术状况时变规律，引入基于失效概率的桥梁冗余度指标；结合公路养护工程预算定额相关标准规范，明确空心板桥预防性养护成本；综合考虑桥梁养护后的技术状况、桥梁冗余度以及寿命周期成本，提出基于多目标布谷鸟算法的空心板桥最优养护时机分析方法。最后，通过对某实桥的应用分析，得到养护时机的最优解集，并给出具有代表性的养护方案，从而验证所提方法的有效性和实用性，以期为空心板桥梁养护策略的制定提供科学依据。

1 理论背景

介绍目标函数构建与求解所涉及的相关算法理论，主要包括等维新息无偏灰色马尔可夫模型以及多目标布谷鸟搜索算法。

1.1 等维新息无偏灰色马尔可夫模型

传统灰色马尔可夫模型的基本思想为利用灰色GM (1, 1)模型对时间序列数据进行粗略的预测，然后基于马尔可夫链对预测结果进行精确性修正。由于灰色GM (1, 1)模型采用原始序列数据建模，未考虑最新信息的影响，预测精度受限。因此，本研究引入等维新息无偏灰色马尔可夫模型^[8]，实时对建模数据进行更新，以考虑未来因素的干扰，进而提升预测精度。该模型的建模步骤如下：

(1) 对于原始序列X⁽⁰⁾= [x⁽⁰⁾ (1), x⁽⁰⁾ (2), …, x⁽⁰⁾ (n)]，首先建立无偏灰色GM (1, 1)模型如式(1)所示，然后将预测的最新信息x⁽⁰⁾ (n+1)加入原始序列末尾，并去掉最老信息x⁽⁰⁾ (1)，组成新的序列X⁽⁰⁾= [x⁽⁰⁾ (2), x⁽⁰⁾ (3), …, x⁽⁰⁾ (n+1)]继续进行预测，重复上述过程，直到完成预测目标为止。

(1)

式中，为预测序列中的第t个值；无偏灰色系数，；μ，α为微分方程计算参数。

(2) 定义分隔区间。将预测序列表示在以为纵轴、时间为横轴的二维坐标中，结合马尔可夫链转移概率，在预测序列所表示的曲线附近划分几个与该曲线平行的区间，以此来获得马尔可夫链模型中的转移概率。所定义的分隔区间用  表示，其中分隔区间范围如式(2)所示：

(2)

式中Δ_1i，Δ_2i根据具体情况取值。

(3) 基于马尔可夫理论计算转移概率矩阵。若用m_i (  _i)为灰区间  _i内的状态点数，m_ij为由灰区间  _i转移到灰区间  _j的状态点数量，则该转移概率可以表示为P_ij=m_ij/m_i (  _i)，由此可确定转移概率矩阵P。

(4) 预测序列的修正。基于状态转移概率矩阵可知未来数据的最可能区间，假定取值在划分区间两条曲线间隔距离的中点位置，即[  _1i+  _2i]/2，其中  _1i，  _2i分别为灰区间  _i的边界线。

综上所述，结合等维新息与无偏理论可进一步优化传统预测模型，得到高精度预测下的桥梁技术状况指标，为养护时机的优化目标建立提供良好数据支撑。

1.2 多目标布谷鸟搜索算法

多目标优化问题一般由多个目标函数和约束条件组成，通常无法使每个目标同时达到最优，需要各个解进行协调。一般情况下，可利用Pareto最优解概念进行求解^[9]，即无数个最优解的集合称为Pareto最优解集，其对应的目标函数值称为Pareto前沿。多目标优化问题则转变为在Pareto前沿上找到一个最优解的集合，并选择所需要的解来优化资源配置。

针对Pareto前沿的计算问题，本研究引入了布谷鸟搜索算法。该算法由于具有控制参数少、全局寻优能力强的优点，且方便进行多目标算法改进，因此是解决养护时机优化问题的较好选择。布谷鸟搜索算法的核心思想是通过模仿布谷鸟随机游走的方式来达到一种高效的寻优模式。对于具有k个不同目标的优化问题，基于单目标布谷鸟优化算法，修改3个理想化假定以考虑多目标需求^[10]：

(1) 每只母代布谷鸟一次性产下k个蛋(k≥2)，并将它们随机放置在其他鸟类的巢穴中，即通过随机行走或莱维飞行随机生成一个新的解。第k个蛋即代表一组解的第k个目标。

(2) 在随机选择的一组巢穴中，将最好的巢穴保留给下一代。

(3) 每个巢中的蛋都将以概率P_a被发现，并根据蛋的相似性或差异性建立一个有k个蛋的新巢。

基于上述3个理想状态的假设，多目标布谷鸟搜索算法的具体求解步骤可参考文献[10]。

2 目标函数建立及最优养护时机分析方法

阐述所考虑的3个优化指标的计算方法，然后构建3目标优化函数，最后介绍如何利用布谷鸟搜索算法计算最优养护时机。

2.1 桥梁技术状况指标

本研究以桥梁技术状况指数(Bridge Condition Index，BCI)作为主要优化目标的目的在于通过预防性养护使桥梁服役性能得到明显提升^[11]。由于以养护时机作为设计变量，因此需建立桥梁技术状况随时间的变化关系，相应的流程如下：

(1) 获取桥梁历年来的BCI数据。若部分年份的检测数据缺失，可利用广义回归神经网络模型^[12]对相同区域内同类桥型样本数据进行训练，补充单一桥梁的缺失数据。本研究以某市237座市政空心板桥近10 a的检测数据为基础，通过样本训练对单一桥梁的缺失数据进行补全。

(2) 利用等维新息无偏灰色马尔可夫模型对补全后的连续数据进行预测。预测的最终时刻可选为桥梁失效或BCI评分不合格时的桥龄，从而得到随桥龄变化的BCI数据；通过绘制评分数据的散点图，并利用回归分析得到具体的拟合方程，最终可建立起所分析桥梁随桥龄t的退化模型BCI (t)。

(3) 考虑预防性养护对BCI的提升效果。本研究考虑不同养护方法对BCI的恢复效果^[13-14]，分析桥梁维修养护前后的BCI值变化情况，用实际BCI提升值进行折减得到预防性养护下的BCI提升值。拟合不同时刻的提升效果，可得：

(3)

式中ΔBCI (t)为t时刻预防性养护对BCI的提升值。

由于上式代表全桥养护对于BCI的提升效果，考虑各部件的重要性程度，根据《城市桥梁养护技术标准》(CJJ 99—2017)^[15]中各部件的评分权重比例，可分别取上部结构、下部结构、桥面系单独养护后的提升效果为式(3)的0.40，0.45，0.15。

2.2 桥梁冗余度指标

为保证桥梁养护后的安全储备，本研究从历史数据统计的角度考虑了桥梁的冗余度，引入了基于失效概率的冗余度指数(Redundancy Index，RI) ^[16]，并考虑预防性养护对RI的提升效果，将桥梁时变RI作为优化目标，从而为养护时机优化问题提供更合理的解答。

基于237座空心板桥检测报告，借助前述桥梁技术状况补全及预测方法，得到随桥龄变化的BCI、桥梁部件技术状况指数(Bridge Structure Index，BSI)数据。根据《城市桥梁养护技术标准》(CJJ 99—2017)^[15]，BCI，BSI值小于66，已处于不合格或危险状态，需要进行中修、大修或者加固。因此，本研究以BCI，BSI值小于66判定结构或部件失效(比如，上部结构有落梁或脱空趋势等)，从而统计出不同桥龄时桥梁结构或部件失效的数量。

对于失效概率的分布模型，Weibull分布通常是结构或构件衰变年龄的最佳拟合分布，能够根据数据集进行结构失效预测^[17]。根据失效桥龄样本的数据特征，本研究不考虑位置参数，采用双参数Weibull分布进行拟合，表示为F(t)，如式(4)所示：

(4)

式中，m为尺度参数；a为形状参数。

根据不同桥龄时桥梁结构或部件失效的数量关系，采用95%的置信带，可计算得出结构或部件失效概率的Weibull分布参数，如表 1所示。值得注意的是，根据样本桥梁的检测信息，桥梁病害大多发生在桥面系与上部结构，因此不讨论空心板桥的下部结构失效概率分布。

利用基于失效概率的桥梁RI计算公式^[16]，代入失效概率分布函数，即可得出桥梁时变RI：

(5)

式中，P_wc (t)为最弱部件失效概率，即桥面系或上部结构失效概率最大值；P_jg (t)为结构系统失效概率；均可通过失效概率分布模型确定。

由于直接计算预防性养护对RI的提升效果较难，因此本研究从失效概率的改变入手来间接计算。引入结构正常使用即合格概率A_n (t)如式(6)所示：

(6)

假定最弱部件失效概率不变且预防性养护后会使合格概率恢复到最初始的变化率，则预防性养护后的A_n (t)改变为：

(7)

式中，A_n^* (t)为预防性养护后合格概率；Tpm_i为第i次预防性养护时间；TPm_j为第j次预防性养护时间。

结合式(5)~ (7)，可得到预防性养护后冗余度指标：

(8)

式中，RI^* (t)为预防性养护条件下的冗余度指标；A_njg^* (t)为预防性养护条件下的结构合格概率。

2.3 桥梁寿命周期成本

成本是衡量桥梁养护决策合理性的重要指标。因此，本研究以成本作为养护时机优化模型中的另一个优化目标，以最大程度地实现成本资源合理配置。寿命周期成本(Life Cycle Cost，LCC)分析可以为桥梁提供所有的成本计划，其目的在于控制桥梁生产的决策期、实施期、使用期以及桥梁拆除的总成本^[18]。LCC主要由4部分组成，即机构成本、用户成本、环境成本和风险成本，其中机构成本包括建设成本、运营成本、养护成本、拆除成本。

本研究假定市政桥梁由于预防性养护造成的用户成本一定，同时由于难以定量计算环境成本和风险成本，计算时将其忽略。因此，本研究主要考虑各养护措施及相关成本引起的LCC变化。

针对市政空心板桥的病害情况，本研究将预防性养护分为上部结构养护以及桥面系养护两项内容，并结合《公路工程预算定额》(JTG/T 3832—2018)标准^[19]，查阅各项养护活动的基价，根据实际情况对具体的预养护措施、工程量及相应养护成本进行调整，并忽略其他工程费以及间接费用，从而得到某养护活动的单位计价。此外，考虑成本的时间价值，用贴现率将分析期内的成本折算成现值，则分析期内预防性养护总成本现值如式(9)所示：

(9)

式中，LCC为该养护方案的寿命周期成本；v为贴现率，参考中国银行年贴现率，取3.24%；C_{s, i}为第i次桥梁上部结构预防性养护总费用；C_{m, j}为第j次桥面系预防性养护总费用；Ts_i，Tm_j分别为第i次桥梁上部结构、第j次桥面系预防性养护时间；Ns，Nm分别为桥梁上部结构和桥梁系的养护次数。

2.4 养护时机优化流程

为了考虑桥梁性能指标的优化以及方便桥梁管理者从多个目标之间进行权衡分析和偏好决策，本研究以BCI，RI，LCC构建目标函数进行优化分析，即要使BCI最小值最大化，RI最小值最大化以及LCC最小化。同时，独立进行上部结构和桥面系的预防性养护，分别将上部结构和桥面系的养护时间、养护次数作为设计变量。约束条件设置为各养护时间在2~45 a期间以及同一种养护措施两次的时间间隔在2 a以上，每种预防性养护次数不超过10次。目标函数和约束条件如式(10)所示：

(10)

所提3目标养护时机优化模型不仅考虑了桥梁技术状况与成本的权衡分析，而且进一步考虑桥梁冗余度，使结果不会过多的偏向于桥梁技术状况和成本。从实际工程的角度看，结果因考虑周全而可能更具说服力，同时这种优化决策下的结构性能会更加可靠。

对于多目标优化问题，适应度函数的选择尤为关键。在多目标布谷鸟算法中，适应度计算可采取Pareto非支配分层方式^[20]，即所有非支配解的支配层数s=1；再将这些非支配解从解集中删除，确定剩余解的支配关系，找出所有非支配解并标记支配层数s=2；如此下去，直到解集中所有解都被标记了支配层数。由于层数s越大，离非支配前沿越远，解的适应性就应越差，因此，可按如式(11)计算适应度：

(11)

式中，s_i为各支配层数；fitness (x_i)为各解的适应度。

可见，所有非支配解的适应度都等于1，支配解的适应度都在(0，1/2]之间。

完成建立多目标优化问题后，需首先初始化设置程序的相关参数。根据试算结果和约束条件，确定了各参数的取值，具体含义及数值见表 2，参数的设置可以在实际运行中进行调整。

基于上述分析，根据多目标优化问题的目标函数、约束条件以及算法的求解步骤编制程序，利用编程软件找到多目标优化条件下的养护时机最优解集，即可得出多目标的Pareto前沿。所提养护时机分析流程如下：

3 实桥应用案例

本研究选取某市政空心板桥进行最优养护时机的计算分析，以验证所提方法的可行性和实用性。该桥已服役15 a，为一座双幅装配式预应力混凝土空心板桥，主梁采用C40混凝土。单幅桥梁跨径布置为3×16 m，单幅桥面宽12.25 m，每跨均由7块空心板组成，空心板梁高0.75 m，底板宽1.49 m。根据最近的检查报告，该桥上部结构存在多处渗水泛碱、破损露筋等病害，桥面系存在坑洞、车辙、护栏破损等病害，需加强养护保养。

3.1 桥梁BCI退化预测分析

根据该桥已有的检测数据，同时利用训练好的神经网络模型对缺失年份的BCI值进行补充，得到该桥前15 a的BCI值，如表 3所示。

然后，利用补全后的前15 a BCI数据，建立等维新息无偏灰色GM (1, 1)预测模型。其次，将绘制成一条光滑的曲线。为了解原始数据在该曲线附近的波动情况，利用Markov链转移概率将预测曲线附近的某一范围进行灰区间划分(见图 2)。

然后，计算得到转移概率矩阵P为：

最后，结合1.1节，基于矩阵P对桥龄16 a时的预测值进行修正，即：

(12)

对比预测值与实际值可知，预测值与实际值仅存在微小差距。可见，马尔可夫模型能够处理有波动的数据序列，同时可根据实际数值的分布情况进一步细分灰区间，以提高精度。

重复上述步骤，修正后续17~30 a的预测数据，得到该桥30 a的BCI值，如表 4所示。

利用负指数函数拟合该桥30 a的BCI数据(图 3)；从图 3中可以看出，拟合曲线较好地反映了该空心板桥的退化规律，相应的显示如式(13)所示：

(13)

根据2.1节，考虑养护提升效果，以分析期最后一年的BCI作为最小值，该桥的退化模式变为：

(14)

3.2 桥梁时变冗余度分析

通过对该桥历年检测报告的分析，上部结构评分值要低于桥面系的评分值，失效概率更大。因此，将上部结构的失效概率作为P_wc (t)进行计算，得到该桥时变冗余度RI (t)，相应的变化曲线如图 4所示。

(15)

由图 4可以看出，该桥的冗余度前几年变化较快；在10~30 a间，冗余度劣化较缓慢；到30 a时，冗余度已经接近于0。根据冗余度计算式，说明空心板桥服役至25~30 a时，其某一部件的评分可能趋于不合格，需要进行大修。

根据式(8)，可以得到该桥预防性养护条件下时变冗余度如式(16)所示，相应的变化曲线如图 5所示。

(16)

从图 5中可知，预防性养护对冗余度指标的提升效果比较复杂，即养护后对冗余度指标没有陡升效果，只是改变变化速率；在分析期后期进行养护的提升效果较小，前几年养护对于整个分析期内的冗余度提升比较关键。

3.3 预防性养护费用分析

考虑每次同种类型的养护成本一致，查询该桥的历年养护资料，可得到总的养护成本现值LCC式(17)所示：

(17)

3.4 最优养护时机计算分析

根据设置的3目标函数、约束条件以及设计变量建立多目标布谷鸟搜索算法并进行求解，解的维度以及搜索域的上下界根据表 2确定。优化问题的三维Pareto最优解集见图 6(a)，三维Pareto最优解集的二维投影见图 6(b)~(d)，其中图 6(b)~(c)分别表示解集中桥梁技术状况以及冗余度与成本的关系，(d)表示桥梁技术状况与冗余度的关系。

从图 6(b)中可以看出，随着BCI的提升，成本上升速率大致相同；从图 6(c)中可以看出，冗余度为20~35时，成本变化较快；冗余度为35~50时，增加冗余度的成本则相对缓慢；由图 6(d)可知，BCI为65~73时，冗余度值随其提升较少；当BCI>73，冗余度值随BCI值的上升而迅速提高。

在最优解集中选取有代表性的3个方案A，B，C，养护时机如图 7所示。方案A中桥面系养护共有9次、上部结构养护有6次；方案B中两者的养护次数均为5次；方案C中两者的养护次数分别为3次和2次。总的来说，解集中桥面系的养护次数多于上部结构养护次数，这与检测报告中的桥面系的服役情况差于上部结构一致；同时，上部结构养护时间大多晚于桥面系养护时间，这与上部结构出现病害时间点晚于桥面系有关。

所选代表方案为解集中BCI值最小的3个方案，并给出了每次养护的时间。为了直观了解养护后整个分析期内服役状况，给出各养护方案的BCI值变化，如图 8(a)~(c)所示。由图 8可知，方案A在整个寿命分析期内养护后较不养护性能有较大的提升，与自然条件下的BCI变化曲线上升较多，且最小值离性能指标BCI阈值还有较多的距离，即采取方案A的预防性养护后，可有效延长该桥的使用时间；方案B与方案C在养护后BCI值也与自然条件下的BCI有较明显的提升，但整个分析期内的性能指标BCI要小于方案A。

3个方案所对应的目标函数值如表 5所示，其中A方案分析期内BCI最小值以及RI最小值均为最大，成本也最多，B方案次之，C方案的3个目标函数值均最小。对比3个方案，由C到B，BCI值提高2.32，冗余度值提高1.12，成本增加46.89万元；由B到A，BCI值提高3.26，冗余度值提高2.65，成本增加38.33万元；上述变化规律与图 5一致。由分析可知，在所选方案内，BCI值越低，提升其性能所花费的成本越大，对于桥梁养护管理者来说，如果更看重桥梁性能指标，由B方案调为A方案，相对经济且性能指标好；如果更看重经济指标，则可选C方案，在成本低的同时也满足了桥梁性能指标要求。

根据多目标Pareto最优解集，所选的代表方案可以为空心板桥养护作合理参考。对于实际已建成的桥梁，可假定维修加固后的桥梁从0 a开始计算，则此后的一个分析期可以按优化的养护方案进行预防性养护。不仅如此，该计算结果可以为同类型、同环境、同跨径的其他空心板桥养护时机作参考。

4 结论

针对空心板桥预防性养护的迫切需求，本研究以237座空心板桥近10 a的检测信息为依据，提出了基于多目标布谷鸟算法的空心板桥最优养护时机分析方法。通过实桥案例分析，验证了所提方法的有效性和实用性，得出了以下结论：

(1) 以桥梁技术状况、冗余度和养护成本作为空心板桥养护时机的优化目标，能够实现多个性能指标的权衡分析，可供管理人员进行最优养护时机决策，为空心板桥养护时机分析提供了参考。

(2) 运用等维新息无偏灰色马尔可夫模型可以对波动较大的桥梁技术状况数据进行预测及修正，同时可根据实际数值的分布情况进一步细分灰区间以提高精度，据此可有效建立桥梁技术状况退化模型。

(3) 所提方法从性能、成本综合考量的角度为某运营15 a的空心板桥提供了3种最优的养护方案；对于管养单位而言，若看重性能指标可采取桥面系养护9次、上部结构养护6次的方案；若看重经济指标，可桥面系养护次、上部结构养护2次的方案。

尽管所提方法充分考虑了多维度指标进行最优养护时机的计算分析，但是在养护提升效果比例、成本计算上仍存在许多简化，未来研究将进一步细化这部分工作，以提供更加完善的养护时机优化方案。