0 引言

随着经济水平的飞速提高，国内交通事业也大踏步地向前发展，各种公路、铁路桥梁迅速崛起，建设速度不断加快。据近两年的数据统计，国内公路、铁路桥梁接近百万座，其中较为典型的当属PC箱梁桥。但目前国内外许多PC箱梁桥出现了腹板斜裂缝，此病害的出现降低了结构的极限承载力，影响了行车的舒适性。为了减轻此病害的影响常用粘贴钢板加固法对原结构进行处理。通过分析近些年国内外粘钢加固文献可知^[1-15]，虽然已有大量学者对底板粘贴钢板加固钢筋混凝土矩形截面或者T形截面梁开展了大量而卓越的研究，但对腹板粘贴钢板加固尤其是针对PC箱梁的腹板粘贴钢板加固仍缺乏足够的认识，尚未形成相关理论计算公式。因此，有必要对PC箱梁腹板粘贴钢板加固之后结构的受力特点进行分析。本研究通过建立粘钢加固后结构的理论模型，根据变形叠加和刚度分配原则提出了一种针对PC箱梁腹板粘钢加固之后抗弯刚度和斜裂缝宽度的计算方法，并通过数值计算验证了上述理论，可为PC箱梁桥及类似桥梁腹板粘钢加固后结构的受力特性研究提供参考。

1 腹板粘钢PC箱梁抗弯刚度研究

为了更好地对PC箱梁腹板开裂后结构的抗弯刚度进行分析，首先将腹板斜裂缝进行分类。预应力钢筋混凝土箱梁腹板斜裂缝可根据形成机理的不同，分为腹剪斜裂缝和弯剪斜裂缝两种形态。其中腹剪斜裂缝，是垂直于主拉应力方向的斜裂缝比竖向裂缝先行产生引起的，裂缝走势如图 1(a)所示；而弯剪斜裂缝又可根据弯曲裂缝与斜裂缝出现先后顺序的不同分为形态Ⅰ和形态Ⅱ两种，其中形态Ⅰ：在剪跨区内PC箱梁底板弯曲应力超限，导致结构出现细微的竖向裂缝，随着荷载的不断增大，腹板主拉应力增大，竖向裂缝逐渐转变为斜裂缝，裂缝走势如图 1(b)所示。形态Ⅱ：在剪跨区内竖向弯曲裂缝与斜裂缝几乎同时出现，而后随着荷载的增大，两者相交共同向作用点延伸形成主斜裂缝，裂缝走势如图 1(c)所示。

在计算结构抗弯刚度之前本研究引入以下基本假定：

(1) 裂缝出现后混凝土即退出工作不再具备抗弯承载能力。

(2) 剪跨区出现斜裂缝，结构依然适用平截面假定。

(3) 构件为欧拉-伯努力梁即不考虑剪切变形对结构的影响。

根据基本假定(1)和不同的斜裂缝形态，将开裂后剪跨区的截面分别换算为截面形式a和截面形式b进行抗弯刚度计算，如图 2所示。

根据剪跨区的受力特点对换算截面进行力学分析，如图 3~4所示。首先假定顶板和底板的面积分别为S₁，S₂；I_cr为开裂截面惯性积；顶板绕X轴的惯性积为I_x1，底板绕X轴的惯性积为I_x2；顶板和底板转动弯矩分别为M_u, M_d；由顶板和底板轴向力形成的转动弯矩为M₁，转动惯矩为I₁=S₁h₁²+S₂h₂²。

则：

(1)

(2)

剪跨区截面的抗弯刚度对整个构件的挠度存在影响，是精确评估构件抗弯刚度不可忽略的问题。为探明剪跨区截面加固后对构件抗弯刚度的具体影响，本研究将等刚度均质梁分为腹板开裂区和截面完好区两部分考虑，图 5给出了腹板开裂后构件的抗弯刚度分布情况。其中，l_cr1，l_cr2，l₀分别为梁体两端斜裂缝开裂区段和截面完好区段且令l_cr1+l_cr2=l_cr。由图 5(a)可知构件实际刚度沿梁长方向分布不均匀，为方便计算按照抗弯刚度相等原则可将不等刚度构件转换为等刚度构件如图 5(b)所示。具体计算方法见式(3)~(10)。

(3)

即：

(4)

式中，B_cr为开裂截面的刚度；B₀为原截面的刚度；B_e为构件的等效刚度。

假定(2)表明，受力变形叠加原则在此理论模型中依然适用，对于开裂后结构的实际位移等于开裂前结构的位移与开裂后结构的位移之和，如图 6所示。θ，θ₁，θ₂分别为结构的实际转角，结构开裂前的转角和结构开裂后的转角。

(5)

(6)

(7)

(8)

式中，M_s=M₀+M₂，将式(6)~(8)代入到式(5)中则腹板开裂后构件的实际刚度为：

(9)

整理式(4)与式(9)，腹板开裂后构件的实际刚度可按式(10)计算：

(10)

式中，M₀为开裂前截面弯矩值；M_s为短期效应计算弯矩值；B₀为腹板开裂前构件在M₀作用下的刚度；B_e为腹板开裂后构件在M₂作用下的等效刚度；B₀，B_cr为完好截面的刚度、腹板开裂截面的刚度。

为简单量化说明结构抗弯刚度变化，给出式(11)计算简支梁在不同荷载模式下的跨中挠度：

(11)

式中C与加载位置和荷载模式有关。

2 粘钢加固PC箱梁斜裂缝宽度研究

归纳总结国内外钢筋混凝土结构裂缝计算方法可以发现，目前裂缝的计算理论主要分为以下两大类：一是通过受力分析，获得影响裂缝形成的主要因素，进而建立相应的裂缝宽度计算公式。二是进行大量的试验，通过数理统计相关理论对试验数据进行分析，得到与裂缝宽度正相关的参数，进而建立裂缝宽度计算公式。以上两种方式各有利弊，但方式二需要进行大量的试验，本研究采取方式一对PC箱梁腹板斜裂缝进行分析。

由于PC箱梁腹板粘贴钢板后结构受力复杂，为简化分析模型，本研究做了以下基本假定：

(1) 影响斜裂缝宽度的主要因素为箍筋应变、钢筋形状、构件受力时间、受力性质以及配箍率和箍筋直径。

(2) 在应力二次重分配之前，斜裂缝宽度与箍筋应变呈正相关关系。

(3) PC箱梁腹板出现裂缝即可认为腹板混凝土完全退出工作，不再参与结构抗剪，实际当裂缝刚出现时混凝土仍然参与部分抗剪工作，此时为了与实际相匹配，可将箍筋抗剪系数适当折减。

(4) 腹板开裂后刚度分配原则仍然适用。

根据以上基本假定当PC箱梁腹板开裂后未粘钢加固之前箍筋承担的剪力可见式(12)~(13)。其中C_sv为箍筋承担的剪力比例。

(12)

(13)

式中，A_sv，A_sb，A_p分别为斜截面投影长度内箍筋、弯起钢筋和预应力钢筋的截面面积; E_sv为配置在同一截面处箍筋的弹性模量；E_sb为配置在同一截面处弯起钢筋的弹性模量；θ_sb为弯起钢筋的切线与构件水平纵向轴线的夹角；E_p为预应力钢束弹性模量；θ_p为预应力钢束的切线与构件水平纵向轴线的夹角。

预应力结构斜截面开裂荷载V_cr按参考文献[16]的建议公式如下：

(14)

式中，λ为结构的加载剪跨比，当λ>1.5时，取λ=1.5；当括号第2项剪跨比λ>3时，取λ=3。N_p0为有效预压力。h₀为梁有效截面高度。

根据文献[17]中的抗剪承载力计算公式，箍筋应变可按式(15)计算。

(15)

式中，ε_cr为混凝开裂应变; s_v为斜截面内箍筋间距；A_sv为原梁斜截面内配置在同一截面的箍筋各肢总截面面积。

腹板粘贴钢板加固之后，结构发生应力重分布此时箍筋剪力分配系数按式(16)计算：

(16)

式中ψ_vb为考虑钢板与混凝土粘贴效果的折减系数取0.65。

综上，将箍筋应变按照两个阶段分别进行表示：

(17)

式中V₁为结构钢板加固时的剪力值。

参照文献[14]对于裂缝宽度的计算同时结合国内外学者的研究，提出PC箱梁腹板斜裂缝宽度计算公式如下^[18]：

(18)

式中，C_v为考虑到其复杂的受力状态，综合作用本研究取1.5。C_s为考虑到截面受力面积根据形状不同而造成一定的差异，本研究取1.5。

3 有限元模型建立与验证

以陕西某PC箱梁桥为例，按照应力等效原则建立粘钢加固PC箱梁实体有限元模型，其中缩尺后箱梁截面尺寸如图 7所示，材料特性见图 8、图 9及表 1。

通过大型通用有限元计算软件Abaqus建立PC箱梁实体有限元模型全桥共7 150个单元，如图 10所示。其中混凝土采用塑性损伤本构，具体参数如表 2所示。当PC箱梁发生剪压破坏时，结构损伤状态如图 11所示。

根据Abaqus计算结果，PC箱梁的极限荷载为830 kN，规范计算值为741.8 kN，有限元计算值为规范计算值的1.12倍。综合有限元计算值和结构整体的损伤状态可说明，有限元建模过程中相关材料参数的选择符合实际情况。由于结构二次受力状态模拟较为困难，本研究按照以下加载方案模拟结构的二次受力，该方法采用加载方式使得混凝土单元产生损伤，更接近于桥梁实际的受力状态，加载方案见图 12。

(1) 一期加载：在剪跨比为1.12情况下加载至结构出现裂缝，此时记为状态Ⅰ。

(2) 粘贴钢板：维持状态Ⅰ，在箱梁腹板两侧粘贴钢板，此时记为状态Ⅱ。

(3) 二期加载：在状态Ⅱ上继续加载至结构发生破坏。

根据上述建模方法和加载方案分别建立竖粘钢板(PBCS-1)和斜粘钢板(PBCX-1)的PC箱梁有限元模型，并对加载过程中的数据进行分析, 见表 3、表 4。

针对跨中挠度，由表 3和表 4可知对于PBCS-1(竖粘钢板)和PBCX-1(斜粘钢板)，随机取一段外荷载(小于结构发生二次应力重分布的临界荷载)|w_fm-w_tm|_max=0.09 mm占总挠度的10%。由于箱梁发生剪压破坏为脆性破坏，跨中挠度较小，此时跨中挠度对计算过程以及单元的选择极为敏感，可认为10%误差在可接受范围内。还应注意的是虽然表中数据有限元计算值与理论值差别不大，但随着荷载增大，理论值按一次线性增加，有限元计算值有明显的非线性增大趋势，两者逐渐偏离，但总体上结构跨中挠度仍然很小，这是由结构破坏脆性模式决定的。

针对箍筋应变和斜裂缝宽度，在有限元计算过程中，随机取一部分开裂后的荷载(此荷载小于临界荷载)，并读取结构的箍筋应变值和裂缝宽度值。同时，运用本研究计算方法计算在相同荷载作用下结构的箍筋应变值与裂缝宽度值，将两者整理比较见表 5~8，其中计算时V₁=650 kN。

提取表 5~6数据绘制为图 13散点图。从图可知在相同荷载作用下，PBCS-1(竖粘钢板)与PBCX-1(斜粘钢板)的箍筋应变理论值相同，但有限元计算值两者存在差异，且在相同荷载作用下PBCX-1(斜粘钢板)的有限元计算值小于PBCS-1(竖粘钢板)有限元计算值。其原因是按照刚度分配理论，竖粘钢板的刚度与斜粘钢板的刚度在垂直于桥梁纵轴线方向相同，因此两者理论计算值一致。而实际过程中斜粘钢板不仅存在垂直于桥梁纵轴线方向的刚度还存在平行于桥梁纵轴线方向的刚度，此部分刚度有利于抑制斜裂缝的开展，延长腹板混凝土的工作时间。

将上述应变数据代入式(18)中可得到PBCS-1(竖粘钢板)与PBCX-1(斜粘钢板)在荷载作用下的斜裂缝宽度值，并将两者计算结果绘制为图 14。经分析发现当外荷载小于结构二次应力重分配的力时，有限元计算值与裂缝宽度值相吻合最大误差为13%。但当荷载超过此临界值时，有限元裂缝宽度发生显著的增大，此时在进行裂缝宽度计算时，建议采用较大的C_v修正值这样保证足够的安全性。同时，本研究数据仅代表有限元模拟得到的数据与真实数据会存在偏差，C_v和C_s取值还需要进一步研究。

4 结论

目前国内许多PC箱梁腹板出现斜裂缝后，往往采用粘贴钢板加固的方法对其进行处理，但规范仅考虑了粘贴钢板加固对结构抗剪承载力的影响，对于加固后结构的抗弯刚度和斜裂缝宽度，规范中并未给出明确的计算方法。

PC箱梁腹板开裂后结构进入弹塑性状态，此时粘贴钢板加固后结构抗弯刚度和斜裂缝宽度的计算影响因素众多且复杂，对其完全理论推导难度很大。因此本研究通过引入开裂后腹板混凝土完全丧失抗弯刚度的假定和刚度分配理论，对粘钢加固PC箱梁的抗弯刚度和斜裂缝宽度进行理论计算，虽然引入的一些基本假定与实际情况有所偏差，但对初步建立腹板粘钢加固后构件的挠度和斜裂缝宽度计算方法具有较大的参考价值。有限元模拟结果初步表明，以上所提出的计算方法是基本可行的，且该计算思路不仅适用于腹板钢加固PC箱梁，而且可以推广至其他构件。