0 引言

破解大城市高峰期时段的交通拥堵问题不仅是修路修桥的工程技术问题，而更是一个数量庞大、关系复杂及可以诱导的人车路开放复杂系统的交叉学科问题。一直以来，人们做了大量的工作来检验廊道问题的均衡模式以及研究早高峰时段的通勤行为问题。Arnott等^[1]详细定义了廊道问题，尽管这一问题本身很复杂，但学者们在这一领域已经取得了不少进展；田琼等^[2]在考虑乘客对拥挤敏感程度有异质性的基础上分析了乘客早高峰出行成本构成；Gubins等^[3]建立了单中心城市的动态瓶颈模型并证明最优时间依赖性道路定价对缓解通勤时段拥堵有积极影响；Li等^[4]拓展了Arnott的工作，通过寻找封闭形式的系统最优解及出发和到达流的准解析用户均衡解来解决廊道问题；Takayama等^[5]研究了时变拥挤收费对通勤者居住地空间分布的影响，建立了包含通勤者位置选择的动态瓶颈模型；李志纯等^[6]采用基于活动的方法，研究了早通勤时段瓶颈处的最优动态收费和阶梯收费问题；尚华艳等^[7]结合瓶颈模型和基于活动的方法研究了公交枢纽晚高峰乘客的通勤行为以及通勤者在其活动和出行时间之间的分配问题；肖玲玲等^[8]从消除排队的角度探索了早高峰拼车通勤者出发时间选择和出行方式选择对用户效用的影响。

另一种缓解交通拥堵的方式是由交通科学中的交通分配理论方向驱动的。近年来，为了更好地在长期交通规划和项目评估中预测未来交通流和出行时间，学者们对交通分配模型的优化展开研究。Zhao等^[9]在有限理性的基础上建立了考虑乘客期望水平的有限理性路径选择模型；Xu等^[10]建立了一种考虑出行者现状的路径选择模型，该模型在一定程度上改善了由于旅客误解和偏好不对称等因素导致的特定路径选择惯性；张玺等^[11]构建了一个以路段变量为研究对象的日变交通分配模型，该模型能够表征有限理性的出行者在不确定风险环境中的决策行为以及面对风险时的主观心理特征；杜玲丽等^[12]在出行者获取信息不完全的假设下，建立了理解行程时间及其更新模型，并通过Dogit模型将理解行程时间和路径偏好共同纳入出行者的路径选择决策；Temelcan^[13]研究了利用模糊参数最小化去模糊出行总时间的方法，将BPR函数进行模糊化，建立了一种交通分配模型—SOTAP；赖元文等^[14]在参考依赖理论的基础上，选取出行时间和费用2个影响因素建立单次出行的路径选择模型，说明了出行者对时间损失的敏感度比费用损失的高。这些文献在计算复杂度和真实性上各有不同。

虽然目前有很多学者在廊道问题和交通分配问题2个领域分别进行了大量的研究，但未对2类问题之间的联系进行深入的研究。从本质上说，这2类问题都具有一些与经济学中产生的均衡概念高度相关的特征，都试图找到交通系统与其用户之间相互作用的均衡模式。廊道问题对应的是一种偏离平衡模式，描述了沿廊道或小尺度廊道网络的交通系统及其用户在时空维度上的关系。交通分配问题通常在空间尺度上涉及跨区域交通网络的所谓路径选择均衡模式。由于这2种均衡模式都是交通运输系统供需相互作用产生的结果，因此两者之间必然存在着某种联系。本研究试图探索一种新的方法来建立2种均衡之间的联系，从而更好地理解2种运输相关的问题及探索2种问题求解方法的互通性。

1 离散廊道均衡模型 1.1 公共交通廊道

在Arontt^[1]的廊道定义基础上给出公共交通廊道定义：考虑一条公共交通廊道t，它的终点站位于一个中央商务区，中间站连接几个居民区。如图 1所示，直线上有m个站点，它们的索引是一个以m为终点站的序列M=[1, 2, …, m]，I为运载工具I=[1, 2, …, i]。假设每位乘客同质，即乘客预期上班时间相同，时间价值相同，每天早上都从居住地步行到最近的车站(如果乘客可以到达多个最近的车站，乘客更喜欢离中央商务区更近的一个)，然后乘坐运载工具去中央商务区上班。乘客不被允许到达公司或机构的时间比预期的时间晚，预期时间用t表示。通勤者可能因为出行时间不同存在早到的现象，但达到均衡时，没有通勤者可以依靠改变自身的出行时间来获取更低的出行成本。N_k为到达k站并乘坐运载工具的乘客人数，且N_k是严格正整数，k=1, 2, …, m。

1.2 廊道均衡模型的建立

假设公共交通运载工具通常是按预定的时刻表准时运行，即以固定时间行驶，则运载工具i∈I在车站的发车时间和到站时间都是在给定的时刻表中预先确定的。设定列车在每个车站为乘客上车而停留的时间可以看作是列车在2个车站之间旅行时间的一部分，这样才能保证车辆到站时间在时间表上可以表示为一个点，保证了时空网络的连续性。所以对于任意站k=1, 2, …, m，到达时间和出发时间都可以记为t_kⁱ，其中t₁ⁱ为i次车在首站的出发时间，t_mⁱ为i次车到达终点站的时间。T_kⁱ为i次车从k站到m站的行程时间，如图 2所示。

令Δt_x=t-t_k^x-T_k^x，x表示车次。则在车站k乘坐i次车的乘客的一般成本可表示为：

(1)

式中，αⁱ为乘坐公共交通的乘客因同一车厢的拥挤而产生的乘客不满价值系数；β为早到时间价值系数。各车站不满意成本总和表示为：

(2)

乘坐公共交通的乘客总行程时间表示为：

(3)

则αⁱ可表示为各车站乘客不满意成本的平均值：

(4)

(5)

(6)

式中，α_kⁱ为在k站登上i次车的乘客不满意值，与车厢上的乘客人数有关；s为车厢的座位容量；n_kⁱ为在k站登上i次车的乘客人数。

令i次列车在2个站点之间的运行时间μ=t_kⁱ-t_k-1ⁱ，则假设乘客的不满意成本为：

(7)

式中，V_kⁱ为车厢内没有座位而站立的乘客数量；H_kⁱ为车厢内有座位的乘客数量。乘客的总数保持不变，则有关乘客的守恒式为：

(8)

式中n_kⁱ为到达k站并乘坐第i次车到达目的地中央商务区的乘客人数。公共交通离散廊道问题是寻找满足以下均衡条件的乘客离场均衡模型：

(9)

将式(1)代入式(9)可得：

(10)

由于运载工具运行时间表是给定的，则：

(11)

然后将式(11)代入式(10)得到平衡条件：

(12)

2 交通分配均衡模型 2.1 时空网格网络

实际上，图 1可以表示为一个时空网格网络，在这个时空网格网络中，运载工具的时空轨迹可以表示为由多个垂直和水平链路组成的路径。该时空网格网络有多条到达时空目的地的路径(即t时刻的m站)，路径的数量由到达时间、首次列车发车时间和相邻列车之间的间隔时间决定。每个乘客选择其中一条路径到达时空目的地，如图 3所示。

2.2 时空网格网络均衡模型的建立

假设广义成本由2部分组成, 一部分是出行时间价值，另一部分是早到时间价值。所有乘客被分成2组, 一组是在车厢内有座位的, 另一组是在车厢内没有座位而站立的。因此制定了乘坐公共交通运载工具的乘客的一般成本，函数为：

(13)

式中，V_kⁱ为k站上车没有座位而站立的乘客数量；H_kⁱ为k站上车有座位的乘客数量。一般来讲，列车的拥挤程度对站立乘客的乘车体验感的影响较大，而有座位的乘客感受到的拥挤感较小，所以将有座位的乘客的拥挤不满意度近似为零。客流守恒函数为：

(14)

当运载工具从一站行驶到另一站时，出于对顺序车辆的安全考虑，运载工具的实际速度是变化的。设v(x)表示线路任意位置的车辆速度，则任意2个车站的行驶时间为：

(15)

时空网格网络的平衡条件为：

(16)

式中c_k^*为各使用路径的均衡广义成本。时空网格网络的均衡是在均衡状态下乘客使用的所有路径的成本均等于均衡广义成本，未使用的路径的成本均大于或等于均衡广义成本。

3 等效平衡 3.1 等价型证明

基于定理“时空网格网络的流平衡条件等价于公共交通离散廊道问题的流平衡条件”表述平衡等价性，设：

(17)

则这种广义成本也代表了时空网络的路径阻抗，可以重新表述如下：

(18)

假设有另一车次j也可以在期望时间t之前运送乘客到中央商务区，根据时空网格网络的平衡条件，必须有：

(19)

将式(19)代入式(18)可得：

(20)

同样，运载工具时间表是给定的，则有：

(21)

将式(21)代入式(20)，可得：

(22)

(23)

如式(12)，(19)，(23)成立，则满足等价条件，证明完成。

3.2 求解算法

基于实际考虑给出一种求解通勤者离场平衡模式的算法。借鉴交通分配的均衡算法^[15-16]，给出廊道问题均衡解的算法，将乘客的平均出行成本分为乘车票价、旅行时间价值、早到时间价值和拥挤成本4部分，于是重新计算如下：

(24)

式中，c_kⁱ为乘客从k站上车乘坐i次列车的总出行成本；p_k为从k站上车到达终点站m的票价；S为出行时间价值系数；β_k为在k站上车的通勤者的单位早到惩罚时间成本，与通勤者个人的收入息息相关，而通勤者居住地的平均房价可近似反映通勤者的平均工资水平，于是有：

(25)

式中R_k, R_m为k地和m地的平均房价。

(26)

(27)

式中，D_k为从k地到m地的单位时间出租车费用，其数值大小是k地到m地的出租车费用和k地到m地的出租车行驶时间之比；n_c是列车车厢容量。

已知，票价p_k和S是常数。平均房价R_k和R_m相对稳定，故β_k是常数。规定上班时间、列车发车时刻相对稳定，故Δt是常数。所以c_kⁱ的大小只与G_kⁱ有关，G_kⁱ的大小由每站上车人数N_a的大小决定，且G_kⁱ=G(N_a)是单调递增的函数。将p_k, ST_kⁱ, β_kΔt之和记作c_k⁰，则：

(28)

(29)

假设轨道站的离场人数需求是固定的，在平衡条件下，轨道拥挤网络中乘客流量的自动调节方式是使得所有线路中被使用的线路都有最小且相等的路径成本。轨道乘客离场平衡问题可等价于下列数学规划：

(30)

从k站到m站的总流量为q_k，则路径i上的流量与q_k满足以下关系：

(31)

式(29)~(31)是一个凸规划问题，最优目标函数值唯一，于是可以使用方向搜索法求解此问题，具体步骤如下：

(1) 寻找初始可行解，即时空路径i和k站上车人数x_k的解。

(2) 利用每站上车人数x_k计算乘客选择时空路径i的出行成本(即时空路径i的路径阻抗)。

(3) 寻找所有对于k站上车的乘客的最短时空路径i。

(4) 将需求全部分配给最短时空路径i(全有全无分配法)，记本次搜寻到的时空路径为以及上车乘客人数为。

(5) 如果得到的结果接近最优解就停止迭代，否则根据以下规则重新调整上车人数：, k=1, 2, …, m，λ_n∈[0, 1]，使用区间二分法求解迭代步长λ_n。

(6) 定义求解出的最短时空路径i的出行成本为，已知第n次迭代后的，当，迭代终止。此时得到的解x_kⁿ可近似为最优解。

4 数值算例

以重庆轨道3号线鱼洞至南坪段为例，对轻轨廊道乘客早通勤均衡模式进行实例分析。以鱼洞站、金竹站、学堂湾站、花溪站、九公里站、六公里站、南坪站7个站点为研究站点，见图 4。

设定通勤者的期望到达时间为早上9：00，从7：40开始至8：10，鱼洞站共发出6班列车，调查了最初的乘客离场模式，如表 1所示。经调研，各站点至南坪站的票价p={p₁, p₂, p₃, p₄, p₅, p₆}={5, 5, 4, 4, 3, 2}，由2020年重庆市在岗职工年平均工资98 380元可近似得到乘客旅行时间价值系数为33.7元，列车在每个相邻站点之间的运行时间为3 min，则T={T₁, T₂, T₃, T₄, T₅, T₆}={0.7，0.65，0.55，0.45，0.35，0.15}，各站点附近的平均房价R={R₁, R₂, R₃, R₄, R₅, R₆, R_m}={9 000, 9 000, 12 000, 12 000, 13 000, 1 300, 15 000}，各站点至南坪站的单位时间出租车费用为73元/h，重庆轻轨3号线采用的是跨座式单轨，早高峰时段均为6节编组，最大载客量为969人，求解得到一个近似均衡的乘客通勤模式，如表 2所示。

比较表 1和2可以得出，实际调查的初始乘客通勤模式与近似均衡的乘客通勤模式有一定程度的差异，即乘客自主选择的通勤模式是非均衡的，求解出的近似均衡的乘客通勤模式在乘客需求上进行了重新分配^[17]。

在近似均衡后的模式中，首发站鱼洞站首班列车离场人数增多，而越靠近期望上班时间的班次离场人数逐渐减少，说明在鱼洞站乘车前往南坪站的乘客对于早到惩罚时间价值的敏感性较小，乘客被期望在早高峰通勤时段缩减在住宅地滞留时间以提前出发乘车。相反，较靠近终点站的站点在越靠近期望上班时间的班次离场人数逐渐增多，说明居住地离终点站较近的乘客更被期望在早高峰通勤时段晚点出发，原因是这些乘客对内部拥挤带来的价值损耗敏感度较低。

重庆轨道3号线作为贯穿重庆南北的重要轨道线路，早高峰时段庞大的客流数量给线网运输造成巨大压力，线网客流的非均衡性也日益突出，通过算法得出的近似均衡的乘客通勤模式可以使得3号线早高峰通勤时段的乘客出行成本更接近于均衡成本，且不会因为某一位乘客出行时间选择的改变而影响网络流均衡。大数据时代下，出行信息诱导会对出行者决策产生极大影响^[18]，使用本研究的算法，根据出行时间均衡解，通过站点情报板显示建议出行时间.如图 5所示，为情报板提供数据来源的服务器是通过前端感知设备检测实时上车人数并加以识别和计算的云平台^[19]，乘客到达站台后可根据情报板上提供的建议出行时间改变出行决策，有效地将客流分散并帮助通勤者调整次日的通勤出行时间。这项应用有助于减少整个轨道3号线的交通负荷，起到平衡轨道网络通勤流量的作用，同时提高列车车厢的利用率，改善通勤者的出行质量，以此实现轨道交通的可持续发展。

5 结论

连接城市中心和周边地区的廊道空间必然会引发一些交通问题，这些问题是由2个区域之间产生的交通需求造成的，这些需求导致了人口、商品和服务之间的流动。通过对均衡条件等价性的证明，探索出了一种建立廊道问题和交通分配问题两类均衡之间联系的新方法，并利用现场调查数据对重庆市轨道3号线进行了实例分析，结论如下：

(1) 廊道问题是时间资源均衡，交通分配问题是空间资源均衡，将廊道问题视为时空网络，则时空网络中的交通均衡和通常意义下的交通均衡本质上一致，都是探寻交通系统和用户之间的相互作用关系得出的。通过研究早高峰公共交通廊道的时间资源配置均衡模型，证明在给定的公共交通廊道中时空网格网络的流平衡条件等价于公共交通离散廊道问题的流平衡条件，证明2类问题的求解方法可以互相借鉴。

(2) 在早高峰通勤时段的公共交通时空网络中，早到惩罚时间价值对职住距离较近的通勤者比职住距离较远的通勤者影响更大，起因是越靠近工作区住房价格越贵。职住距离较远的通勤者对运载工具内部的拥挤效应更敏感，因为通勤时间较长。

(3) 本研究建立的模型和算法可用于求解给定离散运输廊道的近似均衡的乘客通勤模式。此结果不仅可以刻画早高峰时段通勤者的动态出行行为，揭示出行时间均衡分布规律，还可以科学地控制和调节通勤需求，削减不合理的通勤需求，分解、转移相对集中的通勤需求，从而使通勤供需达到相对平衡，以保证早高峰时段公共交通系统的有效运行，改善城市生态环境和通勤者乘车质量，达到缓解交通拥堵的目的。更重要的是可以为构建先进的出行者信息系统(ATIS)提供理论支持，给予公共交通运营企业、交通管理部门等更多的公共交通规划参考。