0 引言

随着全球化石燃料资源短缺，新能源汽车逐渐兴起，而纯电动车因其节能减排，相较消耗燃油有较低的使用成本而逐渐被大众所接受。杨小娟^[1]等通过大数据挖掘的方法证明了新能源汽车有着较高的可靠性。智能化车辆控制已成为研究热点，而起步控制作为智能化控制的基础之一，也具有重要的研究价值。

车辆质量及道路坡度作为车辆控制中的重要参数，前人对其进行了深入的研究。车辆质量及道路坡度主要研究方法分为2大类：一类是借助额外传感器进行参数估计，另一类是将汽车动力学模型与算法结合进行参数估计。Bae等通过GPS测量车辆的俯仰状态和单天线的垂直速度与水平速度之比估计路面坡度^[2]。Sahlholm等提出了一种基于GPS定位信息和车辆传感器数据融合的坡度估计方法^[3]，该方法具有较高精度，但多个高精度传感器成本较高。Mangan等用倾角仪直接测量道路坡度^[4]，但该方法过于依赖倾角仪的精度。雷雨龙等基于纵向动力学方程和前向欧拉法，结合扩展卡尔曼滤波进行车辆质量和坡度的估计^[5]，一定程度上提高了自动变速器换挡品质。郝胜强等利用加速度传感器与稳态卡尔曼滤波进行车辆质量和道路坡度估计^[6]，验证了该算法比惯性导航仪具有更高的精度。刘平等针对电动车起步控制分析了卡尔曼滤波估计坡度的影响因素^[7]。Vahidi等针对参数特性提出了一种多遗忘因子递归最小二乘法同步估计车辆质量与道路坡度^[8]，但最小二乘法对于时变量的估计仍有一定误差。褚文博等根据电驱动车特点，用递归最小二乘法估计整车质量，然后通过运动学与动力学融合方法估计道路坡度^[9]，该方法具有较好的准确度与鲁棒性。陈浩等针对电动轮汽车提出了扩张状态观测器与加速度传感器信息融合的方法，采用遗忘因子递归最小二乘法将加速度传感器信号中的坡度信息解耦, 解决加速度计历史数据饱和问题^[10]，该方法具有较好的实时性。戴卓等建立了7速双离合自动变速器模型，将卡尔曼滤波估计得到的变速器输出轴转矩作为递归最小二乘法的输入来实时估计道路坡度与整车质量，在无额外传感器的情况下取得较好的估计结果^[11]。Kim等先使用卡尔曼滤波器估计坡度、速度和加速度，然后将估计值用于递归最小二乘法，输入估计车辆质量^[12]，由于多个估计结果作为质量估计的输入，其质量估计结果的精度较差且收敛速度较慢。Sun等使用扩展卡尔曼滤波估计车辆质量与坡度，再使用递归最小二乘法二次估计，权衡2次估计值得到最优解^[13]。基于额外传感器的方法受到传感器精度和车辆成本限制，而基于汽车动力学模型的方法无需额外传感器，具有较好的普适性。

鉴于以上研究，本研究提出了一种类似二阶段式的参数估计方法。根据车辆质量在一段行驶过程中稳变性的特点，选择遗忘因子递归最小二乘法作为质量估计方法，并将质量估计结果作为自适应卡尔曼滤波的输入参数之一来估计坡度。通过实车试验验证了该方法的估计性能，是一种较精确的电动汽车整车质量和道路坡度估计方法，并用于起步阶段参数估计。

1 车辆纵向动力学模型

车辆在行驶过程中以纵向运动为主，车辆动力学模型经简化后，车辆行驶过程中纵向受力情况如式(1)所示：

(1)

将式(1)展开得到式(2)：

(2)

式中，F_W为驱动力；F_aero为空气阻力；F_μ为滚动阻力；F_grade为坡度阻力；a_x为车辆在x时刻的加速度；T为驱动电机转矩；i为主减速器传动比；η为传动系的机械效率；C_D为空气阻力系数；A为车辆迎风面积；ρ为空气密度；v为车辆的行驶速度；μ为滚动阻力系数；g为重力加速度；θ为路面坡度；r为轮胎滚动半径。

2 道路坡度及整车质量的混合算法 2.1 混合算法

在电动车行驶过程中，坡度随时间变化而变化，具有时变性，质量基本稳定不变，具有稳变性。用单一算法估计这2个参数会使结果误差较大，故根据参数变化特点用混合算法分2个阶段估计整车质量与道路坡度。混合算法的流程图如图 1所示。该算法分为2个阶段，第1阶段由遗忘因子最小递归二乘法对整车质量做出估计，输出整车质量；第2阶段由自适应卡尔曼滤波估计坡度值，并将第1阶段输出的质量作为输入参数之一。

2.2 遗忘因子递归最小二乘法

递归最小二乘法是利用实时的测量信息修正估计结果，遗忘因子是一个用来决定先前数据置信度的参数。递归最小二乘法可与遗忘因子一起使用，以解释缓慢变化的参数。考虑到传动系统中摩擦和惯性影响，选取参数θ_μ=tan^-1μ，将式(2)改写为

(3)

将式(3)写为线性参数形式：

(4)

式中，y为测量信息矩阵；Φ为系数矩阵；φ为待估计参数。式(4)中参数改写为：

(5)

在最小二乘法估计中，线性模型未知参数的选择是基于实际观测值和计算值之差平方和的最小值来选择的。这代表了未知参数的最优估计可以使以下损失函数的值最小，再加入遗忘因子，即：

(6)

然后求最小参数并写为递归形式：

(7)

在递归最小二乘法中，随着递归次数增多，历史数据会对估计结果产生影响，故使用一个加权系数即遗忘因子λ来淡化或加强历史数据对当前估计的影响。λ对估计结果的影响如表 1所示。

加入遗忘因子后式(6)可写为^[8]：

(8)

引入遗忘因子后，递归式(7)中的L (k)为：

(9)

(10)

在本算法中，将质量与坡度解耦，通过遗忘因子加强历史数据的影响，从而提高稳变量质量的估计精度，且忽略对时变量φ₂的估计结果。递归最小二乘的协方差矩阵P (k)会随时间改变，从而影响跟踪参数变化能力。由式(10)可见，与递归最小二乘法相比，引入遗忘因子后的协方差P (k)每次更新都需要除以λ，在估计车辆质量时可将λ取值大于1，以便提升算法对稳变量的估计效果。在未知参数不变的情况下，上述算法的收敛性已得到证明^[14]。

2.3 自适应卡尔曼滤波

卡尔曼滤波器对道路坡度等时变参数有着较好的估计性能。卡尔曼滤波器需根据动力学方程建立系统状态空间方程。考虑车辆行驶过程中旋转质量力偶矩的影响，引入了车辆旋转质量换算系数δ。由于道路坡度设计值一般较小，则可设cos θ≈1，sin θ≈tan θ=θ，则式(1)可写为：

(11)

选取电动车行驶速度v和道路坡度θ为状态变量。则系统状态向量为x_k= [v_k θ_k]^T。在车辆行驶时，道路坡度的变化幅度较小，所以坡度对时间的导数可近似为0，可得到离散后的微分方程：

(12)

式中Δt为采样间隔。

车辆在低速行驶和起步过程中空气阻力影响较低，可将F_aero视为0, 则式(16)可改写为：

(13)

系统的状态方程为：

(14)

式中q_k-1为k-1时刻的状态估计噪声。系统的观测方程为：

(15)

式中，H为观测矩阵；r_k-1为k-1时刻的观测噪声。

卡尔曼滤波可分为预测部分与更新部分。预测部分由k-1时刻的状态得到k时刻的先验估计与先验协方差，更新部分由经验公式得到卡尔曼增益K, 再利用增益K去更新先验估计与先验协方差，得到k时刻的估计值与协方差。

自适应卡尔曼滤波在基于卡尔曼滤波的基础上加入自适应过程，已有学者将自适应过程加入扩展卡尔曼滤波和无迹卡尔曼滤波并在道路坡度估计上取得一定成果^[15-16]。自适应卡尔曼滤波的自适应过程即引入残差ε和具有遗忘因子的噪声估计器，利用观测数据校验预测值完成更新的同时，判断系统本身特性是否发生动态变化，从而对模型参数和噪声特性进行估计和修正，以改进滤波设计，缩小滤波的实际误差。卡尔曼滤波预测更新的精度与准确性基于协方差，从而降低了系统噪声的影响，可更好地提高协方差精度。

滤波时间更新方程为：

(16)

式中A为状态转移矩阵。

(17)

式中，为k时刻的先验协方差矩阵；Q_k-1为状态估计过程中k-1时刻的噪声协方差矩阵。

滤波测量更新方程为：

(18)

式中，ε_k为k时刻的残差；Z_k为k时刻的观测值；K_k为k时刻的卡尔曼增益；R_k-1为k-1时刻噪声的协方差矩阵；I为单位矩阵。

自适应卡尔曼滤波引入了带有遗忘因子的噪声估计，与式(16)~ (18)相耦合。带有遗忘因子的噪声估计器^[15-16]为：

(19)

式中，d_k-1为k-1时刻的加权系数；b为遗忘因子，通常取值为[0.95, 0.955]^[17]。

3 试验及验证 3.1 试验方案

通过实车试验验证本算法的有效性，选用某型号新能源汽车，车辆总质量为整备质量加上车内试验人员及相关设备质量。选择一段坡度变化的路段作为试验道路进行试验，驾驶员于道路起点启动车辆，此时记录员开始数据记录，到达路段终点后车辆停止，记录员停止数据记录。车上装载GNSS终端和高精度惯性测量单元(型号SPATIAL-A12)，通过GNSS终端实时采集车辆的行驶速度和加速度，通过惯性测量单元实时采集道路坡度信息并作为试验道路的真实值。通过SD卡采集CAN总线的驱动电机转矩等信息。试验过程选用参数见表 2。

3.2 试验验证及结果分析

基于车辆纵向动力学模型，使用图 1所示算法流程处理车辆上坡过程中所采集的数据。图 2为试验路段估计结果。由图 2(a)所示，质量估计值可以快速收敛至真实值附近，最终估计结果为1 724 kg，误差在10 kg以内，相对误差小于1%。坡度估计结果由图 2(b)所示，虽然所测得的真实值噪声较大，但估计值与真实值较为吻合。图 2(b)中前57 s内坡度缓慢增大，估计结果误差较小。57~84 s坡度大幅降低，在此时间段的误差增大，84~120 s估计误差缓慢减小。该算法在坡度降低路段误差增大的原因可能是受到加速踏板和制动踏板开合度的影响，驾驶途中在坡度降低后为了控制速度，加速踏板和制动踏板开合度改变，进而影响发动机转矩。在本算法噪声估计器的迭代中，测量噪声和过程噪声的改变会影响算法对预测值的信任度，影响滤波器的响应速度而产生误差。

为了更好地评价本算法估计性能，这里引入了均方根误差(RMSE)和平均绝对误差(MAE)指标，其计算方法为：

(20)

(21)

式中，x_k为k时刻估计值；y_k为k时刻真实值。误差指标计算结果如表 3所示。

由表 3可知，本算法具有较低的估计误差。与质量估计结果相比，坡度估计结果拥有更高的精度，这是因为在车辆实际行驶过程中，在不同的路面、轮胎等因素影响下会产生一些噪声。这些噪声不具有统计特性，但会影响滤波器的估计精度，而自适应卡尔曼滤波加上了自适应过程，即在状态校正过程中加入具有遗忘因子的噪声估计器，降低了系统噪声时变性的影响。此外，为了体现本算法的坡度估计性能，还与其他文献中的多种方法进行坡度估计比较，如表 4所示。由于各个文献中的试验环境不同，使用车辆型号不一，所使用的传感器数量和精度相差较大等因素，相较于直接对估计结果进行比较的均方根误差，归一化均方根误差可相对减少试验条件不同所带来的影响，故此处用于估计性能的比较，其计算方法为^[18]：

(22)

式中，θ_max和θ_min为坡度真实值的最大值和最小值。

如表 4所示，本算法具有较低的归一化均方根误差值，仅高于文献[3]中的估计方法，而文献[3]的方法进行了GPS等多个传感器的信息融合。在额外仅使用了GNSS终端的情况下，本算法对坡度估计仍具有较高精度。

综上所述，此混合算法可以较为准确地估计试验路段的整车质量与道路坡度，具有较好的参数估计能力。

3.3 起步阶段结果分析

为了验证该算法在车辆起步时的估计性能，选择了平地路段(坡度约为0°)与微斜坡路段(0.5° < 坡度 < 2°)2个路段进行试验，车辆在所选路段进行短时间的直线行驶后停止，选取2次试验前10 s的数据进行车辆起步过程研究。

图 3为2次坡度试验的估计结果及误差。在2次试验过程中质量估计值都在较短的时间内收敛到真实值附近。质量误差如图 3(b)和(d)所示，2次试验的质量估计结果有着大致相同的收敛趋势，且误差范围都在35 kg之内。坡度估计结果如图 3(a)和(c)所示，2次坡度估计都取得了较好的结果。由图 3可知，微斜坡起步的估计误差要略大于平地起步的误差，原因可能是因为微斜坡起步过程中，坡度变化的幅度要稍大于平地起步过程，影响了滤波器的响应速度，但坡度最大误差仍小于0.6%。表 5为二次起步过程误差估计指标结果，结果显示本算法在起步过程中有着较低的质量与坡度估计误差。

4 结论

根据车辆行驶过程中参数变化的特点，基于车辆纵向动力学提出了遗忘因子递归最小二乘法和自适应卡尔曼滤波的混合算法。选择变化坡度路段进行试验验证，最终质量估计结果收敛至真实值10 kg以内，误差小于1%。坡度估计可以较好地追踪不断变化的坡度，估计结果归一化均方根误差值为2.23%。将本算法应用于纯电动汽车起步阶段时，在二次起步试验中，质量估计最大绝对误差小于30 kg, 相对误差小于2%，坡度估计最大相对误差小于0.6%。结果表明本算法可以较为准确地估计车辆质量和道路坡度，从而为电动车智能控制和自动驾驶起步控制提供了一种新的参数估计方案。