0 引言

拱轴线的确定直接决定大跨径钢管混凝土拱桥的合理成桥状态，是拱桥设计中的重要环节。理想情况下应使拱轴线与主拱的压力线一致，拱圈每一截面均仅受轴力，没有弯矩作用^[1-2]。但实际上，主拱除了受恒载、活载作用外，还受到温度升降、混凝土收缩徐变及基础沉降等各种不确定作用的影响，理想的拱轴线是无法完全达到的^[3-4]。在大跨度拱桥的荷载组成中，恒载占据了很大比重^[5]，并且这个比重随着跨径的增大而增加。因此，恒载压力线可作为目标拱轴线，采用各种曲线来拟合恒载压力线。在以往学者们的研究中，抛物线、悬索线、悬链线、样条曲线等都可被用来拟合钢管混凝土拱桥的合理拱轴线^[6-10]。

随着拱桥跨径的增加，选择悬链线作为拱轴线的比例逐步增大，为保证悬链线拱轴线与压力线偏差不大，一般采用以下方法确定拱轴系数^[11-13]：“五点重合法”是在小跨径悬链线拱桥中应用最多的拱轴线优化方法，但由于其控制参数少，易导致荷载作用下某些截面与压力线偏差较大，另外，对非单管截面形式的拱桥来说，关键截面特性的计算十分繁琐。“截面偏心距最小法”通过计算整体截面的偏心距来控制拱轴线在合理范围内，从而保证整体受力最优，但对于某些复杂截面形式，弦杆与中心轴偏差较大，则无法保证每根管受力最优。“弯曲能量最小法”也被应用于拱轴线的优化设计，其通过控制弹性变形能来优化拱轴线形。但该方法没有关注剪力对变形能的影响，对结构形式较复杂的拱桥，会存在一定的误差，该方法虽确保了主拱在整体上弯曲能量最小，但仍可能因拱脚、拱梁交界等局部弯矩过大而产生破坏。

传统的拱轴线优化方法存在一定的不足之处，已有不少学者对拱轴线的优化开展了进一步研究，徐岳等^[14]以结构应变能和拱肋控制截面偏心距最小为目标，形成了下承式系杆拱桥结构体系内力分布的优化方法；蒋启平^[15]将恒载压力线作为合理拱轴线，先假定出拱顶-拱脚的倾角，通过迭代，最后确定设计倾角、矢高等参数，再通过3次样条插值拟合拱轴线；宁云等^[16]利用APDL参数化语言对以悬链线作为拱轴线时的拱轴系数进行优化；冯彩霞^[17]提出基于对应两铰拱模型的拱轴线优化方法，能更有效减小拱肋弯曲应变能；何祎^[18]通过NURBS技术对拱轴线进行优化处理，该方法可适用于某些特殊结构形式的拱桥；周尚猛^[19]构造出一种基于拱轴线变形能的多参数拱轴线优化方法，以处理控制参数较少的函数曲线难以使拱轴线与压力线重合的问题；侯春辉等^[20]利用APDL语言建立拱轴系数优化过程，并得出合理的立柱布置方式；胡常福等^[21]针对已有拱轴线迭代优化方法收敛性不好的问题，提出在主拱圈为两铰拱的索拱桥有限元模型基础上，进行几何非线性的拱轴线迭代优化方法，以解决考虑几何非线性的超大跨径索拱桥拱轴线迭代的收敛性问题；张忠中等^[22]建立了拱轴线拓扑优化模型，并验证了连续体结构拓扑优化方法可应用于作用荷载相对均匀的拱式渡槽拱轴线设计。但以上方法仍没有克服求解方法繁琐、难适用于实际工程的问题。

综上所述，以往的拱轴线优化方法存在一定的缺点，本研究在以往研究的基础上，提出了一种基于主弦管偏心距的迭代优化方法，以钢管拱主弦管的偏心距为指标，设置钢管混凝土拱桥偏心距容许值，将全拱主弦管偏心距的最大值作为目标函数，通过迭代求解出钢管混凝土拱桥合理的受力状态，再结合3次样条曲线，选取控制截面进行线形优化，确保拱轴线的美观性与合理性。

1 主弦管偏心距最小法

对于大跨径钢管混凝土拱桥，通常为主弦管、腹杆、斜撑等组成的桁架结构，其中主弦杆为全桥的主要受力构件，腹杆、斜撑等主要起到连接作用，在进行拱轴线优化计算时，可忽略腹杆、斜撑等结构的受力状态，保证拱肋主弦管全截面偏心距最大值最小，以拱肋主弦管的受力最优为目标，完成主拱拱轴线的优化。

主弦管在弯压耦合作用下，为偏心受压状态，偏心距的大小可表示主弦管的受弯程度。主弦杆偏心距的计算方法如下，以图 1中钢管混凝土拱桥桁式截面为例，首先根据各构件内力及参数，计算任意主弦管的偏心距：

(1)

式中，N_ji和M_ji为主拱主弦管j在i截面处的设计轴力值与设计弯矩值；m为弦管个数。

主弦管j上所有单元的最大偏心距可表示为：

(2)

式中，n为该弦管上单元数，则所有主弦管偏心距最大值为：

(3)

将主弦管的偏心距E_max作为迭代计算过程中的目标函数，寻找满足主弦管弯矩限值、受力状态最优的合理拱轴线。

2 主拱截面坐标优化计算

在拱轴线的迭代优化计算过程中，需要多次修改主拱相关单元的坐标，以期达到理想线形，但是，拱肋结构复杂，单元数量多，提取坐标值工作量大。若能建立拱轴线与拱肋各节点坐标之间的数学关系，则通过修改拱轴线的相关参数即可快速计算出主拱的全部节点坐标，方便快捷地实现主拱模型的修改，但这种方法适用于节点在竖直截面的情况，对于拱肋上的复杂机构，如拱脚、梁拱交界处等，这些位置的节点无法直接采用上述方法进行修改。因此本研究根据有限元离散单元的思想，提出一种通过控制单元长度限值来修改主拱圈全节点坐标的简便方法。

拱桥拱肋都是具有曲率的曲线单元，根据有限元思想，假定数个连续单元数量足够多，单元长度足够短时，可忽略其弯曲曲率，将曲线单元近似视为直线。在此假定条件下，可进行如下计算，首先确定一个长度界限值l_lim，设拱肋主弦管节点个数为r，提取拱肋主弦管单元节点号n及对应三维坐标信息x，y，z，用A_art表示：

(4)

从A_art中任选3个节点，按z坐标的大小进行排序，分别为(x_i, y_i, z_i)，(x_j, y_j, z_j)，(x_k, y_k, z_k)，若满足：

(5)

则：

(6)

通过对单元长度进行约束，保证3点共线，并通过式(6)对其中一个节点坐标进行修改。根据以上方法，采用任意语言编写对主拱肋坐标进行循环计算的程序，可实现全节点的坐标修改。

3 拱轴线迭代优化

由于大跨钢管混凝土拱桥结构自身的复杂性，直接求出弯矩与主弦管偏心距变化量之间的关系式是非常困难的，故本研究采用迭代的方式开展计算，将主弦管的偏心距限制在理想范围内。再选取合理的控制截面，以控制截面的偏心距为目标，充分发挥3次样条曲线更易逼近合理拱轴线的优点，展开插值计算，完成拱轴线形的最终优化，得出一条光滑、合理的拱轴线形。

3.1 主弦管弯矩法迭代式的建立和求解

首先，建立钢管混凝土拱桥有限元模型，将相邻2钢管简化为长度无穷小、总弯曲刚度为EI的直杆单元E_i，E_j(对应N_i，N_k，N_j 3个节点)，长度分别为l_i，l_j。梁单元与相邻单元连接方式为铰接，左右两边弯矩分别为M_i，M_j，内力值呈线性分布。结构如图 2所示。

由图 2可知，对于任意节点N_k处的弯矩可以等效为施加强制位移Δ_k，N_k处的弯矩M_k可由已知的相邻2节点弯矩M_i和M_j计算得到。推导Δ_k与M_i的关系，即可通过调整N_k点的竖向位置来实现弯矩的调整。而N_k点的竖向位移也可以通过施加集中力F_k来实现，因此，可以借助N_k处施加集中力F_k建立相关等式关系。

采用结构力学中的图乘法^[2]，推导拱肋主弦管偏心距调整量Δ_k与弯矩M_k之间的关系式，计算过程如下，节点N_k处的弯矩值M_k为：

(7)

采用图乘法对Δ_k与F_k的关系进行推导：

(8)

由图 3中的微分关系可知：

(9)

式中x₀为y轴到M_pk图形形心的距离。将式(9)代入式(8)可得：

(10)

式中y₀为M_pk图形形心在弯矩图中的对应高度。则效集中荷载与主弦管偏心距调整量的关系为：

(11)

在节点N_k处弯矩与集中力的关系为：

(12)

结合式(11)和式(12)，得到弯矩值与主弦管偏心距调整量之间的表达式为：

(13)

可引入偏差系数ξ_Δ进一步提升收敛速度，则最终的主弦管偏心距调整关系式为：

(14)

式中，；E_max为最大偏心距；E_a为偏心距容许值。本研究方法是为了确保每根主弦管的偏心距最优，根据《公路钢管混凝土拱桥设计规范》(JTG/T D65-06—2015)中对单管主拱的偏心距要求：

(15)

式中，e₀为构件截面偏心距；r为钢管混凝土截面半径。可得出偏心距容许值，但这个限值比较宽松，还应当考虑偏心距容许值的选用对结构优化是否显著，本研究在4.2节中以15 mm为偏心距容许值进行合江长江公路大桥的优化计算，结果表明优化效果较为显著。限值的选择应同时兼顾规范要求与结构优化的需要。

3.2 三次样条曲线优化

上节中通过迭代形成的拱轴线是一条规律性不强、无法直接用以设计施工的曲线，本研究采用3次样条曲线对拱轴线展开进一步拟合，保证拱轴线的美观性和合理性。

根据3次样条曲线的性质，假定S″(x)在每个微区间[x_j, x_j+1]内均可用M进行表示，则：

(16)

对式(16)进行2次积分，并引用条件S(x_j)=y_j和S(x_j+1)=y_j+1，可求得2次样条曲线系数矩阵A：

(17)

由于拱桥的对称性，取半跨进行插值拟合，另一半跨可对称得出，为确保拱轴线在拱脚、跨中处的曲率不变，采用3次样条曲线3种边界条件中的第1种进行设计计算，即：

(18)

式中，f′(x₁)和f′(x_n)分别为拱轴线在拱脚处与跨中处的斜率。根据二阶导数的连续性可得跨中处f′(x_n)=0。

当M_j确定，即可求得系数矩阵A。对S(x)求导可得：

(19)

通过S′(x_j+0)=S′(x_j-0)，可得：

(20)

其中：

(21)

(22)

根据式(18)可求得如下边界条件方程：

(23)

令λ₀=1, , μ_n=1, ，则式(23)可写成矩阵形式:

(24)

将求得的M_j(j=1, 2, …, n)代入式(17)，即可得到3次样条曲线的系数矩阵A。

4 工程实例 4.1 工程概况

合江长江公路大桥为当前世界最大跨度的钢管混凝土系杆拱桥，中承式结构，桥梁位于四川省合江县城区，主桥跨径布置为80.5 m(飞燕)+507 m(主拱)+80.5 m(飞燕)，设计拱轴线为悬链线，拱轴系数为1.5，主拱肋为典型的桁架结构，拱脚截面桁架高度14 m，拱顶截面桁架高度7 m，钢管壁厚分为22，26，30 mm这3种规格，主弦管外径为1.3 m。全桥受力较为复杂。

4.2 主弦管线形迭代计算

由于迭代计算前，初始状态不影响最终计算结果，因此选取常用的悬链线作为拱轴线，并选用拱轴系数m=1.5作为初始状态，在此基础上开展主弦管弯矩迭代计算。按流程进行迭代，设定主弦管偏心距限值为15 mm，每次迭代完成后得到全桥主弦管单元的偏心距E，其中最大值为E_max，当E_max≤15 mm时，完成迭代，共进行了15次迭代，迭代计算得到的主弦管偏心距最大值及全桥主拱弯矩最大值变化如图 3~4所示。

由图 3~4可知，在经过15次迭代后，主弦管偏心距最大值与最大弯矩均产生了明显减小，其中偏心距由初始状态下的62.13 mm大幅降低至14.72 mm；弯矩由初始状态下的519.43 kN·m减小至100.32 kN·m，减小了80.7%，优化效果显著。

优化完成后，关键截面的弯矩结果见图 5可知，各截面弯矩值均较小，基本控制在100 kN·m以内，拱肋基本处于受轴压状态，结构受力状态良好，迭代优化效果较好。

以最终计算结果为基础，选取关键截面：拱脚，L/8，L/4等，进行3次样条插值计算。根据公式(17)可求得样条曲线系数矩阵为：

(25)

根据矩阵A可得到优化后的合江长江公路大桥主桥半跨的拱轴线，另一半跨可通过对称得到。

4.3 优化结果对比

上节已根据主弦管偏心距迭代法求得合江长江公路大桥的最优拱轴线形，本节将对拱轴线形的优化结果进行对比分析。针对合江长江公路大桥采用抛物线、悬链线作为拱轴线形时的最优线形与本研究方法计算得到的最优线形，比较各关键截面的内力状态。

抛物线、悬链线作为拱轴线时的最优线形均是采用主弦管偏心距最小法、截面偏心距最小法、弯曲能量最小法分别优化，综合对比得到3类最优拱轴线形参数见表 1。最优拱轴线型对比见图 6。

以一幅拱肋内弦钢管上、下弦弦杆为例，3类最优拱轴线关键截面内力对比见图 7。

由表 1和图 7对比可知，本研究方法得到的最优拱轴线形弯矩仅在L/8处略大于其他2种最优拱轴线，但该控制截面处弯矩绝对值较小，并不决定全桥的阈值。上、下弦管中弯矩最大值减小明显，在其他控制截面由本方法计算得到的拱轴线形弯矩较另2种线形也有不同程度的减小。因此采用本研究方法优化计算出的拱轴线形，主弦管的弯矩峰值得到有效减少，优化效果显著。

5 结论

本研究提出了一种基于钢管混凝土主弦管偏心距最大值进行拱轴线优化的方法，并对其进行了推导与应用，得到以下结论：

(1) 考虑钢管混凝土拱桥复杂截面节点单元的冗杂性，提出一种通过控制单元长度限值来控制主拱圈全节点坐标的快速建模方法，提升钢管混凝土拱桥拱轴线形的优化设计效率。

(2) 根据拱轴线优化设计减小拱肋弯矩的思路，通过结构力学中的图乘法进行推导，得到了离散单元主弦管偏心距调整量公式，给出了迭代优化的终止准则，建立了主弦管偏心距的迭代流程。

(3) 建立了基于3次样条差值的合理拱轴线形拟合方法，实现对拱轴线形的进一步优化，得到可指导实际施工的合理拱轴线形。

(4) 在合江长江公路大桥上对本研究的计算理论进行验证，通过有限元软件建立模型，将全拱肋主弦管偏心距作为优化目标，设置全拱肋主弦管偏心距容许值进行迭代计算。计算结果表明，采用主弦管偏心距法大幅降低了全拱肋的弯矩幅值，弯矩由初始状态下的519.43 kN·m减小至100.32 kN·m，减小了80.7%，各关键截面弯矩基本控制在100 kN·m以内，相较其他方法计算更简便，优化效率显著。

(5) 对比了合江长江公路大桥采用抛物线、悬链线以及本研究方法计算得到的最优拱肋线形，结果表明本研究方法计算得到的拱轴线在内力方面整体最优，截面最大弯矩较最优抛物线型减小47%，较最优悬链线型减小近20%，受力状态良好，拱轴线形的优化效果显著。