近年来，我国在大跨径拱桥的建造方面取得长足进步，广西平南三桥^[1]、重庆朝天门大桥^[2]、合江波司登大桥^[3]等已建成桥梁跨径均已突破500 m。而在建的天峨龙滩特大桥跨径达到600 m^[4]，郑皆连^[5]院士指出，拱桥的跨径可达到700 m，拱桥已成为大跨径桥梁的主要竞争桥型。然而，拱肋对拱座产生的强大水平推力限制了拱桥在软弱地基区域的应用。为了解决这一问题，发展了飞燕式系杆拱桥，通过系杆抵消拱肋产生的水平力，使拱座的水平力大幅降低^[6]。大跨径拱桥一般采用无支架分阶段成型施工方法，随着施工阶段的进行，拱座的水平力逐渐增大，选择最优的时机对系杆进行张拉至关重要。王朝华研究了不同系杆张拉方案下的拱肋及系梁的应力状态，确定了依托项目的合理张拉方案^[7]。龚子松^[8]将飞燕式钢管拱的边跨视为曲梁并采用叠加原理提出了一种系杆张拉计算方法。程翔云等^[9]将飞燕式钢管拱的系杆视为体外索，研究了考虑系杆索张力损失条件下施工过程拱座位移及拱座水平推力的规律。既有的研究表明，系杆张拉对拱桥施工过程安全及成桥状态影响显著，但这些研究均是以施工过程简单的中小跨径拱桥作为研究对象，不能适用于特大跨径飞燕式拱桥。本研究以当前世界最大跨度飞燕式钢管混凝土拱桥为依托，提出了基于影响矩阵法的施工全过程系杆张拉优化计算方法，用于解决特大跨径拱桥复杂施工过程中的系杆张拉方案优化问题。

对于特大跨飞燕式系杆拱桥，当飞燕式结构采用分环分段浇注外包混凝土时，随着外包混凝土的浇注和主拱立柱、桥面系的安装，飞燕式结构承受拱上不断增加的荷载时有可能会造成外包混凝土的开裂以及拱脚处局部应力过大，只能通过适宜的时机张拉系杆力来调整截面应力值^[10]。如图 1所示，在对飞燕式结构受力分析时，可将飞燕式结构边拱简化成一个混凝土梁^[11]，系杆看作体外预应力筋，拱脚处弯矩平衡方程为：

(1)

图 1 飞燕式结构受力图 Fig. 1 Schematic diagram of stresses on flying-swallow-type structure

图选项

式中，ΔM为拱脚弯矩增量；q₂为边拱恒载集度；交接墩支反力F为超静定结构赘余力；L₂为边拱跨径；f₂为边拱矢高；T为拱脚在系杆张拉力增量。主拱和飞燕式结构恒载集度增量q₁，q₂三者共同作用保持平衡，若保持施工路径不变，即q₁和q₂变化恒定，则通过调整系杆张拉力增量T控制飞燕式结构截面内力。

大跨径飞燕式拱桥通常采用高强钢束作为系杆，通过张拉钢束预应力来主动平衡拱肋的水平推力。系杆钢束为多股独立张拉的钢束构成，本质上与斜拉桥索力张拉相似，则可采用影响矩阵法构建系杆钢束张拉力与结构响应间的关系^[12]。设第i个施工阶段的系杆张力为：

(2)

式中t_n为第i个施工阶段第n根系杆钢束的索力。

设第i个施工阶段系杆钢束张拉力变化单位力对结构响应的影响矩阵为C_i，可得到系杆张拉力与结构响应之间的关系：

(3)

式中，δ_gⁱ为第i个施工阶段恒载产生的结构响应；δⁱ为第i个施工阶段结构总响应值，可以是任意部位所关心的内力、变形、索力等结构响应，是一个m维的列向量，表示m个关心位置的响应值。δ_gⁱ和Cⁱ可以由第i个施工阶段的有限元模型直接求得。

由于系杆钢束在高度方向的分布较为集中，可将所有系杆钢束分布的形心作为系杆力理论计算的作用位置，每根钢束张力对结构的影响向量相同^[13]。此时将所有钢束合并为一整根钢束，与预应力梁相似，所有钢束合力钢束张拉可视为集中力Tⁱ作用于飞燕端部系杆锚固位置^[14]，则原影响矩阵关系由式(4)简化为式(5), 系杆张拉优化本质上求解不同施工阶段合理的系杆力以及张拉时机。

(4)

(5)

系杆张拉对飞燕结构的弯矩和轴力影响显著，将直接改变飞燕结构在施工过程或成桥状态的应力状态，则在系杆张拉优化过程中，需要将飞燕结构应力作为约束条件^[15]。首先，式(3)中的δⁱ应包含关心测点的弯矩响应和轴力响应，则飞燕结构在关心测点的应力为：

(6)

式中，σ_nⁱ为第i个施工阶段构件n截面的最大应力；N_Tⁱ和M_Tⁱ为第i个施工阶段系杆张力引起的飞燕结构新增轴力和弯矩；N_Tⁱ和M_Tⁱ与系杆张力T间的关系由式(3)直接求得；N_Gⁱ和M_Gⁱ为第i个施工阶段自重和临时荷载对构件n截面产生的轴力和弯矩；A_n和W_n为构件n的截面面积和截面抵抗矩。

在原设计施工方案中，仅优化系杆的张拉力和张拉时机，张拉力和张拉时机要确保全施工过程中结构的应力和线形处于安全范围内，并根据施工历程中边拱外包混凝土的内力分布确定张拉时机，防止边拱外包混凝土在施工历程中出现开裂，则式(6)中σ_nⁱ为系杆张拉力T的函数，即：

(7)

式中，N_Tⁱ=f₁ (T)；M_Tⁱ=f₂ (T)。因此在施工控制计算过程中，在成桥受力不变的情况下，优化系杆张拉的时机和张拉力的大小，以此来保证飞燕式结构受力合理性^[16]。系杆张拉力的约束条件为施工过程中的关心参数，得到有约束的系杆张拉力可行域，建立约束条件下的系杆张拉优化模型。

首先，对各个施工阶段中边拱外包混凝土的应力σ_nⁱ进行控制，满足：

(8)

式中f_c和f_t为边拱外包混凝土抗压、抗拉强度设计值。除了需要对施工过程中应力进行控制外，还需要对拱座的水平推力、拱座整体弯矩以及飞燕端部支反力等整体稳定性指标进行控制。通常，根据飞燕式系杆拱桥的分阶段成形施工方法，施工历程中整体稳定性不低于成桥设计状态稳定性。因此，在施工过程中，应使拱座水平推力及弯矩不能超过成桥状态，飞燕端部支反力应始终处于受压状态，得到如下约束条件：

(9)

式中，Hⁱ和[H_g]为第i个施工阶段拱座的水平推力以及拱座允许推力，本研究取成桥状态水平推力为允许水平推力；M_yⁱ和[M_y]为第i个施工阶段拱座绕横桥向转动的弯矩值和允许弯矩值；Rⁱ为飞燕式结构端部支反力，一直处在受压状况。

合江长江公路大桥为目前世界最大跨度飞燕式钢管混凝土系杆拱桥，位于四川省合江县城区，主桥跨径布置为80.5 m(飞燕)+507 m(主拱)+80.5 m(飞燕)。主拱为钢管混凝土桁架拱肋，拱轴系数1.5，净矢跨比为1∶4，两片拱肋间距25.3 m，拱脚段为劲性骨架外包混凝土结构。飞燕为钢管混凝土劲性骨架箱型拱。由于主拱及边拱均为采用无支架分阶段成型施工方法，拱座在施工全过程的受力变化复杂，系杆分阶段张拉及张拉时机对拱座的受力调控至关重要。原设计施工方案给出的主要施工步骤及系杆张拉方案如表 1所示。

利用有限元软件Midas/Civil对大桥建立带施工过程的有限元模型进行全桥的静力分析，研究系杆张拉时机以及张拉力的大小，主拱裸拱直接从一次落架阶段起算，主拱肋和管内混凝土采用共单元的梁单元模拟，吊杆和系杆采用只受拉的桁架单元模拟，不考虑系杆的柔度效应，采用只有刚度没有重量的桁架单元模拟，其自重在支撑处采用等效节点荷载模拟，钢桥面板、外包混凝土均采用板单元模拟，在进行几何非线性分析时，将板单元等效为节点荷载。全桥共划分9 648个节点，23 081个梁单元，1 805个板单元，178个只受拉桁架单元。

对合江长江公路大桥按原设计施工方案进行有限元模拟，得到拱座弯矩变化历程及拱座水平推力变化历程，如图 2所示。3次系杆张拉设计一定程度上降低了施工过程中拱座弯矩和轴力的峰值，但弯矩最大峰值达到890 000 kN·m，水平推力峰值达到了90 000 kN，同时由于系杆张拉引起的拱座弯矩和水平推力突变变幅也较大，在系杆首次张拉前，主拱肋和边拱外包混凝土引起的巨大水平推力和弯矩由拱座自身来承担，因此，在该施工方案下，桥梁施工安全不能得到保障。

图 2 拱座弯矩变化历程及水平推力变化历程 Fig. 2 Changes of bending moment and horizontal thrust at arch support

图选项

飞燕式钢管混凝土系杆拱桥的荷载随着施工进程逐步增加，系杆也跟随施工荷载的增加逐级张拉，以此来平衡荷载增量产生的绝大部分水平推力^[17]，降低了飞燕式结构的应力，降低了软弱地基或平原地区拱桥基础造价^[18]。因此，系杆张拉时机是飞燕式钢管混凝土拱桥施工控制的核心问题。

按原设计施工方案对拱座水平变位进行分析，全施工过程中水平推力峰值达到了90 000 kN，对拱座结构主拱接触面施加100 000 kN的水平推力，拱座产生12.81 mm的水平位移。取主拱裸拱成拱阶段，此时主拱刚度最小，分析此时拱座水平变位12.81 mm对主拱产生的影响。

图 3为拱座最大理论水平变位对主拱线形和应力的影响曲线，主拱最大挠度仅11.87 mm，应力增量最大值仅1.34 MPa左右。由此，主拱线形和应力增量受拱座水平变位影响不敏感，在系杆张拉优化中忽略拱座自身的水平变位。同时，结合飞燕式结构的力学分析，施工过程中飞燕式结构荷载的增加导致拱座水平推力的增加，而主拱的水平推力由系杆张拉来调节，边跨的混凝土采用分环分段浇注，合理的系杆张拉能调节边拱外包混凝土内力的分布，防止混凝土拉裂。因此可得到飞燕式系杆拱桥在合理的成桥状态下，优化施工过程结构的受力状态，即在成桥阶段受力状态不变的情况下，优化系杆在施工过程中张力的大小，以此来调整拱座的不平衡水平推力，并根据边拱外包混凝土的内力分布调整系杆张拉时机，防止边拱外包混凝土施工历程中出现开裂。

图 3 拱座水平变位对主拱的影响 Fig. 3 Influences of horizontal displacement of arch support on main arch

图选项

首先，采用本研究所提出的方法分别建立飞燕结构应力约束条件、水平推力约束条件、拱座弯矩约束条件及飞燕端部支反力约束条件。采用有限元软件Midas/Civil提取各个约束条件下的影响矩阵，根据约束公式编写出优化算法，计算出各个约束下的可行域。其中，飞燕式结构的混凝土采用分环分段浇注，随着外包混凝土的历程选择适宜的时机张拉系杆，保证边拱外包混凝土不出现裂缝，防止外包混凝土产生压碎。因此，得到飞燕结构应力约束条件按照外包C50混凝土抗拉、抗压设计强度作为限值，计算得到各施工步内系杆张拉力的应力约束可行域区间，如图 4(a)所示，可以看出，在1~40个施工步内，应力约束可行域较为狭窄，然后随着施工步的进行，可行域大幅增加。引起该现象的原因是飞燕结构采用分环浇注成型，当飞燕仅形成第一环时，拱肋仍较为薄弱。另外，第96个施工阶段为拆除飞燕结构临时支架，此时改变了飞燕结构体系，应力约束可行域区间波动较大，为防止边拱外包混凝土出现开裂，此时系杆力需要较大储备。

图 4 可行域上下限 Fig. 4 Upper and lower limits of feasible domain

图选项

同时，对软弱基础，飞燕式系杆拱桥应避免地基受到较大的水平推力，通过分批次张拉系杆力来调节地基受到的水平推力，并将容许水平推力取值为成桥阶段水平推力，并保证全施工过程水平推力小于容许水平推力，由此得到基础水平推力约束条件下系杆张拉力可行域，如图 4(b)所示，水平推力约束可行域比较狭窄，揭示了系杆张力不能过大，防止基础水平推力过大。

由于飞燕式拱桥在实际施工过程中结构是分阶段成型的，为避免施工过程中拱脚两侧不对称荷载或者系杆张拉力不合理性，导致拱脚出现较大的负弯矩，造成基础失稳倾覆，取成桥阶段弯矩作为容许弯矩，得到弯矩约束条件下的系杆张拉力的可行域，如图 4(c)所示，伴随施工历程，弯矩约束下系杆张拉力的可行域上下限逐渐增大，对应着拱脚两侧不对称荷载逐渐变大，需要较大的系杆力来调整。

在成桥阶段，飞燕端部拱顶应始终处于受压状态，防止车道荷载引起较大扰度，导致拱脚出现较大负弯矩，影响行车舒适性，同时，在施工过程中，也应该避免系杆张拉引起飞燕端部上翘。在飞燕结构端部设置端横梁使其不产生上翘，将飞燕结构端部始终为正反力作为约束条件，得到反力约束条件下的系杆张拉力的可行域，如图 4(d)所示，反力约束条件下系杆张拉力的可行域下限较小，在施工步91波动较大，此时应控制系杆力防止边拱端头出现负反力。

合理的系杆张力应同时位于上述4种约束的可行域以内，按照式(10)对4种可行域的结果进行计算，可得到满足全部约束条件的可行域上下限。

(10)

式中，T_uⁱ和T_lⁱ分别满足上述应力、推力、弯矩、反力约束条件的系杆张拉可行域上限；T_{δ, u}ⁱ，T_{M, u}ⁱ，T_{H, u}ⁱ，T_{R, u}ⁱ分别为应力约束、弯矩约束、水平力约束、支反力约束的上限；T_{δ, l}ⁱ，T_{M, l}ⁱ，T_{H, l}ⁱ，T_{R, l}ⁱ分别对应为各约束条件的下限。式(10)将张拉力约束到不同约束条件下的可行域内，合理的张拉力应同时位于不同约束条件的可行域内，当张拉力不能同时位于这些可行域中，表明此约束条件下得不到最优的张拉力，此时可修改约束条件，调整张拉时机和张拉顺序，重新计算出最优的系杆力。

最终，根据式(10)得到的满足全部约束条件的系杆张拉可行域，如4(d)所示，则只有对应施工步的系杆张力处于图 5所示的可行域之内，才能保障结构的施工安全。综合考虑系杆钢束的张拉次数和施工便利性，即可由施工单位自行决定最优系杆张拉方案。图 6给出了合江长江公路大桥最终系杆张拉方案。

图 5 系杆张拉力可行域区间 Fig. 5 Feasible domain interval of bowstring tensions

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图 6 依托工程系杆张拉优化方案 Fig. 6 Optimization scheme of bowstring tensioning of project

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图 7对比了优化前后系杆张拉方案的拱座水平推力和拱座弯矩。由图中可看出，无论是拱座水平力峰值还是拱座弯矩峰值，均得到大幅降低。其中，原方案水平推力峰值沿着边拱方向，对下部结构不利，优化后水平推力峰值降为原方案的33%。原方案弯矩峰值较大，为避免造成施工过程中拱脚出现较大的负弯矩，造成基础失稳倾覆，优化后弯矩峰值降为原方案的43%。实桥对比分析结果表明，优化过后结构成桥状态结构内力和线形基本和原方案保持一致，仅改变系杆张拉时机和调整张拉力，降低了施工过程中基础的不平衡力，有效控制了边拱外包混凝土的拉应力，优化了全施工过程水平推力和弯矩峰值，保障施工过程结构的安全性，因此，采用本研究所提出的方法能够大幅优化大跨径系杆拱桥的系杆张拉方案的合理性。

图 7 优化结果 Fig. 7 Optimization results

图选项

针对特大跨径飞燕式系杆拱桥施工阶段系杆张拉优化问题，本研究提出一种基于影响矩阵的系杆张拉优化方法，解决了具有复杂施工阶段的系杆拱桥分阶段最优张拉计算问题。通过本研究，可以得到以下有益结论：

(1) 特大跨径系杆拱桥施工阶段复杂多变，系杆张拉次数和张拉时机对拱桥施工过程整体受力安全至关重要。

(2) 采用影响矩阵法可快速构建系杆张力与施工阶段任意结构响应之间的关系，并通过响应的约束范围求解出系杆张力在任意施工阶段的可行域。

(3) 在合江长江公路大桥的应用结果表明，设计阶段给出的系杆张拉方案在实际施工过程中具有较大优化空间，采用所提出的方法可以实现结构受力合理性和施工便利性综合最优。