0 引言

在灾害事故发生，在对受灾点的物资调度过程中，有一类应急物资属于连续消耗型物资，应急活动一旦开始存在物资消耗，任何时刻受灾区要保证物资数量满足应急系统物资消耗需要，物资供应的不足将导致应急活动中止，这类物资包括能源、食品、药品等资源。当前不少学者对连续消耗型应急物资调度问题开展了研究^[1-2]。刘春林等^[3]提出连续可行方案的概念，以应急启动时间最早为目标建立应急物资调度模型。戴更新等^[4]在多类应急物资多点救援模型中引入连续可行方案的概念，在已有单资源模型研究的基础上对模型进行求解。郑昊等^[5]将应急物资消耗率假设为非负可积函数，以最早应急时间为目标建立连续消耗型应急物资调度模型。潘郁等^[6]从应急活动成本和灾害损失两方面，构建了以总成本最低为目标的连续消耗型应急物资调度模型。魏国强等^[7]建立了单点非线性连续消耗应急物资调度模型，并且推广至多点。张力丹等^[8]构建的连续消耗应急物资调配模型，其优化目标为施救不及时损失和应急系统施救成本，模型求解方法结合了遗传算法和序列线性规划算法。卢建锋等^[9]建立了危化品事故连续消耗应急物资调度优化模型，以缺货损失最小、调运时间最短和调运总环境风险最小为优化目标，考虑应急中心物资数量限制和救援时间限制等约束条件，采用NSGAⅡ遗传算法对模型进行求解。在应急物资调度优化目标方面，当前研究主要包括: 出救点最少、运输时间最短、应急时间开始最早、缺货损失最少和运输成本最小等^[10-13]。

常规的连续消耗型应急物资调度研究中，会将需求点的j类物资存量d_j设定为：在某个时段t内以某个固定速度v呈现线性下降，如图 1所示^[9]。当下降至0点以下时，则标定为物资空缺，后期会通过物资调度的方式给予实时补给，但是补给的数量存在弹性空间，同时补给的数量一方面要填补之前的空缺，另一方面要应对后期持续的消耗。为了满足物资的连续消耗，尽可能地避免出现物资空缺，现有的文献研究中大多采用物资缺失损失费用的方式，将其计入应急成本，通过最小化损失费用的目标，优化应急物资调度。

当前大多数应急物资调度方面研究将物资缺失计为损失费用，作为应急总成本目标进行优化。然而但在实际应急活动中，损失成本的估算合理性难以确认，本研究将应急物资缺失表示为在物资空缺的时间内受灾人员因为应急物资缺失而承受的风险，考虑物资缺失风险，研究连续消耗型应急物资的调度优化问题。

1 应急物流网络分析和应急物资调度优化问题描述 1.1 网络构成

构建双层应急物流网络如图 2所示。该网络具有两层物资调度结构，第1层为应急物资的调度层，即应急物资中心为各个应急物资配送站进行各类应急物资的贯通式补给运输；第2层为应急物资的配送层，即每个配送站独立的为各个物资需求点进行各类应急物资的接续式补给运输。在应急物资调度层，车辆行驶路线的起点和终点是不同的应急物资中心，车辆行驶方式为：满载出发-清空到达，往返运输。而在应急物资配送时，车辆行驶路线的起点和终点都是同一个应急物资配送站，车辆行驶方式为：满载出发-清空到达，依次访问运输。本研究的应急物资调度优化，需联合优化该系统中两个层面的物资调度和配送。

1.2 网络特征分析

首先，将物资调度层的车辆运输路线界定为：定义1：在一个应急物资补给周期内，运输车辆满载着各类应急物资从一个应急物资中心出发，依次访问各个应急配送站，进行物资补给，然后到达另一应急物资中心，进行下一轮应急物资补给的准备，此运输车辆在下一轮补给周期到达之前，不进行回程运输。其次，将物资配送层的车辆运输路线界定为：定义2：在一个应急物资补给周期内，运输车辆满载着各类应急物资从一个应急配送站出发，依次访问各个需求点，进行物资补给，最后回到该应急配送站，等待下一轮应急物资的到达后，再进行新的物资补给。此运输车辆在下一轮补给周期到达前，不再出站进行运输。

1.3 应急物资调度优化问题描述

基于设计的应急物流网络，在考虑物资连续消耗、应急物资补给、应急物资中心和应急配送站的能力限制等条件下，应急物资调度优化问题的主要内容有：

(1) 在已有的应急配送站和应急物资中心中，确定应急配送站和应急物资中心的调度关系，并设计应急物资调度的车辆行驶路线。

(2) 在已有的应急配送站和需求点中，确定应急物资配送站和需求点之间的配送关系，并设计应急物资配送的车辆行驶路线。

(3) 应急物资的调度和配送路线都需要考虑补给的模糊性。

1.4 三角模糊数的相关说明

在应急物流系统的调度优化中，存在着物资需求量不稳定等因素，可以应用基于概率的模糊集理论来处理。Zadeh等^[14]提出模糊集相关概念：给定论域X上的一个模糊集，是指对任何x∈ ，都有一个数∈ [0, 1]与之对应，(x)称为x对的隶属度，称为的隶属函数。

(1)

采用三角模糊数= (a, b, c)来表示物资需求的不确定性，其隶属函数如式(1)所示。当x=b时，三角模糊数取最有可能值， (x)=1；当x≤a或x≥c时，三角模糊数取最不可能值， (x)=0。

K.Das等^[15]基于避免模型参数值的模糊性的情况设置了模糊参数的取值范围，但在现实中，参数在某一范围内的取值被证明是呈概率分布，根据图 3可以看出，这个特征与三角模糊数的隶属函数表现相符。

2 考虑缺失风险的连续消耗型应急物资调度优化模型

应急物资缺失风险是指受灾点居民因为应急物资空缺而可能承受的风险。该定义体现了受害人数所面临的时间维度上的物资缺乏程度，可以具体量化为应急物资空缺时间、受害居民数量和应急物资需求数量的整合。应急物资缺失风险最小和应急成本最小为优化目标，考虑各类应急物资的连续消耗、应急物资的补给系数、物资调度和配送的流量守恒、设施能力约束等限定条件，构建双目标的多类应急物资调度优化模型。

模型基本假设条件设置如下：

(1) 各类应急物资的消耗速度稳定，且不随时间发生动态变化。

(2) 应急物资的调度和配送过程中，不考虑道路流量限制等其他随机因素的影响。

(3) 应急物资的调度和配送过程都符合安全运输的标准，且不考虑安全事故对其影响。

(4) 应急物资的调度和配送车辆符合同时运输多种应急物资的要求。

2.1 模型参数

构建数学模型之前，设定模型所需的集合、参数和决策变量如下：

(1) 集合

根据构建的应急物流网络，给定一个运输网路G (N, E)，包括网络节点N和网络路段E，其中N=S∪F∪。S (1, 2, …, s)为应急物资需求点集合；F (1, 2, …, f)为应急物资配送站集合；(1, 2, …, ) 为应急物资中心集合；K (1, 2, …, k) 为各类应急物资。

(2) 参数

C_ijk^dtra为应急物资k∈K的在路段(i, j)∈E上单位调度成本；C_ijk^ptra为应急物资k∈K的在路段(i, j)∈E上单位配送成本；q_ik为需求点i∈S对应急物资k∈K的需求量；p_i为需求点i∈S的居民人口数量；D_ij为网络路段(i, j)∈E的距离；A_ik为应急物资中心或配送站i∈F∪的物资k∈K的最大物资储存能力；v_k为物资k∈K的平均消耗速度；G_ikl^dtra为应急物资中心i∈发出调度物资k∈K的最大调度运输能力，且该调度路线的终点是应急物资中心l∈ ；i≠l；G_lk^ptra为应急配送站l∈F配送应急物资k∈K的最大配送能力；为应急物资k∈K的补给系数，该补给系数是一个拟三角模糊数， , 其中，“≈”为的取值范围为，且其最可能的取值为；M为一个无穷大的正整数。

(3) 变量

x_ijklm为0-1决策变量；若网络路段(i, j)∈E出现在应急物资k∈K的调度路线上，且该调度路线的起点是应急物资中心l∈，终点是应急物资中心m∈, l≠m，则为1，反之为0；y_ik为连续决策变量，表示应急物资配送站i∈F所分配的应急物资k∈K的调度量；z_iklm为0-1决策变量，若应急物资配送站i∈F的应急物资k∈K由应急物资中心l∈负责调度，且该调度路线的终点是应急物资中心m∈, l≠m，则为1，反之为0；x′ _ijkl为0-1决策变量。若网络路段(i, j)∈E出现在应急物资k∈K的配送路线上，且该配送路线的起点是应急物资配送站l∈F，则为1，反之为0；z′ _ikl为0-1决策变量，若需求点i∈S的应急物资k∈K由应急物资配送站l∈F负责配送，则为1，反之为0；t_ik为连续决策变量。表示需求点i∈S的居民等待应急物资k∈K补给时间；w_iklm为整数决策变量。表示网络节点i∈N被应急物资k∈K的调度车辆访问的次序，且该调度车辆的起点是应急物资中心l∈，终点是应急物资中心m∈, l≠m；w′ _ikl为整数决策变量，表示网络节点i∈N被应急物资k∈K的配送车辆访问的次序，且该配送车辆是由应急物资配送站l∈F负责。

2.2 模型建立

(2)

(3)

s.t.

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

其中，式(2)为总调度成本(f₁)最小化，包括多类应急物资的调度成本和多类应急物资的配送成本，调度成本主要为各类应急物资在应急物资中心和应急物资配送站之间的运输成本，配送成本主要为各类应急物资在应急配送站和需求点之间的运输成本。需要特别指出的是，调度运输路线的起点和终点是不同的应急物资中心，因此运输路线的统计需要扣除车辆在两个应急物资中心之间往返的距离，所以在对应的目标函数中乘以1/2。式(3)为应急物资缺失风险(f₂)最小化，即各需求点受灾居民等待各类应急物资补给的时间内由于物资缺失产生的风险。约束条件包括公式(4)~ (28)。式(4)为各个需求点的各类应急物资等待时间的计算方法，表示为该需求点某类应急物资的空缺量与消耗速度的比值，需要特别指出的是，应急物资的空缺量由实际需求量扣除补给系数之后的余量。式(5)为决策变量逻辑约束，表示只有拥有物资调度的应急配送站可进行需求点的物资配送服务。式(6)为各个应急物资配送站的各类物资配送量需满足补给系数下的需求量，并且此系数下的需求量是由该应急物资配送站服务的需求点整合统计而来。式(7)为各应急物资配送站有且只能在一条调度路线上，且该调度路线的运输起点和终点是不同的应急物资中心。式(8)为应急物资中心的能力约束，即应急物资中心负责调度的各类应急物资总量不能超过其最大能力。式(9)为调度车辆载重能力约束，即每条应急物资调度路线上调度的各类应急物资量不能超过调度车辆的最大载重量。式(10)为每条调度路线的服务性唯一。式(11)~ (13)为调度路线的支路消除约束，其中式(12)为调度路线上的各个应急物资配送站进行了访问先后顺序的界定。式(14)为配送服务唯一性约束，表示每个需求点的应急物资有且只有一家应急物资配送站进行配送服务。式(15)为应急物资配送站的能力约束，即应急物资配送站负责补给的各类应急物资总量不能超过其最大能力。式(16)为配送车辆载重能力约束，即每条应急物资配送路线上运输各类应急物资量不能超过配送车辆的最大载重量。式(17)为每条配送路线的服务性唯一约束。式(18)~ (20)为配送路线的支路消除约束，其中，式(19)为配送路线上的各个需求点进行了访问先后顺序的界定。式(21)~ (28)为各个决策变量的定义域。

3 求解方法 3.1 求解思路

本模型为多目标优化模型，含有非线性的模糊目标函数，需先将目标函数逆模糊化和线性转化，然后用多目标优化方法进行求解。

(1) 模型预处理

由于补给系数是一个拟三角模糊数，且≈ ，“≈”为的取值范围为，且其最可能的取值为。可通过对其进行逆模糊化处理^[16-17]，即

(29)

由于风险目标函数中含有积分因子，其中积分的上界是以拟模糊化后的具体数字代入，为已知数值可以直接进行数值计算，并转化为线性模型。

(2) 多目标优化计算

为了拓展多目标问题的求解规模，实现更大规模问题计算的高效性，可以通过分阶段求解的模式，将模型分解为调度子问题和配送子问题。第1阶段，以成本最小化为目标，采用遗传算法单独求解应急物资调度子问题的最优方案；第2阶段以应急物资缺失风险最小化为优化目标，采用遗传模拟退火算法，单独求解应急物资配送子问题的最优方案。

3.2 基于分阶段求解的计算步骤

将双目标模型分解为“调度子问题”和“配送子问题”。其中调度子问题以成本最小为优化目标，配送子问题以风险最小为优化目标。具体求解要素设计如下：

第1阶段：调度子问题-遗传算法

遗传算法具有良好全局的搜索能力，能够快速的找到最优解，能够解决这一问题。针对调度子问题，遗传算法的编码方式、变异转换方式设定如下：

(1) 编码与解码

常见的染色体编码主要有二进制编码、实数编码等。本研究采用整数编码对调度子问题中的应急物资调度路线进行求解，设染色体个体表达方式为X= (x₁, l₁, x₂, l₂…, x_i, l_i)，其中x_i为调度路线中的车辆访问依次访问的应急配送站序列，l_i为执行调度物资运输时的运载量。如X= (1, 1, 3, 2, 4, 2, 2, 1, 5, 2, 7, 2, 9, 1, 8, 1, 6, 1, 10, 2)，奇数位的数字为调度路线中的车辆访问应急配送站序列，偶数位的数字为调度的物资量，系统按照应急物资配送站编号(1, 3, 4, 2, 5, 7, 9, 8, 6, 10)的顺序进行应急物资调度，配送物资量分别为1，2，2，1，2，2，1，1，1和2批量。

(2) 适应度函数

主要针对总调度成本最小化的目标进行求解计算，因此以成本最小化设定适应度函数fitness。

(30)

(3) 选择

用轮盘赌的方法选择适应度高的染色体个体作为父代遗传给子代，从而使子代继承父代的优秀基因，通过不断选择得到最高适应度的染色体个体。

(4) 交叉

由于创建的染色体中部分片段含有调度节点访问顺序的基因和调度量选择信息，本研究采用单点交叉的方式在奇数位对两个父代染色进行重组产生两个新的子个体。

(5) 变异

随机选取一对包含应急物资调度量部分和调度访问顺序的染色体基因采用随机调换位置的操作对染色体上的基因进行变异。

(6) 终止

通过设置最大的迭代次数来终止遗传算法的搜索，当迭代次数达到设定值时，输出最大适应度的染色体个体视为最优解。

第2阶段：配送子问题—自适应遗传退火算法

虽然遗传算法的全局搜索能力较强，能够在解空间中快速地搜索出全体解，但是其局部搜索能力差容易产生早熟收敛的现象。模拟退火算法是根据固体退火原理来模拟组合优化问题，采用随机搜索的方法，能够从概率的角度上找出目标函数的最优解，可以在某种程度上避免搜索结果陷入局部最优值^[18]。针对配送子问题的特点，以应急物资缺失风险最小化为目标，将其设定为适应度函数，对遗传算法中的交叉概率P_c和变异概率P_m进行自适应度调整设计同时与模拟退火算法相结合变成自适应模拟退火算法，确保算法拥有较强的搜索能力，有效解决遗传算法局部搜索能力的不足及产生的早熟现象，提高算法的收敛性能。自适应度设计结果如式(31)，其他参数设置标准和第1阶段的遗传算法相同。

(31)

式中，h_max为当前种群中目标函数的最大适应度值；h_avg为当前种群适应度值的平均值；h′为选中的交叉个体中的较大适应度值；h为变异个体的适应度值；固定参数取值为：cc₁=cc₂=0.9，mm₁=mm₂=0.5。自适应遗传模拟退火算法步骤示意图如图 4所示。

4 算例分析 4.1 基本信息

如图 5所示。在区域为20 km×20 km的范围内随机生成30个网络节点的测试算例，各网络节点的坐标位置如表 1所示。其中，应急物资需求点18个(编号为1-18)，应急配送站8个(编号为19-26)，应急物资中心4个(编号为27-30)。

网络中各个节点的坐标位置如表 1所示。各网络节点互通，节点之间的距离是节点坐标的线性距离。各需求点的基本信息如表 2所示。本算例只考虑两类连续型消耗型应急物资的调度和配送，每类应急物资的消耗速度分别为0.05 kg/h和0.02 kg/h。各应急物资配送站的基本信息如表 3所示。各应急物资中心的基本信息如表 4所示。调度车辆和配送车辆的单次载重量分别为50 t和30 t。每类应急物资的调度单位成本分别为200元/ (t·km)和150元/ (t·km)，每类应急物资的配送单位成本分别为150元/ (t·km)和100元/ (t·km)，每类应急物资的补给系数区间为分别[0.2, 0.5，0.9]和[0.1, 0.6，0.7]。

4.2 计算结果

设定遗传算法和自适应遗传模拟退火算法中，最大遗传代数为100，种群规模为15，交叉概率和变异概率为0.90和0.50，惩罚参数为10⁵，在计算机Intel (P)/CPU2.2 GHz/2 G环境下，采用Python进行编程，调用Gurobi版本9.0.0进行运算。在3 812 s之后，求得了Gap均值为5.13 %的推荐方案。其中，第1阶段耗时903 s，求得的调度方案Gap值为1.21 %，第2阶段耗时2 909 s，求得的配送方案Gap值为9.05 %。方案的总成本2 488.91×10³元，总风险值为1 003.19为×10³人·t·h。推荐方案具体信息如表 5所示。

4.4 对比分析

以4.1节算例为背景，设置应急物资1和2的单位损失费用为100元/ (t·h)，其他参数设置均相同，分别以缺货损失最小和风险最小为目标进行求解，求解的最优方案进行总成本和风险对比，其对比分析结果如表 6所示。相较于传统的缺货损失费用最小为目标的模型，采用应急物资缺失风险最小为目标的方案能分别降低总成本和总风险34.9%和14.1%。

5 结论

本研究采用缺失风险来表示应急物资缺失的损失，考虑物资储量的有限性和物资补给效率的模糊性，研究连续消耗型应急物资的调度问题。设计了连续消耗型物资的应急物流网络，界定了应急物资调度的优化内容。考虑不同应急物资的消耗差异，从物资连续消耗和持续补给的角度，以应急物资缺失风险最小和成本最小为目标，构建了连续消耗型应急物资调度优化模型。设计了分阶段求解法对模型求解，第1阶段采用遗传算法单独求解应急物资调度子问题的最优方案；第2阶段采用遗传模拟退火算法单独求解应急物资配送子问题的最优方案。算例计算结果表明：相较于缺货损失费用最小为优化目标的模型，采用应急物资缺失风险最小为目标的方案能够分别降低总成本和总风险约34.9%和14.1%。