0 引言

深基坑支护方案选型本质上是在不确定环境下从多目标、多层次、多因素方面对多个可行方案进行排序的过程。围绕这一过程, 目前所形成的研究成果主要分为以下两类: (1) 为相对择优法, 即在假定存在理想最优(最劣) 方案的前提下, 通过衡量各备选方案与理想最优(最劣) 方案之间的距离、关联度或优属度等实现对备选方案排序的目的, 代表性的研究成果有: 区间关联模糊优化法^[1]、改进的TOPSIS法^[2]、灰色Euclid理论分析法^[3]、联系累积前景理论分析法^[4]、前景证据理论决策法^[5]等; (2) 方法为数值择优法, 这类方法无需预设参照方案, 只需将各备选方案的指标评价值转化为价值(系数)、联系数或优先权值, 进而通过比较转化数值的大小实现方案择优, 代表性的研究成果有: 技术经济评价模型^[6]、集对分析法^[7-8]、模糊综合评判法^[9]等。

通过分析发现, 上述研究成果主要存在以下两点不足: (1) 选型结果受主观因素影响较大, 主要体现在决策指标的权重设置以及计算参数的选取上。比如用层次分析法确定指标权重^[6], 灰数分辨系数的取值^[3]等。(2) 环境不确定性考虑的深度不够, 大部分研究成果^[3-6]均以精确数作为方案的指标评价值, 这对于现实决策情境来说显得有些苛刻。证据推理(ER) 方法是在D-S理论基础上由Yang^[10]于2002年提出的一种证据合成方法, 该方法具有直接表达“不知道”、“不确定”等不完备信息的能力, 能较好地处理不确定环境下的多属性决策(MADM) 问题, 目前在应急决策^[11]、故障诊断^[12]、系统评价^[13]等方面均得到了广泛应用, 有鉴于此, 本研究提出基于区间证据推理的深基坑支护方案选型方法。

1 区间证据推理方法简介 1.1 基本概念

假设存在m个备选方案a_i (i=1, 2, …, m), n个评价指标e_j (j = 1, 2, …, n), 评价指标权重为ω_j, 且满足, 。假设评价等级为{H₁, H₂, …, H_N}, 考虑到实际评价时评价者给出的评价结果可能为一区间值, 如: H₁₂, 表示某方案在某一指标上的评价值介于等级H₁和等级H₂之间。故本研究将上述评价等级扩展为用区间值表示的评价等级集(识别框架) 为:

定义1^[10]: 设β_{kt, j}(a_i) 为支持方案a_i在评价指标e_j上的评价等级为H_kt的证据, 且满足: β_{kt, j}(a_i) ≥ 0, , 则称S (e_j (a_i)) = {(H_kt, β_{kt, j}(a_i)), k = 1, 2, …, N, t = k, …, N, k≤ t} 为方案a_i在评价指标e_j上的信度结构。

例如: S(e_j(a_i)) = {(H₁₂, 0. 4), (H₂₂, 0. 4), (H_1N, 0. 2)} 表示方案a_i在指标e_j上的评价结果为H₁₂的信度(或证据) 为0. 4, 评价结果为H₂₂的信度为0. 4, 评价结果为H_1N的信度为0. 2。

定义2^[8] : 设存在mass函数m满足:

(1)

(2)

式中, m_{kt, j}(a_i) 为方案a_i在评价指标e_j上的评价等级为H_kt的分配信度; m_{H, j}(a_i) 为未分配信度。

由公式(1) 可知, 分配信度即为考虑评价指标权重后的信度值。

1.2 证据推理规则

令m_{kt, iJ(j+1)}为组合概率, 表示方案a_i的前j个指标评价值处于等级H_kt的程度, m_{H, iJ(j)}为组合剩余概率, 表示方案a_i的前j个指标评价值合成后没有被分配的程度, 其递归计算过程如下^[10] :

(3)

(4)

式中j = 1, 2, …, n-1; K_J(j+1)为规范化因子:

(5)

当n个指标评价值(证据) 被合成之后, 即可得到方案a_i的组合信度β_kt(a_i):

(6)

式中, k = 1, 2, …, N; t =k, …, N, k≤ t。

2 深基坑支护方案选型的区间证据推理模型 2.1 建立评价指标体系

本研究综合以往学者们提出的指标体系^[1-4], 从安全、经济、施工、环境保护4个方面建立深基坑支护方案选型指标体系如图 1所示。

2.2 指标转化及规范化处理

图 1中的评价指标部分为定量指标, 部分为定性指标, 因此, 本研究首先将混合型指标评价值统一用区间数表达, 方法如下:

假设用指标值x_ij表示方案a_i在指标e_j上的评价值, 不失一般性, 假设x_ij ≥ 0, 其中, i = 1, 2, …, m, m为方案总数; j = 1, 2, …, n, n为决策指标总数, 则:

(1) 当x_ij为精确数时, 令, 即x_ij的区间数形式为[, ]。

(2) 当x_ij为语言变量时, 假设该语言变量取值于一种预先定义好的语言变量集S, 且有S = {S_f | f = 0, 1, …(T/ 2) -1, T/ 2, (T/ 2) +1, …, T}, 其中, S_f为S中第f+1个语义语言, T为偶数, S中共包含T+1个元素。例如, 当T = 6时, S = { S₀, S₁, …, S₆}, 依次对应着“非常低, 低, 较低, 中, 较高, 高, 非常高” 7个状态。则将x_ij转化为区间数形式为, 其中, f_xij为语言变量x_ij在语言变量集S中的状态序数。

另外, 在多属性决策问题中, 指标属性又可分为效益型和成本型两种类型, 分别记作C_B和C_C, 为了消除不同物理量纲对决策结果的影响, 需进一步对转化后的x_ij进行规范化处理, 得到:

(7)

(8)

记X = [x_ij]_m×n为规范处理后的决策矩阵。

例如: 存在4个基坑支护方案, 各方案在变形失效的可能性指标(e₁) 上的评价结果依次为: 低、较低、低、非常低, 则首先将语言变量转化为区间数形式, 依次为: [, ], [, ], [, ], [0, ]。进一步, 因变形失效的可能性为成本型指标, 即越小越好, 则运用公式(8) 将以上区间数进行规范化处理, 处理后的结果依次为: [0. 2, 0. 43], [0. 13, 0. 21], [0. 2, 0. 43], [0. 4, 1]。

2.3 确定指标权重

目前, 确定指标权重的方法通常分为主观赋权法、客观赋权法和组合赋权法3类^[14-17]。其中, 客观赋权法直接根据各方案的指标评价值的差异大小确定属性权重, 如熵值法、离差最大化法等, 这类方法不受人为因素干扰, 所得结果相对客观。因此, 本研究采用熵值法确定指标属性权重, 步骤如下^[11] :

(1) 列归一化决策矩阵

(9)

(10)

式中, 和分别为经归一化处理后, 指标评价值x_ij的上、下界。

(2) 分别计算评价指标e_j(j = 1, 2, …, n) 的上、下界序列信息熵和 :

(11)

(12)

(3) 输出各评价指标e_j的熵权取值区间:

(13)

(14)

式中, 和分别为评价指标e_j的熵权取值区间的两个端点值。令, , 则评价指标e_j的熵权取值区间为:

(15)

以2. 2节所举的例子为例, 由式(9) ~ (10) 可得, ; 由式(11) ~ (12) 可计算评价指标e₁的上、下界序列信息熵: , ; 同样的方法可得到其他评价指标的上、下界序列信息熵, 最后, 运用公式(13) ~ (15) 即可得到各指标的熵权取值区间。

2.4 指标评价值的信度结构转换

定义3: 若X = [x_ij]_m×n为规范化处理后的方案决策矩阵, , 令, , , i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n, 则称γ(x_ij) 为方案a_i在指标e_j下的重要度, 且γ(x_ij) 满足:

(16)

该定义的现实意义是: 当已知了各个备选方案在某一评价指标e_j下的评价值(区间数), 则该指标e_j的最大评价区间为[x_jmin, x_jmax], 平均评价区间为π_j, 用γ(x_ij) 表示方案a_i在指标e_j下的重要度。显然, γ(x_ij)∈ [-1, 1], γ(x_ij) 越接近1, 意味着方案a_i在指标e_j上越重要, 反之, 越不重要。

按照等分划分的原则, 本研究将区间[-1, 1] 5等分, 各等分端点值分别对应6个重要度等级, 如图 2所示。

根据γ(x_ij) 在图 2上所处位置的不同, 分以下两种情况对其进行信度结构转换:

(1) γ (x_ij) 处于两个相邻等级之间, 如图 3所示。

不失一般性, 设H_kk ≤ γ^- ≤ γ⁺ ≤ H_(k+1)(k+1), H_kk, H_(k+1)(k+1)分别对应两个相邻等级的端点值, k = 1, 2, …, 5, 则γ(x_ij) 的信度结构为:

(17)

(18)

(2) γ(x_ij) 跨多个重要度等级, 如图 4所示。

设H_kk ≤ γ^- ≤ H_(k+g)(k+g) ≤ γ⁺ ≤ H_tt, H_kk, H_(k+g)(k+g), H_tt分别为重要度等级的端点值, 且满足1≤ k < k+g < t≤ 6, 则γ(x_ij) 的信度结构为:

(19)

(20)

(21)

2.5 证据合成及方案比选

根据证据推理规则^[8], 计算得各方案的组合信度β_kt (a_i)。设6个评价等级的期望效用值为u(H_kk)= (0, 0. 2, 0. 4, 0. 6, 0. 8, 1. 0), k = 1, 2, …, 6, 对应的评价等级集(识别框架) 为:

则方案a_i的综合等级效用值的最大值、最小值、平均值分别为:

(22)

(23)

(24)

显然, 以上所得效用值的平均值亦为区间数形式, 本研究采用以下方法进行方案排序:

令, , i, r = 1, 2, …, m, 其中, , 分别为方案a_i的综合等级效用平均值的上、下界; , 分别为方案a_r的综合等级效用平均值的上、下界。记a_i优于a_r的程度为:

(25)

方案排序规则如下^[1] :

(1) P(a_i >a_r) > 0. 5, 则方案a_i优于a_r, 记作a_i≫a_r。

(2) P(a_i >a_r) < 0. 5, 则方案a_i劣于a_r, 记作a_i≪a_r。

(3) e₅, 则方案a_i与方案a_r没有差别, 记作a_i≈ a_r。

(4) 对于任意3个方案a_i, a_r, a_q(i, r, q∈ 1, 2, …, m), 若P(a_i >a_r) >0. 5, P(a_r >a_q) >0. 5, 则方案a_i优于a_q, 记作a_i≫a_r≫a_q。

由此便可得到所有支护方案a_i(i = 1, 2, …, m) 的排序。

3 应用案例 3.1 工程概况

武汉地铁16号线某车站为地下2层岛式车站, 车站外包尺寸210. 2 m × 20. 7 m, 总建筑面积13 244. 29 m², 采用明挖法施工, 基坑开挖深度为16. 8 ~ 20. 7 m。根据《城市轨道交通岩土工程勘察规范》的相关规定^[18], 该车站基坑工程重要性等级及工程安全等级均为1级。为了确保工程施工安全, 结合该工程特点初步拟定了4种基坑支护方案分别为: Φ1 000@ 800钻孔咬合桩+1道钢筋混凝土支撑+ 3道Φ609钢管支撑支护(a₁), Φ1 000@ 1 200钻孔灌注桩+4道预应力锚索支护(a₂), Φ1 000@ 1 200钻孔灌注桩+1道钢筋混凝土支撑+3道Φ609钢管支撑支护(a₃), 800 mm厚地下连续墙+1道钢筋混凝土支撑+3道Φ609钢管支撑支护(a₄)。

3.2 支护方案选型

由图 1所列深基坑支护方案选型指标体系, 对以上4种方案进行指标评价, 评价结果如表 1所示。

运用式(7) ~ (8) 对各方案的指标初始值进行规范化处理, 并由式(9) ~ (15) 计算得到各评价指标的权重:

W = {[0. 41, 0. 42], [0. 09, 0. 15], [0. 11, 0. 15], [0. 02, 0. 04], [0. 03, 0. 06], [0. 01, 0. 02], [0. 02, 0. 04], [0. 01, 0. 01], [0. 14, 0. 15], [0. 01, 0. 02], [0. 01, 0. 04], [0. 02, 0. 03]}。

根据式(16) ~ (21) 将各方案指标评价值转化为信度结构, 综合各指标权重和各方案的信度结构, 由式(1) ~ (2) 计算得到方案a_i在评价指标e_i上的基本信度分配函数m_{kt, i}(a_i), 在此基础上, 根据证据推理规则进行证据融合, 得到各方案的组合信度β_kt(a_i), 并由式(22) ~ (24) 计算各方案的综合等级效用值, 如表 2所示。

根据区间数形式下的方案排序规则^[1]可知, a₄≫a₂≫a₁≫a₃, 即采用800 mm厚地下连续墙+1道钢筋混凝土支撑+3道Φ609钢管支撑为本工程最优支护方案。

4 讨论

(1) 本研究1. 4节所提出的信度结构转换方法适用于指标评价等级标准未知的情况, 若已知各指标评价等级标准, 如文献[11] 所述的情况, 则不需要运用式(16) 将指标评价值转换成重要度, 而直接根据指标评价值与指标评价等级标准的相对位置关系, 运用式(17) ~ (21) 进行信度结构转换即可。值得一提的是, 当γ (x_ij) 跨多个重要度等级时, 本研究假设γ(x_ij) 在整个取值区间上服从均匀分布, 且满足。更一般的情况是γ(x_ij) 在整个取值区间上的概率密度函数为f(x), 则其信度结构转换公式为:

(26)

(27)

式中, , , 分别为γ(x) 在区间[γ^-, H_(k+1)(k+1)]、区间[γ^-, γ⁺] 和区间[H_(t-1)(t-1), γ⁺] 上的积分。容易验证, 当, 即γ (x_ij) 服从均匀分布时, 式(26) ~ (27) 即为式(19) ~ (20)。

(2) 为了进一步验证方法的适用性, 将本研究所提出的方法分别应用于文献[1-2, 4], 所得结果如表 3所示。

表 3表明, 采用本研究方法所得出的结果除了与文献[2] 稍有偏差之外, 与其他决策方法所得出的结果相同。进一步分析发现, 造成本研究结果与文献[2] 的结果存在偏差的主要原因是指标规范化方法的不同, 若按照文献[2] 提出的指标规范化方法对初始指标评价值进行规范化处理, 将处理后的结果应用于证据推理, 所得结果与文献[2] 一致。通过对比本研究方法在不同文献中的应用结果可发现, 尽管所得出的结果均为区间数, 但在文献[1] 中所得出的区间数比在文献[2], [4] 中所得区间数的取值范围更大, 原因是文献[1] 中的指标评价值为区间数, 而文献[2], [4] 中的指标评价值为精确数, 说明评价信息的不确定性越大, 将导致证据合成结果的不确定性亦越大。该结论也进一步验证了区间证据推理方法的特点, 即区间证据推理方法不仅适用于评价信息为非精确数的评价问题, 同时, 它能将评价信息所具有的不确定性程度在评价结果中较好地体现出来, 从而使得评价结果的可信度更高。

不足之处是, 区间证据推理方法的计算工作量较既有文献方法要大, 尤其当采用手工计算时更是如此。因此, 有必要通过计算机编程, 将繁琐的计算过程交给计算机完成, 以提高该方法的适用性。

5 结论

方案选型是深基坑支护方案设计的一个关键环节, 本研究将区间证据推理方法应用于深基坑支护方案选型, 得出以下结论:

(1) 区间证据推理方法能够较好地处理指标评价值为混合型多属性决策问题, 且决策过程受主观因素影响较小。

(2) 与其他决策方法相比, 区间证据推理方法不仅适用于评价信息为非精确数的评价问题, 同时, 它能将评价信息所具有的不确定性程度在评价结果中较好地体现出来, 从而使得评价结果的可信度更高。

本研究方法也存在一定的局限性, 即推理过程需要进行多次迭代, 计算量较大, 若能为此开发出相应的计算程序, 将会使该方法的适用性大大加强, 这也将作为笔者未来研究的重点。