0 引言

2019年末暴发的新冠肺炎疫情对国民经济和人民的安全造成了极大冲击。重大疫情事件往往具有在短时间内传染速度快、传播不确定性强等特点。当疫情发生时，患者救治、医护人员安全、疫灾点卫生防疫等问题需要在第一时间得到处理，会对应急医疗物资产生很大的需求。因此医疗物资的及时配送就成为应对疫情重大公共卫生事件的关键问题。近年来，国内外学者对应急医疗物资配送问题的探索主要集中于以下几个方面。在单目标建模优化进行应急物资配送的研究中主要有卢安文^[1]，罗平^[2]等学者，这些学者基于成本因素视角考虑运输费用及多车型低耗车路径问题进行了应急物资配送的研究。Bouchra^[3]，徐卫^[4]，Hu等^[5]侧重考虑时间的影响，基于最短运达时间建立模型对应急物资的配送展开了探究。还有一些学者^[6-9]则考虑公平原则，基于公平视角构建了应急医疗物资模型。在多目标、多模型建模优化进行应急物资配送的研究中，一些学者^[10-11]结合效率与公平及未满足需求量和总物资延误时间因素等建立了多目标模型，且考虑物资的分类分批不同周期等来构建多模型进行研究。

综合以上研究成果可以看出，目前专门针对疫情应急医疗物资配送优化问题的研究相对较少，多数研究着眼于通用应急物资的配送优化，而没有考虑突发公共卫生事件所具有的特殊场景^[12-14]。仅仅局限在单一应急物资或单一车型的配送研究，没有集成性考虑多种物资、多类车型的综合性优化。疫情应急物流具有比较鲜明的特点，如疫情初期对医疗物资供不应求、配送时间紧急性、物资需求点的变动性等不确定性因素更多，情况十分复杂^[15-16]，因此需要针对疫情应急事件物资配送的特点进行专门研究。鉴于此，本研究以我国应对新冠肺炎重大疫情事件为背景，深入分析疫情中应急医疗物资配送中存在的问题，结合我国国情，考虑疫情发生时疫灾地应急物资储备中心与当地医疗物资需求点之间，以需求点等待时间最短为目标、构建车辆-路径的综合优化模型，并应用改进蚁群算法实现对模型的求解，得出最佳配送方案。

1 模型构建 1.1 研究背景

本研究主要针对重大疫情应急医疗物资配送优化问题专门进行。应急医疗物资是指突发性自然灾害、公共卫生事件等发生后，用于救治伤员、患者及保护医护人员生命安全所需的一类专用物资，该类物资一般包括：各类医疗设备、医疗药品及医用防护用品等。应急医疗物资具有不确定性、不可替代性、时效性及滞后性等特点。应急医疗物资的及时保障对人民生命安全极为重要，因此应急医疗物资的配送问题成为突发事件应急管理的重中之重。应急医疗物资保障一般包括物资筹措、物资调度、物资配送等环节，不同的突发事件其物资保障方式有所不同，其中尤以疫情医疗物资具有较大的特殊性，如：疫情发生时现有交通网络、道路设置完好，但疫灾点位置、数量及疫灾点对医疗物资需求量和需求类型随着时间呈现动态变化。基于此，本研究针对疫区应急医疗物资配送优化问题进行深入探究。具体地，通过收集各疫灾点所需各类医疗物资信息，构建从疫情地应急物资储备中心到各疫灾点的总等待时间最短的数学模型，对模型进行求解得出优化配送方案，将应急储备中心内有限的医疗物资在最短的时间内快速、精准送达至各个疫灾点。

1.2 模型假设

假设1：疫情发生地建有1个应急医疗物资储备中心，记为0点，有n个疫灾医疗物资需求点。

假设2：应急医疗物资储备中心的位置及医疗物资类型、供应量、疫灾点位置、医疗物资类型和需求量已知，储备中心与各疫灾点及疫灾点与疫灾点之间的线路连通且距离已知。

假设3：疫情发生时，当地应急管理部门政府临时征用各类社会车辆(如公交车、出租车、私家车等)进行统一调度。车辆类型各异，运输能力差别较大。配送车辆有其不同的核定载重及不同的运载体积限制，所有车辆从应急物资储备中心装载医疗物资出发按照优化方案将指定物资运送至指定的疫灾点。

疫情应急医疗物资配送网络模型见图 1。

1.3 模型建立

目标函数：以各疫灾点总的等待时间最短来构建数学模型，寻求出最优的配送路径方案，同时找到各疫灾点的总的最短等待时间，即：

(1)

式中，N为疫灾点节点集合，N={1, 2, …, n}; S_j为从应急储备中心出发到疫灾点j点间的距离，S_j= ；s(x, y)为x点到y点的距离；l_i^j为向量l_j中的元素；V为车辆行驶速度。

约束条件1  应急储备中心医疗物资供应量和各疫灾点需求量之间的约束。考虑疫情初期医疗物资供不应求的实际情况，则各疫灾点的总需求量应大于应急医疗物资的总供应量，即：

(2)

式中，r为医疗物资的类型；p为医疗物资的类型总数；F_r为第r种医疗物资的供应量；Q_r为第r种医疗物资的需求量。

约束条件2  各车型的可载医疗物资总体积不能超过各车型的核定载容量，即：

(3)

式中，w为配送车辆的类型；u为车辆的类型总数；a_r为第r种医疗物资的单位体积；λ_w为第w种类型车的载容量；G_w为第w种类型车的数量；Y_wr为车辆在实际配送中，第w类车辆所装第r类医疗物资的量。

约束条件3  各车型所装载各种物资的总重不能超过其核定载重，即：

(4)

式中，b_r为第r种医疗物资的单位质量；β_w为第w种类型车的载重量。

约束条件4  可供应的所有应急医疗物资总体积不得超过所有运载车辆总的载容量，即：

(5)

约束条件5  可供应的所有应急医疗物资总质量不得超过所有运载车辆总的载重，即：

(6)

2 优化实现

上述应急医疗物资配送优化问题因其包括车辆-路径的集成优化，模型变量及约束条件较多，求解比较复杂。针对该模型的这些特点，选择具有较强鲁棒性、并行性、稳定性及能够快速求解的蚁群算法比较合适。蚁群算法(Ant Colony Optimization，ACO)是由意大利学者Dorigo等^[17]在1991年创造的一种随机搜索算法。该算法的理念来自于自然界中蚁群寻找食物的现象^[18]。许多研究表明蚁群算法在解决物资分配、路径优化等问题时表现出良好性能^[19-20]。

假设蚁群中共有m只蚂蚁，蚂蚁代表配送的车辆，共有n个疫灾点，N为所有疫灾点的点集，设b_i(t)为t时刻在疫灾点i处蚂蚁的数量，则m=为蚂蚁总量, τ_i(t)为在t时刻路径i-j上积累的信息素量，ρ为信息素挥发因子。但在应用蚁群算法优化求解过程中发现，基本蚁群算法求解的模型多为任一只蚂蚁需走完全局路径的情况，而本问题的优化求解要求蚂蚁所代表的车辆只需负责个别疫灾点的配送，用基本蚁群算法求解该模型时易局部最优，使得模型求解结果不收敛。因此，需要根据问题的特点对基本蚁群算法进行相应改进，具体改进如下。

2.1 信息素更新规则

在每次寻找路线的迭代中，每只蚂蚁代表的车辆都从应急物资储备中心出发开始访问，在访问任意1个疫灾点后都有一定的概率决定是否继续配送后面的疫灾点，而一旦这只蚂蚁决定配送下一个疫灾点，则当前疫灾点完成配送，并将之放到禁忌表的点集中。经过1次迭代，可以得到各车辆所配送分路径，而蚂蚁代表的车辆在每次运动过程中都会释放信息素到所走的路径上。到疫灾点各路线上信息素的更新规则为:

(7)

式中，信息素浓度τ_ij为当前配送车辆在对疫灾点i配送完成后，下一个疫灾点j对该车辆产生的吸引程度；Q为信息素强度(此处Q=800)；T为本次迭代中各疫灾点总的等待时间。疫灾点总的等待时间对信息素浓度的增量有很大的影响，总等待时间越短，则信息素浓度的增量则会越大。

在算法的设计中，一方面维护储备中心到每个疫灾点的最短等待时间矩阵，每次迭代观察是否找到的到j点的支路上等待时间比原来的短，若不是，则令信息素浓度为0，限制后面迭代中蚂蚁再走这条支路到j点。若找到的当前到j点的支路比原来短，则将新的信息素浓度转移到新找到的支路上，并且更新到每个疫灾点的最短等待时间矩阵。另一方面，增加了信息素浓度提升系数k₁，是自适应变化的，随着蚂蚁本次行走支路径的时间而进行动态调整。在某次迭代中，若到疫灾点j有更短的配送路径时(即t_ij＜t_j⁰，t_j⁰为初始迭代的到j点最短的路径的时间；t_ij为本次迭代中从i点到j点所在路径的时间)有信息素浓度自适应提升系数k₁与原Δτ_ij结合对新配送路径的信息素浓度进行更新，即增加k₁Δτ_ij信息素浓度。信息素浓度提升系数对路径上信息素浓度Δτ_ij进行动态提升，主要依据新支路径上的行驶时间与原最短路径行驶时间进行比较，若该路径行驶时间小于历史路径行驶的最短时间，信息素浓度的自适应提升系数加强当前支路径上信息素的增量(即正反馈)，且每条路径都会根据自身值得优劣来获得相应得信息素增量。

2.2 状态转移规则

车辆在选择配送疫灾点的过程中，各分路径线上的信息素浓度同时会影响车辆下一步的转移方向。随着路径上不断积累新的信息素，车辆在配送的过程中会根据各路径上信息素的强度及各路径的启发式信息决定下一步行动方向，即状态转移概率。上面对信息素改进中增加了提升信息素浓度系数k₁，因此在蚂蚁由疫灾点向另一个疫灾点的转移概率也会随之变化。其中，蚂蚁k由当前疫灾点i到可访问的疫灾点集合j中的状态转移概率为：

(8)

(9)

式中allowed_k=(N-V)，为蚂蚁k当前可选择配送的所有疫灾点集合；τ_ij为疫灾点i到j上的信息素浓度；α为信息素重要程度因子；β为启发函数重要程度因子；d_ij为待配送疫灾点i到j的距离；η_ij为蚂蚁从疫灾点i到j的期望程度。当蚂蚁在某疫灾点完成配送，则该疫灾点以后将不能被访问。

通过上述改进，克服了标准蚁群算法在搜索空间和时间性能上的不协调，较好地实现了每只蚂蚁(所代表相应的车辆)找到所负责的1个或多个疫灾点的1条路径。将所有蚂蚁找到的路径组合在一起得到完整疫灾点的配送路线，继而得到各个疫灾点总的最短等待时间。

基于改进蚁群算法的疫情应急物资配送优化求解步骤为：

(1) 初始化各参数，将N_c设定为迭代次数，开始时间t=0，N_c=0，设定最大的迭代次数N_max。将m只蚂蚁放在应急物资储备中心，初始时刻Δτ_ij(0)=0。

(2) 建立禁忌表，根据状态转移式(8)，确定下一个配送的疫灾点(通过蚁群算法确定的概率由轮盘算法选择1个疫灾点)，并将这个疫灾点列入禁忌表。直到蚂蚁走完全部的疫灾点，终结蚂蚁的循环活动。

(3) 记录本次迭代各疫灾点总的最短等待时间，当前迭代次数中的最短等待时间即是所求的各车辆运行最佳路线上对应各疫灾点最短等待时间的和，按信息素更新式(7)进行信息素全局更新。

(4) 记录各疫灾点总的最短等待时间，并多次执行(2)~(4)，使之达到最大迭代次数。

(5) 结果输出。

3 模型应用

以下通过实际算例对疫情应急医疗物资配送模型及优化算法的有效性进行验证。

3.1 应用数据

假定某地有8个疫灾点，N=8，1个应急医疗物资储备中心0点，待配送应急医疗物资的种类总数p=4，车辆的类型总数u=4，用A~D表示，且共有车15 veh。等待装配车辆基本信息如表 1所示。

待配送应急医疗物资的单位重量和单位体积信息如表 2所示。

其中，各类车型均从应急医疗物资储备中心0点出发，向8个疫灾点配送应急物资，其中各疫灾点对各种医疗物资的需求量信息如表 3所示。

本研究背景主要针对疫情初期，多数疫灾点对应急医疗物资的需求量大于当前的可供应量。其中可供应系数为可供应量和需求量的比值，若各类应急医疗物资的可供应量小于需求量，则该类医疗物资的实际供应量为可供应量；若此类医疗物资的可供应量大于需求量，则取需求量为其实际供应量。

应急医疗物资的实际供应情况如表 4所示。

由表 4可见各类物资对应的可供应系数和实际供应量等信息。其中，应急物资储备中心与各疫灾点之间及疫灾点和疫灾点之间的距离如表 5所示，表 5即为配送网络距离矩阵。

3.2 应用过程

参数初始化：设蚂蚁数等于可配送疫灾点的数(可合并配送的疫灾点记为1个疫灾点)，将所有的蚂蚁分布在应急医疗物资储备点0，假设各类型车辆的速度均为V=0.6 km/min，α=1，β=5，ρ=0.1，迭代1 000次后，可以得到1个比较满意的优化结果，各疫灾点总的等待时间最短为1 108.33 min。改进蚁群算法的迭代情况如图 2所示。

3.3 优化结果

对模型进行优化求解，可得到关于车辆-路径综合优化结果。表 6为满足各疫灾点医疗物资需求下所走路径、各疫灾点分配的配送车辆及各类医疗物资实际配送的数量。其中，1 veh A型车和1 veh D型车依次经过疫灾点2和疫灾点7，装载医疗物资1有2 387件，医疗物资2有440件，医疗物资3有861件，医疗物资4有2 310件，满足疫灾点2和疫灾点7所需的各种医疗物资。图 3为将疫情地应急医疗物资储备中心、各类医疗物资、各种车型各个疫灾点联系而构建的疫情地应急医疗物资优化匹配图。

3.4 结果对比

为进一步研究改进蚁群算法的性能, 利用改进遗传算法对本研究的算例进行求解, 设置遗传算法的交叉概率为0.9, 变异概率为0.1, 迭代1 000次后找到最优的结果。用改进遗传算法求出的最短等待时间及路径方案与改进蚁群算法的求解结果进行了观察对比。图 4为改进遗传算法迭代过程，表 7对比了改进蚁群算法和改进遗传算法运行效果。

由表 7可以看到，改进后的蚁群算法在求解应急医疗物资配送路径优化问题的过程中，改变算法的编码和解码规则, 使之适用于求解离散问题、良好的协调全局搜索能力和局部搜索能力。本研究对比使用改进的蚁群算法和改进的遗传算法对所建的模型进行了求解，最终表明改进蚁群算法的优化结果要优于改进遗传算法，且在求解过程中加快了算法的收敛速度，提高了算法的稳定性。

4 结论

本研究以疫情应急医疗物资配送为背景，结合我国国情，考虑疫情发生时疫灾地应急储备中心与当地医疗物资需求点之间的联系，以疫灾点等待时间最短为目标、构建了车辆-路径的集成优化模型。通过使用改进蚁群算法实现了对优化模型的求解，得出最优路线选择和车辆调配方案，解决了多车型、多物资、多疫灾点应急医疗物资在需求紧急状态下快速、高效配送问题，对其他突发事件应急物资配送研究与实践均具有一定的参考和借鉴价值。