0 引言

桥梁结构在正常使用过程中，会受到外部荷载、有害物质以及自身材料老化等因素的影响，以致桥梁结构可能出现不同程度的损伤和抗力衰减^[1]，进而直接影响其正常使用，严重时还会引发安全事故。可见，实际工程中有必要对桥梁结构进行运营状态的评估。

现阶段，以振动分析为基础的桥梁状态^[2]评估方法^[3]逐渐受到人们的重视，基本原理是通过对桥梁结构的模态参数进行识别，并分析对比结构在完好状态和损伤状态两种状态下各模态参数的变化情况来辨识该结构是否处于良好的运营状态^[4]。为了实现对桥梁结构的实时运营状态辨识，需对其模态参数结果进行实时地识别。目前，已有不少学者对模态参数的实时识别做了一定的研究，但他们往往仅注重于实现对响应信号的模态参数识别，而忽略了响应信号自身携带着一定的噪声，噪声的存在会直接影响模态参数识别的精确性。如孙富国^[5]直接将模糊聚类算法和P_LSCF算法进行结合实现桥梁结构的模态参数识别，并未对传感器采集到的响应信号进行降噪处理；陈永高^[6]在利用自适应EEMD对响应信号进行分解处理时，也未对响应信号进行一定的预处理。基于此，为了精确地对实际桥梁结构的健康状态进行实时监测，本研究将利用经验模态分解算法(Empirical Mode Decomposition, EMD)^[7]和协方差驱动随机子空间识别(Covariance Driven Stochastic Subspace Identification, COV-SSI)算法^[8]构建一套新的桥梁结构模态参数识别系统。

首先针对EMD算法存在的不足提出了相应的改进算法(自适应经验模态分解, AEMD)；其次将滑窗技术融入到COV-SSI算法中实现对信号的实时识别；再将AEMD和改进的COV-SSI算法进行结合，以实现从信号分解到模态参数识别的一体化处理，完成桥梁结构模态参数的智能化识别。该识别系统不仅能够有效地提高EMD算法辨识模态的精度，还能实现信号的自我重组，同时还能克服COV-SSI算法无法对信号进行不间断识别的缺陷。

1 经验模态分解的改进算法 1.1 模态混叠现象的处理

利用EMD对信号进行分解可得到一系列的本征模态函数(Intrinsic Mode Function, IMF)，一旦各IMF间存在相似的信息则被定义为模态混叠现象。导致该现象的本质原因是因为各IMF间不满足完全的正交性。鉴于此，可在信号分解的过程中引入数学算法中的“正交思想”以提高模态的辨识精度，具体实现流程如下。

Step 1：考虑到各IMF分量间的量纲可能存在不同，以致测量值变异范围相差悬殊，可对各IMF分量进行数据的标准化处理。

(1)

式中, imf_ij为第i个IMF分量中的第j个具体数据；n为信号分解所得的IMF分量数，m为每个IMF分量中的数据个数。

Step 2：为了判定各IMF分量间的正交关系可通过相似性进行度量，实际运用中常采用距离来度量样本点间的相似程度。

目前常用的距离计算方法^[9]包括绝对值距离，欧式距离和Chebyshev距离，这3种方法的主要优点在于：当坐标轴进行正交旋转时，距离计算结果不会发生变化，即原坐标系进行平移和旋转变化时，变换后样本点间的距离和变换前完全相同。缺点在于：在判定两个分量间的相似度时，仅仅只是根据这两个分量间的具体数据来辨识相似度；而信号经EMD分解后得到的是一系列IMF分量，所以在判定imf_i和imf_j间的相似度时，不仅需要考虑这两组分量间自身的数据，同时还应该考虑剩余IMF分量间的数据特征。鉴于此，本研究引入变量聚类法中的“夹角余弦法”^[10]计算各IMF分量间的相似程度，计算公式如下：

(2)

式中，信号经EMD分解后得到的一系列IMF分量，计为(imf_1j, imf_2j, …, imf_nj)^T∈Rⁿ(j=1, 2, …, m)，其中n为每个IMF分量中的数据个数；j为IMF分量的个数；r_jk为第imf_j和imf_k间的相似程度。

Step 3：以下将详细阐述如何将Step 1和Step 2融入到EMD信号分解的流程中：

(1) 对原始信号x(t)进行EMD分解，得到前两组imf_i(i=1, 2)，并基于Step1对imf₁和imf₂进行数据标准化处理，使两分量满足零均值特性；

(2) 基于Step 2求解imf₁和imf₂间的相似程度r₁₂，当0.1≤r₁₂≤1时，则基于式(2)寻找出imf₁与imf₂间的相似部分$i \hat{m} f_{1, 2}$；将其从imf₂中剔除，以得到新的imf₂′；并保留imf₁作为原始信号x(t)的第1个IMF分量；

(3) 对imf′₂进行EMD分解，并基于(1)和(2)相同的原理，得到原始信号x(t)的第2个IMF分量；

(4) 以此类推，当第k次的余项r_k=r_k－1－imf_k满足终止条件，则停止迭代，即完成了对原始信号x(t)的EMD分解。

1.2 信号重组

信号的重组实际上是对所得IMF分量中有效分量的筛选，有效IMF是指该分量中包含原始信号中的有用信息。为了筛选出有效IMF分量，依然基于1.1节中Step 2提出的变量聚类算法，采用夹角余弦法计算各IMF分量与原始信号之间的相似程度(R_j)：

(3)

式中，n为每个IMF分量中的数据个数；j为IMF分量的个数；X为原始信号。当0.8≤R_j≤1时，则认为该IMF分量为有效分量。

将所有有效IMF分量进行叠加以得到重组的有用信号$\mathit{\tilde x}\left(t \right)$。

(4)

式中k为各有效IMF分量的编号。

改进EMD算法(AEMD)的流程图如图 1所示。

2 改进COV-SSI算法

基于协方差的随机子空间算法的核心算法是线性算法^[11]，如果直接将其运用于识别桥梁结构这种非线性时变结构则识别效果不佳。于此，提出将滑窗技术^[12]嵌套于COV-SSI算法中，以实现对响应信号的合理分段处理，则可将时变结构视为时不变结构进行模态参数的跟踪识别，提高参数识别结果的精确度。实际运用中，由于不同的窗函数和窗口大小及滑窗步长都会对模态参数的识别有不同程度的影响，于此，以下将详细介绍如何实现滑窗技术与COV-SSI算法的有效结合。

2.1 窗口类型的确定

矩形窗相比汉宁窗、海明窗、平顶窗等的优点在于：其窗口不随时间的变化而变化，具有主瓣集中，频率识别结果精度高的优点。由于模态参数识别的主要目的之一是识别结构的固有频率，所以本研究选择矩形窗对信号进行滑窗处理。窗函数如下：

(5)

2.2 窗口大小的确定

窗口的过大或者过小都会在一定程度上影响模态参数识别结果的精确度，当窗口过大时，稳定图中会出现虚假模态；而当窗口过小时，稳定图中会遗漏真实模态。关于窗口大小的确定，已有不少学者对其进行了相关研究^[13]，研究结果表明窗口的大小需要结合信号自身的特征、采样频率及含噪声的多少等因素来确定。于此，为实现模态参数的实时监测，提出了一种新的定窗算法，具体实现流程如下。

Step 1：假定第1个窗口的数据点数为C₁，窗口时间为t秒，采样频率为F，即C₁=t×F。

Step 2：假定前后窗口间的时差为T秒，为了保证每个窗口间的数据存在交集，即前后窗口的数据间不存在断缝，则需要保证T≤t；即第2个窗口对应的时间段为[T, T+t]，数据长度依然为C₁。

Step 3：基于COV-SSI算法识别得到各窗口的稳定图，统计各稳定图中前3阶模态频率各自对应的稳定点数的百分比f₁, f₂, f₃。

Step 4：分析f₁, f₂, f₃与信号长度的关系式，可知f₁, f₂, f₃呈现出先逐渐增加最后保持平稳的变化趋势，如图 2所示。

Step 5：设定当f₁, f₂, f₃超过90%时，其对应的信号长度为合理的窗口大小。

2.3 滑窗步长

窗口的滑动步长是指每次窗口向前移动的数据个数，设定各窗口的更新数据量为V，可得如下滑窗步长图，如图 3所示。

借鉴随机子空间算法中Hankel矩阵的定义原理，即将过去的输入信号长度等同于将来的输出信号长度；本研究将窗口的更新数据量定为1/2窗口数据量。

2.4 模态参数识别系统

为了实现从信号分解到模态参数识别的一体化处理，将滑窗技术、AEMD算法以及COV-SSI算法进行融合，构建如图 4所示的桥梁结构模态参数识别系统。

3 仿真信号验证

利用模拟信号验证改进AEMD算法的可行性，模拟信号由2，4 Hz和8 Hz的正弦信号叠加噪声水平约为5%的随机噪声组成，混合信号如下。

(6)

混合信号共10 s，共1 000个测试点，混合信号和各叠加信号以及噪声对应的时域图如图 5所示。

3.1 分解结果对比分析

分别利用AEMD和EMD两种分解算法对叠加信号进行分解处理，结果见图 6。根据分解结果的图形可知：EMD算法所得IMF间存在端点效应；AEMD算法能对端点效应进行一定的处理。

为进一步验证AEMD算法能更好地对混合信号进行分离，现基于1.2节所提夹角余弦法计算两种算法分解结果与混合信号以及各叠加信号之间的相似程度，结果见表 1和表 2。

对比表 1和表 2可知：EMD算法仅能筛选出IMF₁作为有效IMF分量；而AEMD算法能筛选出所有有效分量，即能实现有效IMF分量的自动化筛选。

为进一步验证AEMD能更好地处理端点效应，绘制了EMD算法结果中IMF_1-3和AEMD算法结果中IMF_3-5对应的Hilbert-Huang谱，结果见图 7，对比图中各频率的时域图可知：EMD算法所得结果仅能凸显混合信号中的有效频率，但AEMD算法所得的瞬时频率更加平滑，反映了该算法能够在一定程度上克服端点效应现象。

3.2 重构信号对比分析

图 8为EMD算法和AEMD算法所得重构信号的误差图，可知：AEMD算法得到的重构信号与原始信号的误差更小，特别是在两端点处；AEMD算法的误差值相比EMD而言小很多，即AEMD算法能在一定程度上克服EMD算法存在的端点效应。

4 简支梁算例

现利用某箱型截面简支梁为识别对象进行本研究算法的验证。

4.1 工程概况

该桥长25 m，共分为10段，采用MIDAS软件建立模型。横断面为单箱单室箱型截面，如图 9所示。为了很好地模拟简支梁所处的环境激励，可在1-11号节点处分别施加竖直向下的白噪声激励。

4.2 模拟白噪声激励

首先采用MATLAB软件中自带的randn函数获得1组均值为0，方差为1的数值，图 10为其前60 s对应的时程曲线图；其次将其施加在简支梁上的11个节点处；并利用MIDAS进行时程分析以获得各节点处的加速度响应信号，采样频率为50 Hz。

4.3 响应信号

图 11为节点2、节点5以及节点8对应的前60 s加速度响应时程曲线图。

4.4 模态参数识别

初步假定初始窗口的持续时间为20 s，然后基于2.2节所提算法确定合适的窗口大小为1 min；其次基于2.3节所提算法确定滑窗步长时间为30 s。因采样频率为50 Hz，即每个窗口对应的输入数据为二维数组(11×3 000)，其中11代表简支梁上的11个节点，3 000代表各节点处在1 min内采集到的数据点数。

为了验证AEMD算法预处理之后得到的稳定图能识别到完整的模态参数结果，以某一个窗口的信号为识别对象，分别对其进行EMD分解和AEMD分解，然后再利用COV-SSI进行参数识别，得到稳定图见图 12。利用MIDAS软件对该简支梁进行特征值分析，获得其前3阶的固有频率值分别为3.31，12.04 Hz和27.36 Hz。对比两稳定图可知：经AEMD方法预处理后的信号，其对应的稳定图中含有不含虚假模态，且所得的稳定轴更清晰。

同时为了验证AEMD算法能有效地剔除噪声保留结构的有效信息，可在11个节点对应的响应信号中添加不同程度的噪声，分为4组工况，各工况下添加的噪声比例分别为1%，3%，5%，8%。基于本研究算法，先对各工况下响应信号进行AEMD分解，然后再利用COV-SSI进行参数识别，得到该简支梁的固有频率值，结果如表 3所示。根据表中结果可知，虽然原始信号中添加了不同程度的噪声，但本研究所提AEMD算法依然能够有效地剔除噪声并保留结构的有效信息；同时改进COV-SSI算法所识别出的固定有频率值与MIDAS结果间的误差值百分比能够较好地控制在5%以内，即表明本研究算法具有较好的可靠性。

5 模态参数识别

以某斜拉桥为研究对象验证图 4所示桥梁结构模态参数识别系统的可行性。首先收集传感器采集的主梁加速度响应信号；其次利用“滑窗技术”对响应信号进行节段划分；再分别运用AEMD和EMD算法分解信号，得到重构信号；最后利用COV-SSI识别重构信号，得到桥梁结构的模态参数结果，并对比分析所得结果。

5.1 工程概况

该桥梁结构为大型斜拉桥，主跨跨径1 088 m，主梁上共布置14个竖向加速度传感器，采样频率为20 Hz。总体布置图如图 13所示。

5.2 传感器数据的预处理

利用直方图法^[15]分析该桥梁结构在每天24 h内各传感器采集的振动信号，以验证振动信号是否满足正态分布。图 14为某1天的数据直方图，根据该图可知14个传感器采集的振动信号均满足正态分布，具有稳定性，即这14个传感器采集的信号具有实用性。在进行参数识别之前，先利用多项式最小二乘法^[15]消除振动信号中存在的多项式趋势项，以避免环境因素对识别结果带来的影响。

5.3 模态参数识别结果

初步假定初始窗口的持续时间为1 min，然后基于2.2节所提算法确定合适的窗口大小为10 min；其次基于2.3节所提算法确定滑窗步长时间为5 min。因采样频率为20 Hz，即每个窗口对应的输入数据为二维数组(14×12 000)，其中14代表 14个传感器，12 000代表各传感器在10 min内采集到的数据点数。基于图 4所示流程，可识别得到各窗口对应的稳定图。为了验证AEMD算法预处理之后得到的稳定图能识别到完整的模态参数结果，以某一个窗口的信号为识别对象，分别对其进行EMD分解和AEMD分解，然后再利用COV-SSI进行参数识别，得到稳定图见图 15。对比两稳定图可知：经AEMD方法预处理后的信号，其对应的稳定图中含有更多的频率值，且所得的稳定轴更清晰。

为验证识别所得频率值具有可靠性，得到了该桥在2019年3，7，10及12月份4个月中各阶频率的平均值，并将其与文献[16]中的各阶竖向频率的理论计算值进行对比分析，结果见表 4。由表 4可知, 本研究所提参数识别算法识别的频率结果与理论值的差距很小，能够满足实际的需求。

以主梁与中塔的交点以及斜拉桥的起终点为固定点(共计4个固定参考点)进行模态振型图^[17]的绘制，该斜拉桥的前3阶振型图见图 16，将该振型图与斜拉桥的理论振型图做对比，可知：前3阶模态振型图均与理论振型图相匹配，进而验证了所提算法不仅能有效识别频率值^[18]，还能精确地识别出桥梁结构的模态振型图。

为了辨识该桥梁结构在2019年的运营状态，以天为单位识别得到了该结构在3，7，10及12月份每天对应频率值，并绘制了如图 17所示频率时程曲线图。由图可知该桥梁结构前10阶频率值在2019年内均处于稳定的状态，即表明该桥梁结构处于良好的运营状态。

6 结论

为了更好地实现桥梁结构信号分解和模态参数识别的一体化处理，以及桥梁结构运营状态的实时监控。首先针对经验模态分解方法存在的不足进行完善，包括引入“正交思想”以提高模态的辨识精度，提出筛选有效本征模态函数的新算法。其次针对协方差的随机子空间算法难以适用于桥梁结构这种非线性时变结构，提出了将滑窗技术融于其中，以实现对桥梁结构的模态参数跟踪识别。结果表明：

(1) 在EMD算法中融入“正交思想”能够有效地提高模态的辨识精度，同时还能在一定程度上处理端点效应；

(2) 可通过夹角余弦法计算各IMF分量与原始信号之间的相似程度来实现有效IMF分量的筛选；

(3) 将“滑窗技术”与随机子空间算法进行结合，能实现对时变结构的模态参数识别；

(4) 将滑窗技术、AEMD算法以及COV-SSI算法进行融合，能够实现从信号分解到模态参数识别的一体化处理，且识别结果具有可靠性。