0 引言

近年来，群体智能优化算法和深度机器学习等相关理论被逐步开发应用于实际问题中，部分专家学者采用群体智能算法优化机器学习参数的方式达到对实际问题的精准预测^[1-2]，对于实际工程结构中相关参数的优化，也有专家学者进行了相关研究和探索。康俊涛等^[3]以钢桁拱桥为研究对象，提出了概率跳跃因子改进的粒子群算法，并将其运用于优化钢桁拱线形影响变量中，成功改善了钢桁拱的成拱线形，降低了结构应变能；陈志军等^[4]基于粒子群优化算法，联合Matlab和ANSYS软件对独塔斜拉桥成桥索力进行寻优，达到减小主梁竖向位移和弯矩的优化目标；朱敏等^[5]提出了一种基于多种群的遗传算法，以斜拉桥结构最小弯曲应变能为目标函数编写了索力优化程序，结果表明多种群遗传算法可以有效优化斜拉桥的成桥索力，使结构内力分布更加合理，具有较大的工程意义。

拱桥以其一体性强、跨越能力大、对河道通航影响小等优点被广泛运用于高山峡谷地形条件的环境中。斜拉扣挂施工法是大跨度钢管混凝土拱桥常见的施工方式之一，为保证成拱后拱桥主拱圈实际线形与期望线形不出现过大偏差，在进行一次斜拉扣挂施工时需要确定合理的扣索力张拉值，否则易引起主拱圈受力不合理或合龙段精度不达标等现象。针对这一问题，徐岳等^[6]以影响矩阵法和线性规划理论，通过正装迭代计算，提出了以设计标高线形为目标的钢管混凝土拱桥一次张拉扣索方法；张治成等^[7]利用有限元计算和最优化理论相结合的方式，采取一阶分析法对索力调整量进行了迭代优化，成功改善了钢管混凝土拱桥的成桥线形；吴海军等^[8]基于无应力状态法对钢管混凝土拱桥的安装过程进行仿真模拟，计算得各节段线形偏位均满足规范要求。

综上所述，通过智能算法、机器学习和有限元联合仿真的方法对结构进行相应的参数优化是目前工程领域研究的热点，而目前对于大跨度钢管混凝土线形优化的研究多基于传统有限元法。随着群体智能优化算法在工程领域的成功应用，部分专家学者已经将其引入到斜拉桥的优化问题中，但就斜拉扣挂法施工的钢管混凝土拱桥线形优化方向鲜有研究。当前研究多采用传统数学优化与有限元模型联合仿真的形式，计算量较大，计算效率不高。基于此，本研究提出一种基于改进蝗虫算法-极限学习机的拱桥线形组合优化模型，采用两种策略改进标准蝗虫优化算法，使其适用于高维优化问题的求解，建立了联合优化模型用于求解考虑线形控制的最佳扣索力组合，并将优化索力代入有限元模型计算，在某钢管混凝土拱桥工程的索力优化中进行了应用，根据线形实测结果验证了优化模型的有效性，可为类似工程优化问题提供一定的参考。

1 极限学习机线形预测模型 1.1 极限学习机原理

极限学习机(Extreme Learning Machine, ELM)是一种针对前馈神经网络的新型快速学习算法^[9-12]。相比于BP神经网络采取梯度下降法多次迭代达到修正权值和阈值的训练方式，ELM在训练过程中无需调整输入层和隐含层之间的连接权值和隐含层神经元的阈值，通过设置隐含层神经元个数即可随机产生权值与阈值，学习效率和泛化能力相较传统神经网络具有一定优势，其基本网络结构如图 1所示。

假设一个单隐含层的神经网络有N个样本数据(X_q, Y_q)，其中输入向量为Xq=[x_q1, x_q2, …, x_qn′]^T, 输出向量为Yq=[y_q1, y_q2, …, y_qm′]^T，则该神经网络模型表示为^[13]：

(1)

式中，g(x)为激活函数；α为输入权重；β为输出权重；b为第i个隐含层单元偏置；l为隐含层节点数；n为输入层节点数。

将其写成矩阵形式可表示为：

(2)

式中，T′为T的转置；H为隐含层输出矩阵。

H的具体形式如式(3)所示：

(3)

当ELM模型的输出向量Y_q逼近目标输出向量T_q时，预测误差趋于0，则有：

(4)

当ELM神经元激活函数g(x)无限可微时，隐含层和输出层的连接权值β_jq′可通过式(3)所示的方程组求解。

(5)

通过上式即可求解输出层权值。

1.2 ELM线形预测模型

以实际工程的有限元模型为基础，建立基于ELM的线形预测模型。为提高ELM训练效率和精度，首先建立拱桥的线形预测模型，取ELM输入权值矩阵和隐含层偏差作为优化目标，对ELM隐含层节点关键参数进行优化以减小线形预测偏差。其次建立拱桥的索力优化模型，将扣索张拉力作为ELM预测模型的输入向量，成桥线形作为ELM预测模型的输出向量，取半结构模型建立扣索索力-成桥线形映射关系，如式(6)所示，取各拱圈控制节段标高控制点的实际高程与设计高程之差的平方和为训练控制目标。以半结构扣索数为输入层节点n，线形偏差为输出层节点m，隐含层节点数k=2n+1，各初始参数如表 1所示。

(6)

式中，u_i为第i个拱圈节段实际标高控制点与设计标高控制点的偏差；u_i为第i个拱圈节段标高的期望调整值；n为标高控制节段数。

2 考虑线形控制的索力优化模型 2.1 蝗虫优化算法 2.1.1 标准蝗虫算法

蝗虫优化算法(Grasshopper Optimisation Algorithm, GOA)是Saremi等^[14]提出的一种基于仿生原理的智能群优化算法，其基本原理是将蝗虫种群幼虫小范围的移动映射为算法的局部开发过程，成虫大范围的觅食运动映射为算法的全局搜索过程，是一种兼顾局部与整体的优化算法。蝗虫优化算法定义社交影响S_i、重力影响G_i和风力影响A_i为决定蝗虫个体位置更新的3个关键影响因素，位置更新如式(7)所示：

(7)

式中，s(r)为社会影响力系数，，s＜0时为个体间相互排斥，s＞0时为个体间相互吸引；d_ij为第i个蝗虫个体与第j个蝗虫个体间的距离；为第i个蝗虫个体到第j个蝗虫个体的单位向量；g为重力常量；为指向地心的单位向量；u为风力常量；为指向风向的单位向量。

由于蝗虫算法的初始模型会引导蝗虫种群陷入舒适区不再移动，Saremi忽略重力影响，假设风向总指向最优个体，并引入递减系数c避免种群过于聚集，改进后的蝗虫算法标准模型如式(8)所示：

(8)

(9)

式中，c为舒适区递减系数，可控制蝗虫个体间的“亲近距离”；ub_d和lb_d为d维空间的上、下限；T_d为当前迭代下蝗虫的个体最优解；t为当前迭代次数；C_max, C_min分别为递减系数的最大和最小值; T_max为最大迭代次数。

2.1.2 双策略改进的蝗虫算法

GOA是一种通用的寻优算法，针对具体工程存在一定的局限性，为解决GOA在实际工程问题中的应用问题，本研究采取两种策略同时对标准GOA算法进行改进。

标准GOA算法中递减系数c为一次线性函数，在GOA迭代过程中会随迭代次数发生线性递减，但线性递减系数在高维优化问题中会显著影响迭代后期的算法性能，使蝗虫种群陷入局部“舒适区”。为使算法跳出局部最优解，引入非线性递减系数^[15]可有效提升算法在前期的收敛速度，同时增强中后期的局部开发能力，保证GOA在不同时期寻优效率，改进后的递减系数c如式(10)所示：

(10)

由于改变搜索范围带来的不确定性，为防止蝗虫个体从较优解移动至较劣解，引入最优位置精英保留策略^[16]对GOA算法进行进一步改进，根据蝗虫个体位置的更新公式，对式(8)进行如下改进：

(11)

(12)

(13)

(14)

式中，H为搜索步长函数；X_new(t+1)为第t+1次迭代时蝗虫个体在空间中的位置；X_best(t)为第t次迭代时蝗虫个体的最优位置；X_i(t)为第t次迭代时第i只蝗虫在空间中的位置；X_j(t)和X_k(t)为第t次迭代时的两个随机蝗虫个体的位置；D为空间维数；β₁为记忆系数；β₂为信息交流系数；r₁和r₂分别为[0, 1]内的随机数; N为种群规模。

2.2 算法性能测试

对递减函数进行非线性改进以及实现精英保留策略后的IGOA算法，理论上可保证算法在维持较高收敛速度的前提下跳出局部最优解。为验证改进后的IGOA算法性能，引入4个基准测试函数对算法进行寻优性能测试^[17-18]，此外，引入粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)进行横向对比。其中，比较GOA与IGOA的寻优结果以验证改进策略的有效性，比较IGOA与PSO的寻优结果以横向验证IGOA算法性能的优越性。4个基准测试函数及表达式如表 2所示。测试平台基于Matlab2019a，各算法均设置空间维度D=30，运行次数为30次，记录所有30次计算下的最优值、最差值、平均值、标准差和平均耗时，评估算法的收敛精度、寻优稳定性和收敛速度。

表 3给出了各算法在不同测试函数下独立运行30次的最终测试结果。由表可知，对于单峰测试函数F1，GOA，IGOA和PSO算法均能收敛至理论最优解附近，其中，GOA的收敛精度最低，PSO次之，IGOA则完全收敛至理论最优解，算法运行耗时方面，PSO收敛速度最快，GOA收敛速度最慢；对于多峰测试函数F2，GOA基本无法寻得最优解，PSO收敛精度不佳，仅IGOA可以收敛至理论最优解，且平均耗时最短；对于多峰测试函数F3，F4，PSO和GOA算法均无法收敛至全局最优解，仅IGOA可收敛至理论最优解附近。

3 基于IGOA-ELM的双层嵌套线形优化模型 3.1 IGOA-ELM线形预测模型

ELM预测模型对于随机给定的输入权值矩阵和隐含层偏差可能会出现部分数值为0的现象，导致部分隐含层节点失效，预测精度降低，但盲目增大隐含层节点数量会致使ELM模型的泛化能力降低，对不同样本映射关系的适应度下降。因此，合理地确定输入权值矩阵和隐含层偏差可以有效提升ELM的预测精度^[19-21]。

由于不同工程的ELM预测模型最优输入权值和隐含层偏差不同，故ELM预测模型需要根据实际工程针对性的选取相关参数，采用IGOA算法可在预测模型进行样本时针对性的搜索到该工程的最优参数。为保证ELM预测模型的预测准确性，选取ELM训练样本时，以扣索力设计张拉值为基准，在索力张拉值上下限范围内均匀生成50组索力组合代入有限元模型进行计算。将索力-线形有限元计算数据作为IGOA-ELM样本用于学习训练与性能验证，预测精度作为停止训练的控制条件，当IGOA-ELM达到停止训练的控制条件时停止训练并保存参数。

采用IGOA算法搜索当前数据样本中ELM的最优输入层权值和隐含层偏差，隐含层激活函数采用Sigmoid函数，如式(15)所示：

(15)

寻优流程如下：

(1) 初始化蝗虫种群，种群规模设置为30，个体维度L=(n+1)k。

(2) 采用ELM算法对蝗虫种群个体进行计算，得到输出权值矩阵，以ELM和有限元结果的预测偏差作为适应度函数，通过代入训练集的输入矩阵计算个体适应度值。

(3) 更新递减系数并重新计算个体适应度值，根据式(11)保留精英蝗虫位置。

(4) 判断是否满足寻优停止的控制条件，若满足则根据最优个体得到最优输入权值矩阵和隐含层偏差，若不满足则继续迭代。

3.2 IGOA索力优化模型

大跨度钢管混凝土拱桥因其施工阶段复杂，主拱圈的线形控制是施工过程的重难点。采用斜拉扣挂法进行施工的大跨度钢管混凝土拱桥通过建立一次成桥合理线形索力优化模型可以得到成桥状态下的最佳索力组合，确保主拱圈实际线形逼近设计线形。

根据优化目标，为使实际拱轴线接近设计合理拱轴线，各拱圈节段实际标高与设计标高之差应达到最小，以各拱圈节段标高控制点的实际高程与设计高程之差的平方和为目标函数建立考虑线形控制的索力优化数学模型，约束条件为取安全系数2.5后的扣索力值为上限。综上，建立基于线形控制的钢管混凝土拱桥成桥索力优化模型如式(16)所示：

(16)

式中，X为一组待求的扣索力向量；m为扣索钢绞线数量；N_p为钢绞线的抗拉屈服应力；k为扣索安全系数2.5；u和u为拱圈节段标高偏位误差的上下限值。

3.3 双层嵌套优化流程设计

将改进后的IGOA算法应用于大跨度钢管混凝土拱桥的索力寻优模型中，利用Matlab编写考虑拱桥线形控制的数学模型及算法，联合ELM预测模型进行索力优化，最后再将优化后的索力代入有限元模型计算最终线形结果，基于IGOA优化拱桥线形后输出的最佳索力组合寻优模型执行流程如图 2所示。

(1) 设置优化参数：由于拱桥的对称性，取一半拱桥的扣索力张拉值[x₁, x₂…x_n]^T为待优化参数。

(2) 初始化算法参数：考虑索力向量搜索量较大，设置蝗虫种群规模50、个体维度8、最大迭代次数100。

(3) 初始化种群位置：初始化蝗虫个体在空间中的位置，根据数值模型计算个体初始适应度值，并记忆保存。

(4) 更新种群位置：根据式(10)更新非线性递减系数c，根据式(11)确定新的个体位置，输出索力组合代入有限元模型重新计算，返回线形控制结果，以当前索力的线形和设计线形的计算偏差为适应度函数，计算种群适应度值，根据精英保留策略重新确定种群的目标位置。

(5) 判断终止条件：判断算法是否达到最大迭代次数，若达到则终止算法，若未达到则回到步骤4。

4 工程算例 4.1 工程概况及有限元模型

本研究以某大跨度钢管混凝土拱桥为工程背景，应用所提方法对实际工程进行优化设计，验证线形预测模型和索力优化模型的实际效果。拱桥总长563.08 m，桥型布置为(3×30 m)T梁+268 m上承式钢管混凝土拱桥+(6×30 m)T梁，主拱计算跨径268 m，矢高70.53 m，矢跨比1/3.8，拱轴系数m=1.65。主弦杆、拱上立柱钢管内灌注C55混凝土，其余杆件均为空管，拱肋上下弦杆采用1 100 mm×28 mm，1 100 mm×24 mm，1 100 mm×20 mm这3种规格钢管；腹杆采用420 mm×420 mm×16 mm×20 mm，420 mm×420 mm×18 mm×24 mm两种焊接H型钢；平联杆采用420 mm×420 mm×16 mm×20 mm焊接H型钢。主拱由两条等截面悬链线拱肋组成，拱肋为4管全桁式结构，桁高5 m，每条拱肋分16段进行吊装，两岸各布置8根扣索，左右半拱1~7段完全对称，第8段为主拱合龙段，临时扣塔采用Q345a钢材，扣索采用预应力钢绞线。

建立含施工阶段的全桥有限元计算模型，钢管和混凝土截面采用施工阶段联合截面进行模拟，不考虑钢管和混凝土的脱黏效果，假定两者完全黏结。采用梁单元模拟拱肋，桁架单元模拟拉索，斜拉索单元与拱肋单元共节点，形成整体受力，拱脚与桥墩连接处采用固结约束。根据实际施工步骤，分阶段激活对应的扣索单元和拱肋单元，模拟斜拉扣挂施工过程。根据工程实际参数，ELM模型输入层节点数n取8，输出层节点m取1，隐含层节点数k=2n+1=17。主拱肋节段吊装控制图如图 3所示，全桥有限元模型如图 4所示。

4.2 预测精度对比

为验证IGOA算法对ELM预测模型性能的提升效果，分别提取训练集下IGOA-ELM模型和ELM模型各标高控制点与数值计算结果的平均偏差绝对值，如图 5所示。相较于ELM模型，IGOA-ELM模型在改进蝗虫算法不断调整输入权值矩阵和隐含层偏差的前提下对数据的泛化能力进一步提高，除个别训练集外，IGOA-ELM预测下的各标高控制点平均偏差均低于10 mm，而ELM在大部分训练集下的平均偏差均高于10 mm，由此可知IGOA对ELM输入权值矩阵和隐含层偏差的寻优结果良好。

分别采用BP神经网络模型(Back Propagation Neural Network)、支持向量机模型(Support Vector Machine，SVM)、ELM模型和IGOA-ELM模型对训练样本进行学习，图 6给出了4种机器学习算法模型在设计索力下各标高控制点预测结果与数值计算结果的误差。由图可知，4种预测模型的预测误差均能控制在25 mm以内，其中，SVM的平均预测误差最高，为14.39 mm；BP神经网络和ELM模型预测误差均在13 mm左右；IGOA-ELM模型的平均预测误差最低，为2.28 mm。综上，IGOA-ELM模型预测精度最高，泛化能力最强，ELM模型和BP神经网络模型处于相同预测精度水平，SVM模型泛化能力较弱。

为说明IGOA-ELM模型的预测性能，定义均方根误差(Root Mean Squared Error，RMSE)作为各机器学习模型性能的评价指标，RMSE表达式如(17)所示。

(17)

式中，X_{real, i}为数据真实值；X_{pre, i}为数据预测值。

表 4给出了各机器学习算法模型RMSE评价指标的对比，由表可知IGOA-ELM在RMSE指标大幅优于其余3种机器算法模型，可见采用IGOA优化后的ELM对于索力-线形非线性映射关系预测的更加精确。

大跨度钢管混凝土拱桥拱肋吊装精度控制要求较高，吊装偏差需要控制在10 mm以内，根据各预测模型的实际预测结果，仅有IGOA-ELM模型能将各拱肋节段标高控制点线形预测精度控制在10 mm以内。

4.3 索力优化结果分析

图 7给出了标准GOA算法、IGOA算法和标准PSO算法在考虑线形控制的索力优化模型100次迭代过程中的适应度曲线，由图可知，IGOA算法搜索效率明显高于标准GOA算法和PSO算法，标准GOA算法和标准PSO算法在迭代前期收敛速度基本一致，在算法后期，标准GOA算法于第34次迭代时陷入局部最优解，标准PSO算法在第69次迭代步数后停止迭代。相较于两种标准优化算法寻优的局限性，基于非线性递减函数和精英保留策略的IGOA算法则可以在搜索前期以大步长跳过局部最优解，在第57次迭代时到达的最佳适应度值，得到线形控制条件下的最优索力组合。

取一岸扣索力进行分析，图 8给出了原设计扣索张拉力和IGOA-ELM联合优化模型输出的扣索张拉力曲线，由图可知，1^#~5^#索原设计扣索张拉力分布较均匀，随着扣索长度的增加，扣索水平倾角不断减小，为平衡拱肋节段的竖直分力，6^#~8^#索设计张拉力陡增。考虑线形控制的IGOA-ELM索力优化模型输出的索力组合进一步改善了1^#~5^#扣索的初始张拉力均匀度，优化后的1^#~5^#扣索力均有不同幅度的提升，6^#~8^#扣索存在较小幅度的下降，整体索力分布规律与原设计大致相同。

采用有限元模型对原设计索力和优化后索力进行计算，并与基于优化索力建设的成拱实测线形进行对比，图 9给出了原设计索力计算线形、原设计索力预测线形、优化后索力计算线形、优化后索力预测线形和成桥后实测线形与设计线形的偏差对比，由图 9可知，松索后设计扣索力下线形偏差在1^#~6^#标高控制点为正，7^#~9^#标高控制点为负。分析可得，合龙段吊装完毕且整体松索后，拱顶处7^#~9^#标高控制点处出现一定幅度的下挠，对两侧拱肋形成了一定的挤压作用，使得拱脚至拱肋处1^#~5^#标高控制点出现上拱现象。优化后的索力组合改善了拱顶处的下挠现象，松索后所有标高控制点均未出现线形负偏差，且各标高控制点实际高程与设计高程偏差均在2.5 mm以内。对比FEM计算线形和IGOA-ELM预测线形可知，本研究提出的线形预测模型与有限元结果拟合良好。对比优化后的索力预测线形和实测线形可知，优化后的扣索力组合松索后的成拱线形十分逼近实际设计线形，且实测线形与预测线形误差较小，说明了索力优化模型及线形预测模型在该工程中具有良好的适应性，确保了工程的顺利施工。

4.4 模型性能对比

为验证IGOA-ELM线形预测模型在结构优化问题中的计算效率，分别采取有限元模型优化(FEM)、改进蝗虫算法联合有限元模型优化(IGOA-FEM)和本研究改进蝗虫算法联合ELM代理模型优化(IGOA-ELM)的方式对该工程进行计算分析。计算平台基本配置如下：CPU为Intel Core i7-8700；内存为16 GB；操作系统为Windows10。

表 5给出了分别采用FEM，IGOA-FEM和IGOA-ELM方式迭代计算的时间对比，由表可知，传统FEM和IGOA-FEM优化方式的单次迭代计算耗时远高于IGOA-ELM的耗时，基于传统有限元模型计算的方式总迭代次数相较于基于ELM代理预测模型的更少，但由于代理模型预测速度更快，故在进行索力寻优时模型总耗时最短，采用代理预测模型相较于有限元模型可缩减约60%的计算时间，极大提高了工程问题的优化效率。

5 结论

本研究针对大跨度钢管混凝土拱桥工程中的线形预测与优化问题，提出了一种改进蝗虫算法优化极限学习机的线形预测与优化模型，采用极限学习机代理模型代替有限元模型进行迭代计算的方式节省工程优化问题的计算量，以某采用斜拉扣挂法施工的大跨度钢管混凝土拱桥为工程背景，研究了考虑一次成拱线形控制下的扣索力优化问题，得到结论如下：

(1) 标准蝗虫算法在高维优化问题中存在较大局限性，极易陷入局部最优解，基于非线性递减函数和精英保留策略改进后的蝗虫算法寻优效率更高，可以有效避免算法陷入局部极值点。

(2) IGOA-ELM模型可以实现对钢管混凝土拱桥的线形预测，经过IGOA算法对输入权值矩阵和隐含层偏差进行调优并训练后，相较于ELM，BP神经网络和SVM预测模型，IGOA-ELM模型的预测精度最高，对样本数据的泛化能力最强，且具有较高的预测稳定性。

(3) 采用斜拉扣挂法施工的钢管混凝土拱桥成桥线形优化问题可以转化为考虑线形控制的钢管混凝土拱桥一次成拱索力优化问题，采用IGOA-ELM优化模型可以实现对该问题的求解。相较于有限元模型与优化算法的联合仿真，代理模型大大减少了计算量，提高了优化效率。

(4) 本研究所提方法在某大跨度钢管混凝土拱桥中进行了应用研究，结果表明，该工程采用IGOA-ELM优化模型进行优化设计后，各标高控制点采用优化后的索力组合计算得到的线形偏差均小于2.5 mm，且实测成拱线形十分逼近期望线形，证明了该优化模型的实用性。

(5) 横向对比了FEM，IGOA-FEM和IGOA-ELM的寻优时间，在包含训练耗时的情况下，采用IGOA-ELM模型进行结构线形优化比基于传统有限元方法的优化耗时更短。