0 引言

近年来，随着区域一体化不断发展，城市群中的各城市之间存在一定的亲密度^[1]，城市群中某车站或路段失效往往伴随着多站点或多路段的失效，因而提高城市群交通网络的抗毁性对于城市群交通网络应急管理能力的提高有重要意义。

长期以来，网络级联失效思想不断演进丰富。级联失效思想早期多运用于计算机网络和电力网络^[2-4]。在复杂信息网络方面，部分学者对计算机网络中的层级网络、无标度网络中的级联失效进行了鲁棒性分析^[5-6]。Sun等^[7]构建了多螺旋供应链复杂网络演化模型，并对级联失效进行了鲁棒性分析。目前，学者们针对信息网络中级联失效机制及级联失效网络节点流量恢复策略、负载再分配全局模型、识别网络级联故障中的关键节点进行了大量研究^[8-11]。Xu等^[12]探究了资源分配对级联故障时无标度网络恢复的影响。梁悼骞等^[13]基于节点容忍负载的能力调整了负载重分配策略。在电力网络系统方面，针对供电系统、核电力厂，对关键级联失效场景下的电网经济进行了改造，建立了电力保护系统^[14-15]。近年来，将级联失效概念应用于复杂交通网络后，针对级联失效后网络恢复问题提出了多种负载分配方法。Ma等^[16]在双层复杂网络动态流量中引入了交付能力分配策略，新的分配策略与平均分配策略相比能显著提高交通系统抗毁性。王世波等^[17]针对交通拥堵问题提出了非线性负载重分配模型。王国娟等^[18]基于复杂网络设计了公交站点失效优化方案。王德龙等^[19]基于蓄意攻击研究了机场交通网络的抗毁性。毛剑楠等^[20]考虑城市基础经济、拓扑网络结构以及联系强度，提出了一种新的城市群综合节点重要度识别方法。

综上所述，目前对于级联失效的研究大多是针对计算机信息网络和电力系统网络，近几年许多学者将级联失效概念引入城市群复杂交通网络，进而对复杂交通网络级联失效模型有了一定研究成果。但是，现有的复杂交通网络级联失效模型没有考虑道路堵塞对级联失效负载分配的影响，所以本研究拟构建城市群复杂交通网络，考虑拥堵指数，建立城市群复杂交通网络级联失效模型，从而增强城市群复杂交通网络抗毁性，为城市群复杂交通网络布局提供参考，保障城市群复杂交通系统的正常运行。

1 城市群复杂交通网络模型 1.1 建立城市群复杂交通网络

基于城市交通网络已有的研究成果^[21-23]，为建立城市群复杂交通网络，将多个独立交通网络进行叠加，如图 1所示，具体方法如下：

(1) 将汽车站作为节点，若汽车站之间有高速公路直接相连，则2个汽车站相邻，2个节点之间有1条连边。

(2) 将火车站作为节点，若有铁路直接连接2个火车站，则2个火车站相连，2个点之间有1条连边。

(3) 合并城市里的所有汽车站，由于城市中所有长途客运站的汽车要到达其他相同站点途径同一条高速公路，所以每个城市只取最大的1个汽车客运站作为汽车站点。

(4) 连接同一城市的汽车站和火车站点，若2个点之间有多条线路相连，则合并为1条。

在构建城市群复杂交通网络时不考虑道路的方向性，城市群交通网络为无向网络G=(V, E)，式中V={v₁, v₂, v₃, v₄, …, v_n}，v_n为编号为n的节点；n为节点总数；E={e₁, e₂, e₃, e₄, …, e_m}，e_m为编号为m的连边；m为网络中连边的总数；邻接矩阵A={a_ij}_N×N，其中N为节点总数，a_ij表示为：

式中，i和j为节点；节点i的度k_i为与i相连连边数，记为：

(1)

1.2 攻击策略

边介数指网络中经过该边的最短路径数与总最短路径数的比值^[24]。具体攻击策略有以下4种。

(1) 随机节点攻击：随机攻击定量节点。

(2) 蓄意节点攻击：按照节点度从大到小对节点依次进行攻击。

(3) 随机连边攻击：随机攻击定量连边。

(4) 蓄意连边攻击：按照边介数从大到小对连边依次进行攻击。

假设节点失效的情况下不考虑连边状态，即在考虑节点失效时，连边无初始负载无容量限制；假设连边失效情况下则不考虑节点状态，即在连边失效的情况下节点无初始负载无容量限制。

2 考虑拥堵指数的复杂交通网络级联失效模型

在构建考虑拥堵指数的城市群复杂交通网络级联失效模型时，假设节点和连边被攻击后在试验期间没有恢复能力。

2.1 相关变量定义 2.1.1 初始负载

初始负载包括节点初始负载和连边初始负载。

(1) 节点初始负载

参考已有研究^[25]，重新定义节点的初始负载：

(2)

式中，L_i⁰为节点i初始负载；< k>为网络平均度；α和τ为初始负载可调参数，α＞0，τ＞0；N为网络总节点数。

(2) 连边初始负载

结合网络平均度和连边节点度定义城市群复杂交通网络连边e_ij的初始负载L_eij⁰：

(3)

式中k_j为节点j的度。

2.1.2 容量

(1) 节点容量

节点容纳负载的能力与初始负载密切相关，所以定义节点容量：

(4)

式中，C_i为节点i的容量；β为网络负载容忍系数，且β>0。

(2) 连边容量

考虑连边容量正比于初始负载，定义连边容量：

(5)

式中C_eij为连边e_ij的容量。

2.1.3 拥堵指数

随着交通网络的发展，日出行量越来越高，交通拥塞影响着人们出行路径的选择。针对交通拥塞的衡量，采用拥堵指数衡量交通拥堵状态，具体定义为实际通过路段时间与路段无其他车辆时通过道路时间的比值，表达式为：

(6)

式中，F_eij为连边e_ij的拥堵指数；T_a为实际行驶时间；T_f为路段畅通时行驶时间。若节点v_i和v_j不相连，或v_i和v_j之间连边失效，则F_eij=+∞。

2.2 负载重分配模型

负载重分配发生在城市群复杂交通网络节点或连边失效和级联失效之后，原本在节点和连边的负载被迫分配到相邻节点和连边。相邻连边表示除连边本身之外与连边端点直接相连的所有连边。节点和连边负载重分配对复杂交通网络的抗毁性有很大影响。

图 2为复杂交通网络级联失效负载分配示意图。攻击节点k从而导致节点k丧失全部功能，节点k的全部负载将按比例分别向A₁，A₂，A₃，A₄，A₅分配，节点被分配负载较多，则节点与k连线较粗，节点被分配负载较少，则节点与k连线较细。当节点A₁，A₂，A₃，A₄，A₅接受来自k的负载后可能会由于过载发生进一步失效，此时发生失效的节点可以视为“暂停节点”，即可恢复正常的节点，例如节点A₁和A₃。对节点A₁和A₃的负载进行分配，将超过容量的负载分配到相连节点，循环往复，直到所有节点恢复，级联失效过程结束。当连边e_ij的所有负载向相邻连边e_iA5，e_iA8，e_iA7，e_iA6分配，连边接受负载后可能处于过载状态，例如连边e_jA6。此时发生失效的连边称为“暂停连边”，即通过重分配多余负载可恢复正常。将连边e_jA6过载的负载分配到相邻连边，直至网络恢复正常，级联失效过程结束。基于负载重分配时交通拥堵也是影响负载分配的一个重要因素，所以结合剩余容量和网络拥堵指数建立负载重分配模型。在t时刻，节点i被攻击，若节点j与i相连，则节点j接收负载比例表示为：

(7)

式中，ω_i→j为节点i负载由i→j的比例；Γ为与节点i相连所有节点集合；C_j和L_j分别为节点j的容量和负载；C_m和L_m分别为节点m的容量和负载；F_j为i→j的拥堵指数；F_m为i→j的拥堵指数；σ为剩余容量权重；δ为拥堵指数权重；σ＞0，δ＞0且σ+δ=1。所以，节点j增加的负载ΔL_j为：

(8)

式中L_i为节点i的负载。

更新节点j的负载：

(9)

式中，L_j(t+1)为被分配负载后节点j的负载；L_j(t)为被分配负载前节点j的负载，第1轮负载重分配时L_j(t)=L_j⁰。

判断L_j(t+1) < C_j是否成立，若成立，则j不发生失效，若不成立，则发生进一步级联失效。节点j根据式(7)向相邻节点分配负载。相邻节点j₁增加的负载为：

(10)

式中，ω_i→j1为节点j负载由j→j₁的比例，可根据式(7)可得。按照式(9)更新节点j₁的负载，重复操作直到节点恢复正常。

假设连边e_ij在t时刻发生失效，那么，相邻连边的负载分配比例为：

(11)

式中，ω_eij→e1为相邻连边e₁分配到的负载比例；Λ为与连边e_ij的相邻连边集合；e₁为与失效连边e_ij相连的其中1个相邻连边；C_e1和L_e1分别为节点j的容量和负载；F_e1和e_ij→e₁分别为节点m的容量和负载；F_e1为e_ij→e₁的拥堵指数；F_ek为e_ij→e_k的拥堵指数。

连边e₁增加的负载ΔL_e1为：

(12)

式中L_eij为边e_ij的负载。

更新连边e₁的负载：

(13)

式中，L_e1(t+1)为网络负载重分配后的连边e₁的负载；L_e1(t)为负载重分配前的连边e₁的负载，第1轮负载重分配时L_e1(t)=L⁰_e1。

若L_e1(t+1)>C_e1，则网络发生进一步失效，参考式(11)，e₁的邻边e₂增加的负载为：

(14)

式中ω_e1→e2为e₁负载由e₁→e₂的比例。

按照式(13)更新连边e₂的负载，重复操作直到连边恢复正常。

2.3 级联失效抗毁性评估指标

为衡量节点或连边失效对城市群复杂交通网络的影响，采用级联失效规模来对网络进行抗毁性评估。表达式为：

(15)

(16)

式中，CFN₁和CFN₂分别为节点和连边级联失效规模；N′为节点失效导致其他节点失效的数目；M′为连边失效导致其他连边失效的数目；M为连边总数。

2.4 城市群复杂交通网络级联失效模型

图 3为城市群复杂交通网络级联失效仿真流程图。具体步骤如下。

Step 1：构建城市群复杂交通网络。将各城市里的火车站、汽车站视作复杂网络节点，2个节点间若能直接到达则连接2个节点，构建邻接矩阵A。

Step 2：按式(2)~(3)对节点和连边负载进行初始化得到L_i⁰和L⁰_ei，按式(4)~(5)确定节点和连边的容量C_i和C_eij。

Step 3：确定攻击策略。攻击节点v_i或连边e_ij，令攻击的节点或连边失效。

Step 4：对失效节点或连边进行负载重分配。将失效节点或连边的负载按式(7)~(9)分配给相邻节点，或按式(11)~(13)分配给相邻连边，更新复杂网络节点负载或连边负载，判断L_j是否大于容量C_j，若是，则进行Step 5，否则转跳至Step 7。

Step 5：级联失效节点或连边负载重分配。将级联失效节点或连边过载部分的负载按式(10)或式(14)分配到相连节点或连边。

Step 6：更新负载，判断是否有新节点处于“暂停状态”。节点或连边是否存在L_j＞C_j或L_eij＞C_eij的情况，若存在，则返回Step 5，否则进行Step 7。

Step 7：级联失效过程结束。计算级联失效规模变化。

3 实例研究

以长江中游城市群交通网络为对象，根据1.1节建立长江中游城市群复杂交通网络，得到如图 4所示的网络拓扑图，节点数N=108，连边数M=336。

3.1 拥堵指数权重对城市群交通网络级联失效影响 3.1.1 随机节点攻击下级联失效仿真

令α=4，τ=1.6，β=0.1，在攻击不同节点数下，调整δ进行随机节点攻击下级联失效仿真，每个试验进行50次后取平均值，结果如图 5所示。

由图 5可得，随着失效节点数i的增加，级联失效规模也明显增大。在不发生道路拥塞的情况下，即σ=1，β=0时，网络级联失效规模达到最小值，在只考虑道路拥塞的情况下，即σ=1，δ=1时，网络级联失效规模达到最大值，这表明交通拥堵会导致交通网络进一步失效。当δ＜0.1时，随着δ的增加，级联失效规模明显增大；当δ＞0.1时，随着δ的增加，级联失效规模变化较小。因此在随机节点失效的情况下，交通拥堵会扩大网络级联失效影响，当拥堵指数权重到一定阈值，交通拥堵对网络级联失效规模影响较小。

3.1.2 蓄意节点攻击下级联失效仿真

为研究在考虑拥堵指数情况下，城市群复杂交通网络节点在蓄意攻击下级联失效规模变化，令α=4，τ=1.6，β=0.1。仿真结果如图 6所示。

由图 6可得，级联失效规模随着失效节点数i增加而增加，σ=1，δ=0时，网络级联失效规模最小；σ=0，δ=1时，网络级联失效规模最大。当δ＜0.1时，随着δ增加，级联失效规模急剧上升；当0.1＜δ＜0.3时，随着δ的增加，级联失效规模呈下降趋势，δ＞0.3时，级联失效规模缓慢增加，说明在蓄意节点失效情况下，拥堵指数权重存在2个阈值δ_m和δ_n(δ_m＜δ_n)。当δ=δ_m时，级联失效规模从随着δ上升转为随着δ下降；当δ=δ_n时，在考虑拥塞时，级联失效规模从下降转为随着δ上升。这表明拥堵指数权重到一定程度会使级联失效规模下降。同时与随机节点失效相比，蓄意节点失效造成的后果更严重，对网络影响范围更广泛。

3.1.3 随机连边攻击下级联失效仿真

令α=4，τ=1.6，β=0.1，探究在随机连边攻击下，拥堵指数权重和级联失效规模的关系，每组试验进行50次后对级联失效规模求均值，得到如图 7所示结果。

从图 7可以看出，当δ＜0.2时，CFN₂为0，复杂网络不发生级联失效，失效连边数和δ对级联失效规模没有影响；当δ＞0.2时，随着δ的增大，级联失效规模不断上升，直至δ=1，级联失效规模达到最大值。这表明在随机连边失效情况下，当δ小于0.2时，拥堵对CFN₂无影响；当δ＞0.4时，i越大，CFN₂越大，且当δ增大时，级联失效规模变化较快，说明拥堵指数权重达到一定程度后，随着拥堵指数权重的增加，级联失效规模也不断增加。对比图 4，级联失效规模比随机节点攻击下要小，这是由于连边的相邻连边个数多于节点相连边个数，在负载分配时接受分配的连边越多，越不容易发生级联失效。

3.1.4 蓄意连边攻击情况下级联失效仿真

为研究在连边蓄意攻击情况下，拥堵指数权重和级联失效规模的关系，令α=4，τ=1.6，β=0.1，结果如图 8所示。

由图 8可得，蓄意连边失效比随机连边失效产生的后果更严重，这是因为蓄意失效的连边是介数较大的边，所以需要分配的负载就更多，导致连边更容易发生级联失效。拥堵指数权重δ存在阈值δ_c，当δ＜δ_c，网络不发生级联失效，i越大δ_c越小，例如当i=10时，δ_c=0.6，当i=40时，δ_c=0.3，但i=50时，不存在阈值δ_c，这是由于失效连边数足够大时，复杂交通网络越易发生级联失效，δ越大，CFN₂越大。δ=0时CFN₂达到最大值，i越大级联失效规模越大。

对比图 5~图 8可知，节点失效比连边失效对交通网络的级联失效影响更大，因此，对于大型城市群交通网络，要注意维护重要节点的正常运行，在交通拥堵情况下，调整拥堵指数权重，使得剩余容量和拥堵指数保持相对平衡可以减少级联失效规模。

3.2 节点和连边重要性评估

为研究长江中游城市群交通网络节点和连边的重要性，令α=4，τ=1.6，β=0.1，σ=0.5，δ=0.5，假设每个节点或者连边单独失效，研究城市群交通网络级联失效过程，得到如图 9和图 10所示结果。

从图 9和图 10可得长江中游城市群复杂交通网络中的重要节点和连边。并且可得交通网络节点级联失效规模平均值为4.094 39×10^-4，交通网络连边级联失效规模平均值为2.851 65×10^-5，所以，节点失效相比于连边失效对于网络级联失效影响更大。取最易发生级联失效前5个节点和最易发生级联失效前5条路段，如表 1所示。

由表 1可看出，在对长江中游城市群复杂交通网络日常维护和管理时，要特别注意武昌站、武汉汽车站、武汉站、汉口站、咸宁汽车站、长沙站、长沙南站、九江汽车站等9个站点的状态，保证复杂交通网络系统正常运行。天门南站—仙桃西站、孝感北—孝感汽车站、咸宁汽车站—南昌站、仙桃汽车站—天门汽车站、潜江汽车站—潜江站、天门汽车站—孝感汽车站、武昌站—襄州站、襄阳站—襄州站、黄石北—黄石客运站、大治北站—黄石站等50个路段需要重点关注和管理，防止这些路段失效导致交通网络发生严重的级联失效。

4 结论

基于城市群交通复杂网络，提出了考虑拥堵指数和剩余容量的级联失效负载重分配模型，构建了城市群复杂交通网络级联失效模型。分析了拥堵指数权重与城市群交通网络级联失效规模的关系，并对复杂网络中的节点和连边重要性进行评估，确定了长江中游城市群重要站点和路段。主要结论如下：

(1) 失效节点越多，级联失效规模越大。交通拥堵会导致复杂网络发生进一步的级联失效，在不发生拥堵时，即所有路段均畅通情况下，网络级联失效规模最小。

(2) 随机节点失效下，交通拥堵到一定程度，交通拥堵对复杂网络级联失效影响较小；蓄意节点失效下，存在1个最佳的拥堵指数权重，使得复杂网络级联失效规模较小。

(3) 随机和蓄意连边失效下，拥堵指数权重存在阈值，拥堵指数权重小于阈值时复杂网络不发生级联失效，大于阈值时拥堵指数权重越大复杂网络级联失效越严重。但蓄意连边失效比随机连边失效造成的后果更严重，因此要保护边介数较大的连边，并且控制复杂交通网络拥堵指数权重不超过其阈值。

(4) 确定长江中游城市群9个重要站点和50个重要路段，并且节点失效相较于连边失效对于复杂交通网络影响更大。

本研究不仅可为长江中游城市群交通网络规划提供参考，促进长江中游城市群交通运输系统发展，提高交通网络管理水平，并且提出的级联失效模型可准确地判定关键站点和路段。后续研究工作将考虑根据乘客目的地的差异性构建复杂交通网络级联失效模型，进一步研究、优化复杂交通网络级联失效模型。