0 引言

随着国家经济和社会的发展，在丘陵和山区已经建设了大量的路网，随着路网建设出现了大量的边坡工程。这些边坡工程存在的安全隐患会给交通安全以及周边居民的生命财产安全产生严重的威胁，因此边坡稳定性的预测至关重要。由于边坡稳定问题具有随机性与模糊性等特点，边坡稳定性评价与预测一直以来都是边坡工程领域研究的重点和难点。目前边坡稳定性预测方法大体可分为定性与定量两种方法。但是这两种方法均不能合理地反映边坡工程非线性破坏的本质特征。因此，一些学者引入模糊评判方法、灰色理论方法、聚类分析法、神经网络等方法对边坡稳定性进行评价预测^[1-6]。

随着研究的不断深入，学者开始利用多种方法联合评价边坡稳定性，Hoang^[7]利用元启发式和机器学习人工智能方法预测边坡稳定性；徐哲^[8]利用K-means聚类结合神经网络建立边坡稳定性评价预测模型，通过大量的神经网络训练可以使模型预测精度达到较高的水准；高崇^[9]等人基于灰色系统的灰色关联分析法结合层次分析法确定的权重，对边坡的稳定性进行预测；丁丽宏^[10]提出基于改进的灰色关联分析，将区间范围引入灰色关联分析中，同时利用3标度的层次分析法对影响边坡稳定性的各个因素权重做出了讨论，提高了灰色关联分析的精度。

上述方法均可有效提高边坡预测精度，但同时也存在一些不足，特别是多种评价方法都会考虑各项评价指标的权重。例如灰关联分析法与层次分析法结合时，在权重确定的过程中，采用层次分析法受主观因素的影响较大，从而可能会产生较大误差。为了避免主观因素对边坡安全性预测的干扰，同时减少模型构建需要的数据量，本研究采用改进后的联合灰色关联分析结合9标度的判断矩阵对边坡稳定性进行预测。首先，采用灰色关联分析对影响边坡稳定的各因素敏感度进行分析，结合9标度的层次分析法确定各影响因素的权重。随后再次利用灰色关联分析对边坡稳定性进行预测，建立联合分析的边坡稳定性预测模型。

1 灰色关联分析理论

灰色关联分析是灰色系统理论的方法之一，其基本原理是根据序列曲线的几何相似程度来判断灰色过程发展态势的关联程度。其特点是可以在数据量较小的情况下比较精确地找到灰色系统中各种变化因素与参考因素之间的关联性(关联度)，关联度的大小可以反映变化因素与参考因素之间的相关性，当计算得到的关联度越大则代表两种因素相关性越大，反之则代表两种因素的相关性小^[11]。由于灰色关联分析具有可预测系统发展态势的特点，灰色关联分析既可以被用于确定系统综合评估中的权重^[12]，又可以确定已知系统与未知系统之间的相似程度^[13]。对应于边坡工程，灰色关联分析既可以应用于边坡影响因素的敏感性分析^[14-16]，又可以对边坡整体进行稳定性预测^{[2, 5, 8, 10, 17]}。

2 联合灰色关联分析

本研究提出的联合灰色关联分析新方法就是两次运用灰色关联分析的理论，结合判断矩阵对边坡的稳定性进行预测。

2.1 确定边坡影响因素敏感度 2.1.1 确定灰关联序列

研究的目标是确定边坡各影响因素对边坡稳定性的敏感度，从而进一步确定边坡稳定性的各影响因素的权重。因此选取该边坡稳定的影响因子(包括黏聚力、内摩擦角、重度、坡角、孔隙压力比等)作为比较序列X，将各项参数所对应边坡安全系数作为参考序列Y，矩阵具体形式如下：

(1)

(2)

2.1.2 矩阵归一化

由于比较序列中因子为各个影响因素所取得的真实参数，而参考序列中因子为安全系数，不同类型的数据量纲各不相同、数值差异很大，在未经处理的条件下进行比较会产生很大误差，因此需要对X，Y矩阵中各因子采用初值化处理，以消除量纲的影响。本研究采用极差变化作为初值化方法处理矩阵中的各项因子。由于灰色关联分析是根据灰关联度确定两个系统之间的相似性，而灰关联度通过序列曲线之间的几何相似程度计算得出，因此对于边坡安全性有正反两方面影响的参数，需要采取有差异的归一化处理手段。

当数据为越大越优型参数，采取式(3)进行归一化，例如黏聚力、内摩擦角等参数：

(3)

当数据为越小越优参数时，采取式(4)进行归一化，例如重度、坡角、孔隙压力比等参数：

(4)

在处理之后，将矩阵中各项数据利用式(5)计算，组合形成差序列矩阵：

(5)

2.1.3 计算灰关联度

求取单个灰关联度组成关联系数矩阵，矩阵中各个因子的计算见式(6)：

(6)

式中ρ为分辨系数，ρ∈ (0, 1)，其值一般取为0.5。

关联度是取值范围为(0, 1)之间的一组数，其大小反映了比较序列与参考序列之间的相似程度。关联度越接近1，说明比较序列对参考序列存在较为显著的影响，即该影响因素的敏感性越大；反之，则影响因素的敏感性越小。每个指标的关联度可以由式(7)计算：

(7)

式中q_i为第i项指标的关联度。

通过式(7)得到的这组关联度数据就是各个因素的敏感度。

2.2 确定边坡影响因素权重

由于上述步骤中对数据进行了归一化处理，处理后得到的关联度无法直观地展示各个因素在边坡安全性判定中所作的贡献，因此需要引入9标度判断矩阵确定各因素的权重值。判断矩阵是指决策者在决策中常用的针对方案集做出的两两方案优劣判定的结果，用B表示，B = (b_ij)_m×m。其中，元素b_ij为方案k_i对方案k_j的相对重要程度。为了适应边坡中多个因素相对重要程度的判定，采用Saaty提出的1~9标度法表示，各个标度含义如表 1所示。

上述步骤中灰关联分析得到的各因素敏感度数据可以有效减少判断矩阵中存在的主观因素影响。因此将归一化后各因素敏感度两两比较，可以确定b_ij，从而建立灰关联判断矩阵。

为了检验构造的判断矩阵是否正确，需要对矩阵进行一致性判定，从而保证最终结果的准确性。评价判断矩阵一致性需要引入随机一致性比率CR，当CR < 0.10=时，可以认定判断矩阵符合一致性要求，否则需要调整标度，直到通过一致性检验。通过一次性检验的判断矩阵获得的权重值才具备可信度。

求取判断矩阵的最大特征值，随后根据式(8)对其进行归一化处理，即可获得各个影响因素的权重：

(8)

式中，W_i为第i项指标的权重；V_i为特征向量中第i个分量。

2.3 灰色关联分析预测边坡稳定性

关联分析预测边坡稳定性的基本步骤与确定影响因素敏感性类似，即确定比较序列矩阵与参考序列矩阵，进行归一化处理，计算关联系数矩阵，最终根据公式求出关联度。

但是具体步骤的实施中，边坡稳定性预测与影响因素敏感性确定在公式中有所不同，边坡稳定性预测需要设定已知边坡为比较序列，预测的目标边坡为参考序列，利用灰色关联分析求未知边坡与已知边坡的相似度。

设定x₀= {x₀(i)|i=1, 2, ⋯, m}为参考序列，x_a= {x_a(i)|i=1, 2, ⋯, m}，a=1, 2, ⋯, z为z个比较序列，利用公式对矩阵进行无量纲化处理：

(9)

式中，x_a(i)为归一化后的数据；max x(i)为矩阵第i列的最大值。

对归一化后的数据利用式(10)求关联系数ψ_a(i)：

(10)

式中，ρ的含义与式(6)相同，为分辨系数，该公式中取0.5。

最终，灰关联度r_a可以通过式(11)计算：

(11)

将计算得到的各项灰关联度进行排序后，获得综评结果，确定待预测边坡与已知边坡的相似程度，从而预测边坡稳定性。边坡稳定性预测的联合灰色关联分析的流程如图 1所示。

3 工程实例分析

从文献[5]和[17]选取重庆地区的高速公路土质边坡，依据土体参数特征以及边坡几何特征选取数值模拟需要的参数类型以及参数取值范围，如表 2所示。

3.1 有限元模拟

利用ABAQUS有限元程序对高速公路边坡建立典型模型，利用有限元数值模拟对边坡安全性进行分析。根据工程实际，取该地区公路边坡中各项参数的平均值作为基准值：土体黏聚力取50 kPa，内摩擦角为25°，天然重度取20 kN/m³，R_u=0.3，坡角β=28°，平均坡高H=30 m。

数值模拟中，土体采用服从Mohr-Coulomb破坏准则与非相关联流动法则的理想弹塑性本构模型，边坡几何参数及土体强度材料参数取上述平均值，土体变形参数取E=2×10⁴ kPa，v=0.35。依据表 2中各项参数的变化范围，每项参数均取6个参考值进行计算。依据参数类型的不同，在静力条件下采用CPE4应变单元进行模拟。孔隙水压力系数R_u的变化可以通过改变地下水位的高度模拟，例如当R_u=0.1时，则依据计算公式，取滑面以上一定高度进行模拟^[18-20]，此时模拟单元的类型选取孔压应变单元CPE4P。仅考虑应力应变时，需要设置位移约束条件，将孔隙水压力系数时，边界条件添加孔压边界条件。为保证计算精确度，边坡的模型形状、各边界尺寸控制及网格划分如图 2所示。

边坡安全系数利用强度折减法确定，强度折减法通过设置场变量FV1，将边坡土体强度参数同时跟折减系数相除来实现。反复多次尝试，直到边坡坡顶节点发生位移突变，证明边坡发生破坏，此时安全系数就是场变量FV1^[21-22]。

数值模拟时，仅改变其中1个参数，其他参数保持不变，利用强度折法计算各工况安全系数。模拟中各参数的取值及对应工况下的安全系数如表 3所示。

3.2 影响因素灰色关联度计算

按照2.1节中的说明，将表 3中的各参数变化后取值定义为比较序列，将其对应的安全系数值定义为参考序列。根据表 3数据，可以建立比较序列X和参考序列Y：

(12)

(13)

根据式(3), 式(4)对X，Y进行归一化处理。由式(5)计算获得差异矩阵，再根据式(6)可以求得关联系数矩阵ζ，如下：

(14)

利用式(7)可以求得各影响因素的灰关联度：

(15)

3.3 影响因素权重计算

由于边坡工程的特殊性，在利用判断矩阵对各项影响因素的权重进行计算时需要剔除极端不重要的指标，保证各个影响因素权重较为均匀，因此构建判断矩阵时将最大标度定为6。将各个影响因素的灰关联度两两对比，根据他们之间的相对值确定标度，建立判断矩阵：

(16)

编制MATLAB程序计算判断矩阵B的权重及其一致性CI和随机一致性比率CR。根据计算得到最大特征值λ_max=6.158 847，CI=0.031 769，CR=0.025 621 < 0.1，该判断矩阵通过一致性检验。得到各因素权重值如表 4所示。

从表 4中可以看出，影响边坡安全系数的指标中，内摩擦角、黏聚力对边坡安全性影响最为显著，且权重值远远超出其他指标；其次是边坡坡角、坡高这两个边坡几何形态参数；边坡土体重度，孔隙水压力系数这两项指标对边坡安全性的影响较小。

3.4 灰色关联分析预测安全性

选取文献[5]以及文献[17]中的25个土质边坡为样本，其中文献[5]中编号1~15的已知边坡作为本研究已知样本，在灰关联分析中作为比较序列，初始数据可见表 5。预测样本初始数据如表 6所示，为了验证联合灰关联分析方法的准确性，本研究利用两篇文献中的数据进行交叉验证。因此本研究的预测样本1~5选取文献[5]中5个预测样本数据，预测样本6~10为文献[17]中前5个参考样本。受限于篇幅，下面详细写出预测样本1的灰关联度计算过程，其他预测样本计算方法类似。

将预测样本1加入已知样本数据中构建原始数据矩阵，通过式(9)对原始数据矩阵归一化处理，得到如下矩阵：

(17)

根据公式Δ_a(i)=|x₀(i)-x_a(i)|，得到差序列矩阵：

(18)

利用式(10)求得关联系数矩阵：

(19)

最后根据表 4中各影响因素权重以及式(11)，可以计算出关联度，依次为：0.690 0.756 0.749 0.721 0.619 0.731 0.662 0.531 0.746 0.749 0.555 0.767 0.811 0.739 0.558。其中关联度最大值0.811，其所对应的已知样本为13，证明预测样本1与已知样本13之间相似度最大，已知样本为不稳定边坡，因此预测结果为失稳边坡，预测结果与工程实际一致。按照上述步骤对后续2~9号预测样本进行预测，得到的结果列于表 7。

从表中可以发现，10个预测样本的预测结果均与工程实际情况完全一致，证明该方法预测边坡稳定是可靠的。最大关联度是评价预测精度的重要指标，其取值范围在[0, 1]之间。当最大关联度较小时，可以认为未知样本与已知样本之间相似度较低，需要补充样本库增加其可信度，否则无法预测边坡安全性；当最大关联度值较大时，则证明预测精度高，预测结果可信^[23]。从最大关联度来看，预测样本与已知样本的最大关联度均高于0.8，有3组样本最大关联度高于0.9，表明本方法预测精准度较高。与已知文献[5]相比，改进的联合灰色关联分析法获得的最大关联度普遍更高，证明改进方法的有效性与准确性均有所提高。

4 结论

本研究提出了联合灰色关联分析法，即利用灰色关联分析结合判断矩阵法求出边坡安全性影响因素所占权重，随后再次利用灰色关联分析法对比边坡预测样本与已知样本的相似程度，对预测样本的安全性做出判断。该方法剔除了人为因素的干扰，准确性较高，通过与已知文献的对比分析得出以下结论：

(1) 利用ABAQUS有限元软件对边坡进行模拟并结合灰色关联分析确定影响边坡稳定性的各因素权重，其中内摩擦角、黏聚力对边坡影响较大，且权重值远远超出其他指标；边坡几何参数坡角角度和边坡高度影响稍小，土体重度以及孔隙水压力系数的影响最小。

(2) 利用工程实例进行交叉验证，预测结果与工程中边坡实际情况完全一致，表明联合灰色关联分析法预测边坡稳定性是可靠的，从灰关联度最大值角度看新方法预测的准确性有所提升。

(3) 联合灰色关联分析法利用小样本对未知边坡进行预测，具有较高的可靠性，同时减少了冗杂的计算步骤，应用简便快捷，利于在类似工程中推广。