0 引言

国家西部地区经济的快速发展促进了高速公路的建设，而受自然地形地貌条件的制约，黄土地区高速公路常采用黄土填料的高填路基作为主要路基型式^[1]。高填路基是由非饱和状态黄土经人工压实而成，为典型的重塑土，水体入渗会引起自身孔隙水压力上升、重度增大、基质吸力减小、弱化力学参数、降低路基边坡的稳定性。更多的学者关注以均质化的方式研究含水率对黄土黏聚力、内摩擦角的影响规律^[2]，并假定含水率相同来分析黄土路基的稳定性。但降雨对黄土路基的影响与雨水的入渗深度密切相关，掌握雨水入渗深度和路基内部含水率的分布是分析降雨对路基稳定性影响的关键^[3]。

非饱和态土体中水分入渗过程的数学模型为Richards偏微分方程(RE)^[4]，求解RE对土质边坡稳定性分析具有重要意义。然而，方程中的渗透变量与水力参数之间存在复杂关系，方程呈现强非线性特征，获得有关非饱和流的规律多数采用非线性迭代等数值方法^[5]，但该方法具有求解不稳、数值震荡、流程复杂等缺点。对此，诸多学者努力寻求RE的解析解，如假定特殊边界条件、引入新的变量，将偏微分方程化简^[6-7]。以引入新变量化简微分方程的手段，在一定程度上揭示了非饱和土入渗的某些特征，但在物理上并无有力依据。

为此，本研究主要针对降雨对路基边坡垂直入渗深度即含水率的分布进行研究，为路基稳定性分析提供依据。基于变分法原理，结合对土体中水分运动路径依赖性的认识，假设其运动沿着耗时最佳路径进行，显式地求解出在入渗边界处为任意体积的含水率分布规律。通过显式求解方程，对不同降雨条件下黄土路基边坡的含水率变化进行分析，并结合不同含水率路基土试验结果的拟合方程，得到降雨作用下黄土路基的黏聚力和内摩擦角的弱化作用规律，为分析路基边坡稳定性提供参考依据。

1 降雨入渗模型

根据达西定律，Richards方程用于分析多孔介质中的非饱和渗流问题^[8]，其二维的压力水头h形式可以表示为^[9]：

(1)

式中, h为压力水头；t为时间；K_x(h)和K_z(h)分别为相对于x和z方向的渗透系数函数，K(h)= ，其中D(θ)为扩散系数函数; C(θ)为容水度，定义为C(θ)= ；θ为土体体积含水率。

降雨时，选取一个雨滴来分析，雨滴从边坡表面到达湿润峰的过程，也是雨滴变化为毛细水的过程；驱使雨滴前进的力有重力和表面张力，当雨滴进入坡内后，表面张力远大于重力，尤其是垂直于路基边坡方向，重力分量变得更小，而表面张力与坡度无关，保持不变，牵引雨滴向内渗透。

为使问题简化，在Richards方程中忽略重力影响项，即仅考虑非饱和态土体中一维水平扩散方程，式(1)可以被简化如下：

(2)

其初始条件和边界条件为：

(3)

式中，θ₀为给定边界含水率; θ_i为初始含水率；x_f为t时刻位置。

水分在非饱和土体中的扩散，受土体结构非均质特征的影响，引起扩散路径存在无序性，造成土体各点的含水率不同，而D为土体含水率的函数，即D函数致使式(2)呈现出强非线性特征，使得方程的求解变得极为困难，很难直接得到雨水入渗Richards方程的解析解。

变分技术是求解此类偏微分方程或复杂边界条件的有利工具。在表面张力作用下，雨水通过不同路径抵达湿润峰，可以以时间作为最小作用量，非饱和土体中水分入渗最优路径问题可看作时间的泛函T[θ(x)]：

(4)

由式(2)可得：

(5)

式中，v为速度变量。

将式(5)化简代入式(4)得：

(6)

式中，θ′为含水率导数。

记核函数F为：

(7)

泛函的极值问题等价于Euler-Lagrange方程^[10]：

(8)

式中，C为常数；F_θ′为核函数在θ′处函数值。

(9)

将式(7)和式(9)代入式(8)化简得：

(10)

根据边界条件，可求得：

(11)

(12)

则有：

(13)

即：

(14)

由K(h)= 可得：

(15)

(16)

式中，m=3n+2，n为形状参数；K_s为饱和渗透系数；h为吸力水头；h₀为初始水头；h_b为进气压力水头。

由Brooks-Corey土-水特征曲线模型^[11]得到：

(17)

式中，S_e为系数函数；θ_s为饱和体积含水率；θ_r为残余含水率。

由式(15)、式(16)可得：

(18)

由式(17)、式(18)可得:

(19)

式中，D₀为初始含水率函数，D₀= 。

将式(19)代入式(14)得：

(20)

式中，S₀, S_i为土-水特征曲线函数；，。

当入渗边界处为饱和体积含水率时，S₀=S_i，式(20)可转化为如下形式：

(21)

(22)

当土处于极为干燥状态，θ_i=θ_r，式(21)可进一步简化为：

(23)

入渗耗时与湿润峰距离间的关系为：

(24)

式中，A为常数。

降雨入渗率q为:

(25)

式中，a为系数函数，a=。

降雨路基边坡累计入渗量Q为：

(26)

由式(20)、(25)和式(26)可求得式(24)的参数A为：

(27)

式中，f，b, β为系数函数; ，，。

由式(20)、(24)、(27)可求出路基边坡体积含水率随入渗深度及入渗所耗时间的发展规律：

(28)

(29)

(30)

式中, τ为路基含水率；c, φ为系数函数；a_c和b_c为黏聚力系数；a_φ和b_φ为内摩擦角系数。其中，系数可结合具体工程土的剪切试验数据拟合得到。

2 降雨入渗路基边坡含水率变化分析

本研究主要考虑了降雨对路基边坡垂直入渗深度即含水率的分布，利用雨水的渗透模型，分析降雨时路基的渗透范围和受力变化，为路基稳定性分析提供依据。路基的分析参数见表 1，不同含水率下路基土的试验参数详见表 2，路基土样的黏聚力和内摩擦角与含水率之间的关系如图 1所示。

在降雨分别连续作用60，180，300，600 min下，路基上、中、下各部位含水率变化规律如图 2所示。降雨使路基边坡表面为饱和体积含水率时，垂直边坡路基的体积含水率呈非线性递减，达到某一位置后迅速递减，在湿润峰处内体积含水率趋于稳定，湿润峰处的路基土的含水率为路基的初始含水率，湿润峰的存在实际上是土颗粒的表面张力和颗粒间的黏滞阻力平衡的结果^[12-13]；随着降雨作用时间的增加，湿润峰的深度逐渐增加，但并不与时间呈线性关系，如600 min仅是660 min作用下的2.6倍，由此可见，湿润峰也与土的其他性质密切相关；相同降雨条件下，路基上、中、下各部位的含水率变化规律不同，下部湿润峰最大，降雨入渗最深，影响最大，顶部最小，可以看出，路基各部位初始条件与边界条件会对路基含水率分布产生重要影响。

连续降雨下，路基本身的含水率和土的特性与上述分析的一次降雨过程中路基各部位含水率明显不同。对此，基于连续降雨下路基的分析参数(见表 3)，对路基的含水率变化规律进行分析，结果如图 3和图 4所示。

在连续降雨下，路基上、中、下各部位含水率变化规律如图 3所示，其变化规律与一次降雨规律相同，二者的对比规律如图 4所示，但湿润峰的大小有所不同，一次降雨和连续降雨下路基上部的湿润峰基本相同，连续降雨下中部的湿润峰大于一次降雨下的数值，下部的湿润峰差别更大。由此可见，受前期降雨和地下水的影响，路基内含水率增加，改变了路基内水的迁移力，路基的含水率并没有随着降雨的连续作用呈线性增加，原因在于含水率的增加造成颗粒间表面张力减小，同时雨滴入渗路径增加，渗透阻力增加^[14-15]，造成牵引力变小，这一现象阻止了雨水向路基内部的渗透，保护了路基的稳定性^[16-20]。

图 5为降雨过程中路基上、中、下各部位黏聚力和内摩擦角的变化规律，路基的力学参数与降雨入渗深度密切相关，随着降雨入渗的增加，路基含水率呈非线性降低，而黏聚力和内摩擦角均与含水率呈指数关系^[21-23]，即黏聚力和内摩擦角在含水率较高时较小，含水率较低到某一数值时，黏聚力和内摩擦角突然增加，表现为曲线出现突然增加的拐点，这一拐点对判别降雨时路基边坡的稳定性起作用^[24-26]，如果路基边坡的滑动面大于拐点深度，可以判定路基边坡处于稳定状态。

3 结论

(1) 对于非饱和路基边坡降雨水平入渗深度，基于泛函极值问题和变分法原理，显式地求解出非饱和态土体中的水分入渗过程数学模型为Richards偏微分方程的解，路基水平体积含水率分布与位置距离和湿润峰距离密切相关。

(2) 路基边坡内的含水率与垂直边坡路基深度呈非线性递减，达到某一位置后迅速递减，在湿润峰处内体积含水率趋于稳定。受路基各部位初始条件与边界条件影响，路基上、中、下各部位的含水率变化规律不同，下部湿润峰最大，降雨入渗最深，影响最大，顶部最小。

(3) 在连续降雨下，路基上、中、下各部位含水率变化规律与一次降雨下规律相同，但湿润峰的大小有所不同，路基的含水率并没有随着降雨的连续作用呈线性增加。其原因在于含水率的增加造成颗粒间表面张力减小，同时雨滴入渗路径增加，渗透阻力增加，造成牵引力变小，这一现象阻止了雨水向路基内部的渗透，保护了路基的稳定性。

(4) 随着降雨入渗的增加，路基含水率呈非线性降低，而黏聚力和内摩擦角均与含水率呈指数关系，毛细作用力逐渐与渗透阻力达到平衡时，曲线出现突然增加的拐点，这一拐点对判别降雨时路基边坡的稳定性起作用，如果路基边坡的滑动面大于拐点深度，可以判定路基边坡处于稳定状态。

(5) 本研究仅讨论了降雨对路基边坡垂直入渗深度即含水率的分布，为路基稳定性分析提供依据。而路基内部含水率的分布还与路基表面冲刷、路基周围积水等因素密切相关，这将作为下一步开展的工作。